浙教版七年级数学下册专题5.4分式方程及应用(知识解读)(原卷版+解析)

这是一份浙教版七年级数学下册专题5.4分式方程及应用(知识解读)(原卷版+解析)，共23页。

1. 了解解分式方程的基本思路和解法．
2. 掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法．
3. 体会解分式方程过程中的化归思想．
4. 结合利用分式方程解决实际问题的实例，进一步体会方程是刻画实际问题数量关系的一
种重要数学模型
【知识点梳理】
考点1：分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫分式方程.
注意：
分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.
分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.
分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.
（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.
考点2：分式方程的解法
解分式方程的一般步骤：
（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；
（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；
（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.

考点3：分式方程应用
类型一：工程问题
类型二：行程问题
类型三：销售问题
类型四：方案问题
【典例分析】
【考点1 分式方程定义】
【典例1】(2023春•方城县期中）给出下列方程：，，，，其中分式方程的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式1-1】（2023秋•鱼台县期末）下列方程中不是分式方程的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-2】（2023秋•西峰区期末）下列关于x的方程是分式方程的是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2023秋•南岗区期末）下列方程中，是分式方程的是（ ）
A．+＝1B．x+＝2C．2x＝x﹣5D．x﹣4y＝1
【考点2 解分式方程】
【典例2】(2023春•雁塔区校级期末）解方程：
（1）； （2）＝1．
【变式2-1】(2023春•淮安期末）解分式方程：+3＝﹣．
【变式2-2】(2023春•洪泽区期末）解方程：﹣＝1．
【变式2-3】(2023春•海州区期末）解分式方程：
（1）； （2）．
【变式2-4】(2023春•溧阳市期末）解下列分式方程：
（1）＝； （2）＝﹣3；
（3）﹣＝2； （4）+＝．
【考点3 分式方程应用类型】
类型一 工程问题
【典例3】(2023春•闵行区校级期末）某工程队承担了修建地铁两个站点间2400米的隧道工程任务，由于采用了新技术，现在每个月比原计划多掘进了180米，因而比原计划提前3个月完成任务．
（1）求完成此项工程原计划每个月掘进多少米？
（2）如果每天的施工费用为2.5万元，那么该工程队现在完成此项工程共需多少万元？（每个月按30天算）
【变式3-1】(2023春•涟水县期末）某校为美化校园环境，计划对面积为1200m2的区域进行绿化，现安排甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的1.5倍，并且在独立完成面积为360m2区域的绿化时，甲队比乙队少用2天．求甲、乙两工程队每天能绿化的面积分别是多少m2？
【变式3-2】(2023春•瑶海区期末）某建工集团下有甲、乙两个工程队，现中标承建一段公路，若甲、乙两工程队合做20天可完成；若让两队合做15天后，剩下的工程由甲队独做，还需15天才能完成．
（1）甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？
（2）如果甲工程队施工每天需付施工费10000元，乙工程队施工每天需付施工费26000元，此项工程若由甲工程队先独做若干天后，乙工程队再加入共同完成剩下的工程，则甲工程队至少要独做多少天，才能使施工费不超过680000元？
【变式3-3】(2023•桂林模拟）为了进一步丰富市民的休闲生活，某区政府决定在漓江沿岸扩建5400米绿道并进行招标，根据招标结果，该工程由甲、乙两个工程队参与建设．已知：甲工程队每天完成的工程量是乙队的1.2倍，甲队单独完成工程比乙队单独完成少用10天．
（1）求乙队每天能完成多少米？
（2）若甲、乙两个工程队合作20天后，剩余工程由乙工程队单独完成，求乙工程队还需多少天？
类型二 行程问题
【典例4】（2023•北碚区校级开学）小李从A地出发去相距4.5千米的B地上班，他每天出发的时间都相同．第一天步行去上班结果迟到了5分钟．第二天骑自行车去上班结果早到10分钟．已知骑自行车的速度是步行速度的1.5倍．
（1）求小李步行的速度和骑自行车的速度；
（2）有一天小李骑自行车出发，出发1.5千米后自行车发生故障．小李立即跑步去上班（耽误时间忽略不计）为了至少提前5分钟到达．则跑步的速度至少为多少千米每小时？
【变式4-1】（2023秋•安丘市期末）星期天，小明和小芳从同一小区门口同时出发，沿同一路线去离该小区1800米的少年宫参加活动，为响应“节能环保，绿色出行”的号召，两人都步行，已知小明的速度是小芳的速度的1.2倍，结果小明比小芳早6分钟到达，求小芳的速度．
2．（2012•山西模拟）列方程或方程组解应用题：
为响应低碳号召，肖老师上班的交通方式由自驾车改为骑自行车，肖老师家距学校15千米，因为自驾车的速度是骑自行车速度的4倍，所以肖老师每天比原来早出发45分钟，才能按原时间到校，求肖老师骑自行车每小时走多少千米．
