综合备战2025年高考数学- 指对幂函数及函数的基本性质专题复习（新高考通用）

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1．（2023·新高考Ⅰ卷高考真题第4题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·新高考Ⅱ卷高考真题第4题）若为偶函数，则（ ）．
A．B．0C．D．1
3．（2022·新高考Ⅰ卷高考真题第7题）设，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·新高考Ⅱ卷高考真题第8题）已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A．B．C．0D．1
5．（2021·新高考Ⅰ卷高考真题第13题）已知函数是偶函数，则 .
6．（2021·新高考Ⅱ卷高考真题第7题）已知，，，则下列判断正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．（2021·新高考Ⅱ卷高考真题第8题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
单调性
单调性的运算
①增函数（↗）增函数（↗）增函数↗
②减函数（↘）减函数（↘）减函数↘
③为↗，则为↘，为↘
④增函数（↗）减函数（↘）增函数↗
⑤减函数（↘）增函数（↗）减函数↘
⑥增函数（↗）减函数（↘）未知（导数）
复合函数的单调性
奇偶性
①具有奇偶性的函数定义域关于原点对称（大前提）
②奇偶性的定义：
奇函数：，图象关于原点对称
偶函数：，图象关于轴对称
③奇偶性的四则运算
周期性（差为常数有周期）
①若，则的周期为：
②若，则的周期为：
③若，则的周期为：（周期扩倍问题）
④若，则的周期为：（周期扩倍问题）
对称性（和为常数有对称轴）
轴对称
①若，则的对称轴为
②若，则的对称轴为
点对称
①若，则的对称中心为
②若，则的对称中心为
周期性对称性综合问题
①若，，其中，则的周期为：
②若，，其中，则的周期为：
③若，，其中，则的周期为：
奇偶性对称性综合问题
①已知为偶函数，为奇函数，则的周期为：
②已知为奇函数，为偶函数，则的周期为：
对数的性质与运算法则
①两个基本对数：①，②
②对数恒等式：①，②。
③换底公式：；
推广1：对数的倒数式
推广2：。
④积的对数：；
⑤商的对数：；
⑥幂的对数：❶，❷，
❸，❹
幂函数
恒过定点
幂函数的单调性
幂函数的奇偶性
与指数函数相关的奇函数和偶函数
，（，且）为偶函数，
，（，且）为奇函数
和，（，且）为其定义域上的奇函数
和，（，且）为其定义域上的奇函数
为偶函数
与对数函数相关的奇函数和偶函数
，（且）为奇函数，
，（且）为奇函数
1．（2024·江苏·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，则实数（ ）
A．－1B．0C．D．1
2．（2024·江苏宿迁·一模）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·重庆·模拟预测）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·重庆·模拟预测）已知是周期为的函数，且都有，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·湖南·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，对任意实数.当时，.则的值为（ ）
A．0B．1C．D．
6．（2024·山东青岛·一模），，，则的值为（ ）
A．2B．1C．0D．－1
7．（2024·福建厦门·一模）已知函数的定义域为，，，，若，则（ ）
A．B．C．2D．4
8．（2024·浙江·二模）若函数为偶函数，则实数a的值为（ ）
A．B．0C．D．1
9．（2024·河北沧州·一模）已知定义在上的函数满足：，且．若，则（ ）
A．506B．1012C．2024D．4048
10．（2024·安徽·模拟预测）科学家从由实际生活得出的大量统计数据中发现以1开头的数出现的频率较高，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出定律：在大量b进制随机数据中，以n开头的数出现的概率为，如裴波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若（，），则k的值为（ ）
A．11B．15C．19D．21
11．（2024·全国·模拟预测）万有引力定律是英国伟大的物理学家、数学家、天文学家牛顿提出来的，即任意两个质点通过连心线方向上的力相互吸引，其数学表达式为，其中表示两个物体间的引力大小，为引力常数，分别表示两个物体的质量，表示两个物体间的距离.若地球与月球的近地点间的距离为，与月球的远地点间的距离为，地球与月球近地点间的引力大小为，与月球远地点间的引力大小为，则（ ）
A．B．
C．D．
12．（2024·全国·模拟预测）在一个空房间中大声讲话会产生回音，这个现象叫做“混响”．用声强来度量声音的强弱，假设讲话瞬间发出声音的声强为，则经过秒后这段声音的声强变为，其中是一个常数．把混响时间定义为声音的声强衰减到原来的所需的时间，则约为（参考数据：）（ ）
A．B．C．D．
13．（2024·河北沧州·模拟预测）某企业的废水治理小组积极探索改良工艺，致力于使排放的废水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量为，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为，第n次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量满足函数模型（，），其中为改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量，为首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量，n为改良工艺的次数．假设废水中含有的污染物数量不超过时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少为（ ）（参考数据：，）
A．12B．13C．14D．15
14．（2024·河北·模拟预测）已知定义在上的函数满足，则（ ）
A．是奇函数且在上单调递减
B．是奇函数且在上单调递增
C．是偶函数且在上单调递减
D．是偶函数且在上单调递增
15．（2024·全国·模拟预测）已知函数是偶函数，则（ ）
A．B．C．0D．2
16．（2024·全国·模拟预测）若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
17．（2024·湖南岳阳·二模）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
18．（2024·全国·二模）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
19．（2024·全国·模拟预测）已知，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
20．（2024·云南贵州·二模）若函数的定义域为且图象关于轴对称，在上是增函数，且 ，则不等式的解是（ ）
A．B．
C．D．
21．（2024·河北·模拟预测）定义在上的函数周期为，且为奇函数，则（ ）
A．为偶函数B．为偶函数
C．为奇函数D．为奇函数
22．（2024·安徽淮北·一模）已知定义在上奇函数满足，当时，，则（ ）
A．B．C．D．
23．（2024·辽宁大连·一模）设函数则满足的x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
24．（2024·辽宁·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，也是定义在上的奇函数，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
25．（2024·广东·一模）已知函数的定义域为，且满足是偶函数，，若，则（ ）
A．202B．204C．206D．208
26．（2024·河南新乡·二模）已知函数满足，则下列结论一定正确的是（ ）
A．是奇函数B．是奇函数
C．是奇函数D．是奇函数
27．（2024·山东烟台·一模）已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（ ）
A．B．C．D．
28．（2024·山东菏泽·一模）已知，其中是奇函数且在上为增函数，则（ ）
A．B．
C．D．
29．（2024·山东济宁·一模）设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ）
A．B．0C．1D．2
30．（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为 （ ）
A．B．
C． D．