中考数学重难点专题题位训练及押题预测专题8填空题压轴题之动点问题(原卷版+解析)

这是一份中考数学重难点专题题位训练及押题预测专题8填空题压轴题之动点问题(原卷版+解析)，共77页。试卷主要包含了2022中考真题训练，有关圆的动点问题，2023中考押题预测等内容，欢迎下载使用。
类型一 用函数观点描述几何图形
1．(2023•烟台）如图1，△ABC中，∠ABC＝60°，D是BC边上的一个动点（不与点B，C重合），DE∥AB，交AC于点E，EF∥BC，交AB于点F．设BD的长为x，四边形BDEF的面积为y，y与x的函数图象是如图2所示的一段抛物线，其顶点P的坐标为（2，3），则AB的长为 ．
2．(2023•营口）如图1，在四边形ABCD中，BC∥AD，∠D＝90°，∠A＝45°，动点P，Q同时从点A出发，点P以2cm/s的速度沿AB向点B运动（运动到B点即停止），点Q以2cm/s的速度沿折线AD→DC向终点C运动，设点Q的运动时间为x（s），△APQ的面积为y（cm2），若y与x之间的函数关系的图象如图2所示，当x=72（s）时，则y＝ cm2．
3．(2023•湖北）如图1，在△ABC中，∠B＝36°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C匀速运动至点C停止．若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为t（s），AP的长度为y（cm），y与t的函数图象如图2所示．当AP恰好平分∠BAC时t的值为 ．
类型二 三角形、多边形上的动点问题
4．(2023•遵义）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点M，N分别为BC，AC上的动点，且AN＝CM，AB=2．当AM+BN的值最小时，CM的长为 ．
5．(2023•黄石）如图，等边△ABC中，AB＝10，点E为高AD上的一动点，以BE为边作等边△BEF，连接DF，CF，则∠BCF＝ ，FB+FD的最小值为 ．
6．(2023•广州）如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB，点P为边AD上的一个动点，线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BP′，连接PP′，CP′．当点P′落在边BC上时，∠PP′C的度数为 ；当线段CP′的长度最小时，∠PP′C的度数为 ．
7．(2023•柳州）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中点，点E是正方形内一个动点，且EG＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，则线段CF长的最小值为 ．

8．(2023•辽宁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，点P为斜边AB上的一个动点（点P不与点A、B重合），过点P作PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分别为点D和点E，连接DE，PC交于点Q，连接AQ，当△APQ为直角三角形时，AP的长是 ．
9．(2023•陕西）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，BD＝7．若M、N分别是边AD、BC上的动点，且AM＝BN，作ME⊥BD，NF⊥BD，垂足分别为E、F，则ME+NF的值为 ．
10．(2023•盘龙区）如图，已知四边形ABCD中，AB＝10cm，BC＝8cm，CD＝12cm，∠B＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度沿B﹣C﹣B运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为 cm/s时，能够使△BPE与△CQP全等．
类型三 有关圆的动点问题
11．(2023•宁波）如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，点O在BC上，以OB为半径的圆与AC相切于点A．D是BC边上的动点，当△ACD为直角三角形时，AD的长为 ．
12．(2023•东城区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A与点B的坐标分别是（1，0）与（7，0）．对于坐标平面内的一动点P，给出如下定义：若∠APB＝45°，则称点P为线段AB的“等角点”．
①若点P为线段AB在第一象限的“等角点”，且在直线x＝4上，则点P的坐标为 ；
②若点P为线段AB的“等角点”，并且在y轴正半轴上，则点P的坐标为 ．
模块二 2023中考押题预测
13．(2023•驻马店二模）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AD＝BC＝CD＝4，点M是四边形ABCD内的一个动点，满足∠AMD＝90°，则点M到直线BC的距离的最小值为 ．
14．(2023•普定县模拟）如图，点M是∠AOB平分线上一点，∠AOB＝60°，ME⊥OA于E，OE=5，如果P是OB上一动点，则线段MP的取值范围是 ．
15．(2023•徐州二模）如图，在等边三角形ABC中，AB＝2，点D，E，F分别是边BC，AB，AC边上的动点，则△DEF周长的最小值为 ．
16．(2023•仁怀市模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝8，点D为边AB的中点，点P为边AC上的动点，则PB+PD的最小值为 ．

17．(2023•亭湖区校级三模）在平面直角坐标系中，A（3，3），B（6，0），点D、E是OB的三等分点，点P是线段AB上的一个动点，若只存在唯一一个点P使得PD+PE＝a，则a需满足的条件是： ．
18．(2023•夏邑县校级模拟）如图，在等腰三角形ABC中，∠A＝30°，BC＝2，点D为AC的中点，点E为边AB上一个动点，连接DE，点A关于直线DE的对称点为点F，分别连接DF，EF，当EF⊥AC时，AE的长为 ．
19．(2023•新昌县模拟）在△ABC中，∠A＝60°，点P和点Q分别是边AC和BC上的两个动点，分别连结BP和PQ．把△ABC分割成三个三角形．若分割成的这三个三角形都是等腰三角形，则∠ABC的度数可以是 ．
20．(2023•新化县一模）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝75°，AB＝5．点E为边AC上的动点，点F为边AB上的动点，则线段FE+EB的最小值是 ．
21．(2023•顺城区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC＝6，点M是射线AC上的一个动点，MC＝1，连接BM，以AB为边在AB的上方作∠ABE＝∠AMB，直线BE交AC的延长线于点F，则CF＝ ．
23．(2023•碧江区 一模）如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝7，AC＝4，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，P是直线m上的一动点，则△APC的周长的最小值为 ．
24．(2023•抚顺县二模）如图，在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），点C在边AB上，且ACCB=13，点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为 ．
25．(2023•德保县二模）如图，在平面直角坐标系中，△OAB是边长为4的等边三角形，OD是AB边上的高，点P是OD上的一个动点，若点C的坐标是（0，−3），则PA+PC的最小值是 ．
26．(2023•元宝区校级一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点B出发以每秒1个单位长度的速度沿B→A匀速运动；同时点Q从点A出发以同样的速度沿A→C→B匀速运动．当点P到达点A时，P、Q同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为 时，以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形．
27．(2023•大理州二模）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，AC＝5cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为ts，当△APB为等腰三角形时，t的值为 ．

28．(2023•锡山区校级模拟）如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，∠ABC的平分线与线段AC交于点D，且有AD＝BD，点E是线段AB上的动点（与A、B不重合），连结DE，当△BDE是等腰三角形时，则AE的长为 ．
29．(2023•衡南县校级二模）等腰△ABC的底边BC＝8cm，腰长AB＝5cm，一动点P在底边上从点B开始向点C以0.25cm/秒的速度运动，当点P运动到PA与腰垂直的位置时，点P运动的时间应为 秒．
30．(2023•大冶市校级模拟）如图，已知四边形ABCD是正方形AB=22，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连CG．
（1）CE+CG＝ ；
（2）若四边形DEFG面积为5时，则CG＝ ．
31．(2023•玉树市校级一模）如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝4，P是AB边一个动点，E、F分别是DP、BP的中点，则线段EF的长为 ．
32．(2023•浉河区校级模拟）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝5，点F是AB的中点，点E为AD上一动点，作△AEF关于直线EF的对称图形，点A的对应点为点A′，作△A′EF关于直线A′E的对称图形，点F的对应点为F'．当点F'落在矩形ABCD的边上时，AE的长为 ．
33．(2023•嵩县模拟）如图，四边形ABCD和AEFG都是正方形，点E是AB边上一个动点，点G在AD边上，AB=2cm，连接BF，CF，若△BCF恰为等腰三角形，则AE的长为 cm．
34．(2023•赣州模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝2，点E是边CD的中点，点P在AB边上运动，点F为DP的中点；当△DEF为等腰三角形时，则AP的长为 ．
35．(2023•华龙区校级模拟）如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E为对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG，点H是CD上一点，且DH=23CD，连接GH，则GH的最小值为 ．
36．(2023•柘城县校级二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC=2，点E为射线AD上的动点（不与点A，D重合），点A关于直线BE的对称点为A'，连接A'B，A'D，A'C，当△A'BC是以BC为底边的等腰三角形时，AE的长为 ．
37．(2023•武汉模拟）如图，菱形ABCD中，AB＝5，BD＝45，动点E、F分别在边AD、BC上，且AE＝CF，过点B作BP⊥EF于P，当E点从A点运动到D点时，线段CP的长度的取值范围为 ．
38．(2023•保亭县二模）如图1，在矩形ABCD中，点E在CD上，∠AEB＝90°，点P从点A出发，沿A→E→B的路径匀速运动到点B停止，作PQ⊥CD于点Q，设点P运动的路程为x，PQ长为y，若y与x之间的函数关系图象如图2，则BC的长为 ；当x＝6时，PQ的长为 ．
39．(2023•丹江口市模拟）已知定点P（a，b），且动点Q（x，y）到点P的距离等于定长r，根据平面内两点间距离公式可得（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，这就是到定点P的距离等于定长r圆的方程．已知一次函数的y＝﹣2x+10的图象交y轴于点A，交x轴于点B，C是线段AB上的一个动点，则当以OC为半径的⊙C的面积最小时，⊙C的方程为
