精品解析：浙江省丽水市三校联考2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题

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考生须知：
1．本卷满分150分，考试时间120分钟；
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号（填涂）；
3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；
选择题部分（共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据指数函数单调性得到，解不等式求出，利用并集概念求出答案.
【详解】，故，
令，解得，故，
故.
故选：C
2. 设命题，则的否定为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由特称命题的否定可直接得到结果.
【详解】命题，则的否定为：.
故选：B
【点睛】全称量词命题的否定是特称（存在）量词命题，特称（存在）量词命题的否定是全称量词命题．
3. 函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，得到函数为偶函数，且当时，，结合选项，即可求解.
【详解】由函数，可得其定义域为，且，
所以函数为偶函数，其图象关于轴对称，
又由时，，结合选项，只有B项符合题意.
故选：B.
4. 方程的根所在区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】构造函数，判断函数的单调性，然后根据零点存在性定理分析判断即可
【详解】构造函数，
因为和在上单调递减，所以函数在上单调递减，
且函数的图象是一条连续不断的曲线，
因为，，，
由的单调性可知，，则，
故函数的零点所在的区间为，
即方程的根属于区间．
故选：C
5. 若，则“”的充分不必要条件是（ ）
A. 且B. 且
C. 且D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】对于选项A和B，可通过对取特殊值进行验证判断，从而判断出正误；对于选项C，利用选项C中的条件，得出，从而得出选项C是充要条件，从而判断出不符合结果，进而得出结论.
【详解】对于A，当时，有且，但，故A错误；
对于B，当时，有且，但得不出，故B错误；
对于C，由，得到且或且，又，故且，此时是充要条件，故C错误；
综上，可知符合条件的为选项D.
故选：D.
6. 用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】由于长度等于的区间，每经这一次操作，区间长度变为原来的一半，那么经过次操作后，区间长度变为，若要求精确度为0.01时则，解不等式即可求出所需二分区间的最少次数.
【详解】因为开区间的长度等于，每经这一次操作，区间长度变为原来的一半，
所以经过次操作后，区间长度变为，
令，解得，且，故所需二分区间的次数最少为6.
故选：B.
7. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先根据根与系数的关系利用韦达定理求解系数，然后解不等式即可；
【详解】由不等式的解集为，
知是方程的两实数根，
由根与系数的关系，得，解得：，
所以不等式可化为，解得：或，
故不等式的解集为：.
故选：D.
8. 已知函数在其定义域内为偶函数，且，则（ ）
A. B. C. 2021D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】根据条件先求解出的值，然后分析的取值特点，从而求解出结果.
【详解】因为为偶函数，所以，所以，
所以且不恒为，所以，
又因为，所以，所以，所以，
又因为，
所以，
故选：A.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 若，，，则下列命题正确的是（ ）
A. 若且，则B. 若，则
C. 若，则D. 若且，则
【答案】BC
【解析】
【分析】直接根据所给条件不等式结合作差法去证明结论正确或者举出反例推翻结论即可.
【详解】对于A，若，满足且，但，故A错误；
对于B，若，则，即，故B正确；
对于C，若，则，即，故C正确；
对于D，若，这当然也满足，但此时，故D错误.
故选：BC.
10. 若，则下列选项成立的是（ ）
A. B. 若，则
C. 的最小值为D. 若，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】作差配方即可判断A；利用基本不等式将条件化为关于的一元二次不等式，然后求解即可判断B；根据基本不等式求最值取等号的条件可判断C；对不等式等价变形，消元后配方即可判断D.
【详解】A选项：因为，时等号成立，所以，A正确；
B选项：因为，
所以，解得或（舍去），
所以，当时等号成立，B正确；
C选项：，
因为无实数解，所以等号不成立，C错误；
D选项：因为，
所以不等式，
即，
因为，所以不等式成立，
当且仅当时，等号成立，D正确.
故选：ABD
11. 已知函数，则下列四个结论中不正确的是（ ）
A. 函数的图象关于点中心对称
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数在区间内有4个零点
D. 函数在区间上单调递增
【答案】ABD
【解析】
【分析】令，求得，可判定A不正确；令，求得可判定B不正确；由时，可得，可判定C正确；由，结合正弦函数的性质，可判定D不正确.
