2024年七年级数学暑假培优练（人教版）-暑假作业04 平方根与立方根类型题精练（原卷版+解析版）

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知识点1．平方根
（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“﹣”．
正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零．
平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
知识点2．算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
知识点3．非负数的性质：算术平方根
（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性．
（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．
知识点4．立方根
（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．
（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．
注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．
【规律方法】平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
知识点5．计算器—数的开方
正数a的算术平方根a与被开方数a的变化规律是：
当被开方数a的小数点每向左或向右平移2位时，它的算术平方根的小数点也相应向左或向右平移1位，即a每扩大（或缩小）100倍，a相应扩大（或缩小）10倍．
题型一：算术平方根的非负性
1．已知x，y满足，则( )
A．B．1C．5D．
【答案】A
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∴，
故选：A．
2．若，为实数，且，则（ ）
A．1B．C．D．2023
【答案】B
【详解】解：，
，，
，，
，
故选：．
3．若则等于（ ）
A．B．0C．2D．3
【答案】B
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
题型二：平方根的估算问题
4．估计的值应在（ ）
A．0和1之间B．1和2之间C．2和3之间D．3和4之间
【答案】C
【详解】解：，
，
故选：C．
5．若，则满足条件的可能是（ ）
A．8B．9C．15D．18
【答案】C
【详解】解：∵，
∴，
∴，即选项C符合题意．
故选C．
6．根据下列表格，估计的大小（ ）
A．在1.61~1.62之间B．在1.62~1.63之间C．在1.63~1.64之间D．在1.64~1.65之间
【答案】B
【详解】解：∵
∴
由表格数据可知：在之间
故选：B
7．有一款计算器，显示屏最多能显示14位（包括小数点）的数，例如：计算时，显示于显示屏．现在，想利用这款计算器知道中3的下一位数字是什么，可以用这款计算器计算下面（ ）的值．
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：∵，
∴，有14位，不符合题意；
，有13位，符合题意；
，有14位，不符合题意；
，有14位，不符合题意；
故选B
8．小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表．
下面有四个推断：①；②一定有3个整数的算术平方根在之间；③对于小于15的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差小于．所有合理推断的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】D
【详解】解：根据表格中的信息知：
，故①正确；
根据表格中的信息知：，
∴正整数或或的算术平方根在，
∴一定有个整数的算术平方根在之间，故②正确；
∵由题意设且，

由，
，
∴对于小于的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差小于，故③正确；
故选：D
9．若，则正整数x的值为 ．
【答案】1，2，3
【详解】解：∵，
∴，
∴
∴正整数x的值为1，2，3．
故答案为：1，2，3．
10．已知，，则 ．
【答案】
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
11．已知是的整数部分，，则的平方根是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查平方根与算术平方根，熟练掌握平方根与算术平方根是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴9的平方根是；
故答案为．
12．已知的整数部分是，小数部分是，则 ， ．
【答案】
【详解】解：∵的整数部分是，小数部分是，，
∴，，
故答案为：，．
13．如图，在甲、乙两个4×4的方格图中，每个小正方形的边长都为1．
（1）求图甲中阴影正方形的面积和边长；
（2）请在图乙中画一个与图甲阴影部分面积不相等的正方形，要求它的边长为无理数，并求出它的边长，及边长的整数部分和小数部分（答案直接写在横线上即可）．
解：（1）甲：面积______；边长______．
（2）乙：边长______，该边长的整数部分为______该边长的小数部分为______．
【答案】（1）10；；（2）；2；
【详解】解：（1）面积为，
边长为：；
故答案为：10；；
（2）正方形如图所示，
面积为，
边长为：；
，
该边长的整数部分为2；该边长的小数部分为．
故答案为：；2；
题型三：求平方根
14． 的平方根是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：，
，
故选：D．
15．若，，则的平方根等于（ ）
A．6B．13C．36D．
【答案】D
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，
∴的平方根等于；
故选D
题型四：平方根与立方根的综合问题
16．下列说法不正确的是（ ）
A．0的算术平方根是0
B．的平方根是2
C．正数的平方根互为相反数
D．一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数
【答案】B
【详解】解：∵0的算术平方根是0，
∴选项A不符合题意；
∵，4的算术平方根是
∴的平方根是，
∴选项B符合题意；
∵正数的平方根互为相反数，
∴选项C不符合题意；
∵一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数，
∴选项D不符合题意，
故选：B．
17．已知的立方根为3，的算术平方根为4， 求的平方根．
【答案】
【详解】解：由题意得，，
解得：，，
则，
∵
∴的平方根是．
18．已知是的算术平方根，是的立方根，求的平方根．
【答案】
【详解】解：∵是的算术平方根，
∴
∵是的立方根，
∴
由①②得：
∴
∴的平方根为
19．已知的算术平方根是，的立方根是．
(1)求与的值；
(2)求的立方根．
【答案】(1)，(2)
【详解】（1）解：的算术平方根是，
，
解得：，
的立方根是，
，
解得：；
（2）由(1)知，，
，
的立方根为．
题型五：利用平方根、立方根的性质解方程
20．求下列各式中的的值：
(1)；
(2)；
【答案】(1)(2)或
【详解】（1）解：，
∴，
∴；
（2），
∴，
∴，
∴或，
∴或．
21．求下列各题中的的值．
(1)；
(2)．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：由得：，
解得：；
（2）由得：，
解得：．
题型六：平方根、立方根的应用问题
22．如图，小英的爸爸在一块边长为5米的正方形内种植玉米，为了增加产量，小英的爸爸决定扩大种植面积，若扩大后的正方形面积是现在正方形面积的3.24倍，则边长需要延长（ ）