40．(2023•香洲区校级三模）如图正方形ABCD的边长为3，E是BC上一点且CE＝1，F是线段DE上的动点．连接CF，将线段CF绕点C逆时针旋转90°得到CG，连接EG，则EG的最小值是 ．
41．(2023•韶关模拟）如图，已知正方形ABCD中，AB＝2，点E为BC边上一动点（不与点 B、C重合），连接AE，将AE绕点E顺时针旋转90得到EF，连接CF，连接AF与CD相交于点G，连接DF，当DF最小时，四边形CEGF的面积是 ．
42．(2023•珠海校级三模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点P是线段BC上一动点，将线段PA绕点P顺时针转90°得到线段PA'，连接DA'，则DA'的最小值为 ．
43．(2023•仁怀市模拟）如图，在等边△ABC中，AD是BC边上的高，点E是AD上一动点，连接CE，将线段CE绕点E顺时针旋转60°得到线段FE，连接AF，若AB＝4，AF=19，则CF的长为 ．
44．(2023•大庆二模）如图是边长为2的等边三角形ABC，D为△ABC内（包括△ABC的边）一动点，且满足CD2＝AD2+BD2，则CD的长度m的取值范围为 ．
45．(2023•雁塔区校级模拟）如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E为边BC上一动点，将点A绕点E顺时针旋转90°得到点F，则DF的最小值为 ．
46．(2023•沈阳二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，点E（不与点B重合）是BC边上一个动点，将线段EB绕点E顺时针旋转90°得到线段EF，当△DFC是直角三角形时，那么BE的长是 ．
47．(2023•台山市校级一模）△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝24，点D为△ABC的对称轴上一动点，过点D作⊙O与BC相切，BD与⊙O相交于点E，那么AE的最大值为 ．
48．(2023•蓬江区校级一模）矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，点P为矩形内一个动点．且满足∠PBC＝∠PCD，则线段PD的最小值为 ．
49．(2023•芜湖二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝4．点F为射线CB上一动点，过点C作CM⊥AF于M，交AB于E，D是AB的中点，则DM长度的最小值是 ．
50．(2023•周至县一模）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AD平分∠BAC，BC＝6，点O为线段AD上的动点，若以点O为圆心，1为半径的⊙O在△ABC内（⊙O可以与△ABC的边相切），则点D到⊙O上的点的距离最大值为 ．
51．(2023•丹东模拟）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，0），B（2，0），点M是y轴上的一个动点，当∠BMA＝30°时，点M的坐标为 ．
52．(2023•常山县模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E为AD上一点，且AE＝2，F为BC边上的动点，以EF为直径作⊙O，当⊙O与矩形的边相切时，BF的长为 ．
53．(2023•元宝区校级模拟）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AD＝BC＝CD＝4，点M是四边形ABCD内的一个动点，满足∠AMD＝90°，则△MBC面积的最小值为 ．
54．(2023•亭湖区校级一模）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过B点的切线交AC的延长线于点D，E为弦AC的中点，AD＝6，BD＝4，若点P为直径AB上的一个动点，连接EP，若△AEP与△ABD相似，AP的长 ．

55．(2023•柯桥区一模）如图，在平面直角坐标系中，M、N、C三点的坐标分别为（1，2），（6，2），（6，0）．点A为线段MN上的一个动点，连接AC，过点A作AB⊥AC交y轴于点B．当点A从M运动到N时，点B随之运动，点B经过的路径长是 ．
专题8填空题压轴题之动点问题（解析版）
模块一 2022中考真题训练
类型一 用函数观点描述几何图形
1．(2023•烟台）如图1，△ABC中，∠ABC＝60°，D是BC边上的一个动点（不与点B，C重合），DE∥AB，交AC于点E，EF∥BC，交AB于点F．设BD的长为x，四边形BDEF的面积为y，y与x的函数图象是如图2所示的一段抛物线，其顶点P的坐标为（2，3），则AB的长为 ．
思路引领：根据抛物线的对称性知，BC＝4，作FH⊥BC于H，当BD＝2时，▱BDEF的面积为3，则此时BF=3，AB＝2BF，即可解决问题．
解：∵抛物线的顶点为（2，3），过点（0，0），
∴x＝4时，y＝0，
∴BC＝4，
作FH⊥BC于H，当BD＝2时，▱BDEF的面积为3，
∵3＝2FH，
∴FH=32，
∵∠ABC＝60°，
∴BF=32sin60°=3，
∵DE∥AB，
∴AB＝2BF＝23，
故答案为：23．
总结提升：本题主要考查了动点的函数图象问题，抛物线的对称性，平行四边形的性质，特殊角的三角函数值等知识，求出BC＝4是解题的关键．
2．(2023•营口）如图1，在四边形ABCD中，BC∥AD，∠D＝90°，∠A＝45°，动点P，Q同时从点A出发，点P以2cm/s的速度沿AB向点B运动（运动到B点即停止），点Q以2cm/s的速度沿折线AD→DC向终点C运动，设点Q的运动时间为x（s），△APQ的面积为y（cm2），若y与x之间的函数关系的图象如图2所示，当x=72（s）时，则y＝ 354 cm2．
思路引领：根据题意以及函数图像可得出△AED∽△APQ，则点Q在AD上运动时，△APQ为等腰直角三角形，然后根据三角形面积公式得出当面积最大为9时，此时x＝3，则AD＝2x＝6cm，当3＜x≤4时，过点P作PF⊥AD于点F，结合面积公式，分别表示出相关线段可得y与x之间的函数解析式，最后代入求解即可．
解：过点D作DE⊥AB，垂足为E，
在Rt△ADE中，
∵∠AED＝90°，∠EAD＝45°，
∴AEAD=22，
∵点P的速度为2cm/s，点Q的速度为2cm/s，
∴AP=2x，AQ＝2x，
∴APAQ=2x2x=22，
在△APQ和△AED中，
AEAD=APAQ=22，∠A＝45°，
∴△AED∽△APQ，
∴点Q在AD上运动时，△APQ为等腰直角三角形，
∴AP＝PQ=2x，
∴当点Q在AD上运动时，y=12AP•AQ=12×2x×2x＝x2，
由图像可知，当y＝9此时面积最大，x＝3或﹣3（负值舍去），
∴AD＝2x＝6cm，
当3＜x≤4时，过点P作PF⊥AD于点F，如图：
此时S△APQ＝S△APF+S四边形PQDF﹣S△ADQ，
在Rt△APF中，AP=2x，∠PAF＝45°，
∴AF＝PF＝x，FD＝6﹣x，QD＝2x﹣6，
∴S△APQ=12x2+12（x+2x﹣6）•（6﹣x）−12×6×（2x﹣6），
即y＝﹣x2+6x，
当x=72时，y＝﹣（72）2+6×72=354，
故答案为：354．
总结提升：本题考查了动点问题的函数图像，注意分类讨论，求出各段函数的函数关系式是解答本题的关键．
3．(2023•湖北）如图1，在△ABC中，∠B＝36°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C匀速运动至点C停止．若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为t（s），AP的长度为y（cm），y与t的函数图象如图2所示．当AP恰好平分∠BAC时t的值为 25+2 ．
思路引领：由图象可得AB＝BC＝4cm，通过证明△APC∽△BAC，可求AP的长，即可求解．
解：如图，连接AP，
由图2可得AB＝BC＝4cm，
∵∠B＝36°，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠C＝72°，
∵AP平分∠BAC，
∴∠BAP＝∠PAC＝∠B＝36°，
∴AP＝BP，∠APC＝72°＝∠C，
∴AP＝AC＝BP，
∵∠PAC＝∠B，∠C＝∠C，
∴△APC∽△BAC，
∴APAB=PCAC，
∴AP2＝AB•PC＝4（4﹣AP），
∴AP＝25−2＝BP，（负值舍去），
∴t=4+25−21=25+2，
故答案为：25+2．
总结提升：本题是动点问题的函数图象，考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．
类型二 三角形、多边形上的动点问题
4．(2023•遵义）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点M，N分别为BC，AC上的动点，且AN＝CM，AB=2．当AM+BN的值最小时，CM的长为 2−2 ．
思路引领：过点A作AH⊥BC于点H．设AN＝CM＝x．AM+BN=12+(1−x)2+(2)2+x2，欲求AM+BN的最小值，相当于在x轴上寻找一点P（x，0），到E（1，1），F（0，2）的距离和的最小值，如图1中，作点F关于x轴的对称点F′，当E，P，F′共线时，PE+PF的值最小，此时直线EF′的解析式为y＝（2+1）x−2，求出点P的坐标，可得结论．
解：过点A作AH⊥BC于点H．设AN＝CM＝x．
∵AB＝AC=2，∠BAC＝90°，
∴BC=(2)2+(2)2=2，
∵AH⊥BC，
∴BH＝AH＝1，
∴AH＝BH＝CH＝1，
∴AM+BN=12+(1−x)2+(2)2+x2，
欲求AM+BN的最小值，相当于在x轴上寻找一点P（x，0），到E（1，1），F（0，2）的距离和的最小值，如图1中，
作点F关于x轴的对称点F′，当E，P，F′共线时，PE+PF的值最小，
此时直线EF′的解析式为y＝（2+1）x−2，
当y＝0时，x＝2−2，
∴AM+BN的值最小时，CM的值为2−2，
解法二：过点C作CE⊥CB，使得CE＝AC，连接EM，过点A作AD⊥BC于点D．
∵AB＝AC＝CE，∠BAN＝∠ECM＝90°，AN＝CM，
∴△BAN≌△ECM（SAS），
∴BN＝EM，
∴AM+BN＝AM+ME，
∴当A，M，E共线时，AM+BN的值最小，
∵AD∥EC，
∴CMDM=CEAD=2，
∴CM=21+2×1＝2−2．
故答案为：2−2．
总结提升：本题考查等腰直角三角形的性质，轴对称最短问题，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
5．(2023•黄石）如图，等边△ABC中，AB＝10，点E为高AD上的一动点，以BE为边作等边△BEF，连接DF，CF，则∠BCF＝ 30° ，FB+FD的最小值为 53 ．
思路引领：首先证明△BAE≌△BCF（SAS），推出∠BAE＝∠BCF＝30°，作点D关于CF的对称点G，连接CG，DG，BG，BG交CF于点F′，连接DF′，此时BF′+DF′的值最小，最小值＝线段BG的长．
解：如图，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥CB，
∴∠BAE=12∠BAC＝30°，
∵△BEF是等边三角形，
∴∠EBF＝∠ABC＝60°，BE＝BF，
∴∠ABE＝∠CBF，
在△BAE和△BCF中，
BA=BC∠ABE=∠CBFBE=BF，
∴△BAE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE＝∠BCF＝30°，
作点D关于CF的对称点G，连接CG，DG，BG，BG交CF的延长线于点F′，连接DF′，此时BF′+DF′的值最小，最小值＝线段BG的长．
∵∠DCF＝∠FCG＝30°，
∴∠DCG＝60°，
∵CD＝CG＝5，
∴△CDG是等边三角形，
∴DB＝DC＝DG，
∴∠CGB＝90°，
∴BG=BC2−CG2=102−52=53，
∴BF+DF的最小值为53，
故答案为：30°，53．
总结提升：本题考查旋转的性质，等边三角形的性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
6．(2023•广州）如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB，点P为边AD上的一个动点，线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BP′，连接PP′，CP′．当点P′落在边BC上时，∠PP′C的度数为 120° ；当线段CP′的长度最小时，∠PP′C的度数为 75° ．