【变式4-2】（2023•扬州模拟）近年来，我市大力发展城市快速交通，小王开车从家到单位有两条路线可选择，路线A为全程25km的普通道路，路线B包含快速通道，全程30km，走路线B比走路线A平均速度提高50%，时间节省6min，求走路线B的平均速度．
类型三：销售问题
【典例5】（泰安）某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚T恤衫，甲种款型共用了7800元，乙种款型共用了6400元，甲种款型的件数是乙种款型件数的1.5倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元．
（1）甲、乙两种款型的T恤衫各购进多少件？
（2）商店进价提高60%标价销售，销售一段时间后，甲款型全部售完，乙款型剩余一半，商店决定对乙款型按标价的五折降价销售，很快全部售完，求售完这批T恤衫商店共获利多少元？
【变式5-1】(2023春•田东县期末）“芒果正宗，源自田东”．田东的桂七芒果，皮薄肉细，多汁香甜、营养丰富、品质上乘，被誉为“果中一绝，果之上品”．现某芒果园有甲、乙两支专业采摘队，已知甲队比乙队每天多采摘600公斤芒果，甲队采摘28800公斤芒果所用的天数与乙队采摘19200公斤芒果所用的天数相同．问甲、乙两队每天分别可采摘芒果多少公斤？
【变式5-2】(2023春•锦州期末）2022年北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”以其呆萌可爱、英姿飒爽形象，深受大家喜爱．某商店第一次用3600元购进一批“冰墩墩”玩具，很快售完；该商店第二次购进该“冰墩墩”玩具时，进价提高了20%，同样用3600元购进的数量比第一次少了10件．
（1）求第一次购进的“冰墩墩”玩具每件的进价是多少元；
（2）若两次购进的“冰墩墩”玩具每件售价均为80元，求该商店两次购进的“冰墩墩”玩具全部售完的总利润是多少元？
【变式5-3】(2023春•大观区校级期末）某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同．
（1）求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？
（2）若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，且购进甲、乙两种商品的总数量不超过95个，则商场最多购进乙商品多少个？
类型四 方案问题
【典例6】（2023春•桐城市期末）某社区准备建造A，B两类摊位共80个，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米，建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元，用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的．
（1）求每个B类摊位占地面积．
（2）要求建A类摊位的数量不少于26个，且建造两类摊位的总费用不超过18320元．
①共有哪几种建造方案？
②最少费用是 元．
【变式6-1】（2023秋•德江县期中）为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场．现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息：
信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天；
信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍．
根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？
【变式6-2】（2023•龙马潭区模拟）某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同．
（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？
（2）商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1000元，求商场共有几种进货方案？
【变式6-3】（2023•龙门县模拟）为了创建全国卫生城市，某社区要清理一个卫生死角内的垃圾，租用甲、乙两车运送，两车各运12趟可完成，需支付运费4800元．已知甲、乙两车单独运完此堆垃圾，乙车所运趟数是甲车的2倍，且乙车每趟运费比甲车少200元．
（1）求甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需运多少趟？
（2）若单独租用一台车，租用哪台车合算？
【变式6-4】（2023春•花都区校级月考）学校计划选购甲、乙两种图书作为“校园读书节”的奖品．已知甲图书的单价是乙图书单价的1.5倍；用600元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少10本．
（1）甲、乙两种图书的单价分别为多少元？
（2）若学校计划购买这两种图书共40本，且投入的经费不超过1050元，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量，则共有几种购买方案？
专题5.4 分式方程及应用（知识解读）
【学习目标】
1. 了解解分式方程的基本思路和解法．
2. 掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法．
3. 体会解分式方程过程中的化归思想．
4. 结合利用分式方程解决实际问题的实例，进一步体会方程是刻画实际问题数量关系的一
种重要数学模型
【知识点梳理】
考点1：分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫分式方程.
