浙教版七年级数学下册(培优特训)专项4.2因式分解综合高分必刷(原卷版+解析)

这是一份浙教版七年级数学下册(培优特训)专项4.2因式分解综合高分必刷(原卷版+解析)，共45页。


3．(2023春•杭州期中）已知实数x，y，z满足x+y+z＝5，且4xy+yz+xz＝3，则z的最大值为 ．
4．(2023秋•日照期末）阅读理解并解答：
【方法呈现】
（1）我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式．在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小（或最大）问题．
例如：x2+2x+3＝（x2+2x+1）+2＝（x+1）2+2，
∵（x+1）2≥0，
∴（x+1）2+2≥2．
则这个代数式x2+2x+3的最小值是 ，这时相应的x的值是 ．
【尝试应用】
（2）求代数式﹣x2+14x+10的最小（或最大）值，并写出相应的x的值．
【拓展提高】
（3）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2＝10a+8b﹣41，且c是△ABC中最长的边，求c的取值范围．
5．(2023秋•平城区校级期末）综合与实践
如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2．
（1）请直接用含a和b的代数式表示S1＝ ，S2＝ ；写出利用图形的面积关系所得到的公式： （用式子表达）．
（2）依据这个公式，康康展示了“计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）”的解题过程．
解：原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）＝（24﹣1）（24+1）（28+1）＝（28﹣1）（28+1）＝216﹣1．
在数学学习中，要学会观察，尝试从不同角度分析问题，请仿照康康的解题过程计算：2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1．
（3）对数学知识要会举一反三，请用（1）中的公式证明任意两个相邻奇数的平方差必是8的倍数．
6．(2023秋•榆树市校级期末）我们知道，任意一个正整数k都可以进行这样的分解：k＝m×n（m，n是正整数，且m≤n），在k的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称m×n是k的最佳分解，并规定：f（k）＝．例如：18可以分解成1×18，2×9或3×6，因为18﹣1＞9﹣2＞6﹣3，所以3×6是18的最佳分解，所以f（18）＝．
【探索规律】
（1）f（20）＝ ；f（36）＝ ；
（2）若x是正整数，猜想f（x2+2x）＝ ；
【应用规律】
（3）若f（x2+2x）＝，其中x是正整数，求x的值；
（4）若f（x2﹣48）＝1，其中x是正整数，所有x的值的和为 ．
7．(2023秋•长寿区期末）阅读下列材料，并解答相应问题：
对于二次三项式x2+2ax+a2这样的完全平方式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式，但是，对于一般的二次三项式，就不能直接应用完全平方公式了，我们可以在二次三项式中先加上一项，使其配成完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变，于是有：
x2+2ax﹣3a2＝x2+2ax+a2﹣a2﹣3a2＝（x+a）2﹣（2a）2＝（x+3a）（x﹣a）
（1）像上面这样把二次三项式分解因式的数学方法是 ；
A．提公因式法 B．十字相乘法 C．配方法 D．公式法
（2）这种方法的关键是 ；
（2）用上述方法把m2﹣6m+8分解因式．
8．(2023春•源城区校级期中）先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．
（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：
①ax+by+bx+ay
＝（ax+bx）+（ay+by）
＝x（a+b）+y（a+b）
＝（a+b）（x+y）
②2xy+y2﹣1+x2
＝x2+2xy+y2﹣1
＝（x+y）2﹣1
＝（x+y+1）（x+y﹣1）
（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：
x2+2x﹣3
＝x2+2x+1﹣4
＝（x+1）2﹣22
＝（x+1+2）（x+1﹣2）
＝（x+3）（x﹣1）
请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
（1）分解因式：a2﹣b2+a﹣b；
（2）分解因式：a2+4ab﹣5b2；
（3）多项式x2﹣6x+1有最小值吗？如果有，当它取最小值时x的值为多少？
9．(2023春•东台市月考）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“和谐数”，如4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此，4，12，20这三个数都是“和谐数”．
（1）44和2022这两个数是“和谐数”吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数吗？为什么？
（3）求不超过2022的所有“和谐数”之和．
10．(2023秋•思明区校级期中）如图，认真观察下面这些算式，并结合你发现的规律，完成下列问题：
①32﹣12＝8＝8×1，②52﹣32＝16＝8×2，
③72﹣52＝24＝8×3，④92﹣72＝32＝8×4
……
（1）请写出：算式⑤ ；算式⑥ ；
（2）上述算式的规律可以用文字概括为：“两个连续奇数的平方差能被8整除”，请说明这个规律是成立的；
（3）你认为“两个连续偶数的平方差能被8整除”这个说法是否也成立呢？请说明理由．
11．(2023秋•万州区月考）一个四位正整数A满足百位上的数字比千位上的数字小5，且个位上的数字比十位上的数字小5，则称A为“队伍数”，将“队伍数”A的千位和十位数字组成的两位数与百位和个位数字组成的两位数的和记为F（A），将“队伍数”A的千位和百位数字组成的两位数与十位和个位数字组成的两位数的差记为G（A）．例如：四位正整数7261，7﹣2＝5，6﹣1＝5，∴7261是“队伍数”，此时，F（A）＝76+21＝97，G（A）＝72﹣61＝11．
（1）判断：9483，6132是否是“队伍数”，并说明理由，如果是，求F（A），G（A）；
（2）若A是“队伍数”，且满足2F（A）+3G（A）能被7整除，求出所有符合条件的A．
12．(2023春•江北区校级期中）若一个四位数的千位数字和个位数字相等，且各数位上的数字之和大于7，称这样的数为“始终如一数”．对于“始终如一数”n，若其个位数字为a，记．
例如：2232是“始终如一数”，
∵其千位数字和个位数字都等于2，且2+2+3+2＝9＞7
∴2232是“始终如一数”
（1）①判定2102是否为“始终如一数”并说明理由；
②计算D（3423）；
（2）若“始终如一数”n的个位数字是1，且满足是完全平方数，求符合条件的所有n．
13．(2023春•吴江区期中）阅读材料：
利用公式法，可以将一些形如ax2+bx+c（a≠0）的多项式变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c（a≠0）的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解例如x2+4x﹣5＝x2+4x+（）2﹣（）2﹣5＝（x+2）2﹣9＝（x+2+3）（x+2﹣3）＝（x+3）（x﹣1）．
