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北师大版九年级数学期中期末考试满分全攻略九年级下册第3章圆(典型题专练)原卷版+解析
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这是一份北师大版九年级数学期中期末考试满分全攻略九年级下册第3章圆(典型题专练)原卷版+解析，共58页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2023·江苏·连云港市新海实验中学九年级期中）如图，以CD为直径的⊙O中，弦AB⊥CD于M．AB＝16，CM＝16．则MD的长为（ ）
A．4B．6C．8D．10
2．（2023·辽宁和平·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点C和点D是⊙O上位于直径AB两侧的点，连接AC，AD，BD，CD，若⊙O的半径是13，BD＝24，则sin∠ACD的值是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·福建宁化·九年级期中）如图，点A、B、C是⊙O上的点，且∠ACB=40°，阴影部分的面积为8π，则此扇形的半径为（ ）
A．3B．4C．5D．6
4．（2023·河南西华·九年级期中）如图，在中，，为互相垂直且相等的两条弦，，，垂足分别为，，若，则的半径是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·江苏宿迁·中考真题）如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·安徽包河·三模）已知CD是⊙O的非直径的弦，弦AB过弦CD的中点P，则下列选项不正确的是（ ）
A．若AB是⊙O的直径，则AB平分∠CAD
B．若AC2=PA·AB，则AB是⊙O的直径
C．若△BCD是等腰三角形，则△ACD也是等腰三角形
D．若PB=4PA，则CD=PB
7．（2023·内蒙古鄂尔多斯·二模）下列说法正确的是（ ）
①平行四边形既是中心对称图形又是轴对称图形;
②的算术平方根是；
③若，则点在第二象限；
④若等腰三角形其中两条边的长度分别为和，则它的周长为或；
⑤若用半径为，圆心角为的扇形成圆锥，则圆锥的底面圆半径为．
A．①⑤B．②④⑤C．②⑤D．②③④
8．（2023·江西·宜春市宜阳学校九年级期中）下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个圆
B．圆的切线垂直于过切点的半径
C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
D．长度相等的弧是等弧
9．（2023·山东牡丹·二模）如图，AB是⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点C，过A，B分别作AD⊥DE，BE⊥DE，垂足为点D，E，连接AC，BC，若AD＝，CE＝3，则的长为（ ）
A．B．πC．πD．π
10．（2023·广西玉林·中考真题）如图，在中，，，，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是（ ）
A．5B．6C．7D．8
11．（2023·河北长安·模拟预测）如图，中，，，，以点为圆心3为半径的优弧分布交，于点，点优弧上的动点，点为的中点，则长的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
12．（2023·辽宁辽阳·中考真题）如图，是⊙上的四点，且点是的中点，交于点，，，那么_____．
13．（2023·福建闽侯·一模）在半径为6cm的圆中，120°的圆心角所对的弧长为_____cm．
14．（2023·四川江油·九年级期末）已知扇形的弧长为2πcm，半径为3cm，则该扇形的面积为_____cm2．
15．（2023·湖南永州·中考真题）已知圆锥的底面周长是分米，母线长为1分米，则圆锥的侧面积是__________平方分米．
16．（2023·山东省济南兴济中学九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，直线DA与⊙O相切于点A，DO交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC＝21°，则∠ADC的度数为_____．
17．（2023·江苏工业园区·九年级月考）如图，点O为优弧所在圆的圆心，，点D在延长线上，，则_________．
18．（2023·宁夏·中考真题）如图，是圆的弦，，垂足为点，将劣弧沿弦折叠交于的中点，若，则圆的半径为_____．
19．（2023·宁夏·银川唐徕回民中学二模）如图，一个宽为2cm的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”，“8”（单位：cm），那么，该圆的半径为____．
20．（2023·天津市耀华嘉诚国际中学九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠ABD=55°，则∠BCD的度数___．
21．（2023·江苏·吴江经济技术开发区实验初级中学九年级月考）已知一个三角形的三边长分别为5、7、8，则其内切的半径为________．
22．（2023·湖南宁乡·九年级期末）在半径为的圆形纸片上裁出一个边长最大的正方形纸片，则这个正方形纸片的边长应为______．
23．（2023·河南·二模）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，BC=，以点B为圆心，AB为半径作弧交AC于点E，则图中阴影部分面积是______________．
三、解答题
24．（2023·甘肃安定·九年级期末）如图AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若EB＝9，AE＝1，求弦CD的长．
25．（2023·广东香洲·九年级期末）如图，是⊙O直径，是的弦，，求的度数．
26．（2023·辽宁辽阳·中考真题）如图，是⊙的直径，点和点是⊙上的两点，连接，，，过点作射线交的延长线于点，使．
（1）求证：是⊙的切线；
（2）若，求阴影部分的面积．
27．（2023·江西·中考真题）如图1，为半圆的直径，点为圆心，为半圆的切线，过半圆上的点作交于点，连接．
（1）连接，若，求证：是半圆的切线；
（2）如图2，当线段与半圆交于点时，连接，，判断和的数量关系，并证明你的结论．
28．（2023·广西·模拟预测）如图，是⊙O的直径，点是AB的中点，连接并延长至点，使，点是上一点，且，的延长线交的延长线于点，交⊙O于点，连接．
（1）求证：是⊙O的切线；
（2）当时，求的长．
29．（2023·辽宁龙港·二模）如图，，，是半径为2的⊙O上三个点，为直径，的平分线交⊙O于点，过点作的垂线，交的延长线于点，延长交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的值．
30．（2023·陕西紫阳·九年级期末）如图，在中，AB为直径，CD与相切于点C，弦于点E，连接AC．
（1）求证：；
（2）当时，，，求AD的长．
31．（2023·河北安新·九年级期末）如图1，扇形的半径为4，圆心角为，点为AB上任意一点（不与点，重合），且于点，点为的内心，连接，，．
（1）求的度数；
（2）如图2，⊙为的外接圆，点在AB上运动．
①当时，判断与⊙的位置关系，并加以证明；
②设⊙的半径为，若的值不随点的运动而改变，请直接写出的值；若随着点的运动而在一个范围内变化，请直接写出这个变化范围．
32．（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E，延长EC，AB交于点F，∠ECD＝∠BCF．
（1）求证：CE为⊙O的切线；
（2）若DE＝1，CD＝3，求⊙O的半径．
33．（2023·广西河池·中考真题）如图，五边形内接于，与相切于点，交延长线于点．
（1）若，求证：；
（2）若，求的长．
34．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，D是AB上的一点，C是⊙O上的一点，过点D作AB的垂线，与过点C的切线相交于点P，PD与AC相交于点E．
（1）求证：△PCE是等腰三角形；
（2）连接BC，若，，，求的长．
35．（2023·陕西·西安市铁一中学模拟预测）如图，AB为⊙O的直径，BC是⊙O的一条弦，点D在⊙O上，BD平分∠ABC，过点D作EF⊥BC，分别交BA、BC的延长线于点E、F．
（1）求证：EF为⊙O的切线；
（2）若BD＝4，tan∠FDB＝2，求AE的长．
36．（2023·四川广元·中考真题）如图，在Rt△ABC中，，是的平分线，以为直径的⊙O交边于点E，连接，过点D作，交于点F．
（1）求证：是⊙O的切线；
（2）若，，求线段的长．
37．（2023·北京朝阳·九年级期末）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2，A，B为⊙O外两点，AB＝1.给出如下定义：平移线段AB，使线段AB的一个端点落在⊙O上，其他部分不在⊙O外，点A，B对应点分别为点A´，B´，线段A A´长度的最大值称为线段AB到⊙O的“极大距离”，记为 d（AB，⊙O）．
（1）若点A（4，0）．
①当点B为（3，0），如图所示，平移线段AB，在点P1（2，0），P2（1，0），P3（1，0），P4（，0）中，连接点A与点 的线段的长度为d（AB，⊙O）；
②当点B为（4，1），求线段AB到⊙O的“极大距离”所对应的点A´的坐标；
（2）若点A（4，4），d（AB，⊙O）的取值范围是 ．
九下第3章 圆典型题专练
一、单选题
1．（2023·江苏·连云港市新海实验中学九年级期中）如图，以CD为直径的⊙O中，弦AB⊥CD于M．AB＝16，CM＝16．则MD的长为（ ）
A．4B．6C．8D．10
答案：A
分析：连接OB，根据垂径定理得出，设半径为r，再根据勾股定理列出方程，解方程即可得出答案．
【详解】连接OB
∵且过圆心，
∴
设半径为r，则
在中，
解得：
∴
∴
故选A．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，连接OB，构造直角三角形是解决本题的关键．
2．（2023·辽宁和平·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点C和点D是⊙O上位于直径AB两侧的点，连接AC，AD，BD，CD，若⊙O的半径是13，BD＝24，则sin∠ACD的值是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：首先利用直径所对的圆周角为90°得到△ABD是直角三角形，然后利用勾股定理求得AD边的长，然后求得∠B的正弦即可求得答案．
【详解】∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∵⊙O的半径是13，
∴AB＝2×13＝26，
由勾股定理得：AD＝10，
∴sin∠B＝
∵∠ACD＝∠B，
∴sin∠ACD＝sin∠B＝，
故选D．
【点睛】本题考查了圆周角定理及解直角三角形的知识，解题的关键是能够得到直角三角形并利用锐角三角函数求得一个锐角的正弦值，难度不大．
3．（2023·福建宁化·九年级期中）如图，点A、B、C是⊙O上的点，且∠ACB=40°，阴影部分的面积为8π，则此扇形的半径为（ ）
