高考数学一轮复习考点探究与题型突破第28讲正弦定理和余弦定理(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习考点探究与题型突破第28讲正弦定理和余弦定理(原卷版+解析)，共25页。试卷主要包含了正、余弦定理，三角形常用面积公式等内容，欢迎下载使用。

1.正、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
3.三角形常用面积公式
(1)S＝eq \f(1,2)a·ha(ha表示a边上的高).
(2)S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(abc,4R).
(3)S＝eq \f(1,2)r(a＋b＋c)(r为内切圆半径).
1.三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cs(A＋B)＝－cs C；(3)sineq \f(A＋B,2)＝cseq \f(C,2)；(4)cseq \f(A＋B,2)＝sineq \f(C,2).
2.三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcs C＋ccs B；b＝acs C＋ccs A；c＝bcs A＋acs B.
3.在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A>B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cs A考点1 利用正、余弦定理解三角形
[名师点睛]
(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素.
(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系.
[典例]
1.(2023·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2＝ac，点D在边AC上，BDsin ∠ABC＝asin C.
(1)证明：BD＝b.
(2)若AD＝2DC，求cs ∠ABC.
2．(2023·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
[举一反三]
1．(2023·上海·模拟预测）如图，在中，已知，D是边上的一点，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·山东·济南市历城第二中学模拟预测）锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，若，则的取值范围是__________．
3．(2023·山东日照·三模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且成等比数列，则________．
4．(2023·江苏江苏·一模）在中，角的对边分别为.若，则的最小值是___________.
5．(2023·全国·高考真题（理））记的内角的对边分别为，已知．
(1)证明：；
(2)若，求的周长．
考点2 判断三角形的形状
[名师点睛]
1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.
2.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.
[典例]
1．(2023·浙江·高三专题练习）的内角，，的对边分别为，，，已知，则的形状一定是（ ）
A．等腰三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形
2．(2023·全国·高三专题练习）在中，角、、所对的边分别为、、若，则的形状是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形D．不确定
[举一反三]
1．(2023·江苏南通·模拟预测）小强计划制作一个三角形，使得它的三条边中线的长度分别为1，，，则（ ）
A．能制作一个锐角三角形B．能制作一个直角三角形
C．能制作一个钝角三角形D．不能制作这样的三角形
2．(2023·全国·高三专题练习）在中，角所对的边分别是，且，则的形状为（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
3．(2023·浙江·高三专题练习）若满足，且，则的形状为（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．锐角三角形或直角三角形
4．(2023·浙江·高三专题练习）已知内角，，所对的边分别为，，，面积为.若，，则的形状是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．正三角形D．等腰直角三角形
5．(2023·湖南·长沙一中高三开学考试）中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知.
(1)求内角B的大小；
(2)已知 的面积为，，请判定的形状，并说明理由.
考点3 和三角形面积有关的问题
[名师点睛]
与三角形面积有关问题的解题策略：(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积；(2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量.
[典例]
1．(2023·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
(1)求的面积；
(2)若，求b．
2．(2023·福建·三明一中模拟预测）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求角A；
(2)若M为的中点，，求面积的最大值．
[举一反三]
1．(2023·江苏·南京市第五高级中学模拟预测）在中，，为的中点，，则面积的最大值为______.
2．(2023·浙江·高考真题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
(1)求的值；
(2)若，求的面积．
3．(2023·山东·济南市历城第二中学模拟预测）如图，已知在中，M为BC上一点，，且．
(1)若，求的值；
(2)若AM为的平分线，且，求的面积．
4．(2023·广东·大埔县虎山中学模拟预测）在△中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．
(1)求角C；
(2)若△的面积，且，求△的周长．
5．(2023·江苏南通·模拟预测）在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，．
(1)求csB；
(2)若b＝3，a＞c，△ABC的面积为，求a．
定理
余弦定理
正弦定理
公式
a2＝b2＋c2－2bccs__A；
b2＝c2＋a2－2cacs__B；
c2＝a2＋b2－2abcs__C
eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R
常见变形
cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)；
cs B＝eq \f(c2＋a2－b2,2ac)；
cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C；
(2)sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R)；
(3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；
(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＝bsin A
bsin Aa≥b
a>b
a≤b
解的个数
一解
两解
一解
一解
无解
第28讲 正弦定理和余弦定理
1.正、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
3.三角形常用面积公式
(1)S＝eq \f(1,2)a·ha(ha表示a边上的高).
(2)S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(abc,4R).
(3)S＝eq \f(1,2)r(a＋b＋c)(r为内切圆半径).
1.三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C；
(2)cs(A＋B)＝－cs C；
(3)sineq \f(A＋B,2)＝cseq \f(C,2)；
(4)cseq \f(A＋B,2)＝sineq \f(C,2).
2.三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcs C＋ccs B；b＝acs C＋ccs A；c＝bcs A＋acs B.
3.在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A>B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cs A考点1 利用正、余弦定理解三角形
[名师点睛]
(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素.
(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系.
[典例]
1.(2023·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2＝ac，点D在边AC上，BDsin ∠ABC＝asin C.
(1)证明：BD＝b.
(2)若AD＝2DC，求cs ∠ABC.
(1)证明 因为BDsin∠ABC＝asin C，
所以由正弦定理得，BD·b＝ac，
又b2＝ac，所以BD·b＝b2，
又b>0，所以BD＝b.