根据以上材料，解答下列问题．
（1）分解因式（利用公式法）：x2+2x﹣8；
（2）求多项式x2+4x﹣3的最小值；
（3）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，求△ABC的周长．
14．(2023春•重庆月考）对任意一个四位正整数m，如果m的百位数字等于个位数字与十位数字之和，m的千位数字等于十位数字的2倍与个位数字之和，那么称这个数m为“筋斗数”．例如：m＝5321，满足1+2＝3，2×2+1＝5，所以5321是“筋斗数”．例如：m＝8523，满足2+3＝5，但2×2+3＝7≠8，所以8523不是“筋斗数”．
（1）判断5413和9582是不是“筋斗数”，并说明理由；
（2）若m是“筋斗数”，且m与25的和能被11整除，求满足条件的所有“筋斗数”m．
15．(2023秋•丰泽区校级期末）阅读材料：利用公式法，可以将一些形如ax2+bx+c（a≠0）的多项式变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c（a≠0）的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．
例如：．
根据以上材料，解答下列问题．
（1）分解因式：x2+2x﹣3；
（2）求多项式x2+6x﹣9的最小值；
（3）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，求△ABC的周长．
16．（2023秋•丰泽区校级期末）阅读材料并解决问题：
材料一：若一个三位数，满足百位数小于十位数，十位数等于个位数，则称这个三位数为“长平数”；
材料二：若一个三位数，将它的三个数字、三个数字两两乘积、三个数字的乘积相加，恰好等于它本身，则称这个三位数为“长久数”．
如：123≠1+2+3+1×2+2×3+1×3+1×2×3，所以123不是“长久数”．
（1）最小的“长平数”为 122 ；999 是 “长久数”；（填“是”或“不是”）
（2）若一个三位数既是“长平数”又是“长久数”，且它既能被3整除，又能被7整除，求满足这样条件的所有三位数；
（3）求最小的“长久数”．
17．（2023秋•思明区校级期末）任意一个四位正整数，如果它的千位数字与百位数字的和是7，十位数字与个位数字的和为8，那么我们把这样的数称为“七上八下数”．例如：3453 的千位数字与百位数字的和为：3+4＝7，十位数字与个位数字的和为：5+3＝8，所以3453是一个七上八下数”：3452的十位数字与个位数字的和为：5+2≠8，所以3452不是一个“七上八下数”．
（1）判断2571和4425是不是“七上八下数”？并说明理由；
（2）若对于一个七上八下数 m，交换其百位数字和十位数字得到新数m'，并且定义F（m）＝，若F（m）与m个位数字的135倍的和刚好为一个正整数的平方，求出满足条件的所有“七上八下数”m，并说明理由．
18．（2023秋•天山区校级期末）所谓完全平方式，就是对一个整式M，如果存在另一个整式N，使M＝N2，则称M是完全平方式，如：x4＝（x2）2、x2+2xy+y2＝（x+y）2，则称x4、x2+2xy+y2是完全平方式．
（1）下列各式中是完全平方式的编号有 ．
①a2+4a+4b2；②4x2；③x2﹣xy+y2；④y2﹣10y﹣25；⑤x2+12x+36；⑥﹣2a+49．
（2）已知a、b、c是△ABC的三边长，满足a2+b2+2c2＝2c（a+b），判定△ABC的形状．
（3）证明：多项式x（x+4）2（x+8）+64是一个完全平方式．
19．(2023春•重庆期末）定义：对任意一个两位数a，如果a满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“迥异数”．将一个“迥异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为f（a）．
例如：a＝12，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为21+12＝33，和与11的商为33÷11＝3，所以f（12）＝3．根据以上定义，回答下列问题：
（1）填空：
①下列两位数：50，63，77中，“迥异数”为 ；
②计算：f（32）＝ ．
（2）如果一个“迥异数”b的十位数字是k，个位数字是2（k+1），且f（b）＝11，请求出“迥异数”b．
（3）如果一个“迥异数”c，满足c﹣5f（c）＞35，请求出满足条件的c的值．
20．(2023春•定远县期末）（1）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．
例如：am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（a+b）（m+n）．
①分解因式：ab﹣a﹣b+1；
②若a，b（a＞b）都是正整数且满足ab﹣a﹣b﹣4＝0，求a+b的值；
（2）若a，b为实数且满足ab﹣a﹣b﹣4＝0，s＝a2+3ab+b2+3a﹣b，求s的最小值．
21．(2023春•酒泉期末）阅读与思考：
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．
由（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq得，x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）；
利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式，
例如：将式子x2+3x+2分解因式．
分析：这个式子的常数项2＝1×2，一次项系数3＝1+2，所以x2+3x+2＝x2+（1+2）x+1×2．
解：x2+3x+2＝（x+1）（x+2）
请仿照上面的方法，解答下列问题：
（1）分解因式：x2+7x+12＝ ；
（2）分解因式：（x2﹣3）2+（x2﹣3）﹣2；
（3）填空：若x2+px﹣8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能的值是 ．
22．(2023春•武冈市期末）先阅读材料，再回答问题：
分解因式：（a﹣b）2﹣2（a﹣b）+1
解：设a﹣b＝M，则原式＝M2﹣2M+1＝（M﹣1）2
再将a﹣b＝M还原，得到：原式＝（a﹣b﹣1）2
上述解题中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想，请你用整体思想解决下列问题：
（1）分解因式：（x+y）（x+y﹣4）+4
（2）若a为正整数，则（a﹣1）（a﹣2）（a﹣3）（a﹣4）+1为整数的平方，试说明理由．
23．（2023秋•南昌期末）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，求xy的值；
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，求△ABC的最大边c的值；
（3）已知a﹣b＝8，ab+c2﹣16c+80＝0，求a+b+c的值．
24．（2023春•赣榆区期中）阅读思考：
定义：把一个式子或一个式子的部分改写成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式，这种解题方法叫配方法．
用途：配方法是初中数学一种很重要的变形技巧，是初中数学很重要的一种思想方法，应用很广泛，应用它可以简捷地处理一些解方程、因式分解、化简二次根式、证明恒等式、求代数式的最值问题．