A．3B．4C．5D．6
答案：D
分析：根据圆周角定理可求出∠AOB的度数，设扇形半径为x，从而列出关于x的方程，即可求解．
【详解】由题意可知：∠AOB＝2∠ACB＝2×40°＝80°，
设扇形半径为r，故阴影部分的面积为，
故解得：，（不合题意，舍去），
故选D．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理以及扇形的面积求解，解本题的要点在于根据题意列出关于x的方程．
4．（2023·河南西华·九年级期中）如图，在中，，为互相垂直且相等的两条弦，，，垂足分别为，，若，则的半径是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：根据垂径定理可知，AE=CE，AD=BD，易证四边形ODAE是正方形，即可求得．
【详解】如图，连接OA
∵，，AB⊥AC
∴四边形ODAE是矩形，AE=CE，AD=BD
又∵，
∴AE=AD=2
∴四边形ODAE是正方形，且边长为2
∴⊙O的半径OA=
故选A
【点睛】本题考查垂径定理，掌握垂径定理的条件和结论是解题的关键．
5．（2023·江苏宿迁·中考真题）如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：图中阴影部分面积等于6个小半圆的面积和﹣（大圆的面积﹣正六边形的面积）即可得到结果．
【详解】解：6个月牙形的面积之和，
故选A．
【点睛】本题考查了正多边形与圆，圆的面积的计算，正六边形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．
6．（2023·安徽包河·三模）已知CD是⊙O的非直径的弦，弦AB过弦CD的中点P，则下列选项不正确的是（ ）
A．若AB是⊙O的直径，则AB平分∠CAD
B．若AC2=PA·AB，则AB是⊙O的直径
C．若△BCD是等腰三角形，则△ACD也是等腰三角形
D．若PB=4PA，则CD=PB
答案：C
分析：A、根据垂径定理即可判断；
B、证明△ACP∽△ABC，即可判断；
C、当DB=DC时，△ACD不一定是等腰三角形；
D、证明△PAC∽△PDB，利用相似三角形的性质求解即可判断．
【详解】解：如图①，当AB是的直径时，
∵点P是弦CD的中点，OC=OD，
∴ OP⊥CD，
∴BD=BC，
，
∴AB平分∠CAD，
∴A选项正确；
如图①，当AC2=PA·AB时，且∠CAP=∠BAC，
∴△ACP∽△ABC，
，
，
∴，
∴AC=AD，
又∵点P是弦CD的中点，
∴AB是⊙O的直径，
∴B选项正确；
如图②，
以点D为圆心，CD长为半径作弧交于另一点B，则△BCD是等腰三角形，连接BP并延长交于点A，显然AB不一定是的直径，
∴△ACD不是等腰三角形，∴C选项错误；
如图③，
∵∠A=∠D，∠C=∠B，
∴△PAC∽△PDB，
，
，
，
，
，
，
∵点P是弦CD的中点，
∴CD=2PC=4PA=PB，
∴D答案正确，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，熟练运用转化圆的相关知识是解决本题的关键．
7．（2023·内蒙古鄂尔多斯·二模）下列说法正确的是（ ）
①平行四边形既是中心对称图形又是轴对称图形;
②的算术平方根是；
③若，则点在第二象限；
④若等腰三角形其中两条边的长度分别为和，则它的周长为或；
⑤若用半径为，圆心角为的扇形成圆锥，则圆锥的底面圆半径为．
A．①⑤B．②④⑤C．②⑤D．②③④
答案：C
分析：利用平行四边形的性质，算术平方根的定义，平面直角坐标系各象限内的点的坐标特征，三角形的三边关系及扇形的弧长与底面圆的周长关系逐一进行判断即可得解；
【详解】解：①平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故①不正确；
②的算术平方根是，故②正确；
③若，则，点在第一象限，故③不正确；
④若等腰三角形其中两条边的长度分别为和，当腰为2时，三边为2，2，4，而2+2=4，不能构成三角形，当腰为4时，三边为4，4，2，满足2+4>4，能构成三角形，周长为10，故④不正确；
⑤由扇形的弧长等于底面圆周长，即，解得，故⑤正确；
故选择：C
【点睛】本题考查平行四边形的性质，算术平方根的定义，平面直角坐标系各象限内的点的坐标特征，三角形的三边关系及扇形的弧长与底面圆的周长关系，知识面比较广，熟练掌握相关的知识点并灵活运用是解题的关键．
8．（2023·江西·宜春市宜阳学校九年级期中）下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个圆
B．圆的切线垂直于过切点的半径
C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
D．长度相等的弧是等弧
答案：B
分析：根据圆的切线，弦和弧的概念逐一判断即可．
【详解】不共线的三点确定一个圆，故A选项错误；
圆的切线垂直于过切点的半径，故B选项正确；
平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故C选项错误；
能够互相重合的弧为等弧，故D选项错误；
故选B．
【点睛】本题考查了圆的基础知识，熟练的掌握圆的相关基础定义和性质是解决本题的关键．
9．（2023·山东牡丹·二模）如图，AB是⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点C，过A，B分别作AD⊥DE，BE⊥DE，垂足为点D，E，连接AC，BC，若AD＝，CE＝3，则的长为（ ）
A．B．πC．πD．π
答案：D
分析：连接OC，由AB是⊙O的直径得到∠ACB＝90°，由此证得∠DAC＝∠ECB，再证△ADC∽△CEB，列对应边成比例由此求出∠ABC＝30°，根据直线DE与⊙O相切于点C求出∠ACD＝∠ABC＝30°求出AB得到半径，再利用弧长公式计算.
【详解】解：连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，
∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠DAC+∠ACD＝90°，
∴∠DAC＝∠ECB，
∵∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴△ADC∽△CEB，
∴，即，
∵tan∠ABC＝，
∴∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC，∠AOC＝60°，
∵直线DE与⊙O相切于点C，
∴∠ACD＝∠ABC＝30°，
∴AC＝2AD＝2，
∴AB＝4，
∴⊙O的半径为2，
∴AC的长为：＝π，
故选：D．
【点睛】此题是圆的综合题，考查了圆周角定理，切线的性质定理，相似三角形的判定及性质定理，三角函数，弧长公式，综合掌握各知识点是解题的关键.
10．（2023·广西玉林·中考真题）如图，在中，，，，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是（ ）
A．5B．6C．7D．8
答案：B
分析：设⊙O与AC相切于点D，连接OD，作垂足为P交⊙O于F，此时垂线段OP最短，PF最小值为，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长，根据图形与圆的性质即可求解.
【详解】如图，设⊙O与AC相切于点D，连接OD，作垂足为P交⊙O于F，
此时垂线段OP最短，PF最小值为，
∵，，
∴
∵，
∴
∵点O是AB的三等分点，
∴，，
∴，
∵⊙O与AC相切于点D，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴MN最小值为，
如图，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长，
MN最大值，
,
∴MN长的最大值与最小值的和是6．
故选B．
【点睛】此题主要考查圆与三角形的性质，解题的关键是熟知圆的性质及直角三角形的性质.
11．（2023·河北长安·模拟预测）如图，中，，，，以点为圆心3为半径的优弧分布交，于点，点优弧上的动点，点为的中点，则长的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：首先根据勾股定理求得AB=8，然后根据的性质求得NE和OE的长，当点P在M处时，AC有最小值，此时，在中应用勾股定理即可求解；当P在点N处时，AC有最大值，根据的性质求出CF、FO、AF，然后在中应用勾股定理即可求解．
【详解】∵OA=6，OB=10，ON=OM=3
∴AM=OA-OM=3
∴在中，
过N点作于点E
∴
又∵
∴ΔNOE∼ΔBOA
∴
∴
∴，
当点P在点M、N处时，AC分别有最小值和最大值
当点P在M处时，AC有最小值
∵C是BP的中点，
∴
∴在中，
∴
当P在点N处时，AC有最大值
∴
∵
∴
∴
∴，
∴，
∴
在中，
综上所述，
故选D．
【点睛】本题考查了圆的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，题目较为综合，难度较大，根据题意讨论两种情况是本题的关键．
二、填空题
12．（2023·辽宁辽阳·中考真题）如图，是⊙上的四点，且点是的中点，交于点，，，那么_____．
答案：60°
分析：根据圆周角与圆心角的关系即可求解.
【详解】解：连接．
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故答案为60°．
【点睛】此题主要考查圆周角定理的应用，解题的关键是熟知圆周角定理的性质.
13．（2023·福建闽侯·一模）在半径为6cm的圆中，120°的圆心角所对的弧长为_____cm．
答案：4π
分析：根据弧长的计算公式计算可得答案.
【详解】解：由弧长计算公式为:
可得：==4，
故本题正确答案为4.
【点睛】本题主要考查弧长的计算,其中弧长公式为：.
14．（2023·四川江油·九年级期末）已知扇形的弧长为2πcm，半径为3cm，则该扇形的面积为_____cm2．
答案：3π
分析：根据公式扇形的面积＝弧长与半径积的一半，即可得出答案．
【详解】解：∵扇形的弧长为2πcm，半径为3cm，
∴扇形的面积是（cm2），
故答案为：3π．
【点睛】本题考查的是扇形的面积，牢记扇形的面积公式是解决本题的关键．
15．（2023·湖南永州·中考真题）已知圆锥的底面周长是分米，母线长为1分米，则圆锥的侧面积是__________平方分米．
答案：
分析：根据圆锥的侧面展开图就是扇形，求圆锥的侧面积就是求扇形的面积，圆锥的底面周长就是扇形弧长，母线长就是扇形的半径，根据扇形面积公式，即可求解．
【详解】根据圆锥的侧面展开图是扇形可知，扇形的弧长等于圆锥底面周长为分米，扇形的半径等于母线长为1分米，
根据得，平方分米．
故答案为．
【点睛】本题主要考查扇形的面积公式，掌握圆锥的侧面展开图是解答本题的关键．
16．（2023·山东省济南兴济中学九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，直线DA与⊙O相切于点A，DO交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC＝21°，则∠ADC的度数为_____．
答案：48°
分析：根据圆周角定理得出，根据切线的性质可得，然后根据直角三角形两锐角互余求解即可．
【详解】解：，
，
∵AB是的直径，直线与相切与点，
，
．
故答案为48°.
