第02讲 专题 巧解电场强度的几种思维方法（原卷版+解析版） （自主复习）2024年新高二物理暑假提升精品讲义（人教版2019）

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核心考点聚焦
1.补偿法
2.微元法
3.对称法（镜像法）
4.等效替代法
5.极限法
6.转换法
7.图像法
高考考点聚焦
1.基本公式：定义式法、点电荷电场强度公式法、匀强电场公式法.场强有三个公式：E＝eq \f(F,q)、E＝keq \f(Q,r2)、E＝eq \f(U,d)，在一般情况下可由上述公式直接计算场强，
2.场强矢量叠加：
电场强度是矢量，叠加时应遵从平行四边形定则，分析电场的叠加问题的一般步骤是：
(1)确定分析计算场强的空间位置；
(2)分析该处有几个分电场，先计算出各个分电场在该点的电场强度的大小和方向；
(3)依次利用平行四边形定则求出矢量和．
在求解带电圆环、带电平面、带电球面等一些特殊带电体产生的场强时，上述公式无法直接应用．这时，如果转换思维角度，灵活运用补偿法、对称法、微元法、极限法、等效法等巧妙方法，可以化难为易．
3.对称法：
对称法实际上就是根据某些物理现象、物理规律、物理过程或几何图形的对称性进行解题的一种方法，利用此法分析解决问题可以避免复杂的数学演算和推导，直接抓住问题的实质，有出奇制胜之效。
利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，使复杂电场的叠加计算问题大为简化．
（1）场源分段对称
如图所示，均匀带电的eq \f(3,4)球壳在O点产生的场强，等效为弧BC产生的场强，弧BC产生的场强方向，又等效为弧的中点M在O点产生的场强方向.
（2）电场空间对称
等量同种、等量异种电场强度的对称性
4.微元法：将带电体分成许多电荷元，每个电荷元可看成点电荷，先根据库仑定律求出每个电荷元的场强；再结合对称性和场强叠加原理求出合场强。
求解均匀带电圆环、带电平面、带电直杆等在某点产生的场强问题，可应用微元法。
5.等效法：
“等效替代”方法，是指在效果相同的前提下，从A事实出发，用另外的B事实来代替，必要时再由B而C……直至实现所给问题的条件，从而建立与之相对应联系，得以用有关规律解之。如以模型代实物，以合力（合运动）替代数个分力（分运动）；等效电阻、等效电源等。
（1）割补法等效
求解物理问题，要根据问题给出的条件建立起物理模型。但有时由题给条件建立模型不是一个完整的模型，这时需要给原来的问题补充一些条件，组成一个完整的新模型。这样，求解原模型的问题就变为求解新模型与补充条件的差值问题。如图所示将有缺口的带电圆环补全为圆环，或将半球面补全为球面，从而化难为易、事半功倍．


（2）类比法等效
在保证效果相同的前提下，将复杂的电场情景变换为简单的或熟悉的电场情景．
例如：一个点电荷＋q与一个无限大薄金属板形成的电场，等效为两个异种点电荷形成的电场，如图甲、乙所示．
（3）平衡法等效：利用处于静电平衡中的导体求解电场强度
6.极值法：
极限法是把某个物理量的变化推向极端，从而做出科学的推理分析，给出判断或导出一般结论．用极限法分析某些物理过程时，可以使问题化难为易，化繁为简，收到事半功倍的效果．该方法一般适用于所涉及的物理量随条件单调变化的情况．物理学中的极值问题可分为物理型和数学型两类。物理型主要依据物理概念、定理求解。数学型则是在根据物理规律列方程后，依靠数学中求极值的知识求解。
如图所示，两带电量均为+Q的点电荷相距2L，MN是两电荷连线的中垂线，分析MN上场强的时可以用