方法：下面用拼图的方法来体会配方的过程．
例如：将代数式x2+2x（即x（x+2））写成（x+h）2+k的形式（其中h、k为常数），配方的过程中，可以看成将一个长是（x+2）、宽是x的矩形割补成一个正方形．
所以，x2+2x＝x2+2x+1﹣1＝（x+1）2﹣1
（1）模仿：用拼图的方法将式子x2+4x写成（x+h）2+k的形式（其中h、k为常数）．
（2）总结：在配方过程中，代数式需要先加上 ，再减去这个数或者代数式；
（3）应用：①x2﹣6x+ ＝（ ）2；
②已知x2﹣2x+y2+8y+17＝0，求（x+y）2的值．
25．（2023春•义乌市期中）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式 ．
（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：
若a+b+c＝15，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝ ．
（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）长方形图形，则x+y+z＝ ．
（4）如图4所示，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接AG和GE，若两正方形的边长满足a+b＝12，ab＝20，你能求出阴影部分的面积吗？
26．（2023春•婺城区校级期末）小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．
（1）他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是 ；
（2）如果要拼成一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要2号卡片 张，3号卡片 张；
（3）当他拼成如图③所示的长方形，根据6张小纸片的面积和等于大纸片（长方形）的面积可以把多项式a2+3ab+2b2分解因式，其结果是 ；
（4）动手操作，请你依照小刚的方法，利用拼图分解因式a2+5ab+6b2
＝ 画出拼图
27．（2023秋•徐闻县期末）阅读下列材料：
材料1、将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）
（1）x2+4x+3＝（x+1）（x+3）（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）
材料2、因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1
解：将“x+y”看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2
再将“A”还原，得：原式＝（x+y+1）2
上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）根据材料1，把x2﹣6x+8分解因式．
（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：
①分解因式：（x﹣y）2+4（x﹣y）+3；
②分解因式：m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3．
（培优特训）专项4.2 因式分解综合高分必刷
1．(2023秋•沙坪坝区校级月考）材料1：一个三位自然数，若百位上的数字与十位上的数字之积再减去百位上的数字与十位上的数字之和所得之差，恰好等于个位上的数字，即ab﹣（a+b）＝c，则称这个三位数为“2020”数．例如：自然数231，因为数字2，3，1满足：2×3﹣（2+3）＝1，所以231是“2020”数；材料2：若一个整数各个数位上的数字之和能被9整除，则这个整数一定能被9整除．例如三位数108的各数位上的数字和为：1+0+8＝9，9÷9＝1，所以108一定能被9整除．根据材料1和2，则小于600且能被9整除的“2020”数为 ．
答案：297，333，369
【解答】解：设三位自然数是“2020”数，且能被9整除，
则ab﹣（a+b）＝c，
∴ab＝a+b+c＝9n（n为整数），
∴小于600且能被9整除的“2020”数为：297，333，369．
2．(2023春•于洪区期末）如图，六块纸板拼成一张大矩形纸板，其中一块是边长为a的正方形，两块是边长为b的正方形，三块是长为a，宽为b的矩形（a＞b）．观察图形，发现多项式a2+3ab+2b2可因式分解为 ．
答案：（a+b）（a+2b）
【解答】解：根据图形得到长方形的面积为：a2+ab+ab+ab+b2+b2＝a2+3ab+2b2，
也可以为（a+b）（a+2b），
则根据此图，多项式a2+3ab+2b2分解因式的结果为（a+b）（a+2b），
故答案为：（a+b）（a+2b）．
3．(2023春•杭州期中）已知实数x，y，z满足x+y+z＝5，且4xy+yz+xz＝3，则z的最大值为 ．
答案：
【解答】解：∵x+y+z＝5，
∴x+z＝5﹣y，y+z＝5﹣x．
∵4xy+yz+xz＝3，
∴xy+yz+xy+xz＝3﹣2xy．
∴y（5﹣y）+x（5﹣x）＝3﹣2xy．
∴5（x+y）﹣3＝（x﹣y）2．
∵x+y＝5﹣z，
∴5（5﹣z）﹣3＝（x﹣y）2．
∵（x﹣y）2≥0，
∴5（5﹣z）﹣3≥0，解得z≤．
故答案为：．
4．(2023秋•日照期末）阅读理解并解答：
【方法呈现】
（1）我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式．在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小（或最大）问题．
例如：x2+2x+3＝（x2+2x+1）+2＝（x+1）2+2，
∵（x+1）2≥0，
∴（x+1）2+2≥2．
则这个代数式x2+2x+3的最小值是 ，这时相应的x的值是 ．
【尝试应用】
（2）求代数式﹣x2+14x+10的最小（或最大）值，并写出相应的x的值．
【拓展提高】
（3）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2＝10a+8b﹣41，且c是△ABC中最长的边，求c的取值范围．
【解答】解：（1）代数式x2+2x+3的最小值是2，这时相应的x的值是﹣1，
故答案为：2，﹣1；
（2）﹣x2+14x+10
＝﹣（x2﹣14x﹣10）
＝﹣[（x﹣7）2﹣49﹣10]
＝﹣[（x﹣7）2﹣59]
＝﹣（x﹣7）2+59，
∵﹣（x﹣7）2≤0，
∴﹣（x﹣7）2+59≤59，
∴代数式﹣x2+14x+10有最大值59，相应的x的值为7；
（3）∵a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2＝10a+8b﹣41，
∴a2+b2﹣10a﹣8b＝﹣41，
∴（a﹣5）2+（b﹣4）2﹣25﹣16＝﹣41，
∴（a﹣5）2+（b﹣4）2＝﹣41+41，
∴（a﹣5）2+（b﹣4）2＝0，
∴a﹣5＝0，b﹣4＝0，
∴a＝5，b＝4，
∵a﹣b＜c＜a+b，
∴1＜c＜9，
∵c是△ABC中最长的边，
∴5＜c＜9．
答：c的取值范围为5＜c＜9．
5．(2023秋•平城区校级期末）综合与实践
如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2．
（1）请直接用含a和b的代数式表示S1＝ ，S2＝ ；写出利用图形的面积关系所得到的公式： （用式子表达）．
（2）依据这个公式，康康展示了“计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）”的解题过程．