思路引领：如图，以AB为边向右作等边△ABE，连接EP′．利用全等三角形的性质证明∠BEP′＝90°，推出点P′在射线EP′上运动，如图1中，设EP′交BC于点O，再证明△BEO是等腰直角三角形，可得结论．
解：如图，以AB为边向右作等边△ABE，连接EP′．
∵△BPP′是等边三角形，
∴∠ABE＝∠PBP′＝60°，BP＝BP′，BA＝BE，
∴∠ABP＝∠EBP′，
在△ABP和△EBP′中，
BA=BE∠ABP=∠EBP′BP=BP′，
∴△ABP≌△EBP′（SAS），
∴∠BAP＝∠BEP′＝90°，
∴点P′在射线EP′上运动，
如图1中，设EP′交BC于点O，
当点P′落在BC上时，点P′与O重合，此时∠PP′C＝180°﹣60°＝120°，
当CP′⊥EP′时，CP′的长最小，此时∠EBO＝∠OCP′＝30°，
∴EO=12OB，OP′=12OC，
∴EP′＝EO+OP′=12OB+12OC=12BC，
∵BC＝2AB，
∴EP′＝AB＝EB，
∴∠EBP′＝∠EP′B＝45°，
∴∠BP′C＝45°+90°＝135°，
∴∠PP′C＝∠BP′C﹣∠BP′P＝135°﹣60°＝75°．
故答案为：120°，75°．
总结提升：本题考查旋转的性质，矩形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
7．(2023•柳州）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中点，点E是正方形内一个动点，且EG＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，则线段CF长的最小值为 25−2 ．
思路引领：连接DG，将DG绕点D逆时针旋转90°得DM，连接MG，CM，MF，作MH⊥CD于H，利用SAS证明△EDG≌△DFM，得MF＝EG＝2，再说明△DGC≌△DMH（AAS），得CG＝DH＝2，MH＝CD＝4，求出CM的长，再利用三角形三边关系可得答案．
解：连接DG，将DG绕点D逆时针旋转90°得DM，连接MG，CM，MF，
作MH⊥CD于H，
∵∠EDF＝∠GDM，
∴∠EDG＝∠FDM，
∵DE＝DF，DG＝DM，
∴△EDG≌△MDF（SAS），
∴MF＝EG＝2，
∵∠GDC＝∠DMH，∠DCG＝∠DHM，DG＝DM，
∴△DGC≌△MDH（AAS），
∴CG＝DH＝2，MH＝CD＝4，
∴CM=42+22=25，
∵CF≥CM﹣MF，
∴CF的最小值为25−2，
故答案为：25−2．
总结提升：本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
8．(2023•辽宁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，点P为斜边AB上的一个动点（点P不与点A、B重合），过点P作PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分别为点D和点E，连接DE，PC交于点Q，连接AQ，当△APQ为直角三角形时，AP的长是 3或23 ．
思路引领：由已知求出AB＝4，AC＝23，再分∠APQ＝90°和∠AQP＝90°两种情况进行讨论，即可求出答案．
解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，
∴∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC＝2×2＝4，
∴AC=AB2−BC2=42−22=23，
当∠APQ＝90°时，如图1，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，
∴∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC＝2×2＝4，
∴AC=AB2−BC2=42−22=23，
∵∠APQ＝∠ACB＝90°，∠CAP＝∠BAC，
∴△CAP∽△BAC，
∴CAAP=ABAC，即23AP=423，
∴AP＝3，
当∠AQP＝90°时，如图2，
∵PD⊥AC，PE⊥BC，∠ACB＝90°，
∴四边形DPEC是矩形，
∴CQ＝QP，
∵∠AQP＝90°，
∴AQ垂直平分CP，
∴AP＝AC＝23，
综上所述，当△APQ为直角三角形时，AP的长是3或23，
故答案为：3或23．
总结提升：本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握含30度角的直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，分类讨论的数学思想是解决问题的关键．
9．(2023•陕西）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，BD＝7．若M、N分别是边AD、BC上的动点，且AM＝BN，作ME⊥BD，NF⊥BD，垂足分别为E、F，则ME+NF的值为 152 ．
思路引领：连接AC交BD于O，根据菱形的性质得到BD⊥AC，OB＝OD=72，OA＝OC，根据勾股定理求出OA，证明△DEM∽△DOA，根据相似三角形的性质列出比例式，用含AM的代数式表示ME、NF，计算即可．
解：连接AC交BD于O，
∵四边形ABCD为菱形，
∴BD⊥AC，OB＝OD=72，OA＝OC，
由勾股定理得：OA=AB2−OB2=42−(72)2=152，
∵ME⊥BD，AO⊥BD，
∴ME∥AO，
∴△DEM∽△DOA，
∴MEOA=DMAD，即ME152=4−AM4，
解得：ME=415−15AM8，
同理可得：NF=15AM8，
∴ME+NF=152，
故答案为：152．
总结提升：本题考查的是相似三角形的判定和性质、菱形的性质、勾股定理，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
10．(2023•盘龙区二模）如图，已知四边形ABCD中，AB＝10cm，BC＝8cm，CD＝12cm，∠B＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度沿B﹣C﹣B运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为 913或3或54或154 cm/s时，能够使△BPE与△CQP全等．
思路引领：设点P在线段BC上运动的时间为ts，分两种情况讨论，①点P由B向C运动时，△BPE≌△CQP②△BPE≌△CPQ，③点P由C向B运动时，△BPE≌△CQP，④△BPE≌△CPQ，根据全等三角形的对应边相等列方程解出即可．
解：设点P在线段BC上运动的时间为ts，
①点P由B向C运动时，BP＝3t（cm），CP＝（8﹣3t）cm，
∵△BPE≌△CQP，
∴BE＝CP＝5，
∴5＝8﹣3t，
解得t＝1，
∴BP＝CQ＝3，
此时，点Q的运动速度为3÷1＝3（cm/s）；
②点P由B向C运动时，
∵△BPE≌△CPQ，
∴BP＝CP，
∴3t＝8﹣3t，
t=43，
此时，点Q的运动速度为：5÷43=154（cm/s）；
③点P由C向B运动时，CP＝3t﹣8，
∵△BPE≌△CQP，
∴BE＝CP＝5，
∴5＝3t﹣8，
解得t=133，
∴BP＝CQ＝3，
此时，点Q的运动速度为3÷133=913（cm/s）；
④点P由C向B运动时，
∵△BPE≌△CPQ，
∴BP＝CP＝4，
3t﹣8＝4，
t＝4，
∵BE＝CQ＝5，
此时，点Q的运动速度为5÷4=54（cm/s）；
综上所述：点Q的运动速度为913cm/s或3cm/s或54cm/s或154cm/s；
故答案为：913或3或54或154．
总结提升：本题考查三角形全等的判定，掌握动点问题在解决全等三角形时边长的表示及分情况讨论，它们也是解决问题的关键．
类型三 有关圆的动点问题
11．(2023•宁波）如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，点O在BC上，以OB为半径的圆与AC相切于点A．D是BC边上的动点，当△ACD为直角三角形时，AD的长为 32或65 ．
思路引领：根据切线的性质定理，勾股定理，直角三角形的等面积法解答即可．
解：连接OA，过点A作AD⊥BC于点D，
∵圆与AC相切于点A．
∴OA⊥AC，
由题意可知：D点位置分为两种情况，
①当∠CAD为90°时，此时D点与O点重合，设圆的半径＝r，
∴OA＝r，OC＝4﹣r，
∵AC＝2，
在Rt△AOC中，根据勾股定理可得：r2+4＝（4﹣r）2，
解得：r=32，
即AD＝AO=32；
②当∠ADC＝90°时，AD=AO⋅ACOC，
∵AO=32，AC＝2，OC＝4﹣r=52，
∴AD=65，
综上所述，AD的长为32或65，
故答案为：32或65．
总结提升：本题主要考查了切线的性质和勾股定理，熟练掌握这些性质定理是解决本题的关键．
12．(2023•东城区校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A与点B的坐标分别是（1，0）与（7，0）．对于坐标平面内的一动点P，给出如下定义：若∠APB＝45°，则称点P为线段AB的“等角点”．
①若点P为线段AB在第一象限的“等角点”，且在直线x＝4上，则点P的坐标为 （4，32+3） ；
②若点P为线段AB的“等角点”，并且在y轴正半轴上，则点P的坐标为 （0，3±2）或（0，﹣3±2） ．
思路引领：①根据P在直线x＝4上画图1，作△APB的外接圆C，连接AC，BC，可知AB＝6，OC的半径为32，最后计算PD的长可得点P的坐标；
②同理根据作辅助线，计算OP和OP1的长，可得点P的坐标，注意不要丢解．
解：①如图1，作△APB的外接圆，设圆心为C，连接AC，BC，
∵点A与点B的坐标分别是（1，0）与（7，0），
∴AB＝7﹣1＝6，
∵∠APB＝45°，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝BC＝32，
∴PC＝32，
∵点P在直线x＝4上，
∴AD＝4﹣1＝3，
∴AD＝BD，
∵CD⊥AB，
∴CD＝AD＝3，
∴P（4，32+3），
故答案为：（4，32+3）；
②如图2所示，同理作△APB的外接圆，设圆心为C，过C作CD⊥x轴于D，作CE⊥OP于E，连接PC，P1C，
在y轴上存在∠APB＝∠AP1B＝45°，
则①知：CD＝OE＝3，OD＝CE＝4，PC＝32，
由勾股定理得：PE=(32)2−42=2，
∴PO＝3+2，
同理得：OP1＝3−2，
∴P（0，3±2），
综上分析，点P的坐标为（0，3±2）．
故答案为：（0，3±2）．
总结提升：本题主要考查了坐标和图形的性质，圆周角定理，勾股定理等知识，解题关键是作△APB的外接圆．
模块二 2023中考押题预测
13．(2023•驻马店二模）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AD＝BC＝CD＝4，点M是四边形ABCD内的一个动点，满足∠AMD＝90°，则点M到直线BC的距离的最小值为 33−2 ．
思路引领：取AD的中点O，连接OM，过点M作ME⊥BC交BC的延长线于E，过点O作OF⊥BC于F，交CD于G，则OM+ME≥OF．求出OM，OF即可解决问题．
解：取AD的中点O，连接OM，过点M作ME⊥BC交BC的延长线于E，过点O作OF⊥BC于F，交CD于G，则OM+ME≥OF．
∵∠AMD＝90°，AD＝4，OA＝OD，
∴OM=12AD＝2，
∵AB∥CD，
∴∠GCF＝∠B＝60°，
∴∠DGO＝∠CGF＝30°，
∵AD＝BC，
∴∠DAB＝∠B＝60°，
∴∠ADC＝∠BCD＝120°，
∴∠DOG＝30°＝∠DGO，
∴DG＝DO＝2，
∵CD＝4，
∴CG＝2，
∴OG＝2OD•cs30°＝23，GF=3，OF＝33，
∴ME≥OF﹣OM＝33−2，
∴当O，M，E共线时，ME的值最小，最小值为33−2．
总结提升：本题考查解直角三角形，垂线段最短，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
14．(2023•普定县模拟）如图，点M是∠AOB平分线上一点，∠AOB＝60°，ME⊥OA于E，OE=5，如果P是OB上一动点，则线段MP的取值范围是 MP≥153 ．
思路引领：过M点作MF⊥OB于F，如图，先根据角平分线的性质得到ME＝MF，∠AOM＝30°，再利用含30度角的直角三角形三边的关系得到ME=153，所以MF=153，然后根据垂线段最短可确定线段MP的取值范围．
解：过M点作MF⊥OB于F，如图，