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
17．（2023·江苏工业园区·九年级月考）如图，点O为优弧所在圆的圆心，，点D在延长线上，，则_________．
答案：27°
分析：根据圆周角定理，可得出∠ABC的度数，再根据BD=BC，即可得出答案．
【详解】解：∵∠AOC=108°，∴∠ABC=54°，
∵BD=BC，∴∠D=∠BCD=∠ABC=27°，
故答案为27°．
【点睛】本题考查了圆周角定理、三角形外角的性质以及等腰三角形的性质，是基础知识比较简单．
18．（2023·宁夏·中考真题）如图，是圆的弦，，垂足为点，将劣弧沿弦折叠交于的中点，若，则圆的半径为_____．
答案：．
分析：连接OA，设半径为x，用x表示OC，根据勾股定理建立x的方程，便可求得结果．
【详解】解：解：连接OA，设半径为x，
将劣弧沿弦AB折叠交于OC的中点D，
，，
，
，
，
解得，．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，垂径定理，勾股定理，关键是根据勾股定理列出半径的方程．
19．（2023·宁夏·银川唐徕回民中学二模）如图，一个宽为2cm的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”，“8”（单位：cm），那么，该圆的半径为____．
答案：cm
分析：设OB=rcm，由于刻度尺的宽为2cm，所以OC=r-2，再根据另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”可求出BC的长，在Rt△OBC中利用勾股定理即可得出r的值．
【详解】根据题意获得下图：
设OB=r cm，
∵刻度尺的宽为2cm，
∴OC=r-2，
∵另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”，
∴BC=×6=3，
在Rt△OBC中，
∵OB2=OC2+BC2，即r2=（r-2）2+32，解得r= cm．
故答案为cm．
【点睛】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意得出BC=3是解答此题的关键．
20．（2023·天津市耀华嘉诚国际中学九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠ABD=55°，则∠BCD的度数___．
答案：35°
分析：连接AD，根据圆周角的性质得到∠ADB=90°，根据余角的性质得到∠DAB=35°，最后根据同弧多对圆周角相等即可求解．
【详解】连接AD
∵AB是⊙O的直径
∴∠ADB=90°
∵∠ABD=55°
∵∠DAB=90°-55°=35°
∴∠BCD=∠DAB=35°
故答案为35°．
【点睛】本题考查了圆周角定理，正确的做出辅助线是本题的关键，并且要熟练应用圆周角的性质．
21．（2023·江苏·吴江经济技术开发区实验初级中学九年级月考）已知一个三角形的三边长分别为5、7、8，则其内切的半径为________．
答案：
分析：如图，AB=7，BC=5，AC=8，内切圆的半径为r，切点为G、E、F，作AD⊥BC于D，设BD=x，则CD=5-x．由AD2=AB2-BD2=AC2-CD2，可得72-x2=82-（5-x）2，解得x=1，推出AD=4，由•BC•AD=•（AB+BC+AC）•r，列出方程即可解决问题．
【详解】解：如图，AB=7，BC=5，AC=8，内切圆的半径为r，切点为G、E、F，作AD⊥BC于D，设BD=x，则CD=5-x．
由勾股定理可知：AD2=AB2-BD2=AC2-CD2，
即72-x2=82-（5-x）2，解得x=1，
∴AD=4，
∵•BC•AD=•（AB+BC+AC）•r，
×5×4=×20×r，
∴r=，
故答案为：
【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心、勾股定理、三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用面积法求内切圆的半径，属于中考常考题型．
22．（2023·湖南宁乡·九年级期末）在半径为的圆形纸片上裁出一个边长最大的正方形纸片，则这个正方形纸片的边长应为______．
答案：
分析：先根据题意画出图形，再连接OB、OC，过O作OE⊥BC，设此正方形的边长为a，由垂径定理及正方形的性质得出OE=BE=，再由勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，连接OB、OC，过O作OE⊥BC，设此正方形的边长为a，
∵OE⊥BC，
∴OE=BE=，
又OB=8
∴在Rt⊿OBE中，由勾股定理得：
,
∴
解得： ,
故答案为：
【点睛】本题考查的是正多边形和圆，解答此类问题的关键是根据题意画出图形，利用数形结合求解．
23．（2023·河南·二模）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，BC=，以点B为圆心，AB为半径作弧交AC于点E，则图中阴影部分面积是______________．
答案：
分析：根据勾股定理可以求得AB的长，然后根据扇形的面积公式和三角形的面积公式即可求得阴影部分的面积．
【详解】连接BE，
∵在中，，，；
∴，；
∵；
∴是等边三角形；
∴图中阴影部分面积是：．
故答案为：．
【点睛】本题考查扇形面积的计算，应用到勾股定理、直角三角形的性质等知识，掌握扇形面积计算公式为解题关键．
三、解答题
24．（2023·甘肃安定·九年级期末）如图AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若EB＝9，AE＝1，求弦CD的长．
答案：6
分析：根据垂径定理得到CE=ED，连接OC，再根据已知条件得到OE和OC的长，利用勾股定理求出CE，即可得到CD的长；
【详解】解：连接OC，如图，
∵CD⊥AB，
∴CE＝DE，
∵EB＝9，AE＝1，
∴AB＝10，OC＝OA＝5，
∴OE＝4，
在Rt△OCE中，CE＝，
∴CD＝2CE＝6．
【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理等知识点，正确连接辅助线是解题的关键．
25．（2023·广东香洲·九年级期末）如图，是直径，是的弦，，求的度数．
答案：
分析：连接BC，利用直径对的圆周角是 ，得到，再利用同弧所对的圆周角相等，得到,最后利用三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：连接．
是⊙O的直径
．
AC=AC
=
即
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，已经同弧所对的圆周角相等的基本知识，属于基础题．
26．（2023·辽宁辽阳·中考真题）如图，是⊙的直径，点和点是⊙上的两点，连接，，，过点作射线交的延长线于点，使．
（1）求证：是⊙的切线；
（2）若，求阴影部分的面积．
答案：（1）见解析；（2）
分析：（1）连接，过作于，由直角三角形的性质及角平分线的性质得到，再根据直角的定义即可证明∠CAO=90°，即可证明；
（2）由及圆的性质可得是等边三角形，再利用割补法即可求出阴影部分的面积.
【详解】（1）证明：连接，过作于，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是⊙的切线；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
，
∴，
∵，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴阴影部分的面积．
【点睛】此题主要考查圆的切线与扇形面积的求解，解题的关键是熟知圆的性质及判定定理.
27．（2023·江西·中考真题）如图1，为半圆的直径，点为圆心，为半圆的切线，过半圆上的点作交于点，连接．
（1）连接，若，求证：是半圆的切线；
（2）如图2，当线段与半圆交于点时，连接，，判断和的数量关系，并证明你的结论．
答案：（1）见解析；（2）
分析：（1）连接，根据切线的性质得到，推出四边形是平行四边形，得到，等量代换得到，推出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到，于是得到结论；
（2）如图2，连接，根据圆周角定理得到，求得，证得，等量代换即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接，
为半圆的切线，为半圆的直径，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
是半圆的切线；
（2）解：，
理由：如图2，连接，
为半圆的直径，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，平行四边形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
28．（2023·广西·模拟预测）如图，是的直径，点是的中点，连接并延长至点，使，点是上一点，且，的延长线交的延长线于点，交于点，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）当时，求的长．
答案：（1）见解析；（2）
分析：（1）根据OC是△ABD是中位线，得到OC∥BD，根据两直线平行，同位角相等即可证明；
（2）首先证明△OCE∽△BFE，得到AB和BF的长，然后根据勾股定理在Rt△ABF中求得AF的长，然后根据三角形的面积列出S△ABF＝AB•BF＝AF•BH，代入数值即可求解BH的长．
【详解】（1）证明：连接OC，∵AB是⊙O的直径，点C是AB的中点，
∴∠AOC＝90°，
∵OA＝OB，CD＝AC，
∴OC是△ABD是中位线，
∴OC∥BD，
∴∠ABD＝∠AOC＝90°，
∴AB⊥BD，
∵点B在⊙O上，
∴BD是⊙O的切线；
（2）解：由（1）知，OC∥BD，
∴∠EOC＝∠EBF，
∵∠OEC＝∠BEF，
∴△OCE∽△BFE，
∴，
∵OB＝4，
∴OC＝OB＝4，AB＝8，
∵，
∴，
∴BF＝6，
在Rt△ABF中，∠ABF＝90°，根据勾股定理得，AF＝10，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AHB＝90°，即BH⊥AF，
∵S△ABF＝AB•BF＝AF•BH，
∴AB•BF＝AF•BH，
∴8×6＝10BH，
∴BH＝
故答案为（1）见解析；（2）．
【点睛】本题考查了三角形的中位线的性质，三角形相似的性质和判定方法，证明线段是圆的切线即是证明该线段和直径或半径垂直，正确利用三角形相似，对应边成比例的性质求出AB和BF的长是本题的关键．
29．（2023·辽宁龙港·二模）如图，，，是半径为2的⊙O上三个点，为直径，的平分线交⊙O于点，过点作的垂线，交的延长线于点，延长交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的值．
答案：（1）见解析；（2）
分析：（1）连接，证明，得到，问题得证；
（2）先求出，再根据证明，求出，，根据三角函数定义即可求解．
【详解】解：（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线．
（2）解：∵中，，，
∴根据勾股定理得，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，，
∴，
∴在中，．
【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，求三角函数值等知识，综合性强，熟知相关定理，并根据题意添加辅助线构造直角三角形、等腰三角形、相似三角形是解题关键．
30．（2023·陕西紫阳·九年级期末）如图，在中，AB为直径，CD与相切于点C，弦于点E，连接AC．
（1）求证：；
（2）当时，，，求AD的长．
答案：（1）见解析；（2）．
分析：（1）连接OC，由切线性质可得，即．再由弦CF⊥AB，可知．又由OA=OC得∠ACO=∠CAE，最后根据等量代换即可证明．
（2）由垂径定理可知．设⊙O的半径为r，在中，根据勾股定理可列出关于r的方程，即可求出圆的半径，从而求出AE长度，再判断，即可求出AD．
【详解】（1）连接OC，
∵CD切于点C，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴．
设的半径为r，则，
在中，，
即，
解得：，
∴．
由（1）可知，．
又∵，AC=AC，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的性质、垂径定理、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，综合性强．熟练掌握各知识点是解本题的关键．
31．（2023·河北安新·九年级期末）如图1，扇形的半径为4，圆心角为，点为上任意一点（不与点，重合），且于点，点为的内心，连接，，．
（1）求的度数；
（2）如图2，⊙为的外接圆，点在上运动．
①当时，判断与⊙的位置关系，并加以证明；
②设⊙的半径为，若的值不随点的运动而改变，请直接写出的值；若随着点的运动而在一个范围内变化，请直接写出这个变化范围．
答案：（1）；（2）①相切，见解析；②的值是定值，
分析：（1）先证,得到，再根据点为的内心，，进而推出的度数，从而得到∠OPB的度数．
（2）①在优弧上取一点，连接，．由（1）易证得，又由，证得，判断出与⊙的位置关系是相切．
②由（2）知:当点C在上运动时，△OBM始终为等腰直角三角形，而OB=4，故其半径r=OM=MB=，不改变．
【详解】解：（1）∵点为的内心，
∴．
又∵，，
∴．
∵于点，
∴．
∴．
∴．
∴．
（2）①当时，与相切．
证明如下：
如图，在优弧上取一点，连接，．
∵点在劣弧上，且，
∴．
∴．
连接，．
∴．
∴．
而当时，
，
∴．
∴当时，与相切．
②的值是定值；．理由如下：
当点C在上运动时，由（2）证得，OM=MB=r，△OBM为等腰直角三角形，而OB=4，故OM=MB=．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理及圆的切线的判定定理，熟练运用圆周角定理及圆的切线的判定是解题的关键．
32．（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E，延长EC，AB交于点F，∠ECD＝∠BCF．
（1）求证：CE为⊙O的切线；
（2）若DE＝1，CD＝3，求⊙O的半径．
答案：（1）见解析；（2）⊙O的半径是4.5
分析：（1）如图1，连接OC，先根据四边形ABCD内接于⊙O，得，再根据等量代换和直角三角形的性质可得，由切线的判定可得结论；
（2）如图2，过点O作于G，连接OC，OD，则，先根据三个角是直角的四边形是矩形得四边形OGEC是矩形，设⊙O的半径为x，根据勾股定理列方程可得结论．
【详解】（1）证明：如图1，连接OC，
∵，
∴，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴
又
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵OC是⊙O的半径，
∴CE为⊙O的切线；
（2）解：如图2，过点O作于G，连接OC，OD，则，
∵，
∴四边形OGEC是矩形，
∴，
设⊙O的半径为x，
Rt△CDE中，，
∴，
∴，，
由勾股定理得，
∴，
解得：，
∴⊙O的半径是4.5．
【点睛】本题考查的是圆的综合，涉及到圆的切线的证明、勾股定理以及矩形的性质，熟练掌握相关性质是解决问题的关键．
33．（2023·广西河池·中考真题）如图，五边形内接于，与相切于点，交延长线于点．
（1）若，求证：；
（2）若，求的长．
答案：（1）见解析；（2）.