注意：
分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.
分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.
分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.
（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.
考点2：分式方程的解法
解分式方程的一般步骤：
（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；
（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；
（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.

考点3：分式方程应用
类型一：工程问题
类型二：行程问题
类型三：销售问题
类型四：方案问题
【典例分析】
【考点1 分式方程定义】
【典例1】(2023春•方城县期中）给出下列方程：，，，，其中分式方程的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
答案：B
【解答】解：根据分式方程的定义可知：分式方程有＝2，＝，共有2个．
故选：B．
【变式1-1】（2023秋•鱼台县期末）下列方程中不是分式方程的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解答】解：A、分母中含未知数，是分式方程，故此选项不符合题意；
B、分母中含未知数，是分式方程，故此选项不符合题意；
C、分母中不含未知数，不是分式方程，故此选项符合题意；
D、分母中含未知数，是分式方程，故此选项不符合题意．
故选：C．
【变式1-2】（2023秋•西峰区期末）下列关于x的方程是分式方程的是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解答】解：选项A、B、D是整式方程，不符合题意；
选项C，是分式方程，符合题意；
故选：C．
【变式1-3】（2023秋•南岗区期末）下列方程中，是分式方程的是（ ）
A．+＝1B．x+＝2C．2x＝x﹣5D．x﹣4y＝1
答案：B
【解答】解：A、该方程是一元一次方程，故本选项不符合题意；
B、该方程符合分式方程的定义，故本选项符合题意；
C、该方程是一元一次方程，故本选项不符合题意；
D、该方程是二元一次方程，故本选项不符合题意；
故选：B．
【考点2 解分式方程】
【典例2】(2023春•雁塔区校级期末）解方程：
（1）； （2）＝1．
【解答】解：（1）﹣1＝，
方程两边都乘x﹣2，得4x﹣（x﹣2）＝﹣3，
解得：x＝﹣，
检验：当x＝﹣时，x﹣2≠0，
所以x＝﹣是原方程的解，
即原方程的解是x＝﹣；
（2）﹣＝1，
﹣＝1，
方程两边都乘（x+3）（x﹣3），得x（x+3）﹣18＝（x+3）（x﹣3），
解得：x＝3，
检验：当x＝3时，（x+3）（x﹣3）＝0，
所以x＝3是增根，
即原分式方程无解．
【变式2-1】(2023春•淮安期末）解分式方程：+3＝﹣．
【解答】解：去分母得：2﹣x+3（x﹣3）＝﹣1，
解得：x＝3，
检验：把x＝3代入得：x﹣3＝0，
∴x＝3是增根，分式方程无解．
【变式2-2】(2023春•洪泽区期末）解方程：﹣＝1．
【解答】解：去分母得：x（x+2）﹣5（x﹣2）＝x（x﹣2），
整理得：x2+2x﹣5x+10＝x2﹣2x，
解得：x＝10，
检验：把x＝10代入得：x（x﹣2）≠0，
∴分式方程的解为x＝10．
【变式2-3】(2023春•海州区期末）解分式方程：
（1）； （2）．
【解答】解：（1）两边乘（x﹣3）（3x﹣1），得2（3x﹣1）＝3（x﹣3），
解得：x＝﹣，
检验：当x＝﹣时，（x﹣3）（3x﹣1）≠0，
所以x＝﹣是原方程的解．
（2）方程两边同乘（x﹣1）（x+1），得（x+1）2﹣4＝x2﹣1．
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，（x﹣1）（x+1）＝0，
所以x＝1是增根，原方程无解．
【变式2-4】(2023春•溧阳市期末）解下列分式方程：
（1）＝； （2）＝﹣3；
（3）﹣＝2； （4）+＝．