极值法讨论：无限远处场强为零，中点处场强为零，所以从总店向外先变大后变小
一、填补法求解电场强度的叠加
1.（2022·山东高考）半径为R的绝缘细圆环固定在图示位置，圆心位于O点，环上均匀分布着电量为Q的正电荷。点A、B、C将圆环三等分，取走A、B处两段弧长均为ΔL的小圆弧上的电荷。将一点电荷q置于OC延长线上距O点为2R的D点，O点的电场强度刚好为零。圆环上剩余电荷分布不变，q为（ ）
A.正电荷，q＝QΔLπR
B.正电荷，q＝3QΔLπR
C.负电荷，q＝2QΔLπR
D.负电荷，q＝23QΔLπR
【答案】C
【解析】在取走A、B处两段小圆弧上的电荷之前，整个圆环上的电荷在O点产生的电场强度为零，而取走的A、B处的电荷的电量qA＝qB＝QΔL2πR，qA、qB在O点产生的合电场强度为EAB＝kQΔL2πRR2＝kQΔL2πR3，方向为从O指向C，故取走A、B处的电荷之后，剩余部分在O点产生的电场强度大小为kQΔL2πR3，方向由C指向O，而点电荷q放在D点后，O点电场强度为零，故q在O点产生的电场强度与qA、qB在O点产生的合电场强度相同，所以q为负电荷，即有kq(2R)2＝kQΔL2πR3，解得q＝2QΔLπR，故C正确。
2．（2021江苏高考真题）一球面均匀带有正电荷，球内的电场强度处处为零，如图所示，O为球心，A、B为直径上的两点，，现垂直于将球面均分为左右两部分，C为截面上的一点，移去左半球面，右半球面所带电荷仍均匀分布，则（ ）
A．O、C两点电势相等
B．A点的电场强度大于B点
C．沿直线从A到B电势先升高后降低
D．沿直线从A到B电场强度逐渐增大
【答案】A
【解析】A．由于球壳内部的场强为零，补全以后可知在左右侧球壳在C点的合场强为零，因左右球壳的场强具有对称性，要想合场强为零只能是两部分球壳在C点的场强都是水平方向，则可以知道右侧球壳在C点的合场强水平向左，同理OC上其他点的场强都是水平向左，因此OC是等势线，故A正确；BD．将题中半球壳补成一个完整的球壳，且带电均匀，设左、右半球在A点产生的电场强度大小分别为E1和E2；由题知，均匀带电球壳内部电场强度处处为零，则知E1=E2，根据对称性，左右半球在B点产生的电场强度大小分别为E2和E1，且E1=E2，在图示电场中，A的电场强度大小为E2，方向向左，B的电场强度大小为E1，方向向左，所以A点的电场强度与B点的电场强度相同，沿直线从A到B电场强度不可能逐渐增大，故BD错误；C．根据电场的叠加原理可知，在AB连线上电场线方向向左，沿着电场线方向电势逐渐降低，则沿直线从A到B电势升高，故C错误；
故选A。
解题归纳：解决此题的方法，由于添补圆环缺口，将带电体“从局部合为整体”，整体时有办法解决．再“由整体分为局部”，求出缺口带电圆环在O处的场强．
对称法求解电场强度的叠加
3.如图，电荷量为＋q的点电荷与一正方形均匀带电薄板相距2d，点电荷到带电薄板的垂线通过薄板的几何中心O，图中AO＝OB＝d，已知B点的电场强度为零，静电力常量为k。下列说法正确的是（ ）

A.薄板带正电，A点的电场强度大小为10kq9d2
B.薄板带正电，A点的电场强度大小为8kq9d2
C.薄板带负电，A点的电场强度大小为10kq9d2
D.薄板带负电，A点的电场强度大小为8kq9d2
【答案】A
【解析】B点的电场强度为零，而电荷量为＋q的点电荷在B点的电场强度方向由B到O，根据矢量合成可知，薄板在B点的电场强度方向由O到B，则薄板带正电，故C、D错误；B点的电场强度为零，则薄板在B点的电场强度大小与电荷量为＋q的点电荷在B点的电场强度大小相等为E＝kqd2，根据对称性，薄板在A点的电场强度大小也为E，方向由O到A，而电荷量为＋q的点电荷在A点的电场强度方向由O到A，则A点电场强度大小EA＝E＋kq(3d)2＝10kq9d2，故A正确，B错误。