分析：（1）由圆心角、弧、弦之间的关系得出，由圆周角定理得出∠ADE=∠DBC，证明△ADE≌△DBC，即可得出结论；
（2）连接CO并延长交AB于G，作OH⊥AB于H，则∠OHG=∠OHB=90°，由切线的性质得出∠FCG=90°，得出△CFG、△OGH是等腰直角三角形，得出CF=CG，OG=OH，由等边三角形的性质得出∠OBH=30°，由直角三角形的性质得出OH=OB=1，OG=，即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴AE=DC，
∴，
在和中，，
∴，
∴；
（2）解：连接并延长交于，作于，如图所示：
则，
∵与⊙O相切于点，
∴，
∵，
∴、是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质；熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解题的关键．
34．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，AB是的直径，D是AB上的一点，C是上的一点，过点D作AB的垂线，与过点C的切线相交于点P，PD与AC相交于点E．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）连接BC，若，，，求的长．
答案：（1）见解析；（2）
分析：（1）根据垂直和切线的性质得到，然后根据对顶角相等得到，根据等角对等边即可证明；
（2）作于点F，于点G，连接OE，根据三角形中位线的性质得到OF的长，在中应用勾股定理得到EF的长，进而得到CE的长，然后根据三角形相似的性质即可求解．
【详解】
（1）证明：∵，
∴．
∵PC是⊙O的切线，
∴．
∵，
∴．
∴，
∵，
∴．
∴，即是等腰三角形．
（2）作于点F，于点G，连接OE，
可得，，
∴．
∴，．
∴，⊙O的半径为5．
∴．
∵=∠B
又∵
∴△PCG∼△ABC
∴．
∵
∴．
故答案为．
【点睛】本题考查了圆的切线性质，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质，三角形相似的性质，是几何部分的综合题，第（2）问关键是证明两个三角形相似．
35．（2023·陕西·西安市铁一中学模拟预测）如图，AB为⊙O的直径，BC是⊙O的一条弦，点D在⊙O上，BD平分∠ABC，过点D作EF⊥BC，分别交BA、BC的延长线于点E、F．
（1）求证：EF为⊙O的切线；
（2）若BD＝4，tan∠FDB＝2，求AE的长．
答案：（1）见解析；（2）
分析：（1）连接OD，由OB=OD及BD平分∠ABC可得OD∥BF，则由EF⊥BD可得结论；
（2）连接OD、AD，由可得，从而可得，由此在Rt△ABD中，可分别求得AD、AB；由（1）中所证易得△EAD∽△EDB，， 从而得AE=BE，最后可求得AE的长．
【详解】（1）如图，连接OD
则OB=OD
∴∠ABD=∠BDO
∵BD平分∠ABC
∴∠ABD=∠FBD
∴∠ABD=∠BDO
∴OD∥BF
∵EF⊥BC
∴OD⊥EF
∴EF为⊙O的切线
（2）如图，连接AD、OD
∵在Rt△BFD中，
∴BF=2DF
∴
∴
即
∵
∴
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
∵AB为⊙O的直径
∴∠ADB=90°
由（1）知，OD为⊙O的切线
∴∠ODB=90°
∴∠EDA+∠ADO=∠ADO+∠BDO=90°
∴ ∠EDA=∠BDO
∵∠ABD=∠BDO
∴∠EDA=∠ABD
∵∠E=∠E
∴△EAD∽△EDB
∴
∴AE=DE，DE=BE
∴AE=BE，即BE=4AE
∵AB=BE-AE=3AE
∴
【点睛】本题主要综合考查了圆的切线的判定、相似三角形的判定和性质、三角形函数、勾股定理等知识．
36．（2023·四川广元·中考真题）如图，在Rt中，，是的平分线，以为直径的交边于点E，连接，过点D作，交于点F．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求线段的长．
答案：（1）证明见详解；（2）．
分析：（1）先根据圆周角定理、角平分线定义、平行线性质证明∠EAD=∠FDE，再根据AD为直径，得到∠ADE+∠DAE=90°，进而得到AD⊥FD，问题得证；
（2）先求出DE=3，证明△AED≌△ACD，得到DE=DC=3，BC=BD+CD=8，解Rt中求出AC=6，进而得到AE=6，求出,证明△ADE∽△AFD，得到，即可求出．
【详解】解：（1）证明：连接DE，
∵DC=DC
∴∠CAD=∠CED，
∵ 是的平分线，
∴∠CAD=∠EAD，
∴∠CED=∠EAD，
∵，
∴∠CED=∠FDE，
∴∠EAD=∠FDE，
∵AD为直径，
∴∠AED=∠ACD=90°，
∴∠ADE+∠DAE=90°，
∴∠ADE+∠FDE=90°，
即AD⊥FD，
又∵为直径，
∴是的切线；
（2）∵∠AED=90°，
∴∠BED=90°，
∴,
∵∠AED=∠ACD，∠DAE=∠DAC，AD=AD，
∴△AED≌△ACD，
∴DE=DC=3，
∴BC=BD+CD=8，
在Rt△ABC中，∵，
∴设AC=3x，AB=5x，
∴，
∵x＞0，
∴x=2，
∴AB=5x=10，AC=3x=6，
∵△AED≌△ACD，
∴AE=AC=6，
∴在Rt△ADE中，,
∵∠EAD=∠DAF，∠AED=∠ADF=90°，
∴△ADE∽△AFD，
∴，
即 ,
∴．
【点睛】本题为圆的综合题，考查了切线的判定，圆的性质，三角函数，相似三角形的判定与性质等知识，根据题意添加辅助线，熟知圆的性质，利用三角函数解直角三角形是解题关键．
37．（2023·北京朝阳·九年级期末）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2，A，B为⊙O外两点，AB＝1.给出如下定义：平移线段AB，使线段AB的一个端点落在⊙O上，其他部分不在⊙O外，点A，B对应点分别为点A´，B´，线段A A´长度的最大值称为线段AB到⊙O的“极大距离”，记为 d（AB，⊙O）．
（1）若点A（4，0）．
①当点B为（3，0），如图所示，平移线段AB，在点P1（2，0），P2（1，0），P3（1，0），P4（，0）中，连接点A与点 的线段的长度为d（AB，⊙O）；
②当点B为（4，1），求线段AB到⊙O的“极大距离”所对应的点A´的坐标；
（2）若点A（4，4），d（AB，⊙O）的取值范围是 ．
答案：（1）①；②；（2）42+1≤d(AB,⊙O)≤42+2
分析：（1）①根据平移到性质及“极大距离”的定义即可得出答案；
②根据题意可得当⊥x轴于点M，M为中点时，线段A A´长度为线段AB到⊙O的“极大距离”，根据勾股定理即可得出A´的坐标；
（2）根据题意知，点B在以A为圆心，1为半径的圆上，连接OA交⊙A于点B，交⊙O于点B´，此时，A A´最小，过点A作AF⊥x轴，根据勾股定理即可得出OA的长度，继而可得A A´的最小值；连接AO并延长AO交⊙O于点A´，此时，A A´最大，根据勾股定理即可得出OA的长度，继而可得A A´的最大值，从而得出d（AB，⊙O）的取值范围．
【详解】（1）①由题意知AB=1，AP3的长度即为d(AB，⊙O)；
②如图，⊥x轴于点M，M为中点.
∵=1，
∵，
∵OA´=2，
∴.
∴.