【解答】解：（1）去分母得：6﹣2x＝4+x，
解得：x＝，
检验：把x＝代入得：2（x+4）≠0，
∴分式方程的解为x＝；
（2）去分母得：2x﹣5＝3x﹣7﹣3x+6，
解得：x＝2，
检验：把x＝2代入得：x﹣2＝0，
∴x＝2是增根，原方程无解；
（3）去分母得：x2+x（x+2）＝2x2﹣8，
解得：x＝﹣4，
检验：把x＝﹣4代入得：（x+2）（x﹣2）≠0，
∴分式方程的解为x＝﹣4；
（4）去分母得：3x﹣9+2x＝x+3，
解得：x＝3，
检验：把x＝3代入得：（x+3）（x﹣3）＝0，
∴x＝3是增根，原方程无解．
【考点3 分式方程应用类型】
类型一 工程问题
【典例3】(2023春•闵行区校级期末）某工程队承担了修建地铁两个站点间2400米的隧道工程任务，由于采用了新技术，现在每个月比原计划多掘进了180米，因而比原计划提前3个月完成任务．
（1）求完成此项工程原计划每个月掘进多少米？
（2）如果每天的施工费用为2.5万元，那么该工程队现在完成此项工程共需多少万元？（每个月按30天算）
【解答】解：（1）设完成此项工程原计划每个月掘进x米，则现在每个月掘进（x+180）米．
根据题意，得：﹣＝3，
整理，得：x2+180x﹣144000＝0．
解得：x1＝﹣480，x2＝300．
经检验：x1＝﹣480，x2＝300都是原方程的解，但x1＝﹣480不符合题意，舍去．
答：完成此项工程原计划每个月掘进300米．
（2）×2.5×30＝375（万元）．
答：该工程队现在完成此项工程共需375万元．
【变式3-1】(2023春•涟水县期末）某校为美化校园环境，计划对面积为1200m2的区域进行绿化，现安排甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的1.5倍，并且在独立完成面积为360m2区域的绿化时，甲队比乙队少用2天．求甲、乙两工程队每天能绿化的面积分别是多少m2？
【解答】解：设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，则甲工程队每天能完成绿化的面积是1.5xm2，
依题意，得：，
解得：x＝60，
经检验，x＝60是原方程的解．
∴1.5x＝90．
答：甲工程队每天能完成绿化的面积是90m2，乙工程队每天能完成绿化的面积是60m2．
【变式3-2】(2023春•瑶海区期末）某建工集团下有甲、乙两个工程队，现中标承建一段公路，若甲、乙两工程队合做20天可完成；若让两队合做15天后，剩下的工程由甲队独做，还需15天才能完成．
（1）甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？
（2）如果甲工程队施工每天需付施工费10000元，乙工程队施工每天需付施工费26000元，此项工程若由甲工程队先独做若干天后，乙工程队再加入共同完成剩下的工程，则甲工程队至少要独做多少天，才能使施工费不超过680000元？
【解答】解：（1）设甲队单独完成此项工程需x天，
由题意得：×15+＝1，
解得：x＝60，
经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意，
∵﹣＝﹣＝，
∴乙工程队单独完成此项工程需要30天，
答：甲队单独完成此项工程需60天，乙工程队单独完成此项工程需要30天；
（2）设甲工程队要独做a天，乙工程队做了b天，
由题意得：+＝1，
整理得：a+3b＝60，
∴b＝20﹣a，
∵施工费不超过680000元，
∴10000（a+b）+26000b≤680000，
∴10000（a+20﹣a）+26000（20﹣a）≤680000，
解得：a≥20，
答：甲工程队至少要独做20天．
【变式3-3】(2023•桂林模拟）为了进一步丰富市民的休闲生活，某区政府决定在漓江沿岸扩建5400米绿道并进行招标，根据招标结果，该工程由甲、乙两个工程队参与建设．已知：甲工程队每天完成的工程量是乙队的1.2倍，甲队单独完成工程比乙队单独完成少用10天．
（1）求乙队每天能完成多少米？
（2）若甲、乙两个工程队合作20天后，剩余工程由乙工程队单独完成，求乙工程队还需多少天？
【解答】解：（1）设乙队每天能完成x米．则甲工程队每天完成1.2x米，
由题意可得：，
解得：x＝90，
经检验，x＝90是原方程的解，且符合题意．
答：乙队每天能完成90米；
（2）设乙工程队还需y天．
由题意可得：1.2×90×20+90（20+y）＝5400，