【详解】对于函数，
对于A中，令，可得，
所以函数的图象不关于点中心对称，所以A不正确；
对于B中，令，可得不是最值，
所以函数的图象不关于直线对称，所以B不正确；
对于C中，由，可得，
当时，可得，
所以在上有4个零点，所以C正确；
对于D中，由，可得，
根据正弦函数的性质，此时先减后增，所以D不正确.
故选：ABD.
12. 已知函数，的零点分别为，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】由指数函数、对数函数、的对称性，再利用指数幂，对数运算判断选项即可.
【详解】
如图，因为函数的图像关于对称，
因为，所以，
由，
所以的反函数是其本身，则其图像也关于对称，
设与的图像交点为，
与的图像交点为，
对于A，与关于对称，
则，所以A错误；
对于B，因为，所以，则，
所以，故B正确；
对于C， ，C正确；
对于D，，则，所以，
所以D错误；
故选：BC
非选择题部分（共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13 __________．
【答案】
【解析】
【分析】根据分数指数幂及换底公式计算即可；
【详解】原式．
故答案为：
14. 幂函数在上为减函数，则实数的值为__________.
【答案】0
【解析】
【分析】根据幂函数的定义和性质即可得解.
【详解】因为幂函数在上为减函数，
所以，解得.
故答案为：
15. 已知角的终边经过点，则__________．
【答案】##0.2
【解析】
【分析】根据三角函数定义得到方程，求出，进而求出正弦和余弦，求出答案.
【详解】由题意得，解得，
故，所以，，
故.
故答案为：
16. 已知函数是奇函数，不等式组的解集为，且，满足，，则______，______.
【答案】 ①. 0 ②. ##
【解析】
【分析】根据奇函数定义求出；根据的解集为，且且，满足，求出即可.
【详解】的定义域为，又函数是奇函数，所以定义域关于对称，
从而，即.当时，，.故；
，不等式组等价于，
因为其解集为，是开区间，所以函数在不单调，所以；
又，所以，因此，是的两个正根，即，
所以，解得，
又因为，所以，
即，解得或（舍）.
故答案为：0；.
【点睛】关键点睛：本题主要考察型函数的图象问题，根据的解集为开区间确定函数在不单调，从而确定“，是的两个正根”是解题的关键.
四、解答题：本题共6小题，第17题10分，第18-22题每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. （1）已知是方程的根，，求的值；
（2）已知，，且，，求和的值．
【答案】（1）；（2）或．
【解析】
【分析】（1）根据题意，求得，再结合三角函数的诱导公式，准确化简、运算，即可求解；
（2）根据题意，求得和，得到，进而得到或，分类讨论，即可求解.
【详解】解：（1）由方程，解得，
因为，所以，
又因为，所以，则，
又由.
（2）由，可得，….. ①
又由，可得，…..②
得：，
所以，解得，
因为，所以或，
当时，由，所以，
又因为，所以；
当时，由，所以，
又，所以；
综上可得，或．
18. 已知，命题：，命题：函数在上存在零点.
（1）若是真命题，求的取值范围；
（2）若，中有一个为真命题，另一个为假命题，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）解一元二次不等式，即可得答案；
（2）求出为真命题时m的取值范围，再分类讨论命题，的真假，即可求得答案.
【小问1详解】
因为是真命题，所以成立，解得；
【小问2详解】
若为真命题，则函数在上存在零点，
则方程在上有解，
因为，该方程在有解时两解同号，所以方程在上有两个正根，
则，得，
若为真命题，为假命题，得，
若为假命题，为真命题，得，
所以的取值范围为或.
19. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，.
（1）求在上取值范围；
（2）求的函数关系式；
（3）设，若对于任意，都存在，使得，求正数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据二次函数单调性求最值；
（2）利用函数的奇偶性求函数在对称区间上的解析式；
（3）根据题意求出，转化为的值域包含的值域即可得解.