（2）如图，
∵点A（4，4），
∴点B在以A为圆心，1为半径的圆上，
连接OA交⊙A于点B，交⊙O于点B´，此时，A A´最小，过点A作AF⊥x轴，
∵AF=4，OF=4，
∴OA=，
∵OA´=OB´-A´B´=1
∴A A´=OA+OA´=+1；
如图，连接AO并延长AO交⊙O于点A´，此时，A A´最大，
∵AF=4，OF=4，
∴OA=，
∵OA´=2，
∴A A´=OA+OA´=+2，
故．
【点睛】本题考查了勾股定理，平移变换等知识．解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
一、单选题
1．（2023·江苏·连云港市新海实验中学九年级期中）如图，以CD为直径的⊙O中，弦AB⊥CD于M．AB＝16，CM＝16．则MD的长为（ ）
A．4B．6C．8D．10
2．（2023·辽宁和平·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点C和点D是⊙O上位于直径AB两侧的点，连接AC，AD，BD，CD，若⊙O的半径是13，BD＝24，则sin∠ACD的值是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·福建宁化·九年级期中）如图，点A、B、C是⊙O上的点，且∠ACB=40°，阴影部分的面积为8π，则此扇形的半径为（ ）
A．3B．4C．5D．6
4．（2023·河南西华·九年级期中）如图，在中，，为互相垂直且相等的两条弦，，，垂足分别为，，若，则的半径是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·江苏宿迁·中考真题）如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·安徽包河·三模）已知CD是⊙O的非直径的弦，弦AB过弦CD的中点P，则下列选项不正确的是（ ）
A．若AB是⊙O的直径，则AB平分∠CAD
B．若AC2=PA·AB，则AB是⊙O的直径
C．若△BCD是等腰三角形，则△ACD也是等腰三角形
D．若PB=4PA，则CD=PB
7．（2023·内蒙古鄂尔多斯·二模）下列说法正确的是（ ）
①平行四边形既是中心对称图形又是轴对称图形;
②的算术平方根是；
③若，则点在第二象限；
④若等腰三角形其中两条边的长度分别为和，则它的周长为或；
⑤若用半径为，圆心角为的扇形成圆锥，则圆锥的底面圆半径为．
A．①⑤B．②④⑤C．②⑤D．②③④
8．（2023·江西·宜春市宜阳学校九年级期中）下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个圆
B．圆的切线垂直于过切点的半径
C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
D．长度相等的弧是等弧
9．（2023·山东牡丹·二模）如图，AB是⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点C，过A，B分别作AD⊥DE，BE⊥DE，垂足为点D，E，连接AC，BC，若AD＝，CE＝3，则的长为（ ）
A．B．πC．πD．π
10．（2023·广西玉林·中考真题）如图，在中，，，，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是（ ）
A．5B．6C．7D．8
11．（2023·河北长安·模拟预测）如图，中，，，，以点为圆心3为半径的优弧分布交，于点，点优弧上的动点，点为的中点，则长的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
12．（2023·辽宁辽阳·中考真题）如图，是⊙上的四点，且点是的中点，交于点，，，那么_____．
13．（2023·福建闽侯·一模）在半径为6cm的圆中，120°的圆心角所对的弧长为_____cm．
14．（2023·四川江油·九年级期末）已知扇形的弧长为2πcm，半径为3cm，则该扇形的面积为_____cm2．
15．（2023·湖南永州·中考真题）已知圆锥的底面周长是分米，母线长为1分米，则圆锥的侧面积是__________平方分米．
16．（2023·山东省济南兴济中学九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，直线DA与⊙O相切于点A，DO交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC＝21°，则∠ADC的度数为_____．
17．（2023·江苏工业园区·九年级月考）如图，点O为优弧所在圆的圆心，，点D在延长线上，，则_________．
18．（2023·宁夏·中考真题）如图，是圆的弦，，垂足为点，将劣弧沿弦折叠交于的中点，若，则圆的半径为_____．
19．（2023·宁夏·银川唐徕回民中学二模）如图，一个宽为2cm的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”，“8”（单位：cm），那么，该圆的半径为____．
20．（2023·天津市耀华嘉诚国际中学九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠ABD=55°，则∠BCD的度数___．
21．（2023·江苏·吴江经济技术开发区实验初级中学九年级月考）已知一个三角形的三边长分别为5、7、8，则其内切的半径为________．
22．（2023·湖南宁乡·九年级期末）在半径为的圆形纸片上裁出一个边长最大的正方形纸片，则这个正方形纸片的边长应为______．
23．（2023·河南·二模）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，BC=，以点B为圆心，AB为半径作弧交AC于点E，则图中阴影部分面积是______________．
三、解答题
24．（2023·甘肃安定·九年级期末）如图AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若EB＝9，AE＝1，求弦CD的长．
25．（2023·广东香洲·九年级期末）如图，是⊙O直径，是的弦，，求的度数．
26．（2023·辽宁辽阳·中考真题）如图，是⊙的直径，点和点是⊙上的两点，连接，，，过点作射线交的延长线于点，使．
（1）求证：是⊙的切线；
（2）若，求阴影部分的面积．
27．（2023·江西·中考真题）如图1，为半圆的直径，点为圆心，为半圆的切线，过半圆上的点作交于点，连接．
（1）连接，若，求证：是半圆的切线；
（2）如图2，当线段与半圆交于点时，连接，，判断和的数量关系，并证明你的结论．
28．（2023·广西·模拟预测）如图，是⊙O的直径，点是AB的中点，连接并延长至点，使，点是上一点，且，的延长线交的延长线于点，交⊙O于点，连接．
（1）求证：是⊙O的切线；
（2）当时，求的长．
29．（2023·辽宁龙港·二模）如图，，，是半径为2的⊙O上三个点，为直径，的平分线交⊙O于点，过点作的垂线，交的延长线于点，延长交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的值．
30．（2023·陕西紫阳·九年级期末）如图，在中，AB为直径，CD与相切于点C，弦于点E，连接AC．
（1）求证：；
（2）当时，，，求AD的长．
31．（2023·河北安新·九年级期末）如图1，扇形的半径为4，圆心角为，点为AB上任意一点（不与点，重合），且于点，点为的内心，连接，，．
（1）求的度数；
（2）如图2，⊙为的外接圆，点在AB上运动．
①当时，判断与⊙的位置关系，并加以证明；
②设⊙的半径为，若的值不随点的运动而改变，请直接写出的值；若随着点的运动而在一个范围内变化，请直接写出这个变化范围．
32．（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E，延长EC，AB交于点F，∠ECD＝∠BCF．
（1）求证：CE为⊙O的切线；
（2）若DE＝1，CD＝3，求⊙O的半径．
33．（2023·广西河池·中考真题）如图，五边形内接于，与相切于点，交延长线于点．
（1）若，求证：；
（2）若，求的长．
34．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，D是AB上的一点，C是⊙O上的一点，过点D作AB的垂线，与过点C的切线相交于点P，PD与AC相交于点E．
（1）求证：△PCE是等腰三角形；
（2）连接BC，若，，，求的长．
35．（2023·陕西·西安市铁一中学模拟预测）如图，AB为⊙O的直径，BC是⊙O的一条弦，点D在⊙O上，BD平分∠ABC，过点D作EF⊥BC，分别交BA、BC的延长线于点E、F．
（1）求证：EF为⊙O的切线；
（2）若BD＝4，tan∠FDB＝2，求AE的长．
36．（2023·四川广元·中考真题）如图，在Rt△ABC中，，是的平分线，以为直径的⊙O交边于点E，连接，过点D作，交于点F．
（1）求证：是⊙O的切线；
（2）若，，求线段的长．
37．（2023·北京朝阳·九年级期末）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2，A，B为⊙O外两点，AB＝1.给出如下定义：平移线段AB，使线段AB的一个端点落在⊙O上，其他部分不在⊙O外，点A，B对应点分别为点A´，B´，线段A A´长度的最大值称为线段AB到⊙O的“极大距离”，记为 d（AB，⊙O）．
（1）若点A（4，0）．
①当点B为（3，0），如图所示，平移线段AB，在点P1（2，0），P2（1，0），P3（1，0），P4（，0）中，连接点A与点 的线段的长度为d（AB，⊙O）；
②当点B为（4，1），求线段AB到⊙O的“极大距离”所对应的点A´的坐标；
（2）若点A（4，4），d（AB，⊙O）的取值范围是 ．
九下第3章 圆典型题专练
一、单选题
1．（2023·江苏·连云港市新海实验中学九年级期中）如图，以CD为直径的⊙O中，弦AB⊥CD于M．AB＝16，CM＝16．则MD的长为（ ）
A．4B．6C．8D．10
答案：A
分析：连接OB，根据垂径定理得出，设半径为r，再根据勾股定理列出方程，解方程即可得出答案．
【详解】连接OB
∵且过圆心，
∴
设半径为r，则
在中，
解得：
∴
∴
故选A．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，连接OB，构造直角三角形是解决本题的关键．
2．（2023·辽宁和平·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点C和点D是⊙O上位于直径AB两侧的点，连接AC，AD，BD，CD，若⊙O的半径是13，BD＝24，则sin∠ACD的值是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：首先利用直径所对的圆周角为90°得到△ABD是直角三角形，然后利用勾股定理求得AD边的长，然后求得∠B的正弦即可求得答案．
【详解】∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∵⊙O的半径是13，
∴AB＝2×13＝26，
由勾股定理得：AD＝10，
∴sin∠B＝
∵∠ACD＝∠B，
∴sin∠ACD＝sin∠B＝，
故选D．
【点睛】本题考查了圆周角定理及解直角三角形的知识，解题的关键是能够得到直角三角形并利用锐角三角函数求得一个锐角的正弦值，难度不大．