∵OM平分∠AOB，ME⊥OA，MF⊥OB，
∴ME＝MF，∠AOM=12∠AOB=12×60°＝30°，
在Rt△OME中，∵∠MOE＝30°，
∴ME=33OE=33×5=153，
∴MF=153，
∵P是OB上一动点，
∴MP≥MF，
即线段MP的取值范围为MP≥153．
故答案为：MP≥153．
总结提升：本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短．
15．(2023•徐州二模）如图，在等边三角形ABC中，AB＝2，点D，E，F分别是边BC，AB，AC边上的动点，则△DEF周长的最小值为 3 ．
思路引领：作点D关于AB的对称点G，作点D关于AC的对称点H，连接GH，GA，GE，GB，HA，HF，HC，过点A作AI⊥BC于I，过点A作AJ⊥GH于J．根据轴对称的性质，两点之间，线段最短确定△DEF周长的最小值是GH，根据等边三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质和直角三角形的边角关系确定GH＝AD，再根据垂线段最短确定当AD⊥BC时，△DEF周长取得最小值为AI，最后根据等边三角形的性质和直角三角形的边角关系即可求解．
解：如图，作点D关于AB的对称点G，作点D关于AC的对称点H，连接GH，GA，GE，GB，HA，HF，HC，过点A作AI⊥BC于I，过点A作AJ⊥GH于J．
∴GE＝DE，HF＝DF，AG＝AD，AH＝AD，∠GAB＝∠DAB，∠HAC＝∠DAC，
∴AG＝AH，C△DEF＝DE+DF+EF＝GE+HF+EF，
∴∠GAJ＝∠HAJ=12∠GAH，△DEF周长的最小值是GH．
∵三角形ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ABC＝60°
∴∠DAB+∠DAC＝60°，
∴∠GAB+∠HAC＝60°，
∴∠GAH＝∠GAB+∠DAB+∠DAC+∠HAC＝120°，
∴∠GAJ＝∠HAJ＝60°，
∴GJ＝AG×sin∠GAJ=32AG=32AD，J＝AH×sin∠HAJ=32AH=32AD，
∴GH＝GJ+HJ=3AD，
∴当AD取得最小值时，GH取得最小值，即△DEF周长取得最小值．
∴当AD⊥BC时，即点D与点Ⅰ重合时，ADEF周长取得最小值为3AI，
∵AB＝2，
∴AI＝AB×sin∠ABC=3，
∴3AI＝3．
∴△DEF周长的最小值是3．
故答案为：3．
总结提升：本题主要考查的是轴对称路径最短问题，作出点D关于AC、BC的对称点，将△DEF的周长转化为MN的长是解题的关键．
16．(2023•仁怀市模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝8，点D为边AB的中点，点P为边AC上的动点，则PB+PD的最小值为 43 ．
思路引领：先作点D关于AC的对称点E，连接AE，PE，DE，则AE＝AD，PE＝PD，当B，P，E在同一直线上时，BP+PD＝BP+PE＝BE，再判定△ADE是等边三角形，求得Rt△ABE中，BE=43，即可得到PB+PD的最小值为43．
解：如图所示，作点D关于AC的对称点E，连接AE，PE，DE，则AE＝AD，PE＝PD，
∴BP+PD＝BP+PE，
∴当B，P，E在同一直线上时，BP+PD＝BP+PE＝BE，
∵∠BAC＝30°，
∴∠DAE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠ADE＝60°，
又∵D为AB上的中点，
∴DE＝AD＝DB，
∴∠DEB=12∠ADE＝30°＝∠ABE，
∴∠AEB＝90°，
∵AB＝8，
∴AE＝4，
∴Rt△ABE中，BE=43，
即PB+PD的最小值为43，
故答案为：43．
总结提升：本题主要考查了轴对称﹣最短路线问题，等边三角形的性质、勾股定理等，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，利用轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
17．(2023•亭湖区校级三模）在平面直角坐标系中，A（3，3），B（6，0），点D、E是OB的三等分点，点P是线段AB上的一个动点，若只存在唯一一个点P使得PD+PE＝a，则a需满足的条件是： a=25或6＜a≤210 ．
思路引领：根据题意若只存在唯一一个点P使得PD+PE＝a，则PD+PE取得最小值或最大值，作点E关于AB的对称点E'，连接DE'交AB于点P，则PD+PE＝PD+PE'＝DE'＝a即可．
解：若只存在唯一一个点P使得PD+PE＝a，
则PD+PE取得最小值，
作点E关于AB的对称点E'，连接DE'交AB于点P，
则PD+PE＝PD+PE'＝DE'，
∵A（3，3），B（6，0），
∴OA＝AB=32+32=32
∴（32）2+（32）2＝62，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∴∠ABO＝45°，
∵点D、E是OB的三等分点，
∴OD＝DE＝EB＝2，
根据轴对称的性质可得，∠ABE＝∠ABE'＝45°，EB＝E'B＝2，
∴∠EBE'＝90°，
∴PD+PE=PD+PE′=DE′=42+22=25，
即a=25时，只存在唯一一个点P使得PD+PE＝a，
当P在A点时，PD+PE＝210，P在B点时PD+PE＝6，
∴PD+PE的最大值为210，最小值为25，
∴a=25或6＜a≤210，
总结提升：本题考查了坐标与图形，轴对称的性质，勾股定理等知识点，读懂题意得出若只存在唯一一个点P使得PD+PE＝a，则PD+PE取得最小值或最大值是解本题的关键．
18．(2023•夏邑县校级模拟）如图，在等腰三角形ABC中，∠A＝30°，BC＝2，点D为AC的中点，点E为边AB上一个动点，连接DE，点A关于直线DE的对称点为点F，分别连接DF，EF，当EF⊥AC时，AE的长为 33或3 ．
思路引领：当直线EF与直线AC垂直时，如图1，如图2，根据对称的性质得到和等腰三角形的判定和性质定理以及直角三角形的性质即可得到结论．
解：∵AC＝BC＝2，点D为AC的中点，
∴AD=12AC＝1，
①当直线EF与直线AC垂直时，如图1，
∵点A关于直线DE的对称点为点F，
∴∠F＝∠A＝30°，∠AED＝∠FED，
∵∠AGE＝90°，
∴∠AEG＝60°，
∴∠AED＝∠FED＝30°，
∴AD＝DE＝1，
过D作DM⊥AE与M
∴AE＝2AM＝2×32×1=3；
②当直线EF与直线AC垂直时，如图2，
∵将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点F处，
∴∠F＝∠A＝30°，∠ADE＝∠FDE，
∵∠AGE＝∠FGD＝90°，
∴∠FDG＝60°，
∴∠ADE＝∠FDE＝30°，
∴∠A＝∠ADE，
∴AE＝DE，
∴AG=12AD=12，
∴AE=33，
故答案为：33或3．
总结提升：本题考查了翻折变换（折叠问题）等腰三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键．
19．(2023•新昌县模拟）在△ABC中，∠A＝60°，点P和点Q分别是边AC和BC上的两个动点，分别连结BP和PQ．把△ABC分割成三个三角形．若分割成的这三个三角形都是等腰三角形，则∠ABC的度数可以是 80° ．
思路引领：根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．
解：∵∠A＝60°，BP和PQ把△ABC分割成三个三角形都是等腰三角形，
∴△ABP是等边三角形，
∴∠ABP＝∠A＝60°，
①如图1，
当BP＝BQ，PQ＝CQ时，
则∠C＝∠CPQ，∠BPQ＝∠BQP，
∴∠C+∠CBP＝∠APB＝60°，
∴∠CBP＝60°﹣∠C，
∵∠BQP＝∠C+∠CPQ＝2∠C，
∴2∠C+2∠C+60°﹣∠C＝180°，
∴∠C＝40°，
∴∠ABC＝80°；
②如图2，当BQ＝PQ＝PC时，
则∠PBQ＝∠BPQ，∠C＝∠CQP，
∵∠PQB＝180°﹣∠CQP＝180°﹣∠C，
∴∠QBP+∠BPQ+∠BQP＝∠PBQ+∠PBQ+180°﹣∠C＝∠PBQ+∠PBQ+180°﹣（60°﹣∠PBQ）＝180°，
∴∠PBQ＝20°，
∴∠ABC＝80°，
综上所述，∠ABC的度数可以是80°，
故答案为：80°．
总结提升：本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，分类讨论是解题的关键．
20．(2023•新化县一模）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝75°，AB＝5．点E为边AC上的动点，点F为边AB上的动点，则线段FE+EB的最小值是 52 ．
思路引领：作F关于AC的对称点F'，延长AF'、BC交于点B'，当B、E、F'共线且与AB'垂直时，求BD的长即可．
解：作F关于AC的对称点F'，延长AF'、BC交于点B'，作BD⊥AB'于D，
∴∠BAB'＝30°，EF＝EF'，
∴FE+EB＝BE+EF'，
∴当B、E、F'共线且与AB'垂直时，BE+EF'长度最小，即求BD的长，
在△ABD中，BD=12AB=52，
故答案为：52．
总结提升：本题主要考查轴对称﹣最短路线问题，将BE+EF转化为求线段BD是解题的关键．
21．(2023•顺城区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC＝6，点M是射线AC上的一个动点，MC＝1，连接BM，以AB为边在AB的上方作∠ABE＝∠AMB，直线BE交AC的延长线于点F，则CF＝ 67或185 ．
思路引领：分两种情况根据含30°角的直角三角形的性质求解即可．
解：如图，过点F作FH⊥BM于点H，
∴∠BHF＝90°，
∵∠ABE+∠ABF＝180°，∠AMB+∠BMF＝180°，∠ABE＝∠AMB，
∴∠ABF＝∠BMF，
∵∠ABF+∠A+∠AFB＝180°，∠BMF+∠MBF+∠AFB＝180°，
∴∠A＝∠MBF，
∵∠A＝30°，
∴∠MBF＝∠A＝30°，
∴HF=12BF，
设CF＝x，
∵MC＝1，
∴MF＝MC+CF＝x+1，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCF＝180°﹣∠ACB＝90°，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC＝6，
∴BC＝AC•tan30°＝6×33=23，
∴BM=BC2+CM2=13，BF=BC2+CF2=12+x2，
∴HF=12BF=1212+x2，
∵12MF•BC=12BM•FH，
∴12（x+1）×23=12×13×1212+x2，
∴x=67或x=−185（舍去），
如图，过点F作FH⊥BM，交BM的延长线于点H，
∴∠BHF＝90°，
设CF＝x，
∵MC＝1，
∴MF＝CF﹣MC＝x﹣1，
同理，BM=13，BF=12+x2，HF=12BF=1212+x2，
∵12MF•BC=12BM•FH，
∴12（x﹣1）×23=12×13×1212+x2，
∴x=185或x=−67（舍去），
综上，CF=67或185，
故答案为：67或185．
总结提升：此题考查了含30°角的直角三角形的性质，熟记含30°角的直角三角形的性质并分情况讨论是解题的关键．
22．(2023•肇州县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC=23，Q为AC上的动点，P为Rt△ABC内一动点，且满足∠APB＝120°，若D为BC的中点，则PQ+DQ的最小值是 43−4 ．
思路引领：如图以AB为边，向左边作等边△ABE，作△ABE的外接圆⊙O，连接OB，则点P在⊙O上．作点D关于AC的对称点D′，连接OD′，OP，PD′，PD′交AC于Q，则PQ+QD＝PQ+QD′＝PD′，根据PD′≥OD′﹣OP，求出OP，OD′即可解决问题．
解：如图以AB为边，向左边作等边△ABE，作△ABE的外接圆⊙O，连接OB，则点P在⊙O上．
在Rt△ABC中，
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝23，
∴AB＝43，
则易知OB＝4，OB⊥BC，
作点D关于AC的对称点D′，连接OD′，OP，PD′，PD′交AC于Q，则PQ+QD＝PQ+QD′≥PD′，
∵PD′≥OD′﹣OP，OP＝OB＝4，OD′=42+(33)2=43．
∴PD′≥43−4，
∴PQ+DQ的最小值为43−4，
总结提升：本题考查轴对称﹣最短问题，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题．