解得：y＝16，
答：乙工程队还需16天．
类型二 行程问题
【典例4】（2023•北碚区校级开学）小李从A地出发去相距4.5千米的B地上班，他每天出发的时间都相同．第一天步行去上班结果迟到了5分钟．第二天骑自行车去上班结果早到10分钟．已知骑自行车的速度是步行速度的1.5倍．
（1）求小李步行的速度和骑自行车的速度；
（2）有一天小李骑自行车出发，出发1.5千米后自行车发生故障．小李立即跑步去上班（耽误时间忽略不计）为了至少提前5分钟到达．则跑步的速度至少为多少千米每小时？
【解答】解：（1）设小李步行的速度为x千米/小时，则骑自行车的速度为1.5x千米/小时，
由题意得：﹣＝+，
解得：x＝6，
经检验，x＝6是原方程的解，
则1.5x＝9，
答：小李步行的速度为6千米/小时，则骑自行车的速度为9千米/小时；
（2）小李骑自行车出发1.5千米所用的时间为1.5÷9＝（小时），
小李每天出发的时间都相同，距离上班的时间为：4.5÷9+10÷60＝（小时），
设小李跑步的速度为m千米/小时，
由题意得：1.5+（﹣﹣）m≥4.5，
解得：m≥7.2，
答：小李立即跑步去上班（耽误时间忽略不计）为了至少提前5分钟到达．则跑步的速度至少为7.2千米每小时．
【变式4-1】（2023秋•安丘市期末）星期天，小明和小芳从同一小区门口同时出发，沿同一路线去离该小区1800米的少年宫参加活动，为响应“节能环保，绿色出行”的号召，两人都步行，已知小明的速度是小芳的速度的1.2倍，结果小明比小芳早6分钟到达，求小芳的速度．
【解答】解：设小芳的速度是x米/分钟，则小明的速度是1.2x米/分钟，根据题意得：
﹣＝6，
解得：x＝50，
经检验x＝50是原方程的解，
答：小芳的速度是50米/分钟．
2．（2012•山西模拟）列方程或方程组解应用题：
为响应低碳号召，肖老师上班的交通方式由自驾车改为骑自行车，肖老师家距学校15千米，因为自驾车的速度是骑自行车速度的4倍，所以肖老师每天比原来早出发45分钟，才能按原时间到校，求肖老师骑自行车每小时走多少千米．
【解答】列方程或方程组解应用题：
解：设肖老师骑自行车每小时走x千米．
根据题意得：，
解得x＝15，
经检验x＝15是原方程的解，并符合实际意义，
答：肖老师骑自行车每小时走15千米．
【变式4-2】（2023•扬州模拟）近年来，我市大力发展城市快速交通，小王开车从家到单位有两条路线可选择，路线A为全程25km的普通道路，路线B包含快速通道，全程30km，走路线B比走路线A平均速度提高50%，时间节省6min，求走路线B的平均速度．
【解答】解：设走路线A的平均速度为xkm/h，则走路线B的平均速度为（1+50%）xkm/h，
依题意，得：﹣＝，
解得：x＝50，
经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意，
∴（1+50%）x＝75．
答：走路线B的平均速度为75km/h．
类型三：销售问题
【典例5】（泰安）某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚T恤衫，甲种款型共用了7800元，乙种款型共用了6400元，甲种款型的件数是乙种款型件数的1.5倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元．
（1）甲、乙两种款型的T恤衫各购进多少件？
（2）商店进价提高60%标价销售，销售一段时间后，甲款型全部售完，乙款型剩余一半，商店决定对乙款型按标价的五折降价销售，很快全部售完，求售完这批T恤衫商店共获利多少元？
【解答】解：（1）设乙种款型的T恤衫购进x件，则甲种款型的T恤衫购进1.5x件，依题意有
+30＝，
解得x＝40，
经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意，
1.5x＝60．
答：甲种款型的T恤衫购进60件，乙种款型的T恤衫购进40件；
（2）＝160，
160﹣30＝130（元），
130×60%×60+160×60%×（40÷2）﹣160×[1﹣（1+60%）×0.5]×（40÷2）
＝4680+1920﹣640
＝5960（元）
答：售完这批T恤衫商店共获利5960元．
【变式5-1】(2023春•田东县期末）“芒果正宗，源自田东”．田东的桂七芒果，皮薄肉细，多汁香甜、营养丰富、品质上乘，被誉为“果中一绝，果之上品”．现某芒果园有甲、乙两支专业采摘队，已知甲队比乙队每天多采摘600公斤芒果，甲队采摘28800公斤芒果所用的天数与乙队采摘19200公斤芒果所用的天数相同．问甲、乙两队每天分别可采摘芒果多少公斤？