解：原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）＝（24﹣1）（24+1）（28+1）＝（28﹣1）（28+1）＝216﹣1．
在数学学习中，要学会观察，尝试从不同角度分析问题，请仿照康康的解题过程计算：2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1．
（3）对数学知识要会举一反三，请用（1）中的公式证明任意两个相邻奇数的平方差必是8的倍数．
【解答】解：（1）根据题意，，S2＝（a+b）（a﹣b），
∵S1＝S2，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：a2﹣b2；（a+b）（a﹣b）；a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
（2）2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1＝（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1＝（32﹣12）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1＝（34﹣1）（34+1）（38+1）（316+1）+1＝（38﹣1）（38+1）（316+1）+1＝（316﹣1）（316+1）+1＝332﹣1+1＝332，
故答案为：332．
（3）设一个奇数为2n﹣1，则另一个相邻的奇数为2n+1，
∴（2n﹣1）2﹣（2n+1）2＝[（2n﹣1）+（2n+1）][（2n﹣1）﹣（2n+1）]＝4n×（﹣2）＝﹣8n，
∴任意两个相邻奇数的平方差必是8的倍数．
6．(2023秋•榆树市校级期末）我们知道，任意一个正整数k都可以进行这样的分解：k＝m×n（m，n是正整数，且m≤n），在k的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称m×n是k的最佳分解，并规定：f（k）＝．例如：18可以分解成1×18，2×9或3×6，因为18﹣1＞9﹣2＞6﹣3，所以3×6是18的最佳分解，所以f（18）＝．
【探索规律】
（1）f（20）＝ ；f（36）＝ ；
（2）若x是正整数，猜想f（x2+2x）＝ ；
【应用规律】
（3）若f（x2+2x）＝，其中x是正整数，求x的值；
（4）若f（x2﹣48）＝1，其中x是正整数，所有x的值的和为 28 ．
【解答】解：（1）∵20＝1×20＝2×10＝4×5，
∵20﹣1＞10﹣2＞5﹣4，
∴4×5是20的最佳分解，
∴f（20）＝，
∵36＝1×36＝2×18＝3×12＝4×9＝6×6，
∵36﹣1＞18﹣2＞12﹣3＞9﹣4＞6﹣6，
∴6×6是36的最佳分解，
∴f（36）＝1，
故答案为：，1；
（2）∵x²+2x＝x（x+2），x与x+2相差2是最小的，
∴x（x+2）是x²+2x的最佳分解，
∴f（x²+2x）＝，
故答案为：；
（3）∵f（x²+2x）＝，
∴f（x²+2x）＝＝，
解得x＝4042，
经检验，x＝4042符合题意，
（4）∵f（x²﹣48）＝1．
∴设x²﹣48＝t²（t为正整数）．
∴（x+4）（x﹣4）＝t²．
∴x﹣4＜t＜x+4，x＞4，x是正整数，
①当t＝x﹣6时，x²﹣48＝（x﹣6）²，
解得：x＝7，符合题意，
②当t＝x﹣5时，x²﹣48＝（x﹣5）²，
解得：x＝7.3，不合题意舍去，
③当t＝x﹣4时，x²﹣48＝（x﹣4）²，
解得x＝8，符合题意，
④当t＝x﹣3时，x²﹣48＝（x﹣3）²，
解得：x＝9.5，不合题意舍去，
⑤当t＝x﹣2时，x²﹣48＝（x﹣2）²，
解得：x＝13，符合题意，
⑥当t＝x﹣1时，x²﹣48＝（x﹣1）²，
解得：x＝24.5，不合题意，舍去，
⑦当t＝x时，x²﹣48＝x²，
无解，
⑧当t＝x+1或x+2，或x+3，或x+4，或x+5，或x+6，时，
x²﹣48＝t²，
x的值都为负数，不合题意，
综上，x＝7或x＝8或x＝13，
7+8+13＝28，
故答案为：28．
7．(2023秋•长寿区期末）阅读下列材料，并解答相应问题：
对于二次三项式x2+2ax+a2这样的完全平方式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式，但是，对于一般的二次三项式，就不能直接应用完全平方公式了，我们可以在二次三项式中先加上一项，使其配成完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变，于是有：
x2+2ax﹣3a2＝x2+2ax+a2﹣a2﹣3a2＝（x+a）2﹣（2a）2＝（x+3a）（x﹣a）
（1）像上面这样把二次三项式分解因式的数学方法是 ；
A．提公因式法 B．十字相乘法 C．配方法 D．公式法
（2）这种方法的关键是 ；
（2）用上述方法把m2﹣6m+8分解因式．
【解答】解：（1）像上面这样把二次三项式分解因式的数学方法是十字相乘法；
（2）这种方法的关键是利用完全平方公式及平方差公式变形；
（3）原式＝m2﹣6m+9﹣1＝（m﹣3）2﹣1＝（m﹣3+1）（m﹣3﹣1）＝（m﹣2）（m﹣4），
故答案为：（1）B；（2）利用完全平方公式及平方差公式变形
8．(2023春•源城区校级期中）先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．
（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：
①ax+by+bx+ay
＝（ax+bx）+（ay+by）
＝x（a+b）+y（a+b）
＝（a+b）（x+y）
②2xy+y2﹣1+x2
＝x2+2xy+y2﹣1
＝（x+y）2﹣1
＝（x+y+1）（x+y﹣1）
（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：
x2+2x﹣3
＝x2+2x+1﹣4
＝（x+1）2﹣22
＝（x+1+2）（x+1﹣2）
＝（x+3）（x﹣1）
请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
（1）分解因式：a2﹣b2+a﹣b；
（2）分解因式：a2+4ab﹣5b2；
（3）多项式x2﹣6x+1有最小值吗？如果有，当它取最小值时x的值为多少？
【解答】解：（1）a2﹣b2+a﹣b
＝（a+b）（a﹣b）+（a﹣b）
＝（a﹣b）（a+b+1）；
（2）a2+4ab﹣5b2＝（a+5b）（a﹣b）；
（3）x2﹣6x+1
＝x2﹣6x+9﹣8
＝（x﹣3）2﹣8
∵（x﹣3）2≥﹣80，
∴（x﹣3）2﹣8≥﹣8，
∴当x＝3时，取最小值为﹣8．
9．(2023春•东台市月考）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“和谐数”，如4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此，4，12，20这三个数都是“和谐数”．
（1）44和2022这两个数是“和谐数”吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数吗？为什么？
（3）求不超过2022的所有“和谐数”之和．
【解答】解：（1）设两个连续的偶数为a，a+2，
（a+2）2﹣a2＝44，
（a+2﹣a）（a+2+a）＝44，
4（a+1）＝44，
解得：a＝10，
即这两个连续偶数为10，12，
∴44是“和谐数”；