A．3米B．3.5米C．4米D．4.5米
【答案】C
【详解】解：设需要延长边长x米，则扩大后的正方形黄瓜地的边长为米，
依题意得：，
即
∴
解得：，（不符合题意，舍去），
∴需要延长边长4米．
故选：C
23．（23-24七年级下·陕西安康·期中）勤俭节约是中华民族传统美德，小轩的爸爸是能工巧匠，如图，他把两块废弃的正方形木板分割重新拼接成一张完整的正方形桌面，其面积为平方米，其中他用的一块木板的边长为米，求另一块木板的边长是多少米?
【答案】另一块木板的边长为米
【详解】解：设另一块木板的边长为x米，则 ，即 ，
∵，
∴，
答：另一块木板的边长为米．
24．如图，一根细线上端固定，下端系一个小重物，让这个小重物来回自由摆动，来回摆动一次所用时间（单位：与细线长度（单位：之间满足关系，当细线长度为1分米时，小重物来回摆动一次所用的时间是多少？取值为

【答案】小重物来回摆动一次所用的时间是秒
【详解】解：分米，
（秒，
答：小重物来回摆动一次所用的时间是秒
25．（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，是一块体积为512立方厘米的立方体铁块．

(1)求出这个铁块的棱长；
(2)现在工厂要将这个铁块融化，重新锻造成三个棱长为4厘米的小立方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为5厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长．
【答案】(1)8厘米(2)8厘米
【详解】（1）解：（厘米）
答：棱长为8厘米；
（2）解：（厘米）
答：正方形的边长为8厘米．
26．王老师在《给数学学习插上想象的翅膀》的数学兴趣课上引导同学们展开了丰富的想象（如图）：
然后引导同学们解决以下两个问题：
(1)求的平方根；
解：由知，求的平方根也就是求4的平方根；的平方根是________；（填空）
(2)一个正数的平方根分别是和，的立方根是，求的值．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）的平方根是±2；
（2）∵一个正数的两个平方根互为相反数
∴，
∴，
∵的立方根是，
∴，
∴，
∴．