【解答】解：设乙队每天可采摘芒果x公斤，则甲队每天可采摘芒果（x+600）公斤，
依题意得：＝，
解得：x＝1200，
经检验，x＝1200是原方程的解，且符合题意，
∴x+600＝1200+600＝1800．
答：甲队每天可采摘芒果1800公斤，乙队每天可采摘芒果1200公斤．
【变式5-2】(2023春•锦州期末）2022年北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”以其呆萌可爱、英姿飒爽形象，深受大家喜爱．某商店第一次用3600元购进一批“冰墩墩”玩具，很快售完；该商店第二次购进该“冰墩墩”玩具时，进价提高了20%，同样用3600元购进的数量比第一次少了10件．
（1）求第一次购进的“冰墩墩”玩具每件的进价是多少元；
（2）若两次购进的“冰墩墩”玩具每件售价均为80元，求该商店两次购进的“冰墩墩”玩具全部售完的总利润是多少元？
【解答】解：（1）设第一次购进的“冰墩墩”玩具每件的进价为x元，则第二次购进的“冰墩墩”玩具每件的进价为（1+20%）x元，
依题意得：﹣＝10，
解得：x＝60，
经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意．
答：第一次购进的“冰墩墩”玩具每件的进价为60元．
（2）第一次购进的“冰墩墩”玩具的数量为3600÷60＝60（件），
第二次购进的“冰墩墩”玩具的数量为3600÷[60×（1+20%）]＝50（件）．
80×（60+50）﹣3600﹣3600＝1600（元）．
答：两次的总利润为1600元．
【变式5-3】(2023春•大观区校级期末）某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同．
（1）求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？
（2）若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，且购进甲、乙两种商品的总数量不超过95个，则商场最多购进乙商品多少个？
【解答】解：（1）设每个甲商品的进价为x元，则每个乙商品的进价为（x+2）元，
依题意得：＝，
解得：x＝8，
经检验，x＝8是原方程的解，且符合题意，
∴x+2＝8+2＝10．
答：每个甲商品的进价为8元，每个乙商品的进价为10元．
（2）设购进m个乙商品，则购进（3m﹣5）个甲商品，
依题意得：3m﹣5+m≤95，
解得：m≤25．
答：商场最多购进乙商品25个．
类型四 方案问题
【典例6】（2023春•桐城市期末）某社区准备建造A，B两类摊位共80个，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米，建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元，用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的．
（1）求每个B类摊位占地面积．
（2）要求建A类摊位的数量不少于26个，且建造两类摊位的总费用不超过18320元．
①共有哪几种建造方案？
②最少费用是 元．
【解答】解：（1）设每个B类摊位占地面积为x平方米，则每个A类摊位占地面积为（x+2）平方米，
依题意得：＝×，
解得：x＝6，
经检验，x＝6是原方程的解，且符合题意．
答：每个B类摊位占地面积为6平方米．
（2）每个A类摊位的建造费用为40×（6+2）＝320（元），
每个B类摊位的建造费用为30×6＝180（元）．
①设建造m个A类摊位，则建造（80﹣m）个B类摊位，
依题意得：，
解得：26≤m≤28．
又∵m为整数，
∴m可以为26，27，28，
∴共有3种建造方案，
方案1：建造26个A类摊位，54个B类摊位；
方案2：建造27个A类摊位，53个B类摊位；
方案3：建造28个A类摊位，52个B类摊位．
②建造方案1所需费用为320×26+180×54＝8320+9720＝18040（元）；
建造方案2所需费用为320×27+180×53＝8640+9540＝18180（元）；
建造方案3所需费用为320×28+180×52＝8960+9360＝18320（元）．
