精品解析：浙江省丽水市发展共同体2023-2024学年高一上学期12月联考数学试题

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考生须知：
1.本卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号并填涂相应数字.
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4.考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
一､单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.〕
1. 与角的终边相同的角的集合是
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】在范围内找出与角终边相同的角，然后可得出与角终边相同的角的集合.
【详解】因为，所以角与角的终边相同，所以与角的终边相同的角的集合为.
故选B．
【点睛】本题考查终边相同的角的集合，一般要在范围内找出终边相同的角，并以此角来表示相应的集合，属于基础题.
2. 已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为3，则其面积为
A. 3B. 6C. 9D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】首先求得半径，然后利用面积公式求解其面积即可.
【详解】设扇形的半径为，由题意可得：，则，
扇形的面积.
本题选择B选项.
【点睛】本题主要考查弧度制的定义，扇形面积公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
3. 若，则“”是“”成立的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据分式不等式和一元二次不等式的解法，结合充分条件和必要条件的定义即可得解.
【详解】由，解得，
由，解得，
所以“”是“”成立的充分不必要条件.
故选：A.
4. 已知函数（且）的图象恒过定点，若角的终边经过点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出，再由三角函数定义得到答案.
【详解】当时，，故过定点，
由三角函数定义可得：，.
故选：A
5. 已知， 则a，b，c的大小关系是（ ）
A. b>c>aB. c>a>bC. b>a>cD. c>b>a
【答案】D
【解析】
【分析】
根据指数函数、对数函数的单调性，选取中间量即可比较大小.
【详解】， ，
，则.
故选：D.
【点睛】比较大小的方法有：
（1）根据单调性比较大小；（2）作差法比较大小；（3）作商法比较大小；（4）中间量法比较大小.
6. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量低于的驾驶员可以驾驶汽车，酒精含量达到一一的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液上升到了.如果停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶汽车？（参考数据：，）（ ）
A. 1B. 3C. 5D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】由条件可推知，再结合对数公式即可求解.
【详解】解：由题意得：血液中酒精含量低于的驾驶员可以驾驶汽车
故，即
两边取对数即可得，即
那么他至少经过5个小时才能驾驶汽车
故选：C
7. 已知不等式对满足的所有正实数都成立，则正实数的最小值为（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】先利用基本不等式证得（此公式也可背诵下来），从而由题设条件证得，结合题意得到，利用二次不等式的解法解之即可得到正数的最小值.
【详解】因为
，当且仅当时，等号成立，
所以，
因为，为正实数且，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，即，
因为对满足所有正实数，都成立，
所以，即，整理得，
解得或，由为正数得，
所以正数的最小值为.
故选：B.
8. 设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．
【详解】[方法一]：
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．
所以．
[方法二]：
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数的周期．
所以．
故选：D．
【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．
二､多项选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9. 已知表示集合的整数元素的个数，若集合（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据对数函数的单调性、一元二次不等式的解法，结合集合并集、交集、补集的定义、已知定义逐一判断即可.
【详解】由，
因此，
由，
因此.
A：因为集合中的整数有，共10个，
所以，因此本选项正确；
B：因为，
所以本选项不正确；
C：因为集合中的整数有，共9个，
所以，因此本选项正确；
D：因为，所以，
因为，所以，因此本选项正确，
故选：ACD
10. 下列说法不正确的是（ ）
A. 命题“，都有”的否定是“，使得”
B. 集合，若，则实数的取值集合为
C. 若幂函数在上为增函数，则
D. 若存在使得不等式能成立，则实数的取值范围为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定判断A，由求出的值，即可判断B，根据幂函数的性质判断C，参变分离得到存在使得不等式能成立，由二次函数的性质求出，即可求出参数的取值范围，从而判断D.
【详解】对于A：命题“，都有”的否定是“，使得”，故A错误；
对于B：由，则，当时，符合题意，
当时，当时，所以实数的取值集合为，故B错误；
对于C：若幂函数在上为增函数，则，
解得或，
当时在上不单调，故舍去，
当时在上为增函数，符合题意，故C正确；
对于D：存在使得不等式能成立，
则存在使得不等式能成立，
令，，则在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，即实数的取值范围为，故D错误；
故选：ABD
11. 若函数，定义域为，下列结论正确的是（ ）
A. 的图象关于轴对称B. ，使
C. 在和上单调递减D. 的值域为
【答案】AC
【解析】
【分析】分析函数的奇偶性判断A；令，求出的值和定义域比较判断B；分别在和研究函数单调性判断C；求出函数的值域判断D.
【详解】对于A，，定义域为，关于原点对称，
，所以为偶函数，关于轴对称，故A正确；
对于B， ，则，即，解得，与定义域矛盾，
所以不存在，使，故B错误；
对于C，，
因当和，单调递增，所以单调递减，即单调递减，故C正确；
对于D，，
因为且，则且，
所以且，即且，
所以的值域为，故D错误，
故选：AC.
12. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B.
C. 若，则或
D. 若方程有两个不同的实数根，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】解方程可判断A选项；求出的值，可判断B选项；解不等式可判断C选项；数形结合可判断D选项.
【详解】对于A选项，当时，由，可得，
当时，由，可得.