故选A
解题归纳：利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，使复杂电场的叠加计算问题大为简化。形状规则的带电体形成的电场具有对称性，位置对称的两点处的电场强度大小相等。如果能够求出其中一点处的电场强度，根据对称性特点，另一点处的电场强度即可求出。
微元法求解电场强度的叠加
4.如图所示，水平面上有一均匀带电圆环，所带电荷量为＋Q，其圆心为O点。有一电荷量为＋q、质量为m的小球恰能静止在O点上方的P点，O、P间距为L。P与圆环上任一点的连线与PO间的夹角都为θ，重力加速度为g，以下说法错误的是( )
A．P点场强方向竖直向上
B．P点场强大小为eq \f(mg,q)
C．P点场强大小为keq \f(Qcsθ,L2)
D．P点场强大小为keq \f(Qcs3θ,L2)
【答案】C
【解析】将圆环分为n等份(n很大，每一份可以认为是一个点电荷)，则每份的电荷量为：q0＝eq \f(Q,n)，每份在P点产生的电场的电场强度大小为：E0＝eq \f(kq0,r2)＝eq \f(k\f(Q,n),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(L,csθ)))2)＝eq \f(kQcs2θ,nL2)，根据对称性可知，P点处水平方向的合场强为零，则P点的电场强度方向竖直向上，其大小为：E＝nE0csθ＝eq \f(kQcs3θ,L2)，故A、D正确，C错误；因小球在P点静止，由二力平衡可得：mg＝qE，解得P点场强大小为：E＝eq \f(mg,q)，故B正确。本题选说法错误的，故选C。
解题归纳：将带电体分成许多电荷元，每个电荷元可看成点电荷，先根据库仑定律求出每个电荷元的场强；再结合对称性和场强叠加原理求出合场强。求解均匀带电圆环、带电平面、带电直杆等在某点产生的场强问题，可应用微元法。微元法是从部分到整体的思维方法，把带电体看成由无数个点构成。然后根据对称性，利用平行四边形定则进行电场强度叠加。利用微元法可以将一些复杂的物理模型、过程转化为我们熟悉的物理模型、过程，以解决常规方法不能解决的问题。
等效替代法求解电场强度的叠加
5.(多选)如图所示，在真空中某竖直平面内固定一足够大的接地金属板MN，在MN右侧与其相距2d处的P点放置一电荷量为Q的正点电荷，如果从P点作MN的垂线，则O为垂足，A为O、P连线的中点，B为OP延长线上的一点，PB＝d。静电力常量为k，关于各点的电场强度，下列说法正确的是( )
A．O点场强大小为k eq \f(Q,2d2)
B．A点场强大小为k eq \f(Q,d2)
C．B点场强大小为k eq \f(24Q,25d2)
D．A、B两点场强大小相等，方向相反
【答案】AC
【解析】系统达到静电平衡后，因为金属板接地，电势为零，所以电场线分布如图所示，所以金属板右侧的电场的电场线分布与等量异种点电荷连线的中垂线右侧的电场线分布相同，所以O点场强大小为EO＝k eq \f(Q,（2d）2)＋k eq \f(Q,（2d）2)＝k eq \f(Q,2d2)，A正确；A点场强大小为EA＝k eq \f(Q,d2)＋k eq \f(Q,（3d）2)＝k eq \f(10Q,9d2)，B错误；B点场强大小为EB＝k eq \f(Q,d2)－k eq \f(Q,（5d）2)＝k eq \f(24Q,25d2)，C正确；由上述分析可知D错误。
