高考数学一轮复习考点探究与题型突破第25讲简单的三角恒等变换(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习考点探究与题型突破第25讲简单的三角恒等变换(原卷版+解析)，共24页。


考点1 三角函数式的化简
[名师点睛]
1．三角函数式的化简要遵循“3看”原则
2．三角函数式化简的方法
弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．
在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．
[典例]
(2023·湖南·临澧县第一中学高三阶段练习）已知，则＝（ ）
A．B．C．D．5
[举一反三]
1．(2023·江苏·泰兴市第一高级中学高三阶段练习）化简可得（ ）
A．B．
C．D．
2．(2023·山东泰安·高三期末）已知，则的值为___________.
3．（2023·全国·高三专题练习）（1）化简：sin(α＋β)cs(γ－β)－cs(β＋α)sin(β－γ)＝________.
（2）化简： (0<α<π)＝________.
4．(2023·全国·高三专题练习）化简：(0<θ<π)．
5．(2023·全国·高三专题练习）化简：
（1）
（2）
考点2 三角函数式的求值
[名师点睛]
三角函数变换常用技巧
(1)给角求值问题要充分观察并利用所给角与特殊角的关系，给值求值要着眼于所求角与已知角的和、差或倍数关系，两者的关键都在于“变角”．
(2)给值求角问题的解题策略
①求相关角的某一个三角函数值．
②由求得的三角函数值求角，如果根据求得的函数值无法唯一确定角的大小，应根据已知角的范围和已知角的三角函数值把所求角的大小作相对精确的估计，以排除多余的解．
[典例]
1．(2023·全国·高三专题练习）___________.
2．(2023·湖北武汉·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·湖北襄阳·高三期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．
4．(2023·江苏省江阴高级中学高三开学考试）已知且，则=（ ）
A．B．
C．D．或
[举一反三]
1．(2023·全国·高三专题练习）化简（ ）
A．B．C．D．2
2．(2023·广东汕头·二模）若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·广东茂名·模拟预测）已知，则( )
A．B．C．D．
4．(2023·福建·莆田二中高三开学考试）已知，则（ ）
A．B．C．D．
5．(2023·广东·执信中学高三阶段练习）已知且，则（ ）
A．B．C．D．
6．(2023·全国·高三专题练习）如图，在有五个正方形拼接而成的图形中，（ ）
A．B．C．D．
7．（多选）(2023·全国·高三专题练习）设，则（ ）
A．B．C．D．
8．（多选）(2023·河北张家口·高三期末）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
9．(2023·全国·高三专题练习）化简______．
10．(2023·广东佛山·二模）已知sin，则___________.
11．(2023·全国·模拟预测）已知，，则______．
12．(2023·河北石家庄·一模）已知角，，则______.
13．(2023·全国·高三专题练习）已知都是锐角，且.
（1）求的值；
（2）求的值.
14．(2023·全国·高三专题练习）已知．
（1）求的值；
（2）若，且，求．
考点3 三角恒等变换与三角函数的综合应用
[名师点睛]
解决三角恒等变换与三角函数综合问题的一般步骤
第一步：将f(x)化为asin x＋bcs x的形式；
第二步：构造f(x)＝eq \r(a2＋b2)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,\r(a2＋b2))·sin x＋\f(b,\r(a2＋b2))·cs x))；
第三步：和角公式逆用，得f(x)＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋φ)(其中φ为辅助角)；
第四步：利用f(x)＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋φ)研究三角函数的性质；
第五步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．
[典例]
1．(2023·全国·高三专题练习）在中，，，分别是内角，，所对的
边，若，那么一定是（ ）
A．等腰直角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等边三角形
2．(2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tanA＋tanB＋tanC＝tanBtanC．
(1)求A的大小；
(2)若a＝，请在如下的三个条件：①sinB-sinC＝；②b＋2c＝3；③△ABC的面积为中选择一个作为已知，求△ABC的周长．
[举一反三]
1．(2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，若，则△ABC为（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
2．（多选）(2023·全国·高三专题练习）已知，，分别是三个内角，，的对边，下列四个命题中正确的是（ ）
A．若，则是锐角三角形
B．若，则是等腰直角三角形
C．若，则是直角三角形
D．若，则是等边三角形
第25讲 简单的三角恒等变换
考点1 三角函数式的化简
[名师点睛]
1．三角函数式的化简要遵循“3看”原则
2．三角函数式化简的方法
弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．
在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．
[典例]
(2023·湖南·临澧县第一中学高三阶段练习）已知，则＝（ ）
A．B．C．D．5
答案：A
【解析】因为，
又因为，
所以，
故选:A
[举一反三]
1．(2023·江苏·泰兴市第一高级中学高三阶段练习）化简可得（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】
．
故选：D
2．(2023·山东泰安·高三期末）已知，则的值为___________.
答案：
【解析】
= ，
故，
故答案为：
3．（2023·全国·高三专题练习）（1）化简：sin(α＋β)cs(γ－β)－cs(β＋α)sin(β－γ)＝________.
（2）化简： (0<α<π)＝________.
答案： sin(α＋γ). cs α.
【解析】（1）sin(α＋β)cs(γ－β)－cs(β＋α)sin(β－γ)
＝sin(α＋β)cs (β－γ)－cs(α＋β)sin(β－γ)
＝sin[(α＋β)－(β－γ)]＝sin(α＋γ).
（2）原式＝
＝＝.
因为0<<π，所以0<，所以cs>0，所以原式＝cs.