综上所述，若，则或，A错；
对于B选项，，
所以，，B对；
对于C选项，当时，由，可得，解得，此时，
当时，由，可得，解得，此时，
综上所述，若，则或，C对；
对于D选项，作出函数与函数的图象如下图所示：
由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，
此时方程有两个不等的实根，D对.
故选：BCD.
非选择题部分
三､填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13. 已知函数的定义域为，则的定义域为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由抽象函数的定义域直接求解即可.
【详解】因为函数的定义域为，所以的定义域需要满足，
所以，解得，
故答案为：.
14. 若是定义在上的增函数，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由是定义在上的增函数，则两段分别递增且时需要满足，解之即可得答案.
【详解】因为是定义在上的增函数，
当时，，对称轴为，
所以有，解得，
故答案为：.
15. 若函数经过点，且，则的最小值为________．
【答案】
【解析】
【分析】运用代入法，结合基本不等式进行求解即可.
【详解】因为函数经过点，
所以，因为且，所以，
当且仅当时取等号，即当且仅当时取等号，
故答案为：
16. 设是定义在上的偶函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可得，利用函数的单调性可得，整理得到
对上恒成立，设，进而列出不等式组，解之即可.
【详解】因为是定义在R上的偶函数，且对恒有，
所以，
因为时，，所以，
又函数在上得到递增，所以，
两边同时平方，得，即，
令，即对恒小于或等于0，
所以，即，解得.
即b的取值范围为.
故答案为：
四､解答题：（本大题共6小题，17题10分，其余各题12分，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
17. （1）计算：；
（2）已知，求的值.
【答案】（1）；（2）1
【解析】
【分析】（1）根据换底公式及对数的运算性质计算可得；
（2）首先求出，再根据同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得.
【详解】（1）
；
（2）因为，所以，
所以
.
18. 已知，若的解集为
（1）求实数的值
（2）求关于的不等式的解集．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】(1)根据给定条件可得，是方程的两个根，再借助韦达定理列式计算得解.
(2)利用(1)的结论，再将分式不等式化为一元二次不等式求解作答.
【小问1详解】
依题意，，是方程的两根，且，于是得，解得，
所以实数的值为-2.
【小问2详解】
由(1)知，，则原不等式为：，即，化为，解得或，
所以原不等式的解集为．
19. 某工厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产千件，需另投入成本为，当年产量不足80千件时，（万元）；当年产量不小于80千件时，（万元），每千件商品售价为50万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.
（1）写出年利润（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式：
（2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获的年利润最大？
【答案】（1）
（2）100千件
【解析】
【分析】（1）分、两种情况分别求出；
（2）利用二次函数及基本不等式计算可得.
【小问1详解】
由题可知当时，，
当时，，
所以；
【小问2详解】
当时，，
则时有最大值；
当时，，
当时，，当且仅当，即时取等号，
所以当时有最大值；
综上，年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大.
20. 已知函数.
（1）判断并证明函数的奇偶性；
（2）用定义证明函数在上为减函数；
（3）已知，若，求的值.
【答案】（1）证明见解析，奇函数
（2）证明见解析 （3）.
【解析】
【分析】（1）根据函数奇偶性的定义进行证明；
（2）利用函数单调性的定义进行证明；
（3）根据单调性进行转化求解即可．
【小问1详解】
函数是奇函数，
证明：函数，其定义域为，
由，
所以函数f（x）为奇函数；
【小问2详解】
设任意满足，
则
，
又由，得，即，
故函数在上为减函数；
【小问3详解】
根据题意，因为，，
又因函数在上为单调递减函数，由，
必有，即，又，
所以.
21. 已知实数且，函数.
（1）设函数，若在上恰有两个零点，求的取值范围；
（2）设函数，若在上单调递增，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）参变分离可得在上有两个解，令，令，，求出的最大值与左端点的函数值，即可求出参数的取值范围；
（2）分和两种情况讨论，结合对数函数的性质得到在上的单调性与取值情况，从而得到不等式组，解得即可.
【小问1详解】
依题意在上有两个零点，
可化为在上有两个解，
即与在上有两个交点，
设，令，
得，又，
且在上单调递增，在上单调递减，的图象如下所示：
由图可得，符合且，所以.
【小问2详解】
因为在上单调递增，
①当时，在定义域上为减函数，
则在上为减函数，且在上恒成立，
所以，不等式无解；
②当时，在定义域上为增函数，
则在上为增函数，且在上恒成立，
所以，解得；
综上所述：.
22. 已知函数.
（1）若，求的值域；
（2）对任意，存在，使得，求实数a的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）求出分段函数的解析式，再求每一段的值域即得解；
（2）对分五种情况分析讨论得解.
【小问1详解】
时，
当时，，则，无最大值.
当时，.
故的值域为.
【小问2详解】
∵，∴时，
时，
下面证明函数在单调递减，在单调递增.
设
所以
所以，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
所以函数在单调递减，在单调递增.
①时，应满足 ，解为空集；
②时，应满足 ，解得
③时，应满足 ,解得;
④时，应满足 ,
等价于即
⑤时，此时在单调递减，不合题意.
综上所述，a的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于分类讨论的思想的运用，要充分理解分类的起因、标准、过程和结果.分类讨论是一种重要的数学思想.