∵18040＜18180＜18320，
∴最少费用是18040元．
故答案为：18040．
【变式6-1】（2023秋•德江县期中）为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场．现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息：
信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天；
信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍．
根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？
【解答】解：设甲工厂每天加工x件产品，则乙工厂每天加工1.5x件产品，
依题意得﹣＝10，
解得：x＝40．
经检验：x＝40是原方程的根，且符合题意．所以1.5x＝60．
答：甲工厂每天加工40件产品，乙工厂每天加工60件产品．
【变式6-2】（2023•龙马潭区模拟）某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同．
（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？
（2）商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1000元，求商场共有几种进货方案？
【解答】解：设甲种玩具进价x元/件，则乙种玩具进价为（40﹣x）元/件，
＝
x＝15，
经检验x＝15是原方程的解．
∴40﹣x＝25．
甲，乙两种玩具分别是15元/件，25元/件；
（2）设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具（48﹣y）件，
，
解得20≤y＜24．
因为y是整数，甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，
∴y取20，21，22，23，
共有4种方案．
【变式6-3】（2023•龙门县模拟）为了创建全国卫生城市，某社区要清理一个卫生死角内的垃圾，租用甲、乙两车运送，两车各运12趟可完成，需支付运费4800元．已知甲、乙两车单独运完此堆垃圾，乙车所运趟数是甲车的2倍，且乙车每趟运费比甲车少200元．
（1）求甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需运多少趟？
（2）若单独租用一台车，租用哪台车合算？
【解答】解：（1）设甲车单独运完此堆垃圾需运x趟，则乙车单独运完此堆垃圾需运2x趟，根据题意得出：
12（+）＝1，
解得：x＝18，
经检验得出：x＝18是原方程的解，
则乙车单独运完此堆垃圾需运：2x＝36，
答：甲车单独运完需18趟，乙车单独运完需36趟；
（2）设甲车每一趟的运费是a元，由题意得：
12a+12（a﹣200）＝4800，
解得：a＝300，
则乙车每一趟的费用是：300﹣200＝100（元），
单独租用甲车总费用是：18×300＝5400（元），
单独租用乙车总费用是：36×100＝3600（元），
3600＜5400，
故单独租用一台车，租用乙车合算．
答：单独租用一台车，租用乙车合算．
【变式6-4】（2023春•花都区校级月考）学校计划选购甲、乙两种图书作为“校园读书节”的奖品．已知甲图书的单价是乙图书单价的1.5倍；用600元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少10本．
（1）甲、乙两种图书的单价分别为多少元？
（2）若学校计划购买这两种图书共40本，且投入的经费不超过1050元，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量，则共有几种购买方案？
【解答】解：（1）设乙种图书的单价为x元，则甲种图书的单价为1.5x元，由题意得
﹣＝10
解得：x＝20
则1.5x＝30，
经检验得出：x＝20是原方程的根，
答：甲种图书的单价为30元，乙种图书的单价为20元；
（2）设购进甲种图书a本，则购进乙种图书（40﹣a）本，根据题意得
解得：20≤a≤25，
所以a＝20、21、22、23、24、25，则40﹣a＝20、19、18、17、16、15
∴共有6种方案．