（a+2）2﹣a2＝2022，
（a+2﹣a）（a+2+a）＝2022，
4（a+1）＝2022，
解得：a＝504.5（不符合题意），
∴2022不是“和谐数”；
（2）2k+2和2k（其中k取非负整数）构成的“和谐数”为：（2k+2）2﹣（2k）2＝（2k+2﹣2k）（2k+2+2k）＝2（4k+2）＝4（2k+1），
∵4（2k+1）是4的倍数，
∴这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数；
（3）由（2）得到“和谐数”为4（2k+1）（其中k取非负整数），
不超过2022的最大“和谐数”是2020，此时4（2k+1）＝2020，k＝252，
最小“和谐数”是4，此时4（2k+1）＝4，k＝0，
“和谐数”可以表示：8k+4，
当k＝0，1，2，，
所有“和谐数”为：4，12，20，28，36，44，52，，
∴所有“和谐数”的和为：＝1012×253＝256036．
10．(2023秋•思明区校级期中）如图，认真观察下面这些算式，并结合你发现的规律，完成下列问题：
①32﹣12＝8＝8×1，②52﹣32＝16＝8×2，
③72﹣52＝24＝8×3，④92﹣72＝32＝8×4
……
（1）请写出：算式⑤ 112﹣92＝8×5 ；算式⑥ 132﹣112＝8×6 ；
（2）上述算式的规律可以用文字概括为：“两个连续奇数的平方差能被8整除”，请说明这个规律是成立的；
（3）你认为“两个连续偶数的平方差能被8整除”这个说法是否也成立呢？请说明理由．
【解答】解：（1）算式⑤：112﹣92＝8×5；算式⑥：132﹣112＝8×6，
故答案为：112﹣92＝8×5；132﹣112＝8×6；
（2）两个连续奇数的平方差可表示为：（2n+3）2﹣（2n+1）2，
（2n+3）2﹣（2n+1）2
＝（2n+3﹣2n﹣1）（2n+1+2n+3）
＝2（4n+4）
＝8（n+1），
∴两个连续奇数的平方差能被8整除；这个规律成立；
（3）两个连续偶数的平方差可表示为：（2n+2）2﹣（2n）2，
∴（2n+2）2﹣（2n）2
＝（2n+2+2n）（2n+2﹣2n）
＝（4n+2）×2
＝4（2n+1），
∴两个连续偶数的平方差能被4整除，但不能被8整除．
∴“两个连续偶数的平方差能被8整除”这个说法是不成立的．
11．(2023秋•万州区月考）一个四位正整数A满足百位上的数字比千位上的数字小5，且个位上的数字比十位上的数字小5，则称A为“队伍数”，将“队伍数”A的千位和十位数字组成的两位数与百位和个位数字组成的两位数的和记为F（A），将“队伍数”A的千位和百位数字组成的两位数与十位和个位数字组成的两位数的差记为G（A）．例如：四位正整数7261，7﹣2＝5，6﹣1＝5，∴7261是“队伍数”，此时，F（A）＝76+21＝97，G（A）＝72﹣61＝11．
（1）判断：9483，6132是否是“队伍数”，并说明理由，如果是，求F（A），G（A）；
（2）若A是“队伍数”，且满足2F（A）+3G（A）能被7整除，求出所有符合条件的A．
【解答】解：（1）9483是“队伍数”，6132不是“队伍数”，理由如下：
∵9﹣4＝5，8﹣3＝5，
∴9483是“队伍数”，
∵6﹣1＝5，3﹣2≠5，
∴6132不是“队伍数”，
F（9483）＝98+43＝141，
G（9483）＝94﹣83＝11；
（2）设A＝1000a+100（a﹣5）+10b+b﹣5（5＜a≤9，5≤b≤9，a、b均为整数），
则2F（A）+3G（A）＝2{（10a+b）+[10（a﹣5）+（b﹣5）]}+3{[10a+（a﹣5）]﹣[10b+（b﹣5）]}
＝73a﹣29b﹣110
＝7（10a﹣4b﹣15）+3a﹣b﹣5，
∵2F（A）+3G（A）能被7整除，
∴a＝6，b＝6或a＝7，b＝9或a＝8，b＝5或a＝9，b＝8，
∴符号条件的A为6161或7294或8350或9483．
12．(2023春•江北区校级期中）若一个四位数的千位数字和个位数字相等，且各数位上的数字之和大于7，称这样的数为“始终如一数”．对于“始终如一数”n，若其个位数字为a，记．
例如：2232是“始终如一数”，
∵其千位数字和个位数字都等于2，且2+2+3+2＝9＞7
∴2232是“始终如一数”
（1）①判定2102是否为“始终如一数”并说明理由；
②计算D（3423）；
（2）若“始终如一数”n的个位数字是1，且满足是完全平方数，求符合条件的所有n．
【解答】解：（1）①∵2102的个位数字和千位数字相同，但2+1+0+2＝5＜7，
故2102不是“始终如一数”；
②D（3423）＝＝＝339；
（2）∵n的个位数字是1，
∴＝，
∴＝＝，
即是完全平方数，
设n＝1000a+100b+10d+1（a≠0），（0＜a≤9，0≤b，d≤9），
∴＝100a+10b+d，
∵n是“始终如一数”，
∴a＝1，
∴a+b+d+1＞7，
∴b+d＞5，
∴100a+10b+d＝10b+d+100，
①d＝4，b＝4，144＝122，
②d＝6，b＝9，196＝142，
③d＝9，b＝6，169＝132，
∴n可以取144，196，169．
13．(2023春•吴江区期中）阅读材料：
利用公式法，可以将一些形如ax2+bx+c（a≠0）的多项式变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c（a≠0）的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解例如x2+4x﹣5＝x2+4x+（）2﹣（）2﹣5＝（x+2）2﹣9＝（x+2+3）（x+2﹣3）＝（x+3）（x﹣1）．
根据以上材料，解答下列问题．
（1）分解因式（利用公式法）：x2+2x﹣8；
（2）求多项式x2+4x﹣3的最小值；
（3）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，求△ABC的周长．
【解答】解：（1）x2+2x﹣8
＝x2+2x+1﹣1﹣8
＝（x+1）2﹣9
＝（x+1﹣3）（x+1+3）
＝（x﹣2）（x+4）；
（2）设y＝x2+4x﹣3，
y＝x2+4x+4﹣4﹣3，
y＝（x+2）2﹣7，
∴多项式x2+4x﹣3的最小值是﹣7．
（3）a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，
即a2+b2+c2+50﹣6a﹣8b﹣10c＝0，
（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2﹣9﹣16﹣25+50＝0，
（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0，
∴a＝3，b＝4，c＝5，
∴△ABC的周长为3+4+5＝12．
14．(2023春•重庆月考）对任意一个四位正整数m，如果m的百位数字等于个位数字与十位数字之和，m的千位数字等于十位数字的2倍与个位数字之和，那么称这个数m为“筋斗数”．例如：m＝5321，满足1+2＝3，2×2+1＝5，所以5321是“筋斗数”．例如：m＝8523，满足2+3＝5，但2×2+3＝7≠8，所以8523不是“筋斗数”．
（1）判断5413和9582是不是“筋斗数”，并说明理由；
（2）若m是“筋斗数”，且m与25的和能被11整除，求满足条件的所有“筋斗数”m．
【解答】解：（1）5413是“筋斗数”，9582不是“筋斗数“，理由如下：
∵4＝1+3，5＝2×1+3，
∴5413是“筋斗数“；
∵5≠8+2，
∴982不是“筋斗数“；
（2）设m的个位数为a，0≤a≤9，十位数为b，0≤b≤9，且a、b为整数，
∵m是“筋斗数”，
∴m的百位数为a+b，千位数为2b+a；