23．(2023•碧江区 一模）如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝7，AC＝4，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，P是直线m上的一动点，则△APC的周长的最小值为 10 ．
思路引领：当A、B、P三点共线时，△ACP的周长最小，最小值为AB+AC的长．
解：∵直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，
∴BP＝CP，
∴△ACP的周长＝AP+PC+AC＝BP+AP+AC≥AB+AC，
∴当A、B、P三点共线时，△ACP的周长最小，
∵AB＝6，BC＝7，AC＝4，
∴△ACP的周长6+4＝10，
∴△ACP的周长最小值为10，
故答案为10．
总结提升：本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法是解题的关键．
24．(2023•抚顺县二模）如图，在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），点C在边AB上，且ACCB=13，点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为 P（83，83） ．
思路引领：根据已知条件得到AB＝OB＝4，∠AOB＝45°，求得BC＝3，OD＝BD＝2，得到D（2，0），C（4，3），作D关于直线OA的对称点E，连接EC交OA于P，则此时，四边形PDBC周长最小，E（0，2），求得直线EC的解析式为y=14x+2，解方程组即可得到结论．
解：∵在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），
∴AB＝OB＝4，∠AOB＝45°，
∵ACCB=13，点D为OB的中点，
∴BC＝3，OD＝BD＝2，
∴D（2，0），C（4，3），
作D关于直线OA的对称点E，连接EC交OA于P，
则此时，四边形PDBC周长最小，E（0，2），
∵直线OA 的解析式为y＝x，
设直线EC的解析式为y＝kx+b，
∴b=24k+b=3，
解得：k=14b=2，
∴直线EC的解析式为y=14x+2，
解y=xy=14x+2得，x=83y=83，
∴P（83，83），
故答案为：（83，83）．
总结提升：本题考查了轴对称﹣最短路线问题，等腰直角三角形的性质，正确的找到P点的位置是解题的关键．
25．(2023•德保县二模）如图，在平面直角坐标系中，△OAB是边长为4的等边三角形，OD是AB边上的高，点P是OD上的一个动点，若点C的坐标是（0，−3），则PA+PC的最小值是 31 ．
思路引领：过B作BE⊥y轴于E，连接BP，依据OD垂直平分AB，可得AP＝BP，PA+PC＝BP+PC，当C，P，B三点共线时，PA+PC的最小值等于BC的长，在Rt△BCE中利用勾股定理即可得到BC的长，进而得出PA+PC的最小值是31．
解：如图，过B作BE⊥y轴于E，连接BP，
∵△OAB是边长为4的等边三角形，OD是AB边上的高，
∴OD是中线，
∴OD垂直平分AB，
∴AP＝BP，
∴PA+PC＝BP+PC，
当C，P，B三点共线时，PA+PC的最小值等于BC的长，
∵∠BOE＝90°﹣60°＝30°，OB＝4，
∴BE＝2，OE＝23，
又∵点C的坐标是（0，−3），
∴OC=3，CE=33，
∴Rt△BCE中，BC=BE2+CE2=22+(33)2=31，
即PA+PC的最小值是31，
故答案为：31．
总结提升：本题考查了轴对称确定最短路线问题，熟练掌握最短路径的确定方法找出点P的位置以及表示PA+PC的最小值的线段是解题的关键．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
26．(2023•元宝区校级一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点B出发以每秒1个单位长度的速度沿B→A匀速运动；同时点Q从点A出发以同样的速度沿A→C→B匀速运动．当点P到达点A时，P、Q同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为 5011或7或11213 时，以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形．
思路引领：分情况讨论：①当BP＝PQ时，如图1，证明△ADQ∽△ACB，利用相似三角形的性质，列方程可得t的值；
②当BP＝BQ时，如图2，根据BP＝BQ列方程可得t的值；
③当BQ＝PQ时，如图3，同①证明三角形相似可得t的值．
解：①当BP＝PQ时，如图1，
由题意得：BP＝PQ＝AQ＝t，Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，
∴AB=62+82=10，
∴AP＝10﹣t，
过Q作QD⊥AB于D，
∴AD=12AP=10−t2，
∵∠A＝∠A，∠ADQ＝∠ACB＝90°，
∴△ADQ∽△ACB，
∴ADAQ=ACAB，即AC×AQ＝AD×AB，
∴6t=10×10−t2，
∴t=5011；
②当BP＝BQ时，如图2，
由题意得：BP＝AC+CQ＝t，
∴BQ＝6+8﹣t＝14﹣t，
∴14﹣t＝t，
∴t＝7；
③当BQ＝PQ时，如图3，
过Q作QD⊥AB于D，
∴BD=12BP=12t，BQ＝14﹣t，
∵∠B＝∠B，∠BDQ＝∠ACB＝90°，
∴△BDQ∽△BCA，
∴BDBQ=BCAB，即BD×AB＝BQ×BC，
∴12t×10=(14−t)×8，
∴t=11213，
综上所述，t的值是5011或7或11213．
故答案为：5011或7或11213．
总结提升：本题是几何动点问题，考查了等腰三角形的判定、三角形相似的性质和判定．分类讨论的数学思想是本题考查的重点，并与方程相结合解决问题．
27．(2023•大理州二模）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，AC＝5cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为ts，当△APB为等腰三角形时，t的值为 132或12或16948 ．
思路引领：当△ABP为等腰三角形时，分三种情况：①当AB＝BP时；②当AB＝AP时；③当BP＝AP时，分别求出BP的长度，继而可求得t值．
解：∵∠C＝90°，AB＝13cm，AC＝5cm，
∴BC＝12cm．
①当BP＝BA＝13时，t=132；
②当AB＝AP时，BP＝2BC＝24cm，t＝12；
③当PB＝PA时，PB＝PA＝2t cm，CP＝（12﹣2t）cm，AC＝5cm，
在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，
即（2t）2＝52+（12﹣2t）2，
解得t=16948．
综上，当△ABP为等腰三角形时，t=132或12或16948．
故答案为：132或12或16948．
总结提升：本题考查勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
28．(2023•锡山区校级模拟）如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，∠ABC的平分线与线段AC交于点D，且有AD＝BD，点E是线段AB上的动点（与A、B不重合），连结DE，当△BDE是等腰三角形时，则AE的长为 12﹣43或8 ．
思路引领：根据等腰三角形的性质、角平分线的定义得到∠A＝∠DBA＝∠CBD，根据直角三角形的性质求出∠A作DF⊥AB于F，根据勾股定理求出DF，分BE＝BD、BE＝DE两种情况，根据等腰三角形的性质、勾股定理计算即可．
解：∵AD＝BD，
∴∠A＝∠DBA，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠CBD＝∠DBA，
∴∠A＝∠DBA＝∠CBD，
∵∠C＝90°，
∴∠A＝30°，
如图，作DF⊥AB于F，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，∠A＝30°，
∴AB＝2BC＝12，
∵DA＝DB，DF⊥AB，
∴AF=12AB＝6，
在Rt△AFD中，∠A＝30°，
∴DF=33AF＝23，
在Rt△AFD中，∠A＝30°，DF＝23，
∴AD＝BD＝43，
当BE＝BD＝43时，AE＝12﹣43；
当BE＝DE时，12﹣AE=(6−AE)2+(23)2，
解得AE＝8，
∵点E与A、B不重合，
∴DB≠DE，
综上所述：当△BDE是等腰三角形时，AE的长为12﹣43或8，
故答案为：12﹣43或8．
总结提升：本题考查的是勾股定理，直角三角形的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
29．(2023•衡南县校级二模）等腰△ABC的底边BC＝8cm，腰长AB＝5cm，一动点P在底边上从点B开始向点C以0.25cm/秒的速度运动，当点P运动到PA与腰垂直的位置时，点P运动的时间应为 7或25 秒．
思路引领：根据等腰三角形三线合一性质可得到BD的长，由勾股定理可求得AD的长，再分两种情况进行分析：①PA⊥AC②PA⊥AB，从而可得到运动的时间．
解：如图，作AD⊥BC，交BC于点D，
∵BC＝8cm，
∴BD＝CD=12BC＝4cm，
∴AD=AB2−BD2=3，
分两种情况：当点P运动t秒后有PA⊥AC时，
∵AP2＝PD2+AD2＝PC2﹣AC2，∴PD2+AD2＝PC2﹣AC2，
∴PD2+32＝（PD+4）2﹣52∴PD＝2.25，
∴BP＝4﹣2.25＝1.75＝0.25t，
∴t＝7秒，
当点P运动t秒后有PA⊥AB时，同理可证得PD＝2.25，
∴BP＝4+2.25＝6.25＝0.25t，
∴t＝25秒，
∴点P运动的时间为7秒或25秒．
总结提升：本题利用了等腰三角形的性质和勾股定理求解．
30．(2023•大冶市校级模拟）如图，已知四边形ABCD是正方形AB=22，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连CG．
（1）CE+CG＝ 4 ；
（2）若四边形DEFG面积为5时，则CG＝ 3或1 ．
思路引领：（1）作出辅助线，得到EN＝EM，然后判断∠DEN＝∠FEM，得到△DEN≌△FEM，则有DE＝EF，得矩形DEFG是正方形，证明△ADE≌△CDG得到CG＝AE，即：CE+CG＝CE+AE＝AC＝4；
（2）过点E作EQ⊥AD于点Q，得△AEQ是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求出AQ，进而可以解决问题．
解：（1）如图，作EM⊥BC，EN⊥CD于点M，N，
∴∠MEN＝90°，
∵点E是正方形ABCD对角线上的点，
∴EM＝EN，
∵∠DEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF，
在△DEN和△FEM中，
∠DNE=∠FMEEN=EM∠DEN=∠FEM，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴EF＝DE，
∵四边形DEFG是矩形，
∴矩形DEFG是正方形，
∴DE＝DG，AD＝DC，
∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠CDG＝∠ADE，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG．
∴CE+CG＝CE+AE＝AC=2AB=2×22=4；
故答案为：4；
（2）如图，过点E作EQ⊥AD于点Q，
∵点E是正方形ABCD对角线上的点，
∴∠EAQ＝45°，
∴AQ＝EQ，
∴DQ＝AD﹣AQ＝22−AQ，
∵正方形DEFG面积为5，
∴DE=5，
在Rt△DQE中，根据勾股定理得：
DQ2+EQ2＝DE2，
∴（22−AQ）2+AQ2＝5，
∴AQ=322或22，
∴AE=2AQ＝3或1，
∴CG＝AE＝3或1．
故答案为：3或1．
总结提升：此题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，三角形的全等的性质和判定，解本题的关键是作出辅助线，判断三角形全等．
31．(2023•玉树市校级一模）如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝4，P是AB边一个动点，E、F分别是DP、BP的中点，则线段EF的长为 2 ．