3．（2023·福建宁化·九年级期中）如图，点A、B、C是⊙O上的点，且∠ACB=40°，阴影部分的面积为8π，则此扇形的半径为（ ）
A．3B．4C．5D．6
答案：D
分析：根据圆周角定理可求出∠AOB的度数，设扇形半径为x，从而列出关于x的方程，即可求解．
【详解】由题意可知：∠AOB＝2∠ACB＝2×40°＝80°，
设扇形半径为r，故阴影部分的面积为，
故解得：，（不合题意，舍去），
故选D．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理以及扇形的面积求解，解本题的要点在于根据题意列出关于x的方程．
4．（2023·河南西华·九年级期中）如图，在中，，为互相垂直且相等的两条弦，，，垂足分别为，，若，则的半径是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：根据垂径定理可知，AE=CE，AD=BD，易证四边形ODAE是正方形，即可求得．
【详解】如图，连接OA
∵，，AB⊥AC
∴四边形ODAE是矩形，AE=CE，AD=BD
又∵，
∴AE=AD=2
∴四边形ODAE是正方形，且边长为2
∴⊙O的半径OA=
故选A
【点睛】本题考查垂径定理，掌握垂径定理的条件和结论是解题的关键．
5．（2023·江苏宿迁·中考真题）如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：图中阴影部分面积等于6个小半圆的面积和﹣（大圆的面积﹣正六边形的面积）即可得到结果．
【详解】解：6个月牙形的面积之和，
故选A．
【点睛】本题考查了正多边形与圆，圆的面积的计算，正六边形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．
6．（2023·安徽包河·三模）已知CD是⊙O的非直径的弦，弦AB过弦CD的中点P，则下列选项不正确的是（ ）
A．若AB是⊙O的直径，则AB平分∠CAD
B．若AC2=PA·AB，则AB是⊙O的直径
C．若△BCD是等腰三角形，则△ACD也是等腰三角形
D．若PB=4PA，则CD=PB
答案：C
分析：A、根据垂径定理即可判断；
B、证明△ACP∽△ABC，即可判断；
C、当DB=DC时，△ACD不一定是等腰三角形；
D、证明△PAC∽△PDB，利用相似三角形的性质求解即可判断．
【详解】解：如图①，当AB是的直径时，
∵点P是弦CD的中点，OC=OD，
∴ OP⊥CD，
∴BD=BC，
，
∴AB平分∠CAD，
∴A选项正确；
如图①，当AC2=PA·AB时，且∠CAP=∠BAC，
∴△ACP∽△ABC，
，
，
∴，
∴AC=AD，
又∵点P是弦CD的中点，
∴AB是⊙O的直径，
∴B选项正确；
如图②，
以点D为圆心，CD长为半径作弧交于另一点B，则△BCD是等腰三角形，连接BP并延长交于点A，显然AB不一定是的直径，
∴△ACD不是等腰三角形，∴C选项错误；
如图③，
∵∠A=∠D，∠C=∠B，
∴△PAC∽△PDB，
，
，
，
，
，
，
∵点P是弦CD的中点，
∴CD=2PC=4PA=PB，
∴D答案正确，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，熟练运用转化圆的相关知识是解决本题的关键．
7．（2023·内蒙古鄂尔多斯·二模）下列说法正确的是（ ）
①平行四边形既是中心对称图形又是轴对称图形;
②的算术平方根是；
③若，则点在第二象限；
④若等腰三角形其中两条边的长度分别为和，则它的周长为或；
⑤若用半径为，圆心角为的扇形成圆锥，则圆锥的底面圆半径为．
A．①⑤B．②④⑤C．②⑤D．②③④
答案：C
分析：利用平行四边形的性质，算术平方根的定义，平面直角坐标系各象限内的点的坐标特征，三角形的三边关系及扇形的弧长与底面圆的周长关系逐一进行判断即可得解；
【详解】解：①平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故①不正确；
②的算术平方根是，故②正确；
③若，则，点在第一象限，故③不正确；
④若等腰三角形其中两条边的长度分别为和，当腰为2时，三边为2，2，4，而2+2=4，不能构成三角形，当腰为4时，三边为4，4，2，满足2+4>4，能构成三角形，周长为10，故④不正确；
⑤由扇形的弧长等于底面圆周长，即，解得，故⑤正确；
故选择：C
【点睛】本题考查平行四边形的性质，算术平方根的定义，平面直角坐标系各象限内的点的坐标特征，三角形的三边关系及扇形的弧长与底面圆的周长关系，知识面比较广，熟练掌握相关的知识点并灵活运用是解题的关键．
8．（2023·江西·宜春市宜阳学校九年级期中）下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个圆
B．圆的切线垂直于过切点的半径
C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
D．长度相等的弧是等弧
答案：B
分析：根据圆的切线，弦和弧的概念逐一判断即可．
【详解】不共线的三点确定一个圆，故A选项错误；
圆的切线垂直于过切点的半径，故B选项正确；
平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故C选项错误；
能够互相重合的弧为等弧，故D选项错误；
故选B．
【点睛】本题考查了圆的基础知识，熟练的掌握圆的相关基础定义和性质是解决本题的关键．
9．（2023·山东牡丹·二模）如图，AB是⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点C，过A，B分别作AD⊥DE，BE⊥DE，垂足为点D，E，连接AC，BC，若AD＝，CE＝3，则的长为（ ）
A．B．πC．πD．π
答案：D
分析：连接OC，由AB是⊙O的直径得到∠ACB＝90°，由此证得∠DAC＝∠ECB，再证△ADC∽△CEB，列对应边成比例由此求出∠ABC＝30°，根据直线DE与⊙O相切于点C求出∠ACD＝∠ABC＝30°求出AB得到半径，再利用弧长公式计算.
【详解】解：连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，
∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠DAC+∠ACD＝90°，
∴∠DAC＝∠ECB，
∵∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴△ADC∽△CEB，
∴，即，
∵tan∠ABC＝，
∴∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC，∠AOC＝60°，
∵直线DE与⊙O相切于点C，
∴∠ACD＝∠ABC＝30°，
∴AC＝2AD＝2，
∴AB＝4，
∴⊙O的半径为2，
∴AC的长为：＝π，
故选：D．
【点睛】此题是圆的综合题，考查了圆周角定理，切线的性质定理，相似三角形的判定及性质定理，三角函数，弧长公式，综合掌握各知识点是解题的关键.
10．（2023·广西玉林·中考真题）如图，在中，，，，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是（ ）
A．5B．6C．7D．8
答案：B
分析：设⊙O与AC相切于点D，连接OD，作垂足为P交⊙O于F，此时垂线段OP最短，PF最小值为，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长，根据图形与圆的性质即可求解.
【详解】如图，设⊙O与AC相切于点D，连接OD，作垂足为P交⊙O于F，
此时垂线段OP最短，PF最小值为，
∵，，
∴
∵，
∴
∵点O是AB的三等分点，
∴，，
∴，
∵⊙O与AC相切于点D，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴MN最小值为，
如图，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长，
MN最大值，
,
∴MN长的最大值与最小值的和是6．
故选B．
【点睛】此题主要考查圆与三角形的性质，解题的关键是熟知圆的性质及直角三角形的性质.
11．（2023·河北长安·模拟预测）如图，中，，，，以点为圆心3为半径的优弧分布交，于点，点优弧上的动点，点为的中点，则长的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：首先根据勾股定理求得AB=8，然后根据的性质求得NE和OE的长，当点P在M处时，AC有最小值，此时，在中应用勾股定理即可求解；当P在点N处时，AC有最大值，根据的性质求出CF、FO、AF，然后在中应用勾股定理即可求解．
【详解】∵OA=6，OB=10，ON=OM=3
∴AM=OA-OM=3
∴在中，
过N点作于点E
∴
又∵
∴ΔNOE∼ΔBOA
∴
∴
∴，
当点P在点M、N处时，AC分别有最小值和最大值
当点P在M处时，AC有最小值
∵C是BP的中点，
∴
∴在中，
∴
当P在点N处时，AC有最大值
∴
∵
∴
∴
∴，
∴，
∴
在中，
综上所述，
故选D．
【点睛】本题考查了圆的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，题目较为综合，难度较大，根据题意讨论两种情况是本题的关键．
二、填空题
12．（2023·辽宁辽阳·中考真题）如图，是⊙上的四点，且点是的中点，交于点，，，那么_____．
答案：60°
分析：根据圆周角与圆心角的关系即可求解.
【详解】解：连接．
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故答案为60°．
【点睛】此题主要考查圆周角定理的应用，解题的关键是熟知圆周角定理的性质.
13．（2023·福建闽侯·一模）在半径为6cm的圆中，120°的圆心角所对的弧长为_____cm．
答案：4π
分析：根据弧长的计算公式计算可得答案.
【详解】解：由弧长计算公式为:
可得：==4，
故本题正确答案为4.
【点睛】本题主要考查弧长的计算,其中弧长公式为：.
14．（2023·四川江油·九年级期末）已知扇形的弧长为2πcm，半径为3cm，则该扇形的面积为_____cm2．
答案：3π
分析：根据公式扇形的面积＝弧长与半径积的一半，即可得出答案．
【详解】解：∵扇形的弧长为2πcm，半径为3cm，
∴扇形的面积是（cm2），
故答案为：3π．
【点睛】本题考查的是扇形的面积，牢记扇形的面积公式是解决本题的关键．
15．（2023·湖南永州·中考真题）已知圆锥的底面周长是分米，母线长为1分米，则圆锥的侧面积是__________平方分米．
答案：
分析：根据圆锥的侧面展开图就是扇形，求圆锥的侧面积就是求扇形的面积，圆锥的底面周长就是扇形弧长，母线长就是扇形的半径，根据扇形面积公式，即可求解．
【详解】根据圆锥的侧面展开图是扇形可知，扇形的弧长等于圆锥底面周长为分米，扇形的半径等于母线长为1分米，
根据得，平方分米．
故答案为．
【点睛】本题主要考查扇形的面积公式，掌握圆锥的侧面展开图是解答本题的关键．
16．（2023·山东省济南兴济中学九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，直线DA与⊙O相切于点A，DO交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC＝21°，则∠ADC的度数为_____．
答案：48°
分析：根据圆周角定理得出，根据切线的性质可得，然后根据直角三角形两锐角互余求解即可．
【详解】解：，
，
∵AB是的直径，直线与相切与点，
，
．
故答案为48°.