∴m＝1000 （2b+a）+100 （a+b）+10b+a＝1100a+110b+2000b+a，
∵m与25的和能被11整除，
∴1100a+110b+1991b+9b+a+25能被11整除，
∴2b+a≤9且a、b为整数，
∵1100a+110b+1991b能被l1整除，
∴9b+a+25能被11整除，
∴b＝0时，a＝8或b＝1时，a＝10（舍去）或b＝2，a＝1或b＝3，a＝3或b＝4，a＝5，
∴a+b＝8，2b+a＝9或a+b＝3，2b+a＝5或a+b＝6，2b+a＝9或a+b＝9，2b+a＝13 （不合题意舍去），
∴满足条件的所有“筋斗数”m的值为8808或5321或9633．
15．(2023秋•丰泽区校级期末）阅读材料：利用公式法，可以将一些形如ax2+bx+c（a≠0）的多项式变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c（a≠0）的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．
例如：．
根据以上材料，解答下列问题．
（1）分解因式：x2+2x﹣3；
（2）求多项式x2+6x﹣9的最小值；
（3）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，求△ABC的周长．
【解答】解：（1）x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣1﹣3＝（x+1）2﹣4＝（x+1﹣2）（x+1+2）＝（x﹣1）（x+3）；
（2）x2+6x﹣9＝x2+6x+（）2﹣﹣9＝（x+3）2﹣18，
∵（x+3）2≥0，
∴（x+3）2﹣18≥﹣18，
∴多项式x2+6x﹣9的最小值为﹣18；
（3）∵a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，
∴a2+b2+c2+50﹣6a﹣8b﹣10c＝0，
即a2﹣6a+9+b2﹣8b+16+c2﹣10c+25﹣9﹣16﹣25+50＝0，
∴（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0，
∴a＝3，b＝4，c＝5，
∴△ABC的周长为3+4+5＝12．
16．（2023秋•丰泽区校级期末）阅读材料并解决问题：
材料一：若一个三位数，满足百位数小于十位数，十位数等于个位数，则称这个三位数为“长平数”；
材料二：若一个三位数，将它的三个数字、三个数字两两乘积、三个数字的乘积相加，恰好等于它本身，则称这个三位数为“长久数”．
如：123≠1+2+3+1×2+2×3+1×3+1×2×3，所以123不是“长久数”．
（1）最小的“长平数”为 122 ；999 是 “长久数”；（填“是”或“不是”）
（2）若一个三位数既是“长平数”又是“长久数”，且它既能被3整除，又能被7整除，求满足这样条件的所有三位数；
（3）求最小的“长久数”．
【解答】解：（1）∵一个三位数，满足百位数小于十位数，十位数等于个位数，则称这个三位数为“长平数”，
∴最小的“长平数”的百位数字为1，十位数字与个位数字为2，
∴最小的“长平数”为：122；
∵9+9+9+81+81+81+9×9×9＝27+243+729＝999，
∴999是“长久数”；
故答案为：122；是；
（2）设这个数的百位数字为a，十位数字为b，
∵这个数是“长平数”，
∴这个三位数为：100a+10b+b，
∵这个数是“长久数”，
∴a+b+b+2ab+b2+ab2＝100a+10b+b．
化简可得：2ab+b2+ab2＝99a+9b．
∴b[（b+2）a+b]＝9（11a+b）．
∴，
∴b＝9．
∴这个三位数为：199，299，399，499，599，699，799，899，
∵它既能被3整除，又能被7整除，
∴满足这样条件的三位数是399．
（3）设这个最小的“长久数”为100+10a+b，
则1+a+b+a+b+ab+ab＝100+10a+b．
化简整理可得：（2a+1）（b﹣4）＝95＝5×19，
∴或．
解得：（不合题意，舍去）或．
∴最小的“长久数”是199．
17．（2023秋•思明区校级期末）任意一个四位正整数，如果它的千位数字与百位数字的和是7，十位数字与个位数字的和为8，那么我们把这样的数称为“七上八下数”．例如：3453 的千位数字与百位数字的和为：3+4＝7，十位数字与个位数字的和为：5+3＝8，所以3453是一个七上八下数”：3452的十位数字与个位数字的和为：5+2≠8，所以3452不是一个“七上八下数”．
（1）判断2571和4425是不是“七上八下数”？并说明理由；
（2）若对于一个七上八下数 m，交换其百位数字和十位数字得到新数m'，并且定义F（m）＝，若F（m）与m个位数字的135倍的和刚好为一个正整数的平方，求出满足条件的所有“七上八下数”m，并说明理由．
【解答】解：（1）2571是“七上八下数”，4425不是“七上八下数”，理由如下：
∵2571 的千位数字与百位数字的和为：2+5＝7，十位数字与个位数字的和为：7+1＝8，
∴2571是一个“七上八下数”，
∵4425 的千位数字与百位数字的和为：4+4＝8≠7，十位数字与个位数字的和为：2+5＝7≠8，
∴4425不是一个“七上八下数”；
（2）设“七上八下数”m＝1000a+100b+10c+d，其中a+b＝7，c+d＝8，
1≤a≤7，0≤b≤6，0≤c≤8，0≤d≤8，且a，b，c，d为整数，则：
交换其百位数字和十位数字得到新数m'＝1000a+100c+10b+d，
∴F（m）＝
＝
＝
＝
＝
＝45（b﹣c），
∵F（m）与m个位数字的135倍的和刚好为一个正整数的平方，
∴设F（m）+135d＝n2，n为正整数，
∴45（b﹣c）+135d＝n2，
∴b﹣c+3d＝，
∵0≤b≤6，0≤c≤8，0≤d≤8，且b，c，d为整数，
∴是正整数，
∴n能被3×5整除，
∵c+d＝8，
∴c＝8﹣d，
∴b﹣（8﹣d）+3d＝，
即b+4d＝+8，
∴b＝+8﹣4d，
当d＝0时，b＝+8＞8，不合题意，舍去；
当d＝1时，b＝+4，
∵0≤b≤6，
∴＝0或1或2，
∵n为正整数，
∴没有符合条件的n；
当d＝2时，b＝，
∵0≤b≤6，
∴＝0或1或2或3或4或5或6，
∵n为正整数，
∴只有＝5满足条件，
此时，b＝5，d＝2，a＝7﹣b＝2，c＝8﹣d＝6，
∴m＝2562；
当d＝3时，b＝﹣4，
∵0≤b≤6，
∴＝4或5或6或7或8或9或10，
∵n为正整数，
∴只有＝5满足条件，
此时，b＝1，d＝3，a＝7﹣b＝6，c＝8﹣d＝5，
∴m＝6153；
当d＝4时，b＝﹣8，
∵0≤b≤6，
∴＝8或9或10或11或12或13或14，
∵n为正整数，
∴此时没有满足条件的n；
当d＝5时，b＝﹣12，
∵0≤b≤6，
∴＝12或13或14或15或16或17或18，
∵n为正整数，
∴此时没有满足条件的n；
当d＝6时，b＝﹣16，
∵0≤b≤6，
∴＝16或17或18或19或20或21或22，
∵n为正整数，
∴只有＝20满足条件，
此时，b＝4，d＝6，a＝7﹣b＝3，c＝8﹣d＝2，
∴m＝3426；
当d＝7时，b＝﹣20，
∵0≤b≤6，
∴＝20或21或22或23或24或25或26，
∵n为正整数，
∴只有＝20满足条件，
此时，b＝0，d＝7，a＝7﹣b＝7，c＝8﹣d＝1，
∴m＝7017；
当d＝8时，b＝﹣24，
∵0≤b≤6，
∴＝24或25或26或27或28或29或30，
∵n为正整数，
∴此时没有满足条件的n；
综上所述，满足条件的所有“七上八下数”m为2562、6153、3426、7017．
18．（2023秋•天山区校级期末）所谓完全平方式，就是对一个整式M，如果存在另一个整式N，使M＝N2，则称M是完全平方式，如：x4＝（x2）2、x2+2xy+y2＝（x+y）2，则称x4、x2+2xy+y2是完全平方式．