思路引领：连接BD．首先证明△ADB是等边三角形，可得BD＝4，再根据三角形的中位线定理即可解决问题．
解：如图连结BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝4，
∵∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AD＝4，
∵点E，F分别是DP，BP的中点，
∴EF为△PBD的中位线，
∴EF=12BD＝2，
故答案为：2．
总结提升：本题考查菱形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明△ADB是等边三角形．
32．(2023•浉河区校级模拟）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝5，点F是AB的中点，点E为AD上一动点，作△AEF关于直线EF的对称图形，点A的对应点为点A′，作△A′EF关于直线A′E的对称图形，点F的对应点为F'．当点F'落在矩形ABCD的边上时，AE的长为 23或233 ．
思路引领：根据题意可得点F、A'、F'三点共线，再根据含30°角的直角三角形三边关系计算，具体分（1）当点F'落在边AD上，（2）当点F'落在边BC上两种情况计算即可解答．
解：由题意得：∠A＝∠FA'E＝∠EA'F'＝90°，
∴∠FA'F'＝180°，即点F、A'、F'三点共线，分以下两种情况讨论：
（1）当点F'落在边AD上时，如图：
∵△AEF、△A'EF关于直线EF对称，△A′EF、ΔA'EF'关于直线EA'对称，
∴∠AFE＝∠A'FE＝∠A'F'E，
∵∠A＝90°，
∴∠AFE+∠A'FE+∠A'F'E＝90°，
∴∠AFE＝∠A'FE＝∠A'F'E＝30°，
∵AF=12AB＝2，
∴FF'＝2AF＝4，AF'＝23，EF＝2AE＝EF'，
∴AE=13AF'=233；
（2）当点F'落在边BC上时，如图：
∵△AEF、△A'EF关于直线EF对称，△A′EF、ΔA'EF'关于直线EA'对称，
∴AF＝FA'＝A'F'＝2＝FB，即FF'＝2FB，
∴∠BF'F＝30°，∠BFF'＝60°，
∴∠AFF'＝180°﹣60°＝120°，
∴∠FAE=12∠AFF'＝60°，
∴AE=3AF＝23，
故AE的长为：233或23．
总结提升：本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
33．(2023•嵩县模拟）如图，四边形ABCD和AEFG都是正方形，点E是AB边上一个动点，点G在AD边上，AB=2cm，连接BF，CF，若△BCF恰为等腰三角形，则AE的长为 22或（2−1） cm．
思路引领：延长EF与CD交于点H，用x表示BF与CF，再分情况列出方程求解便可．
解：延长EF与CD交于点H，
∵AB=2cm，四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD=2cm，
设AE＝xcm，则EF＝xcm，BE＝CH＝CH＝（2−x）cm，
∴BF2=x2+(2−x)2=2x2−22x+2，
CF2=2(2−x)2=2x2−42x+4，
当BF＝CF时，有2x2−22x+2=2x2−42x+4，
解得x=22，即AE=22cm；
当BF＝BC时，有2x2−22x+2=2，
解得x＝0（舍）或x=2（舍）；
当CF＝BC时，有2x2−42x+4=2，
解得x=2−1或x=2+1（舍），
∴AE=2−1（cm）．
综上，AE=22cm或（2−1）cm．
故答案为：22或（2−1）．
总结提升：本题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，关键是根据题意列出方程．
34．(2023•赣州模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝2，点E是边CD的中点，点P在AB边上运动，点F为DP的中点；当△DEF为等腰三角形时，则AP的长为 3或42或6﹣42 ．
思路引领：分三种情况讨论，由直角三角形的性质和勾股定理可求解．
解：∵点E是边CD的中点，点F为DP的中点
∴DE＝3，DF＝PF，
如图，当DF＝EF时，连接EP，
∴DF＝EF＝PF，
∴△DEP是直角三角形，
∴∠DEP＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝∠ADC＝90°，
∴四边形ADEP是矩形，
∴DE＝AP＝3，
当DF＝DE＝3时，
∴DP＝6，
∴AP=DP2−AD2=36−4=42，
当DE＝EF＝3时，如图，连接CF，CP，
∴DE＝EC＝EF，
∴△DFC是直角三角形，
∴∠DFC＝90°，
∵DF＝FP，
∴DC＝CP＝6，
∴BP=CP2−BC2=42，
∴AP＝6﹣42，
综上所述：AP的长为3或42或6﹣42，
故答案为：3或42或6﹣42．
总结提升：本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
35．(2023•华龙区校级模拟）如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E为对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG，点H是CD上一点，且DH=23CD，连接GH，则GH的最小值为 2 ．
思路引领：现根据正方形的性质证明△ADE≌△CDG（SAS），得出∠DCG＝∠DAE＝45°，从而得到点G的轨迹是射线CG，根据垂线段最短可知，当GH⊥CG时，GH的值最小，然后计算即可．
解：∵四边形ABCD是正方形，四边形DEFC是正方形，
∴DA＝DC，DE＝DG，∠ADC＝∠EDG＝90°，∠DAC＝45°，
∴∠ADE＝∠CDG，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴∠DCG＝∠DAE＝45°，
∴点G的轨迹是射线CG，
根据垂线段最短可知，当GH⊥CG时，GH的值最小，
∵DH=23CD=23×6＝4，
∴CH＝CD﹣DH＝6﹣4＝2，
∴GH最小＝CH•sin45°＝2×22=2．
故答案为：2．
总结提升：此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质和垂线段最短解答．
36．(2023•柘城县校级二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC=2，点E为射线AD上的动点（不与点A，D重合），点A关于直线BE的对称点为A'，连接A'B，A'D，A'C，当△A'BC是以BC为底边的等腰三角形时，AE的长为 2+1或2−1 ．
思路引领：根据矩形的性质得到AD∥BC，∠A＝∠ABC＝90°，AD＝BC=2，如图，过A′作A′H⊥BC于H，反向延长A′H交AD于G，得到四边形ABHG是矩形，推出AG＝BH，GH＝AB＝1，根据轴对称的性质得到A′B＝AB＝1，∠BA′E＝∠BAE＝90°，AE＝A′E，根据勾股定理得到A′H=A′B2−BH2=12−(22)2=22，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A＝∠ABC＝90°，AD＝BC=2，
如图1，过A′作A′H⊥BC于H，反向延长A′H交AD于G，
∴GH⊥AD，
∴四边形ABHG是矩形，
∴AG＝BH，GH＝AB＝1，
∵点A关于直线BE的对称点为A'，
∴A′B＝AB＝1，∠BA′E＝∠BAE＝90°，AE＝A′E，
∵A′B＝A′C，
∴BH＝CH=22，
∴AG=22，
∴A′H=A′B2−BH2=12−(22)2=22，
∵∠EGA′＝∠BA′E＝∠A′HB＝90°，
∴∠A′EG+∠EA′G＝∠EA′G+∠BA′H＝90°，
∴∠GEA′＝∠BA′H，
∴△EA′G∽△A′BH
∴EGA′H=A′EA′B，
∴22−AE22=AE1，
∴AE＝AG﹣EG=2−1，
如图2，同理，AE＝AG+EG=2+1，
综上所述，AE的长为2+1或2−1，
故答案为：2+1或2−1．
总结提升：本题考查了矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键．
37．(2023•武汉模拟）如图，菱形ABCD中，AB＝5，BD＝45，动点E、F分别在边AD、BC上，且AE＝CF，过点B作BP⊥EF于P，当E点从A点运动到D点时，线段CP的长度的取值范围为 10−5≤CP＜5 ．
思路引领：如图1，∵四边形ABCD是菱形，证明△BOF≌△DOE（AAS），可得OB＝OD，则点P在以OB为直径的半圆上运动，如图2，连接OC，取OB的中点为Q，当C，P，Q共线时，CP的值最小，P与B重合时，CP的值最大，且最大值是5，从而可以解答．
解：如图1，∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠EDO＝∠OBF，
∵AE＝CF，
∴DE＝BF，
∵∠BOF＝∠DOE，
∴△BOF≌△DOE（AAS），
∴OB＝OD，
∵BP⊥EF，
∴∠BPO＝90°，
∴点P在以OB为直径的半圆上运动，
如图2，连接OC，取OB的中点为Q，当C，P，Q共线时，CP的值最小，P与B重合时，CP的值最大，且最大值是5，
Rt△OBP中，∵Q是OB的中点，
∴PQ=12OB=12×12BD=14×45=5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OC⊥BD，
由勾股定理得：OC=52−(25)2=5，
∴OQ＝OC，
∴CQ=2OC=10，
∴CP的最小值是10−5，
∴线段CP的长度的取值范围为10−5≤CP＜5．
故答案为：10−5≤CP＜5．
总结提升：本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，圆的有关性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰直角三角形的性质等知识，根据题意画出符合题意的图形是解题的关键．
38．(2023•保亭县二模）如图1，在矩形ABCD中，点E在CD上，∠AEB＝90°，点P从点A出发，沿A→E→B的路径匀速运动到点B停止，作PQ⊥CD于点Q，设点P运动的路程为x，PQ长为y，若y与x之间的函数关系图象如图2，则BC的长为 125 ；当x＝6时，PQ的长为 95 ．
思路引领：由图象可知：AE＝3，BE＝4，∠DAE＝∠CEB＝α，设：AD＝BC＝a，在Rt△ADE中，csα=ADAE=a3，在Rt△BCE中，sinα=BCBE=a4，由勾股定理可得a=125，当x＝6时，即EN＝3，则y＝MN＝ENsinα=95．
解：由图象可知：
AE＝3，BE＝4，∠DAE＝∠CEB＝α，
设：AD＝BC＝a，
在Rt△ADE中，csα=ADAE=a3，
∴AD=a3AE，
在Rt△BCE中，sinα=BCBE=a4，
∵∠D＝∠C＝90°，
∴△ADE∽△ECB，
∴DEAE=BCBE=a4，
∴DE=a4AE，
又∵AD2+DE2＝AE2，
∴（a3AE）2+（a4AE）2＝AE2，
解得：a=125，
当x＝6时，即：EN＝3，则y＝MN＝ENsinα=95．
故答案为：125；95．
总结提升：本题考查的是动点问题函数图象，涉及到解直角三角形或三角形相似，解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．
39．(2023•丹江口市模拟）已知定点P（a，b），且动点Q（x，y）到点P的距离等于定长r，根据平面内两点间距离公式可得（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，这就是到定点P的距离等于定长r圆的方程．已知一次函数的y＝﹣2x+10的图象交y轴于点A，交x轴于点B，C是线段AB上的一个动点，则当以OC为半径的⊙C的面积最小时，⊙C的方程为 （x﹣4）2+（y﹣2）2＝（25）2 ．
思路引领：先求出A（0，10），B（5，0），利用勾股定理可得AB＝55，再运用面积法求得OC＝25，设C（t，﹣2t+10），则OC2＝t2+（﹣2t+10）2＝（25）2，可求得t＝4，得出C（4，2），再根据圆的标准方程的定义即可得出答案．
解：∵一次函数的y＝﹣2x+10的图象交y轴于点A，交x轴于点B，
∴A（0，10），B（5，0），
∴OA＝10，OB＝5，
∴AB=OA2+OB2=102+52=55，
∵以OC为半径的⊙C的面积最小，
∴OC⊥AB，