故答案为：sin(α＋γ)；cs
4．(2023·全国·高三专题练习）化简：(0<θ<π)．
【解】由θ(0,π)，得0<<，则cs> 0．
又，且(1＋sinθ＋csθ) ＝＝2cs＝－2cscsθ．
∴原式＝．
5．(2023·全国·高三专题练习）化简：
（1）
（2）
【解】（1）；
（2）原式
考点2 三角函数式的求值
[名师点睛]
三角函数变换常用技巧
(1)给角求值问题要充分观察并利用所给角与特殊角的关系，给值求值要着眼于所求角与已知角的和、差或倍数关系，两者的关键都在于“变角”．
(2)给值求角问题的解题策略
①求相关角的某一个三角函数值．
②由求得的三角函数值求角，如果根据求得的函数值无法唯一确定角的大小，应根据已知角的范围和已知角的三角函数值把所求角的大小作相对精确的估计，以排除多余的解．
[典例]
1．(2023·全国·高三专题练习）___________.
答案：
【解析】
.
故答案为：.
2．(2023·湖北武汉·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】因为，所以，
.
故选：B.
3．(2023·湖北襄阳·高三期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】∵,
∴
.
故选：B．
4．(2023·江苏省江阴高级中学高三开学考试）已知且，则=（ ）
A．B．
C．D．或
答案：C
【解析】因，则，
，
因，，则，又，有，
于是得，因此，，
所以.
故选：C
[举一反三]
1．(2023·全国·高三专题练习）化简（ ）
A．B．C．D．2
答案：B
【解析】原式
．
故选：B．
2．(2023·广东汕头·二模）若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由已知可得
.
故选：A.
3．(2023·广东茂名·模拟预测）已知，则( )
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
，
，
∴．
故选：B．
4．(2023·福建·莆田二中高三开学考试）已知，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】解法1：由，得，
两边平方，得，解得，
解法2：由，得，
即，解得.
解法3：由，
得，
即，则，
解得或，
于是.
解法4：.
故选：C.
5．(2023·广东·执信中学高三阶段练习）已知且，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】因且，可知为锐角，为钝角，
故，，，
，，
所以．
故选：B
6．(2023·全国·高三专题练习）如图，在有五个正方形拼接而成的图形中，（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】解：由图可得，，，
，
因为，，所以
．
故选：．
7．（多选）(2023·全国·高三专题练习）设，则（ ）
A．B．C．D．
答案：AC
【解析】依题意，
，
，
，
，
，代入，
，
化简得，
两边除以，，
，
解得或.
故选：AC
8．（多选）(2023·河北张家口·高三期末）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：BD
【解析】，
故，所以或，
故或.又，所以或，
故选：BD.
9．(2023·全国·高三专题练习）化简______．
答案：
【解析】．
故答案为：．
10．(2023·广东佛山·二模）已知sin，则___________.
答案：
【解析】所以
所以
故答案为：
11．(2023·全国·模拟预测）已知，，则______．
答案：
【解析】由题知，则，即，即，即，则或，．因为，所以，所以，解得．
故答案为：
12．(2023·河北石家庄·一模）已知角，，则______.
答案：
【解析】，，
，
，
，
，，
，则.
故答案为：.
13．(2023·全国·高三专题练习）已知都是锐角，且.
（1）求的值；
（2）求的值.
【解】（1）由是锐角，且，则.
所以，
.
（2）由则，
故
.
14．(2023·全国·高三专题练习）已知．
（1）求的值；
（2）若，且，求．
【解】（1），
解得；
（2）由两角差的正切公式得.
，因此，.
考点3 三角恒等变换与三角函数的综合应用
[名师点睛]
解决三角恒等变换与三角函数综合问题的一般步骤
第一步：将f(x)化为asin x＋bcs x的形式；
第二步：构造f(x)＝eq \r(a2＋b2)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,\r(a2＋b2))·sin x＋\f(b,\r(a2＋b2))·cs x))；
第三步：和角公式逆用，得f(x)＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋φ)(其中φ为辅助角)；
第四步：利用f(x)＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋φ)研究三角函数的性质；
第五步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．
[典例]
1．(2023·全国·高三专题练习）在中，，，分别是内角，，所对的
边，若，那么一定是（ ）
A．等腰直角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等边三角形
答案：B
【解析】在中，，则，
而，则有，即，
因，即，因此，，即，
所以是等腰三角形.
故选：B
2．(2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tanA＋tanB＋tanC＝tanBtanC．
(1)求A的大小；
(2)若a＝，请在如下的三个条件：①sinB-sinC＝；②b＋2c＝3；③△ABC的面积为中选择一个作为已知，求△ABC的周长．
【解】(1)在中，∵
∴，
整理得，tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC，
由题知，，
∴tanA＝，∵A∈(0，π)，∴；
(2)若选①，则由，
解得而，解得bc＝1，
∴∴△ABC的周长为
若选②，，b2＋c2－2bc＝3，则，
∴(7c－8)(c－)＝0，∴c＝或c＝．
当c＝时，b＝，此时△ABC周长为＋＋＝，
当c＝时，，此时△ABC周长为3；
若选③，bcsin＝，
解得bc＝3，b2＋c2－2bc＝3，解得(b＋c)2－3bc＝3，b＋c＝2，∴△ABC周长为3．
[举一反三]
1．(2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，若，则△ABC为（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
答案：D
【解析】由题意，，又，
∴，即，，
∴当时，；当时，，又，则；
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.
故选：D
2．（多选）(2023·全国·高三专题练习）已知，，分别是三个内角，，的对边，下列四个命题中正确的是（ ）
A．若，则是锐角三角形
B．若，则是等腰直角三角形
C．若，则是直角三角形
D．若，则是等边三角形
答案：AD
【解析】对于A，，
，
又由A，B，C是的内角，故内角都是锐角，故A正确
对于B，若，则，则，则
，则或，是等腰三角形或直角三角形,故B错误
对于C,，，即，则是等腰三角形，故C不正确
对于D，若，则，则，
，即是等边三角形，故D正确
故选：AD