（1）下列各式中是完全平方式的编号有 ②、⑤、⑥ ．
①a2+4a+4b2；②4x2；③x2﹣xy+y2；④y2﹣10y﹣25；⑤x2+12x+36；⑥﹣2a+49．
（2）已知a、b、c是△ABC的三边长，满足a2+b2+2c2＝2c（a+b），判定△ABC的形状．
（3）证明：多项式x（x+4）2（x+8）+64是一个完全平方式．
【解答】解：（1）②4x2＝（2x）2，是完全平方式．
⑤x2+12x+36＝（x+6）2，是完全平方式．
⑥，是完全平方式．
故答案是：②、⑤、⑥．
（2）∵a2+b2+2c2＝2ac+2bc，
∴a2+b2+2c2﹣2ac﹣2bc＝0．
∴（a﹣c）2+（b﹣c）2＝0．
∴．
∴a＝b＝c．
∴△ABC是等边三角形．
（3）x（x+4）2（x+8）+64
＝x（x+8）（x+4）2+64
＝（x2+8x）（x2+8x+16）+64
＝（x2+8x）2+16（x2+8x）+64
＝[（x2+8x）+8]2
＝（x2+8x+8）2，
∴多项式x（x+4）2（x+8）+64是完全平方式．
19．(2023春•重庆期末）定义：对任意一个两位数a，如果a满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“迥异数”．将一个“迥异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为f（a）．
例如：a＝12，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为21+12＝33，和与11的商为33÷11＝3，所以f（12）＝3．根据以上定义，回答下列问题：
（1）填空：
①下列两位数：50，63，77中，“迥异数”为 63 ；
②计算：f（32）＝ 5 ．
（2）如果一个“迥异数”b的十位数字是k，个位数字是2（k+1），且f（b）＝11，请求出“迥异数”b．
（3）如果一个“迥异数”c，满足c﹣5f（c）＞35，请求出满足条件的c的值．
【解答】解：（1）①由定义“个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为迥异数”可知，50，63，77中，“迥异数”为63．
故答案为：63．
②f（32）＝（32+23）÷11＝5．
故答案为：5．
（2）∵这个“迥异数”b的十位数字是k，个位数字是2（k+1），
∴b＝10×k+2（k+1）＝12k+2．
将这个数的个位和十位调换后为：10×2（k+1）+k＝21k+20，
∴f（b）＝（12k+2+21k+20）÷11＝3k+2，
又f（b）＝11，
∴3k+2＝11，
∴k＝3．
故这个“迥异数”b＝12k+2＝38．
（3）设这个“迥异数”c的个位为n，十位为m，则m≠n，且m，n均为大于1小于10的正整数．
则c＝10m+n，调换个位和十位后为：10n+m，
故f（c）＝（10m+n+10n+m）÷11＝m+n，
∵c﹣5f（c）＞35，
∴10m+n﹣5（m+n）＞35．
整理得：5m﹣4n＞35，
∴，
即……①．
又∵m≤9，
∴，
解得：n＜2.5，
又n为正整数，
故n＝1或2，
当n＝1时，代入①中，m＝8或9，此时c＝81或91；
当n＝2时，代入①中，m＝9，此时c＝92；
故所有满足条件的c有：81或91或92．
20．(2023春•定远县期末）（1）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．
例如：am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（a+b）（m+n）．
①分解因式：ab﹣a﹣b+1；
②若a，b（a＞b）都是正整数且满足ab﹣a﹣b﹣4＝0，求a+b的值；
（2）若a，b为实数且满足ab﹣a﹣b﹣4＝0，s＝a2+3ab+b2+3a﹣b，求s的最小值．
【解答】解：（1）①ab﹣a﹣b+1
＝（ab﹣a）﹣（b﹣1）
＝a（b﹣1）﹣（b﹣1）
＝（a﹣1）（b﹣1）．
②由题得ab﹣a﹣b+1＝5，即（a﹣1）（b﹣1）＝5．
∵a，b为正整数且a＞b，
∴，即．
∴a+b＝8．
（2）由题得ab＝a+b+4．
∴
＝
＝
＝．
∵，
∴（当且仅当时取等号）．
经验证：满足ab﹣a﹣b﹣4＝0，
综上，s的最小值为．
21．(2023春•酒泉期末）阅读与思考：
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．
由（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq得，x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）；
利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式，
例如：将式子x2+3x+2分解因式．
分析：这个式子的常数项2＝1×2，一次项系数3＝1+2，所以x2+3x+2＝x2+（1+2）x+1×2．
解：x2+3x+2＝（x+1）（x+2）
请仿照上面的方法，解答下列问题：
（1）分解因式：x2+7x+12＝ （x+3）（x+4） ；
（2）分解因式：（x2﹣3）2+（x2﹣3）﹣2；
（3）填空：若x2+px﹣8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能的值是 ±7，±2 ．
【解答】解：（1）x2+7x+12＝（x+3）（x+4），
故答案为：（x+3）（x+4）；
（2）原式＝（x2﹣3﹣1）（x2﹣3+2）
＝（x2﹣4）（x2﹣1）
＝（x+2）（x﹣2）（x+1）（x﹣1）；
（3）若x2+px﹣8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是﹣8+1＝﹣7；﹣1+8＝7；﹣2+4＝2；﹣4+2＝﹣2，
故答案为：±7，±2．
22．(2023春•武冈市期末）先阅读材料，再回答问题：
分解因式：（a﹣b）2﹣2（a﹣b）+1
解：设a﹣b＝M，则原式＝M2﹣2M+1＝（M﹣1）2
再将a﹣b＝M还原，得到：原式＝（a﹣b﹣1）2
上述解题中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想，请你用整体思想解决下列问题：
（1）分解因式：（x+y）（x+y﹣4）+4
（2）若a为正整数，则（a﹣1）（a﹣2）（a﹣3）（a﹣4）+1为整数的平方，试说明理由．
【解答】解：（1）设M＝x+y，
则原式＝M（M﹣4）+4＝M2﹣4M+4＝（M﹣2）2，
将M＝x+y代入还原可得原式＝（x+y﹣2）2；
（2）原式＝（a﹣1）（a﹣4）（a﹣2）（a﹣3）+1
＝（a2﹣5a+4）（a2﹣5a+6）+1
令N＝a2﹣5a+4，
∵a为正整数，
∴N＝（a﹣1）（a﹣4）＝a2﹣5a+4也是整数，
则原式＝N（N+2）+1
＝N2+2N+1
＝（N+1）2，
∵N为整数，
∴原式＝（N+1）2即为整数的平方．
23．（2023秋•南昌期末）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，求xy的值；
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，求△ABC的最大边c的值；
（3）已知a﹣b＝8，ab+c2﹣16c+80＝0，求a+b+c的值．
【解答】解：（1）∵x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，