∵S△ABO=12AB•OC=12OA•OB，
∴OC=OA⋅OBAB=10×555=25，
设C（t，﹣2t+10），
则OC2＝t2+（﹣2t+10）2＝（25）2，
解得：t1＝t2＝4，
∴C（4，2），
∴以OC为半径的⊙C的⊙C的方程为（x﹣4）2+（y﹣2）2＝（25）2，
故答案为：（x﹣4）2+（y﹣2）2＝（25）2．
总结提升：本题考查点与圆的位置关系，方程的定义，坐标与图形性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解圆的标准方程的定义，灵活运用所学知识解决问题．
40．(2023•香洲区校级三模）如图正方形ABCD的边长为3，E是BC上一点且CE＝1，F是线段DE上的动点．连接CF，将线段CF绕点C逆时针旋转90°得到CG，连接EG，则EG的最小值是 105 ．
思路引领：图，作直线BG．由△CBG≌△CDF，推出∠CBG＝∠CDF，因为∠CDF是定值，推出点G在直线BG上运动，且tan∠CBG＝tan∠CDF=CECD=13，根据垂线段最短可知，当EG⊥BG时，EG的长最短．
解：如图，作直线BG．
∵四边形ABCD是正方形，
∴CB＝CD，∠BCD＝90°，
∵∠FCG＝∠DCB＝90°，
∴∠BCG＝∠DCF，
∵CG＝CF，
∴△CBG≌△CDF（SAS），
∴∠CBG＝∠CDF，
∵∠CDF是定值，
∴点G在直线BG上运动，且tan∠CBG＝tan∠CDF=CECD=13，
根据垂线段最短可知，当EG⊥BG时，EG的长最短，
此时tan∠EBG=GEBG=13，设EG＝m，则BG＝3m，
在Rt△BEG中，∵BE2＝BG2+EG2，
∴4＝m2+9m2，
∴m=105（负根已经舍弃），
∴EG的最小值为105，
故答案为：105．
总结提升：本题考查旋转变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂线段最短、解直角三角形等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会利用垂线段最短解决最值问题，属于中考填空题中的压轴题．
41．(2023•韶关模拟）如图，已知正方形ABCD中，AB＝2，点E为BC边上一动点（不与点 B、C重合），连接AE，将AE绕点E顺时针旋转90得到EF，连接CF，连接AF与CD相交于点G，连接DF，当DF最小时，四边形CEGF的面积是 43 ．
思路引领：通过证明点A，点F，点C，点E四点共圆，可得∠AEF＝∠ACF＝90°，可求∠DCF的度数，由相似三角形的性质和全等三角形的性质可求CG，CE，CH的长，由三角形的面积公式可求解．
解：如图，连接AC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACD＝∠ACB＝45°，
∵将AE绕点E顺时针旋转90°得到EF，
∴AE＝EF，∠AEF＝90°，
∴∠AFE＝45°，
∴∠AFE＝∠ACE，
∴点A，点F，点C，点E四点共圆，
∴∠AEF＝∠ACF＝90°，
∴∠DCF＝45°，
∴当DF⊥CF时，DF有最小值，
过点F作NH∥CD，交AD的延长线于N，BC的延长线于H，
∵DF⊥CF，∠DCF＝45°，
∴∠FDC＝∠FCD＝45°，
∴FD＝FC，
∵AB＝CD＝AD＝BC＝2，
∴DF＝FC=2，
∵NH∥CD，
∴∠NFD＝∠FDC＝45°，∠HFC＝∠FCD＝45°，∠N＝∠ADC＝90°＝∠BCD＝∠H，
∴NF＝DN＝1，FH＝CH＝1，
∵DC∥NH，
∴△ADG∽△ANF，
∴ADAN=DGNF，
∴22+1=DG1，
∴DG=23，
∴GC=43，
∵∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠FEH＝90°＝∠AEB+∠BAE，
∴∠BAE＝∠FEH，
在△ABE和△EHF中，
∠BAE=∠FEH∠B=∠HAE=EF，
∴△ABE≌△EHF（AAS），
∴BE＝FH＝1，AB＝EH＝2，
∴CE＝1，
∴四边形CEGF的面积=12×CG×CE+12×CG×CH=12×43×1+12×43×1=43，
故答案为：43．
总结提升：本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
42．(2023•珠海校级三模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点P是线段BC上一动点，将线段PA绕点P顺时针转90°得到线段PA'，连接DA'，则DA'的最小值为 2 ．
思路引领：根据旋转的性质，确定A'在线段GH上运动，当DA'⊥GH时，DA'有最小值．
解：当P点与B点重合时，A'点在BC上，且A'B＝AB＝4，
∵BC＝6，
∴CG＝2，
当P点与C点重合时，A'点运动到H点处，
∴A'在线段GH上运动，
当A'在CD上时，
∵∠APA'＝90°，
∴∠APB+∠CPA'＝90°，
∵∠APB+∠PAB＝90°，
∴∠CPA'＝∠PAB，
∵AP＝A'P，
∴△ABP≌△PCA'（AAS），
∴AB＝PC，BP＝A'C，
∵AB＝4，BC＝6，
∴A'C＝2，
∴A'D＝2，
∵CG＝A'C＝2，
∴∠DA'H＝45°，
过点D作DM⊥GH交于点M，
∴DM=2，
∴DA'的最小值为2，
故答案为：2．
总结提升：本题考查图形的旋转，熟练掌握图形旋转的性质，三角形全等的判定及性质，能够确定A'点的轨迹是解题的关键．
43．(2023•仁怀市模拟）如图，在等边△ABC中，AD是BC边上的高，点E是AD上一动点，连接CE，将线段CE绕点E顺时针旋转60°得到线段FE，连接AF，若AB＝4，AF=19，则CF的长为 7 ．
思路引领：利用旋转的性质可得△CEF是等边三角形，由等边三角形的性质并结合AD是BC边上的高，AB＝4，利用三角函数可得AD=23，然后根据SAS证明△ACE≌△BCF，可得AE＝BF，∠CAE＝∠CBF，利用勾股定理求得BF=3，再由DE＝AD﹣AE得到DE的长，最后利用勾股定理求得CE即可．
解：∵将线段CE绕点E顺时针旋转60°得到线段FE，
∴CE＝FE，∠CEF＝60°，
∴△CEF是等边三角形，
∴∠ECF＝60°，CE＝CF，
∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，AB＝4，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝BC＝AC＝4，∠ADB＝∠ADC＝90°，∠CAD＝30°，CD=12BC=2，
∴AD=AB⋅sin∠ABD=4×32=23，∠ACE+∠ECB＝∠ACB＝60°，∠BCF+∠ECB＝∠ECF＝60°，
∴∠ACE＝∠BCF，
在△ACE和△BCF中，
AC=BC∠ACE=∠BCFEC=FC，
∴△ACE≌△BCF（SAS），
∴AE＝BF，∠CAE＝∠CBF＝30°，
∴∠ABF＝∠ABC+∠CAE＝60°+30°＝90°，
又∵AF=19，
∴BF=AF2−AB2=(19)2−42=3，
∴AE=BF=3，
∴DE=AD−AE=23−3=3，
在Rt△CDE中，CD＝2，
∴CE=CD2+DE2=22+(3)2=7，
∴CF=CE=7．
故答案为：7．
总结提升：本题属于几何变换综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角函数，勾股定理等知识．解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
44．(2023•大庆二模）如图是边长为2的等边三角形ABC，D为△ABC内（包括△ABC的边）一动点，且满足CD2＝AD2+BD2，则CD的长度m的取值范围为 23−2≤m≤2 ．
思路引领：由旋转可知，△CDE是等边三角形，EB＝AD，∠CEB＝∠CDA，证出∠BDA＝150°，将点C沿AB翻折，得到点F，得出点D在以F为圆心，AB为半径的圆上运动，由等边三角形的性质可求出答案．
解：将△ACD绕点C逆时针旋转60°，得到△BCE，
由旋转可知，△CDE是等边三角形，EB＝AD，∠CEB＝∠CDA，
∵DC2＝AD2+BD2，
∴DE2＝BE2+BD2，
∴∠DBE＝90°，∠BDE+∠BED＝90°，∠CDA＝∠CEB＝60°+∠BED，
∴∠CDA+∠BDE＝60°+∠BED+∠BDE＝150°，
∵∠CDE＝60°，
∴∠BDA＝360°﹣（∠CDA+∠BDE ）﹣∠CDE＝150°，
将点C沿AB翻折，得到点F，
∴点D在以F为圆心，AB为半径的圆上运动，
∵等边△ABC和等边△ABF的边长都是2，
∴等边三角形的高h＝2•sin60°＝2×32=3，
∴2h﹣2≤CD≤2，
∴23−2≤CD≤2，
即23−2≤m≤2．
故答案为：23−2≤m≤2．
总结提升：本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理逆定理，圆周角定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
45．(2023•雁塔区校级模拟）如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E为边BC上一动点，将点A绕点E顺时针旋转90°得到点F，则DF的最小值为 22 ．
思路引领：以B为原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，过F作FG⊥x轴于G，设BE＝x，证明△ABE≌△EGF（AAS），可得BE＝FG＝x，AB＝EG＝4，即可得F（x+4，x），从而DF=2(x−2)2+8，故DF最小值为22．
解：以B为原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，过F作FG⊥x轴于G，如图：
设BE＝x，
∵四边形ABCD是正方形，FG⊥x轴，
∴∠ABE＝90°＝∠EGF，AB＝BC，
∵将点A绕点E顺时针旋转90°得到点F，
∴AE＝EF，∠AEF＝90°，
∴∠EFG＝90°﹣∠AEB＝∠BAE，
∴△ABE≌△EGF（AAS），
∴BE＝FG＝x，AB＝EG＝4，
∴BG＝BE+EG＝x+4，
∴F（x+4，x），
∵D（4，4），
∴DF=(x+4−4)2+(x−4)2=2(x−2)2+8，
∴当x＝2时，DF取最小值，最小值为22，
故答案为：22．
总结提升：本题考查正方形中的旋转变换，解题的关键是建立直角坐标系，用含x的式子表示F的坐标．
46．(2023•沈阳二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，点E（不与点B重合）是BC边上一个动点，将线段EB绕点E顺时针旋转90°得到线段EF，当△DFC是直角三角形时，那么BE的长是 4.5或4或5 ．
思路引领：由题意可知，BE＝EF，∠BEF＝90°，延长EF交AD于H，设BE＝EF＝x，根据矩形的性质得到A＝∠B＝90°，CD＝AB＝5，AD＝BC＝6，EH＝AB＝5，CE＝6﹣x，根据勾股定理即可得到结论．
解：由题意可知，BE＝EF，∠BEF＝90°，延长EF交AD于H，
设BE＝EF＝x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝90°，CD＝AB＝5，AD＝BC＝6，
∴四边形ABEH，四边形CDHE是矩形，
∴EH＝AB＝5，CE＝6﹣x，
∴FH＝5﹣x，DH＝CE＝6﹣x，
在Rt△DHF中，DF2＝DH2+FH2＝（6﹣x）2+（5﹣x）2，
在Rt△CEF中，CF2＝EF2+CE2＝（6﹣x）2+x2，
在Rt△CDF中，CD2＝DF2+CF2或
∴（6﹣x）2+（5﹣x）2+（6﹣x）2+x2＝52，
解得x＝4.5或4．
∴BE＝4.5或4．
当点F在边AD上时，四边形ABEF是正方形，
∴BE＝AB＝5，
故答案为：4.5或4或5．
总结提升：本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
47．(2023•台山市校级一模）△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝24，点D为△ABC的对称轴上一动点，过点D作⊙O与BC相切，BD与⊙O相交于点E，那么AE的最大值为 6+61 ．
思路引领：设△ABC的对称轴交BC于F，连接EF，可推出∠BEF＝90°，进而求得点E的运动轨迹是以BF为直径的圆，进一步得出结果．
解：如图，
设△ABC的对称轴交BC于F，连接EF，
∵AB＝AC，
∴△ABC的对称轴DF⊥BC，
∴⊙O切BC于F，
∵DF是⊙O的直径，
∴∠DEF＝90°，