小问1详解】
因为的对称轴为，
所以函数在单调递减，在单调递增，
因为，所以在上的值域为；
【小问2详解】
因为是定义在上奇函数，所以；
设，则，所以；
又因为是定义在上的奇函数，所以，
所以
【小问3详解】
因为，所以，所以，
当时，，因为在上递增，所以在上递增，
所以，所以，
所以，所以，
当时，，
因为在上递减，在上递增，
此时，因为，，所以，
所以不符合题意，
综上，.
20. 塑料袋对环境的危害——“白色污染”，这种污染问题的罪魁祸首正在人们在大肆使用的塑料袋．如今，食品包装袋、茶叶包装袋、化工包装袋、蒸煮袋、农药袋、种子袋等几乎都是塑料袋．塑料包装袋大行其道，塑料袋已经融入了现代人们的日常生活，可以说塑料袋使用已经是“无孔不入”了．某品牌塑料袋经自然降解后残留量与时间年之间的关系为，为初始量，为光解系数（与光照强度、湿度及氧气浓度有关），为塑料分子聚态结构系数，已知分子聚态结构系数是光解系数的90倍．（参考数据：，）
（1）塑料自然降解，残留量为初始量的，大约需要多久？
（2）为了缩短降解时间，该塑料改进工艺，改变了塑料分子聚态结构，其他条件不变，已知2年就可降解初始量的，则残留量不足初始量的，至少需要多久？（精确到年）
【答案】（1）大约需要207年
（2）至少需要27年
【解析】
【分析】（1）由题意得到方程，再解方程即可；
（2）根据条件得到不等式，再解不等式即可.
小问1详解】
由题可知，所以，
所以，，
所以残留量为初始量的，大约需要207年；
【小问2详解】
根据题意当时，，
即，解得，
所以，若残留量不足初始量的，
则，，
两边取常用对数，得，所以，
所以至少需要27年．
21. 已知函数、分别是定义在上的奇函数和偶函数且；
（1）若对任意的正实数、都有，求最小值；
（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用函数奇偶性的定义可得出关于、的等式组，解出这两个函数的解析式，分析函数的单调性，结合奇函数的性质可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求出的最小值；
（2）利用复合函数法分析函数在上的单调性，可得出，可得出，结合基本不等式可求出实数的取值范围.
【小问1详解】
解：因为函数、分别是定义在上的奇函数和偶函数且，
则，即，
所以，，解得，
因为函数、均为上的增函数，故函数为上的增函数，
由可得，则，所以，，
又因为、均为正实数，所以，
，
当且仅当时，即当时，等号成立，故有最小值.
【小问2详解】
解：定义域为，且函数为偶函数，
当时，令，则，
因为内层函数在上为增函数，外层函数在上为增函数，
所以，函数在上为增函数，
由，
因为，则，
由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，，解得，
因此，实数的取值范围是.
22. 设函数是偶函数．
（1）求的值；
（2）设函数，若不等式对任意的恒成立．求实数的取值范围；
（3）设，当为何值时，关于的方程有2个实根．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据得到方程，求出；
（2）变形得到等价于在上恒成立，换元后，利用对勾函数性质求出的最小值为4，即实数的取值范围为；
（3）令，则，原方程转化为方程的根的个数，令，则表示开口向上的抛物线，根据判别式和对称轴分类讨论，求出的取值范围.
【小问1详解】
由函数是定义域在上的偶函数，则对于，都有，
即，即对于，都有，
得．
【小问2详解】
结合（1）可得，
则，
令，由在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递增，得，
则不等式对任意的恒成立等价于在上恒成立，
所以即可，
又，
由对勾函数的性质可得当时，取得最小值4，
所以的最小值为4，即，
所以实数的取值范围为．
【小问3详解】
令，由对勾函数的性质可得当时，取得最小值2，
所以，则，令，则，
由图象可得，当时，关于的方程有1个解；
当时，关于的方程有2个解，
则原问题转化为关于的方程的根的个数，
令，则表示开口向上的抛物线，
又，
当时，则，又的对称轴，
所以有唯一解，且，即其关于的方程有2个解；
当时，有两不等实根，，
因为的对称轴，且，
所以有1个正数解，即关于的方程有2个解；
当时，当，即时，有一个正数解，
此时关于的方程有2个解；
综上所述，当或时，方程有2个根．
【点睛】复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数.