∴（x2﹣2xy+y2）+（y2+6y+9）＝0，
∴（x﹣y）2+（y+3）2＝0，
∴x﹣y＝0，y+3＝0，
∴x＝﹣3，y＝﹣3，
∴xy＝（﹣3）×（﹣3）＝9，
即xy的值是9．
（2）∵a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，
∴（a2﹣10a+25）+（b2﹣12b+36）＝0，
∴（a﹣5）2+（b﹣6）2＝0，
∴a﹣5＝0，b﹣6＝0，
∴a＝5，b＝6，
∵6﹣5＜c＜6+5，c≥6，
∴6≤c＜11，
∴△ABC的最大边c的值可能是6、7、8、9、10．
（3）∵a﹣b＝8，ab+c2﹣16c+80＝0，
∴a（a﹣8）+16+（c﹣8）2＝0，
∴（a﹣4）2+（c﹣8）2＝0，
∴a﹣4＝0，c﹣8＝0，
∴a＝4，c＝8，b＝a﹣8＝4﹣8＝﹣4，
∴a+b+c＝4﹣4+8＝8，
即a+b+c的值是8．
24．（2023春•赣榆区期中）阅读思考：
定义：把一个式子或一个式子的部分改写成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式，这种解题方法叫配方法．
用途：配方法是初中数学一种很重要的变形技巧，是初中数学很重要的一种思想方法，应用很广泛，应用它可以简捷地处理一些解方程、因式分解、化简二次根式、证明恒等式、求代数式的最值问题．
方法：下面用拼图的方法来体会配方的过程．
例如：将代数式x2+2x（即x（x+2））写成（x+h）2+k的形式（其中h、k为常数），配方的过程中，可以看成将一个长是（x+2）、宽是x的矩形割补成一个正方形．
所以，x2+2x＝x2+2x+1﹣1＝（x+1）2﹣1
（1）模仿：用拼图的方法将式子x2+4x写成（x+h）2+k的形式（其中h、k为常数）．
（2）总结：在配方过程中，代数式需要先加上 一次项系数一半的平方 ，再减去这个数或者代数式；
（3）应用：①x2﹣6x+ 32 ＝（ x﹣3 ）2；
②已知x2﹣2x+y2+8y+17＝0，求（x+y）2的值．
【解答】解（1）拼图方式如下：

（2）根据完全平方式，代数式需要加上一次项系数一半的平方，
故答案是：一次项系数一半的平方；
（3）①x2﹣2•x•3+32＝（x﹣3）2，
故答案是：32，x+3；
②由x2﹣2x+y2+8y+17＝0得
（x2﹣2x+1）+（y2+8y+16）＝0，
∴（x﹣1）2+（y+4）2＝0，
∴，
∴，
∴（x+y）2＝（1﹣4）2＝9．
25．（2023春•义乌市期中）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式 （a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc ．
（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：
若a+b+c＝15，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝ 155 ．
（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）长方形图形，则x+y+z＝ 9 ．
（4）如图4所示，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接AG和GE，若两正方形的边长满足a+b＝12，ab＝20，你能求出阴影部分的面积吗？
【解答】解：（1）∵大正方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
又∵大正方形的面积＝（a+b+c）2，
∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
（2）由（1）得a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣（2ab+2bc+2ac），
∵a+b+c＝15，ab+ac+bc＝35，
∴a2+b2+c2＝225﹣2×35＝155，
故答案为：155．
（3））∵（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2，
∴x＝2，y＝2，z＝5，
∴x+y+z＝9，
故答案为：9．
（4）由图可知，S阴影＝S正方形ABCD+S正方形CEFG﹣S△ABG﹣S△EFG，
∴S阴影＝＝＝，
将a+b＝12，ab＝20代入，
得原式＝．
∴阴影部分的面积为42．
26．（2023春•婺城区校级期末）小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．
（1）他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是 （a+b）2＝a2+2ab+b2 ；
（2）如果要拼成一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要2号卡片 2 张，3号卡片 3 张；
（3）当他拼成如图③所示的长方形，根据6张小纸片的面积和等于大纸片（长方形）的面积可以把多项式a2+3ab+2b2分解因式，其结果是 （a+2b）•（a+b） ；
（4）动手操作，请你依照小刚的方法，利用拼图分解因式a2+5ab+6b2＝ （a+2b）（a+3b） 画出拼图．
【解答】解：（1）这个乘法公式是（a+b）2＝a2+2ab+b2，
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2．
（2）由如图③可得要拼成一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要2号卡片2张，3号卡片3张；
故答案为：2，3．
（3）由图③可知矩形面积为（a+2b）•（a+b），所以a2+3ab+2b2＝（a+2b）•（a+b），
故答案为：（a+2b）•（a+b）．
（4）a2+5ab+6b2＝（a+2b）（a+3b），
如图，
故答案为：（a+2b）（a+3b）．
27．（2023秋•徐闻县期末）阅读下列材料：
材料1、将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）
（1）x2+4x+3＝（x+1）（x+3）（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）
材料2、因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1
解：将“x+y”看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2
再将“A”还原，得：原式＝（x+y+1）2
上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）根据材料1，把x2﹣6x+8分解因式．
（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：
①分解因式：（x﹣y）2+4（x﹣y）+3；
②分解因式：m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3．
【解答】解：（1）x2﹣6x+8＝（x﹣2）（x﹣4）；
（2）①令A＝x﹣y，
则原式＝A2+4A+3＝（A+1）（A+3），
所以（x﹣y）2+4（x﹣y）+3＝（x﹣y+1）（x﹣y+3）；
②令B＝m2+2m，
则原式＝B（B﹣2）﹣3
＝B2﹣2B﹣3
＝（B+1）（B﹣3），
所以原式＝（m2+2m+1）（m2+2m﹣3）
＝（m+1）2（m﹣1）（m+3）