解题归纳：“等效替代”方法，是指在效果一致的前提 ，从事实出发，用另外的事实来代替，从而建立与之相对应的联系，得以用有关规律解之，如以模型替代实物，以合力 (合运动)替代数个分力(分运动)：等效电阻、等效电源等。因此,在保证效果相同的条件下，将复杂的电场情景变换为简单的或熟悉的电场情景。等效法的实质是在效果相同的情况下，利用与问题中相似或效果相同的知识进行知识迁移的解题方法，往往是用较简单的因素代替较复杂的因素。
极限法求解电场强度的叠加
6.物理学中有些问题的结论不一定必须通过计算才能验证，有时只需要通过一定的分析就可以判断结论是否正确．如图所示为两个彼此平行且共轴的半径分别为R1和R2的圆环，两圆环上的电荷量均为q（q＞0），而且电荷均匀分布．两圆环的圆心O1和O2相距为2a，联线的中点为O，轴线上的A点在O点右侧与O点相距为r（r＜a）．是分析判断下列关于A点处电场强度大小E的表达式（式中k为静电力常量）正确的是（ ）
A．E＝|kqR1[R12+(a+r)2]−kqR2[R22+(a−r)2]| B．E＝|kqR1[R12+(a+r)2]32−kqR2[R22+(a−r)2]32|
C．E＝|kq(a+r)[R12+(a+r)2]−kq(a−r)[R22+(a−r)2]| D．E＝|kq(a+r)[R12+(a+r)2]32−kq(a−r)[R22+(a−r)2]32|
【答案】D
【解析】与点电荷的场强公式E＝kQr2，比较可知，A、C两项表达式的单位不是场强的单位，故可以排除AC；
当r＝a时，右侧圆环在A点产生的场强为零，则A处场强只由左侧圆环上的电荷产生，即场强表达式只有一项，故B错误。综上所述，可知D正确。
故选：D。
解题归纳：对于某些特殊情况下求解有关场强问题，有时无法用有关公式、规律得出结论，可考虑应用极限法。极限法是把某个物理量的变化推向极端再进行推理分析，从而做出科学的判断或导出一般结论。极限法一般适用于所涉及的物理量随条件单调变化的情况。在物理学中，通过对量纲的分析，有时可以帮助我们快速找到一些错误。
转换法求解电场强度的叠加
7.长为的导体棒原来不带电，现将一带电电量为的点电荷放在距棒的左端处，如图所示，当导体棒达到静电平衡后，棒上感应电荷在棒内中点处产生的场强大小等于 ，方向
+
+
+
+
+
+
+
【答案】 的方向向左
【解析】导体处于静电平衡状态时，导体内部合场强为零，这是点电荷所形成的电场与棒两端出现的感应电荷所形成的附加电场在棒中叠加的结果，即,如图6所示,因此可通过计算点电荷产生的场强来确定感应电荷的场强的大小和方向，即
，负号表示与方向相反，即的方向向左。
8.如图所示，金属球壳A的半径为R，球外点电荷的电量为Q，到球心的距离为r，则金属球壳感应电荷产生的电场在球心处的场强等于（ ）

A. B. C. 0 D.
【答案】D
【解析】金属球壳A放在电荷周围，将发生静电感应现象，当导体处于静电平衡时，其内部场强处处为零，所以，对金属球壳内任意一点感应电荷在此处产生的场强与点电荷Q在此处的场强大小相等，方向相反。而点电荷Q在球心的场强为，则感应电荷在球心处的场强为。故选D。
解题归纳：1．根据静电平衡状态下导体的特点，将求解感应电荷在导体内某点的场强问题，转换为求解场源电荷在该点的场强问题。
2．根据电场线与等势线垂直，求电场强度要先转化为找电场线，确定电场方向，再利用求解。
图像法求解电场强度的叠加
9.静电场方向平行于x轴，其电势φ随x的分布可简化为如图12所示的折线，图中φ0和d为已知量。一个带负电的粒子在电场中以x=0为中心，沿x轴方向做周期性运动。已知该粒子质量为m、电量为-q，其动能与电势能之和为－A（0E2
C．两处的电场方向相同，E1