∴∠BEF＝180°﹣∠DEF＝90°，
∴点E在以BF为直径的圆上，
∵AF⊥BC，AB＝AC＝13，
∴BF＝CF＝12，
∴AF=AB2−BF2=5，
∴AI=AF2+FI2=52+62=61，
∴AEmax＝AI+E′I＝6+61．
总结提升：本题考查了圆的切线性质，确定圆的条件等知识，解决问题关键是根据“定弦对定角”确定点E的运动轨迹．
48．(2023•蓬江区校级一模）矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，点P为矩形内一个动点．且满足∠PBC＝∠PCD，则线段PD的最小值为 13−3 ．
思路引领：根据题意推导出∠BPC＝90°，可知P点在以BC为直径的圆上，设圆心为O，则PD的最小值为OD﹣OC=13−3．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝90°，
∴∠PCD+∠PBC＝90°，
∵∠PBC＝∠PCD，
∴∠PBC+∠PBC＝90°，
∴∠BPC＝90°，
∴P点在以BC为直径的圆上，设圆心为O，
∵BC＝6，
∴CO＝3，
∵CD＝2，
∴DO=13，
∴PD的最小值为13−3，
故答案为：13−3．
总结提升：本题考查点与圆的位置关系，熟练掌握矩形的性质，勾股定理，能够确定P点的轨迹是解题的关键．
49．(2023•芜湖二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝4．点F为射线CB上一动点，过点C作CM⊥AF于M，交AB于E，D是AB的中点，则DM长度的最小值是 1 ．
思路引领：取AC的中点T，连接DT、MT，利用三角形的中位线定理求出DT的值，再由直角三角形斜边上中线的性质求出MT，并确定点M的运动轨迹，然后由DM≥TM﹣DT即可获得结论．
解：如图，取AC的中点T，连接DT、MT，
∵D是AB的中点，T是AC的中点，
∴AD＝BD，AT＝CT，
∴DT=12BC=12×4=2，
∵CM⊥AF，
∴∠AMC＝90°，
∴TM=12AC=12×6=3，
∵点F为射线CB上一动点，CM⊥AF，即∠AMC＝90°，
∴点M的运动轨迹是以T为圆心，TM为半径的圆，
∴DM≥TM﹣DT＝3﹣2＝1，
∴DM的最小值为1．
故答案为：1．
总结提升：本题主要考查了点与圆的位置关系、三角形中位线定理、直角三角形斜边上中线的性质等知识，解题关键是正确作出辅助线，构造三角形中位线，直角三角形斜边上的中线解决问题．
50．(2023•周至县一模）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AD平分∠BAC，BC＝6，点O为线段AD上的动点，若以点O为圆心，1为半径的⊙O在△ABC内（⊙O可以与△ABC的边相切），则点D到⊙O上的点的距离最大值为 3 ．
思路引领：当⊙O与AB相切时，点D到⊙O上的点的距离取得最大值，由切线的性质定理，角平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质可以解决问题．
解：当⊙O与AB相切时，切点是H，⊙O交AD于P，则点D到⊙O上的点的距离最大值为DP的长，
连接OH，则OH⊥AB，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠C＝30°，∠B＝90°，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠C＝30°，
∴AD＝DC，
∴BD=12AD=12DC，
∵BC＝6，
∴BD＝2，AD＝DC＝4，
∵OH=12AO，OH＝1，
∴AO＝2，
∵OP＝1，
∴AP＝AO﹣OP＝1，
∴DP＝AD﹣AP＝4﹣1＝3．
∴点D到⊙O上的点的距离最大值是3．
故答案为：3．
总结提升：本题考查切线的性质定理，角平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质，关键是判断出⊙O与AB相切时，点D到⊙O上的点的距离取得最大值．
51．(2023•丹东模拟）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，0），B（2，0），点M是y轴上的一个动点，当∠BMA＝30°时，点M的坐标为 (0，33+35)或(0，−33−35) ．
思路引领：在x轴的上方作等边△ABF，∠APB＝60°，以P为圆心，PA为半径作⊙P交y轴于M，连接MB，MA，PM，过点P作PK⊥AB于K，PQ⊥OM于Q，则AK＝BK=12AB．首先证明∠AMB=12∠APB＝30°，然后通过解直角三角形求得PK、MQ，进而即可求得点M的坐标．
解：在x轴的上方作等边△ABF，∠APB＝60°，以P为圆心，PA为半径作⊙P交y轴于M，连接MB，MA，PM，过点P作PK⊥AB于K，PQ⊥OM于Q，则AK＝BK=12AB，
∵∠AMB为⊙P的圆周角，
∴∠AMB=12∠APB＝30°，即则点M即为所求．
∵点A（﹣4，0），B（2，0），
∴AB＝6，
∴AK＝BK＝3，
∴OK＝4﹣3＝1，
在Rt△APK中，∠PAK＝60°，AK＝3，
∴PK=3AK＝33，
∴PM＝PA=AK2+PK2=6，
∵PK⊥x轴，PQ⊥y轴，
∴四边形OKPQ是矩形，
∴PQ＝OK＝1，OQ＝PK＝33，
∴MQ=PM2−PQ2=62−12=35，
∴OM＝OQ+CMQ＝33+35，
∴点M坐标为（0，33+35），
根据对称性可知（0，﹣33−35）也符合条件，
综上所述，点M的坐标为(0，33+35)或(0，−33−35)，
故答案为：(0，33+35)或(0，−33−35)．
总结提升：本题考查圆周角定理，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会利用辅助圆解决问题，属于中考常考题型．
52．(2023•常山县模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E为AD上一点，且AE＝2，F为BC边上的动点，以EF为直径作⊙O，当⊙O与矩形的边相切时，BF的长为 2或92或132 ．
思路引领：分三种情况，一是⊙O与BC边相切，则BC⊥OF，可证明四边形ABFE是矩形，则BF＝AE＝2；二是⊙O与AB边相切，设切点为点G，连接OG，则OG∥AD∥BC，则AGBG=EOFO=1，所以AG＝BG＝3，连接EG、FG，则∠EGF＝90°，可证明△BFG∽△AGE，得BFAG=BGAE，求得BF=92；三是⊙O与CD边相切，设切点为点M，连接OM，则DM＝CM＝3，连接EM、FM，则∠EMF＝90°，可证明△CFM∽△DME，得CFDM=CMDE，求得CF=32，则BF＝BC﹣CF=132．
解：当⊙O与BC边相切时，如图1，则BC⊥OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝∠EFB＝90°，CD＝AB＝6，AD＝BC＝8，
∴四边形ABFE是矩形，
∴BF＝AE＝2；
当⊙O与AB边相切时，如图2，设切点为点G，连接OG，则AB⊥OG，
∴∠OGB＝∠OGB＝∠A＝90°，
∴OG∥AD∥BC，
∵EF是⊙O的直径，
∴EO＝FO，
∴AGBG=EOFO=1，
∴AG＝BG=12AB=12×6＝3，
连接EG、FG，则∠EGF＝90°，
∵∠B＝∠A，∠BFG＝∠AGE＝90°﹣∠BGF，
∴△BFG∽△AGE，
∴BFAG=BGAE，
∴BF=AG⋅BGAE=3×32=92；
当⊙O与CD边相切时，如图3，设切点为点M，连接OM，则CD⊥OM，
∴∠OMD＝∠OMC＝∠D＝∠C＝90°，
∴OM∥AD∥BC，
∴DMCM=EOFO=1，
∴DM＝CM=12CD＝3，
连接EM、FM，则∠EMF＝90°，
∵∠C＝∠D，∠CMF＝∠DEM＝90°﹣∠DME，
∴△CFM∽△DME，
∴CFDM=CMDE，
∴CF=DM⋅CMDE=3×38−2=32，
∴BF＝BC﹣CF＝8−32=132，
综上所述，BF的长为2或92或132，
故答案为：2或92或132．
总结提升：此题重点考查矩形的判定与性质、切线的性质、直径所对的圆周角是直角、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
53．(2023•元宝区校级模拟）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AD＝BC＝CD＝4，点M是四边形ABCD内的一个动点，满足∠AMD＝90°，则△MBC面积的最小值为 63−4 ．
思路引领：取AD的中点O，连接OM，过点M作ME⊥BC交BC的延长线于E，过点O作OF⊥BC于F，交CD于G，则OM+ME≥OF．求出OM，OF即可解决问题．
解：取AD的中点O，连接OM，过点M作ME⊥BC交BC的延长线于E，过点O作OF⊥BC于F，交CD于G，则OM+ME≥OF．
∵∠AMD＝90°，AD＝4，OA＝OD，
∴OM=12AD＝2，
∵AB∥CD，
∴∠GCF＝∠B＝60°，
∴∠DGO＝∠CGF＝30°，
∵AD＝BC，
∴∠DAB＝∠B＝60°，
∴∠ADC＝∠BCD＝120°，
∴∠DOG＝30°＝∠DGO，
∴DG＝DO＝2，
∵CD＝4，
∴CG＝2，
∴OG＝2OD•cs30°＝23，GF=3，OF＝33，
∴ME≥OF﹣OM＝33−2，
∴当O，M，E共线时，ME的值最小，最小值为33−2，
∴△MBC面积的最小值=12×4×（33−2）＝63−4．
总结提升：本题考查解直角三角形，垂线段最短，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
54．(2023•亭湖区校级一模）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过B点的切线交AC的延长线于点D，E为弦AC的中点，AD＝6，BD＝4，若点P为直径AB上的一个动点，连接EP，若△AEP与△ABD相似，AP的长 5或559 ．
思路引领：通过证明△BDC∽△ADB，可得BDAD=CDBD，可求CD的长，分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解．
解：连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵BD是⊙O的切线，
∴∠ABD＝90°＝∠BCD，
又∵∠D＝∠D，
∴△BDC∽△ADB，
∴BDAD=CDBD，
∴46=CD4，
∴CD=83，
∴AC=103，
∵E为弦AC的中点，
∴AE＝EC=53，
∵AD＝6，BD＝4，
∴AB=AD2−BD2=36−16=25，
∴AO＝BO=5，
当点P与点O重合时，即AP＝AO=5，
∵点E是AC的中点，
∴OE⊥AC，
∴∠AEO＝∠ABD＝90°，
又∵∠A＝∠A，
∴△AEP∽△ABD；
当EP⊥AB时，则∠APE＝∠ABC＝90°，
又∵∠A＝∠A，
∴△AEP∽△ADB，
∴AEAD=APAB，
∴536=AP25，
∴AP=559，
故答案为：5或559．
总结提升：本题考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
55．(2023•柯桥区一模）如图，在平面直角坐标系中，M、N、C三点的坐标分别为（1，2），（6，2），（6，0）．点A为线段MN上的一个动点，连接AC，过点A作AB⊥AC交y轴于点B．当点A从M运动到N时，点B随之运动，点B经过的路径长是 6.5 ．
思路引领：延长NM交y轴于P点，则MN⊥y轴．作CQ⊥MN，交MN的延长线与Q．证明△PAB∽△QCA，得出PBQA=PAQC，设PA＝x，则QA＝PQ﹣PA＝4﹣x，设PB＝y，代入整理得到y＝3x−12x2=−12（x﹣3）2+92，根据二次函数的性质以及1≤x≤6，求出y的最大与最小值，可得结论．
解：如图，延长NM交y轴于P点，则MN⊥y轴．作CQ⊥MN，交MN的延长线与Q．
在△PAB与△QCA中，∠APB＝∠BAC＝90°，∠PAB＝∠QCA＝90°﹣∠CAQ，
∴△PAB∽△QCA，
∴PBQA=PAQC，
设PA＝x，则QA＝PQ﹣PA＝6﹣x，设PB＝y，
∴y6−x=x2，
∴y＝3x−12x2=−12（x﹣3）2+92，
∵1≤x≤6，
当x＝1时，PB＝2.5，
∴x从1到3的时候PB是从2.5到4.5运动了2，
x从3到6的时候，PB从4.5到0，总和是6.5．
综上所述，点B的运动路径的长为6.5．
故答案为：6.5．
总结提升：本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，得出y与x之间的函数解析式是解题的关键．