27．下列说法正确的是（ ）
A．的平方根是B．的算术平方根是
C．是27的立方根D．的平方根是
【答案】D
【详解】解：A. 的平方根是，故该选项错误，不符合题意；
B. 的算术平方根是，故该选项错误，不符合题意；
C.3是27的立方根，故该选项错误，不符合题意；
D. 的平方根是，故该选项正确，符合题意．
故选D．
28．（23-24八年级下·四川泸州·期中）已知实数满足，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，掌握非负数的和为0时，各个非负数都等于0是解决本题的关键．
【详解】解：，
又，，
，．
，．
．
故答案为：．
29．某装修公司现有一块面积为的正方形的木板，准备做装饰材料用，设计师王师傅设计了如下两种方案：
方案一：沿着边的方向裁出一块面积为的长方形装饰材料；
方案二：沿着边的方向裁出一块面积为的长方形装饰材料，且长宽比为．
王师傅设计的两种方案是否可行？若可行，请帮助解决如何裁剪；若不可行，请说明理由．
【答案】方案一可行，方案二不可行，理由见解析
【详解】解：方案一可行．
∵正方形木板的面积为，
正方形木板的边长为．
如图所示，沿着裁剪，
∵，
只要使就满足条件；
方案二不可行．理由如下：
设所裁长方形装饰材料的长为、宽为，
则，即，
解得（负值已舍去），
所裁长方形的长为，
∵，
所裁长方形的长大于正方形的边长，
方案二不可行．
30．如图，小华用两个面积为的小正方形拼成一个的正方形．
(1)则大正方形的边长为__________．
(2)若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为，且面积为？
(3)小华手中有一个面积为的圆、请问，这个圆可以完全覆盖拼成的大正方形吗？请说明理由．（取3.14）
【答案】(1)20(2)能(3)可以，理由见详解
【详解】（1）解：大正方形的边长是，
故答案为：20；
（2）解：设长方形纸片的长为，宽为，
则，
解得：，
根据题意得，取正值，则，
则，
所以沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，不能使剪出的长方形纸片的长宽之比为，且面积为；
（3）解：这个圆可以以完全覆盖拼成的大正方形，
理由：设圆的半径为，
则，
，
圆的直径为，
大正方形的对角线长为，
这个圆可以完全覆盖拼成的大正方形．
31．据说我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出，得到正确答案．邻座乘客十分惊讶，忙问其中奥妙．华罗庚给出了如下的解题步骤：
(1)由，因为，所以是________位数；
(2)已知59319的个位上的数字是9，所以的个位上的数字是________；
(3)如果划掉59319的后面三位319，得到59，而由，因为，所以的十位上的数字是________；
(4)综上所述，________；已知，是整数的立方，请你仿照华罗庚的方法，计算：．
【答案】(1)两(2)9(3)3(4)39；49
【详解】（1）解：由题意得，，
∴是两位数，
故答案为：两；
（2）解：∵的个位上的数是，只有个位数字是的数的立方的个位数字是，
∴的个位数字是；
（3）解：如果划去后面的三位得到数，而，所以，即的十位数字是，
故答案为：3．
（4）解；由（1）（2）（3）可知；
第一步：因为，，，
所以．
第二步：因为的个位上的数是9，只有个位数字是9的数的立方的个位数字是9，∴的个位数字是9．
第三步：如果划去后面的三位得到数，而，，
∵，
∴的十位数字是4，
∴．
故答案为：39；．
32．若用表示任意正实数的整数部分，例如：，，，则式子的值为（ ）（式子中的“”，“”依次相间）
A．22B．C．23D．
【答案】C
【详解】，，
与之间共有个数，
，，
与之间共有个数，
，，
与之间共有个数，
，
，，
与之间共有个数，
．
故选C．
33．设x、y、z是两两不等的实数，且满足下列等式：
，则的值为 ．
【答案】0
【详解】及且x、y、z是两两不等的实数，
且，
，
，，
与、均同号，或，
又，，故、不同号，
，
，
，
故答案为0．
34．（22-23七年级下·安徽淮北·阶段练习）请认真阅读下面的材料，再解答问题．
依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义．
比如：若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根；若，则叫的四次方根．
(1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义；
(2)81的四次方根为______；的五次方根为______；
(3)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是______；
(4)求的值：．
【答案】(1)若，则叫的五次方根(2)(3)，为任意实数(4)或
【详解】（1）解：五次方根的定义：若，则叫的五次方根；
（2）解：；
故答案为：；
（3）解：∵是一个数的四次方，
∴，
∴；
∴若有意义，则的取值范围是；
∵中是一个数的五次方，
∴为任意实数．
故答案为：，为任意实数；
（4）解：，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴或．
35．（22-23七年级下·北京西城·期中）如图，过点P作直线分别与直线，相交于E、F两点，的角平分线交直线于点M，射线交直线于点N．设，，，其中x、y、z满足．
(1)___________，___________，___________；
(2)求证：；
(3)过点P作直线分别交直线于点Q，交直线于点R，且Q不与M重合，R不与N重合．作的角平分线交线段于点S，直接写出与的数量关系___________．
【答案】(1)80；140；140(2)见解析(3)或或
【详解】（1）解：∵，
∴，，，
解得：，，，
故答案为：80；140；140．
（2）证明：如图，过P作，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴．
（3）解：当点Q在线段上时，过点S作，，如图所示：
∵，
∴，，
∴，，，，
∵是的角平分线，是的平分线，
∴，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴；
当点Q在点M的左侧时，过点S作，，如图所示：
∵，
∴，，
∴，，，，
∵是的角平分线，是的平分线，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
，
∴，
即；
当点Q在点E的右侧时，过点S作，，如图所示：
∵，
∴，，
∴，，，，
∵是的角平分线，是的平分线，
∴，，
∴，，
∴，
即；
故答案为：或或．
36．（2023·江苏无锡·中考真题）实数9的算术平方根是（ ）
A．3B．C．D．
【答案】A
【详解】解：，
故选：A．
37．（2023·山东·中考真题）面积为9的正方形，其边长等于（ ）
A．9的平方根B．9的算术平方根C．9的立方根D．5的算术平方根
【答案】B
【详解】解：∵面积等于边长的平方，
∴面积为9的正方形，其边长等于9的算术平方根．
故选B．
38．（2023·湖北荆州·中考真题）若，则 ．
【答案】
【详解】解：∵，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
39．（2023·四川内江·中考真题）若a、b互为相反数，c为8的立方根，则 ．
【答案】
【详解】解：根据题意得：，
，
故答案为：x
1.61
1.62
1.63
1.64
1.65
2.5921
2.6244
2.6569
2.6896
2.7225