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
17．（2023·江苏工业园区·九年级月考）如图，点O为优弧所在圆的圆心，，点D在延长线上，，则_________．
答案：27°
分析：根据圆周角定理，可得出∠ABC的度数，再根据BD=BC，即可得出答案．
【详解】解：∵∠AOC=108°，∴∠ABC=54°，
∵BD=BC，∴∠D=∠BCD=∠ABC=27°，
故答案为27°．
【点睛】本题考查了圆周角定理、三角形外角的性质以及等腰三角形的性质，是基础知识比较简单．
18．（2023·宁夏·中考真题）如图，是圆的弦，，垂足为点，将劣弧沿弦折叠交于的中点，若，则圆的半径为_____．
答案：．
分析：连接OA，设半径为x，用x表示OC，根据勾股定理建立x的方程，便可求得结果．
【详解】解：解：连接OA，设半径为x，
将劣弧沿弦AB折叠交于OC的中点D，
，，
，
，
，
解得，．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，垂径定理，勾股定理，关键是根据勾股定理列出半径的方程．
19．（2023·宁夏·银川唐徕回民中学二模）如图，一个宽为2cm的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”，“8”（单位：cm），那么，该圆的半径为____．
答案：cm
分析：设OB=rcm，由于刻度尺的宽为2cm，所以OC=r-2，再根据另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”可求出BC的长，在Rt△OBC中利用勾股定理即可得出r的值．
【详解】根据题意获得下图：
设OB=r cm，
∵刻度尺的宽为2cm，
∴OC=r-2，
∵另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”，
∴BC=×6=3，
在Rt△OBC中，
∵OB2=OC2+BC2，即r2=（r-2）2+32，解得r= cm．
故答案为cm．
【点睛】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意得出BC=3是解答此题的关键．
20．（2023·天津市耀华嘉诚国际中学九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠ABD=55°，则∠BCD的度数___．
答案：35°
分析：连接AD，根据圆周角的性质得到∠ADB=90°，根据余角的性质得到∠DAB=35°，最后根据同弧多对圆周角相等即可求解．
【详解】连接AD
∵AB是⊙O的直径
∴∠ADB=90°
∵∠ABD=55°
∵∠DAB=90°-55°=35°
∴∠BCD=∠DAB=35°
故答案为35°．
【点睛】本题考查了圆周角定理，正确的做出辅助线是本题的关键，并且要熟练应用圆周角的性质．
21．（2023·江苏·吴江经济技术开发区实验初级中学九年级月考）已知一个三角形的三边长分别为5、7、8，则其内切的半径为________．
答案：
分析：如图，AB=7，BC=5，AC=8，内切圆的半径为r，切点为G、E、F，作AD⊥BC于D，设BD=x，则CD=5-x．由AD2=AB2-BD2=AC2-CD2，可得72-x2=82-（5-x）2，解得x=1，推出AD=4，由•BC•AD=•（AB+BC+AC）•r，列出方程即可解决问题．
【详解】解：如图，AB=7，BC=5，AC=8，内切圆的半径为r，切点为G、E、F，作AD⊥BC于D，设BD=x，则CD=5-x．
由勾股定理可知：AD2=AB2-BD2=AC2-CD2，
即72-x2=82-（5-x）2，解得x=1，
∴AD=4，
∵•BC•AD=•（AB+BC+AC）•r，
×5×4=×20×r，
∴r=，
故答案为：
【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心、勾股定理、三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用面积法求内切圆的半径，属于中考常考题型．
22．（2023·湖南宁乡·九年级期末）在半径为的圆形纸片上裁出一个边长最大的正方形纸片，则这个正方形纸片的边长应为______．
答案：
分析：先根据题意画出图形，再连接OB、OC，过O作OE⊥BC，设此正方形的边长为a，由垂径定理及正方形的性质得出OE=BE=，再由勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，连接OB、OC，过O作OE⊥BC，设此正方形的边长为a，
∵OE⊥BC，
∴OE=BE=，
又OB=8
∴在Rt⊿OBE中，由勾股定理得：
,
∴
解得： ,
故答案为：
【点睛】本题考查的是正多边形和圆，解答此类问题的关键是根据题意画出图形，利用数形结合求解．
23．（2023·河南·二模）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，BC=，以点B为圆心，AB为半径作弧交AC于点E，则图中阴影部分面积是______________．
答案：
分析：根据勾股定理可以求得AB的长，然后根据扇形的面积公式和三角形的面积公式即可求得阴影部分的面积．
【详解】连接BE，
∵在中，，，；
∴，；
∵；
∴是等边三角形；
∴图中阴影部分面积是：．
故答案为：．
【点睛】本题考查扇形面积的计算，应用到勾股定理、直角三角形的性质等知识，掌握扇形面积计算公式为解题关键．
三、解答题
24．（2023·甘肃安定·九年级期末）如图AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若EB＝9，AE＝1，求弦CD的长．
答案：6
分析：根据垂径定理得到CE=ED，连接OC，再根据已知条件得到OE和OC的长，利用勾股定理求出CE，即可得到CD的长；
【详解】解：连接OC，如图，
∵CD⊥AB，
∴CE＝DE，
∵EB＝9，AE＝1，
∴AB＝10，OC＝OA＝5，
∴OE＝4，
在Rt△OCE中，CE＝，
∴CD＝2CE＝6．
【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理等知识点，正确连接辅助线是解题的关键．
25．（2023·广东香洲·九年级期末）如图，是直径，是的弦，，求的度数．
答案：
分析：连接BC，利用直径对的圆周角是 ，得到，再利用同弧所对的圆周角相等，得到,最后利用三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：连接．
是⊙O的直径
．
AC=AC
=
即
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，已经同弧所对的圆周角相等的基本知识，属于基础题．
26．（2023·辽宁辽阳·中考真题）如图，是⊙的直径，点和点是⊙上的两点，连接，，，过点作射线交的延长线于点，使．
（1）求证：是⊙的切线；
（2）若，求阴影部分的面积．
答案：（1）见解析；（2）
分析：（1）连接，过作于，由直角三角形的性质及角平分线的性质得到，再根据直角的定义即可证明∠CAO=90°，即可证明；
（2）由及圆的性质可得是等边三角形，再利用割补法即可求出阴影部分的面积.
【详解】（1）证明：连接，过作于，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是⊙的切线；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
，
∴，
∵，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴阴影部分的面积．
【点睛】此题主要考查圆的切线与扇形面积的求解，解题的关键是熟知圆的性质及判定定理.
27．（2023·江西·中考真题）如图1，为半圆的直径，点为圆心，为半圆的切线，过半圆上的点作交于点，连接．
（1）连接，若，求证：是半圆的切线；
（2）如图2，当线段与半圆交于点时，连接，，判断和的数量关系，并证明你的结论．
答案：（1）见解析；（2）
分析：（1）连接，根据切线的性质得到，推出四边形是平行四边形，得到，等量代换得到，推出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到，于是得到结论；
（2）如图2，连接，根据圆周角定理得到，求得，证得，等量代换即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接，
为半圆的切线，为半圆的直径，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
是半圆的切线；
（2）解：，
理由：如图2，连接，
为半圆的直径，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，平行四边形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
28．（2023·广西·模拟预测）如图，是的直径，点是的中点，连接并延长至点，使，点是上一点，且，的延长线交的延长线于点，交于点，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）当时，求的长．
答案：（1）见解析；（2）
分析：（1）根据OC是△ABD是中位线，得到OC∥BD，根据两直线平行，同位角相等即可证明；
（2）首先证明△OCE∽△BFE，得到AB和BF的长，然后根据勾股定理在Rt△ABF中求得AF的长，然后根据三角形的面积列出S△ABF＝AB•BF＝AF•BH，代入数值即可求解BH的长．
【详解】（1）证明：连接OC，∵AB是⊙O的直径，点C是AB的中点，
∴∠AOC＝90°，
∵OA＝OB，CD＝AC，
∴OC是△ABD是中位线，
∴OC∥BD，
∴∠ABD＝∠AOC＝90°，
∴AB⊥BD，
∵点B在⊙O上，
∴BD是⊙O的切线；
（2）解：由（1）知，OC∥BD，
∴∠EOC＝∠EBF，
∵∠OEC＝∠BEF，
∴△OCE∽△BFE，
∴，
∵OB＝4，
∴OC＝OB＝4，AB＝8，
∵，
∴，
∴BF＝6，
在Rt△ABF中，∠ABF＝90°，根据勾股定理得，AF＝10，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AHB＝90°，即BH⊥AF，
∵S△ABF＝AB•BF＝AF•BH，
∴AB•BF＝AF•BH，
∴8×6＝10BH，
∴BH＝
故答案为（1）见解析；（2）．
【点睛】本题考查了三角形的中位线的性质，三角形相似的性质和判定方法，证明线段是圆的切线即是证明该线段和直径或半径垂直，正确利用三角形相似，对应边成比例的性质求出AB和BF的长是本题的关键．
29．（2023·辽宁龙港·二模）如图，，，是半径为2的⊙O上三个点，为直径，的平分线交⊙O于点，过点作的垂线，交的延长线于点，延长交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的值．
答案：（1）见解析；（2）
分析：（1）连接，证明，得到，问题得证；
（2）先求出，再根据证明，求出，，根据三角函数定义即可求解．
【详解】解：（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线．
（2）解：∵中，，，
∴根据勾股定理得，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，，
∴，
∴在中，．
【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，求三角函数值等知识，综合性强，熟知相关定理，并根据题意添加辅助线构造直角三角形、等腰三角形、相似三角形是解题关键．
30．（2023·陕西紫阳·九年级期末）如图，在中，AB为直径，CD与相切于点C，弦于点E，连接AC．
（1）求证：；
（2）当时，，，求AD的长．
答案：（1）见解析；（2）．
分析：（1）连接OC，由切线性质可得，即．再由弦CF⊥AB，可知．又由OA=OC得∠ACO=∠CAE，最后根据等量代换即可证明．
（2）由垂径定理可知．设⊙O的半径为r，在中，根据勾股定理可列出关于r的方程，即可求出圆的半径，从而求出AE长度，再判断，即可求出AD．
【详解】（1）连接OC，
∵CD切于点C，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴．
设的半径为r，则，
在中，，
即，
解得：，
∴．
由（1）可知，．
又∵，AC=AC，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的性质、垂径定理、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，综合性强．熟练掌握各知识点是解本题的关键．
31．（2023·河北安新·九年级期末）如图1，扇形的半径为4，圆心角为，点为上任意一点（不与点，重合），且于点，点为的内心，连接，，．
（1）求的度数；
（2）如图2，⊙为的外接圆，点在上运动．
①当时，判断与⊙的位置关系，并加以证明；
②设⊙的半径为，若的值不随点的运动而改变，请直接写出的值；若随着点的运动而在一个范围内变化，请直接写出这个变化范围．
答案：（1）；（2）①相切，见解析；②的值是定值，
分析：（1）先证,得到，再根据点为的内心，，进而推出的度数，从而得到∠OPB的度数．
（2）①在优弧上取一点，连接，．由（1）易证得，又由，证得，判断出与⊙的位置关系是相切．
②由（2）知:当点C在上运动时，△OBM始终为等腰直角三角形，而OB=4，故其半径r=OM=MB=，不改变．
【详解】解：（1）∵点为的内心，
∴．
又∵，，
∴．
∵于点，
∴．
∴．
∴．
∴．
（2）①当时，与相切．
证明如下：
如图，在优弧上取一点，连接，．
∵点在劣弧上，且，
∴．
∴．
连接，．
∴．
∴．
而当时，
，
∴．
∴当时，与相切．
②的值是定值；．理由如下：
当点C在上运动时，由（2）证得，OM=MB=r，△OBM为等腰直角三角形，而OB=4，故OM=MB=．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理及圆的切线的判定定理，熟练运用圆周角定理及圆的切线的判定是解题的关键．
32．（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E，延长EC，AB交于点F，∠ECD＝∠BCF．
（1）求证：CE为⊙O的切线；
（2）若DE＝1，CD＝3，求⊙O的半径．
答案：（1）见解析；（2）⊙O的半径是4.5
分析：（1）如图1，连接OC，先根据四边形ABCD内接于⊙O，得，再根据等量代换和直角三角形的性质可得，由切线的判定可得结论；
（2）如图2，过点O作于G，连接OC，OD，则，先根据三个角是直角的四边形是矩形得四边形OGEC是矩形，设⊙O的半径为x，根据勾股定理列方程可得结论．
【详解】（1）证明：如图1，连接OC，
∵，
∴，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴
又
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵OC是⊙O的半径，
∴CE为⊙O的切线；
（2）解：如图2，过点O作于G，连接OC，OD，则，
∵，
∴四边形OGEC是矩形，
∴，
设⊙O的半径为x，
Rt△CDE中，，
∴，
∴，，
由勾股定理得，
∴，
解得：，
∴⊙O的半径是4.5．
【点睛】本题考查的是圆的综合，涉及到圆的切线的证明、勾股定理以及矩形的性质，熟练掌握相关性质是解决问题的关键．
33．（2023·广西河池·中考真题）如图，五边形内接于，与相切于点，交延长线于点．
（1）若，求证：；
（2）若，求的长．
答案：（1）见解析；（2）.
分析：（1）由圆心角、弧、弦之间的关系得出，由圆周角定理得出∠ADE=∠DBC，证明△ADE≌△DBC，即可得出结论；
（2）连接CO并延长交AB于G，作OH⊥AB于H，则∠OHG=∠OHB=90°，由切线的性质得出∠FCG=90°，得出△CFG、△OGH是等腰直角三角形，得出CF=CG，OG=OH，由等边三角形的性质得出∠OBH=30°，由直角三角形的性质得出OH=OB=1，OG=，即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴AE=DC，
∴，
在和中，，
∴，
∴；
（2）解：连接并延长交于，作于，如图所示：
则，
∵与⊙O相切于点，
∴，
∵，
∴、是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质；熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解题的关键．
34．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，AB是的直径，D是AB上的一点，C是上的一点，过点D作AB的垂线，与过点C的切线相交于点P，PD与AC相交于点E．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）连接BC，若，，，求的长．
答案：（1）见解析；（2）
分析：（1）根据垂直和切线的性质得到，然后根据对顶角相等得到，根据等角对等边即可证明；
（2）作于点F，于点G，连接OE，根据三角形中位线的性质得到OF的长，在中应用勾股定理得到EF的长，进而得到CE的长，然后根据三角形相似的性质即可求解．
【详解】
（1）证明：∵，
∴．
∵PC是⊙O的切线，
∴．
∵，
∴．
∴，
∵，
∴．
∴，即是等腰三角形．
（2）作于点F，于点G，连接OE，
可得，，
∴．
∴，．
∴，⊙O的半径为5．
∴．
∵=∠B
又∵
∴△PCG∼△ABC
∴．
∵
∴．
故答案为．
【点睛】本题考查了圆的切线性质，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质，三角形相似的性质，是几何部分的综合题，第（2）问关键是证明两个三角形相似．
35．（2023·陕西·西安市铁一中学模拟预测）如图，AB为⊙O的直径，BC是⊙O的一条弦，点D在⊙O上，BD平分∠ABC，过点D作EF⊥BC，分别交BA、BC的延长线于点E、F．
（1）求证：EF为⊙O的切线；
（2）若BD＝4，tan∠FDB＝2，求AE的长．
答案：（1）见解析；（2）
分析：（1）连接OD，由OB=OD及BD平分∠ABC可得OD∥BF，则由EF⊥BD可得结论；
（2）连接OD、AD，由可得，从而可得，由此在Rt△ABD中，可分别求得AD、AB；由（1）中所证易得△EAD∽△EDB，， 从而得AE=BE，最后可求得AE的长．
【详解】（1）如图，连接OD
则OB=OD
∴∠ABD=∠BDO
∵BD平分∠ABC
∴∠ABD=∠FBD
∴∠ABD=∠BDO
∴OD∥BF
∵EF⊥BC
∴OD⊥EF
∴EF为⊙O的切线
（2）如图，连接AD、OD
∵在Rt△BFD中，
∴BF=2DF
∴
∴
即
∵
∴
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
∵AB为⊙O的直径
∴∠ADB=90°
由（1）知，OD为⊙O的切线
∴∠ODB=90°
∴∠EDA+∠ADO=∠ADO+∠BDO=90°
∴ ∠EDA=∠BDO
∵∠ABD=∠BDO
∴∠EDA=∠ABD
∵∠E=∠E
∴△EAD∽△EDB
∴
∴AE=DE，DE=BE
∴AE=BE，即BE=4AE
∵AB=BE-AE=3AE
∴
【点睛】本题主要综合考查了圆的切线的判定、相似三角形的判定和性质、三角形函数、勾股定理等知识．
36．（2023·四川广元·中考真题）如图，在Rt中，，是的平分线，以为直径的交边于点E，连接，过点D作，交于点F．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求线段的长．
答案：（1）证明见详解；（2）．
分析：（1）先根据圆周角定理、角平分线定义、平行线性质证明∠EAD=∠FDE，再根据AD为直径，得到∠ADE+∠DAE=90°，进而得到AD⊥FD，问题得证；
（2）先求出DE=3，证明△AED≌△ACD，得到DE=DC=3，BC=BD+CD=8，解Rt中求出AC=6，进而得到AE=6，求出,证明△ADE∽△AFD，得到，即可求出．
【详解】解：（1）证明：连接DE，
∵DC=DC
∴∠CAD=∠CED，
∵ 是的平分线，
∴∠CAD=∠EAD，
∴∠CED=∠EAD，
∵，
∴∠CED=∠FDE，
∴∠EAD=∠FDE，
∵AD为直径，
∴∠AED=∠ACD=90°，
∴∠ADE+∠DAE=90°，
∴∠ADE+∠FDE=90°，
即AD⊥FD，
又∵为直径，
∴是的切线；
（2）∵∠AED=90°，
∴∠BED=90°，
∴,
∵∠AED=∠ACD，∠DAE=∠DAC，AD=AD，
∴△AED≌△ACD，
∴DE=DC=3，
∴BC=BD+CD=8，
在Rt△ABC中，∵，
∴设AC=3x，AB=5x，
∴，
∵x＞0，
∴x=2，
∴AB=5x=10，AC=3x=6，
∵△AED≌△ACD，
∴AE=AC=6，
∴在Rt△ADE中，,
∵∠EAD=∠DAF，∠AED=∠ADF=90°，
∴△ADE∽△AFD，
∴，
即 ,
∴．
【点睛】本题为圆的综合题，考查了切线的判定，圆的性质，三角函数，相似三角形的判定与性质等知识，根据题意添加辅助线，熟知圆的性质，利用三角函数解直角三角形是解题关键．
37．（2023·北京朝阳·九年级期末）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2，A，B为⊙O外两点，AB＝1.给出如下定义：平移线段AB，使线段AB的一个端点落在⊙O上，其他部分不在⊙O外，点A，B对应点分别为点A´，B´，线段A A´长度的最大值称为线段AB到⊙O的“极大距离”，记为 d（AB，⊙O）．
（1）若点A（4，0）．
①当点B为（3，0），如图所示，平移线段AB，在点P1（2，0），P2（1，0），P3（1，0），P4（，0）中，连接点A与点 的线段的长度为d（AB，⊙O）；
②当点B为（4，1），求线段AB到⊙O的“极大距离”所对应的点A´的坐标；
（2）若点A（4，4），d（AB，⊙O）的取值范围是 ．
答案：（1）①；②；（2）42+1≤d(AB,⊙O)≤42+2
分析：（1）①根据平移到性质及“极大距离”的定义即可得出答案；
②根据题意可得当⊥x轴于点M，M为中点时，线段A A´长度为线段AB到⊙O的“极大距离”，根据勾股定理即可得出A´的坐标；
（2）根据题意知，点B在以A为圆心，1为半径的圆上，连接OA交⊙A于点B，交⊙O于点B´，此时，A A´最小，过点A作AF⊥x轴，根据勾股定理即可得出OA的长度，继而可得A A´的最小值；连接AO并延长AO交⊙O于点A´，此时，A A´最大，根据勾股定理即可得出OA的长度，继而可得A A´的最大值，从而得出d（AB，⊙O）的取值范围．
【详解】（1）①由题意知AB=1，AP3的长度即为d(AB，⊙O)；
②如图，⊥x轴于点M，M为中点.
∵=1，
∵，
∵OA´=2，
∴.
∴.
（2）如图，
∵点A（4，4），
∴点B在以A为圆心，1为半径的圆上，
连接OA交⊙A于点B，交⊙O于点B´，此时，A A´最小，过点A作AF⊥x轴，
∵AF=4，OF=4，
∴OA=，
∵OA´=OB´-A´B´=1
∴A A´=OA+OA´=+1；
如图，连接AO并延长AO交⊙O于点A´，此时，A A´最大，
∵AF=4，OF=4，
∴OA=，
∵OA´=2，
∴A A´=OA+OA´=+2，
故．
【点睛】本题考查了勾股定理，平移变换等知识．解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
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