(2)解 法一 如图所示，过点D作DE∥BC交AB于E，
因为AD＝2DC，
所以eq \f(AE,EB)＝eq \f(AD,DC)＝2，eq \f(DE,BC)＝eq \f(2,3)，
所以BE＝eq \f(c,3)，DE＝eq \f(2,3)a.
在△BDE中，cs∠BED＝eq \f(BE2＋DE2－BD2,2BE·DE)＝eq \f(\f(c2,9)＋\f(4a2,9)－b2,2·\f(c,3)·\f(2a,3))＝eq \f(c2＋4a2－9b2,4ac)＝eq \f(c2＋4a2－9ac,4ac).
在△ABC中，cs∠ABC＝eq \f(AB2＋BC2－AC2,2AB·BC)＝eq \f(c2＋a2－b2,2ac)＝eq \f(c2＋a2－ac,2ac).
因为∠BED＝π－∠ABC，
所以cs∠BED＝－cs ∠ABC，所以eq \f(c2＋4a2－9ac,4ac)＝－eq \f(c2＋a2－ac,2ac)，
化简得3c2＋6a2－11ac＝0，方程两边同时除以a2，
得3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,a)))eq \s\up12(2)－11eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,a)))＋6＝0，解得eq \f(c,a)＝eq \f(2,3)或eq \f(c,a)＝3.
当eq \f(c,a)＝eq \f(2,3)，即c＝eq \f(2,3)a时，cs ∠ABC＝eq \f(c2＋a2－ac,2ac)＝eq \f(\f(4,9)a2＋a2－\f(2,3) a2,\f(4,3)a2)＝eq \f(7,12)；
当eq \f(c,a)＝3，即c＝3a时，
cs ∠ABC＝eq \f(c2＋a2－ac,2ac)＝eq \f(9a2＋a2－3a2,6a2)＝eq \f(7,6)>1(舍).
综上，cs ∠ABC＝eq \f(7,12).
法二 因为eq \(AD,\s\up6(→))＝2eq \(DC,\s\up6(→))，所以eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(BA,\s\up6(→))，所以eq \(BD,\s\up6(→))2＝eq \f(4,9)eq \(BC,\s\up6(→))2＋eq \f(4,9)eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,9)eq \(BA,\s\up6(→))2.
因为BD＝b，所以b2＝eq \f(4,9)a2＋eq \f(4,9)accs∠ABC＋eq \f(1,9)c2，所以9b2＝4a2＋4accs∠ABC＋c2.①
又b2＝ac＝a2＋c2－2accs∠ABC，②
所以①－②，得8ac＝3a2＋6accs∠ABC，
所以cs∠ABC＝eq \f(8ac－3a2,6ac)＝eq \f(4,3)－eq \f(a,2c).由①②知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(9＝4×\f(a,c)＋4cs∠ABC＋\f(c,a)，,1＝\f(a,c)＋\f(c,a)－2cs∠ABC，))
所以11＝eq \f(6a,c)＋eq \f(3c,a)，所以6eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,c)))eq \s\up12(2)－11×eq \f(a,c)＋3＝0，解得eq \f(a,c)＝eq \f(3,2)或eq \f(a,c)＝eq \f(1,3).
当eq \f(a,c)＝eq \f(3,2)时，cs∠ABC＝eq \f(4,3)－eq \f(3,4)＝eq \f(7,12)；
当eq \f(a,c)＝eq \f(1,3)时，cs∠ABC＝eq \f(4,3)－eq \f(1,6)＝eq \f(7,6)(不合题意，舍去).
所以cs∠ABC＝eq \f(7,12).
2．(2023·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
【解】（1）因为，即，而，所以；
（2）由（1）知，，所以，而，所以，即有，所以所以．当且仅当时取等号，所以的最小值为．
[举一反三]
1．(2023·上海·模拟预测）如图，在中，已知，D是边上的一点，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】在中，由余弦定理得：，
因为，
所以，
在中，由正弦定理得：，即，
解得：
故选：D
2．(2023·山东·济南市历城第二中学模拟预测）锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，若，则的取值范围是__________．
答案：
分析：因为，由正弦定理得，
由余弦定理得，而,所以，
因为，由正弦定理知，
所以，
因为在锐角中，有，，得，
所以，此时，
则，
故答案为：
3．(2023·山东日照·三模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且成等比数列，则________．
答案：
分析：解：由成等比数列，得，又
所以，所以.
故答案为：
4．(2023·江苏江苏·一模）在中，角的对边分别为.若，则的最小值是___________.
答案：
分析：解：由余弦定理得，又，所以，
因为，当且仅当时取等号，
所以，
所以的最小值是，
故答案为：.
5．(2023·全国·高考真题（理））记的内角的对边分别为，已知．
(1)证明：；
(2)若，求的周长．
【解】(1)证明：因为，
所以，
所以，
即，
所以；
(2)解：因为，
由（1）得，
由余弦定理可得，
则，
所以，
故，
所以，
所以的周长为.
考点2 判断三角形的形状
[名师点睛]
1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.
2.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.
[典例]
1．(2023·浙江·高三专题练习）的内角，，的对边分别为，，，已知，则的形状一定是（ ）
A．等腰三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形
答案：A
分析：由正弦定理，得，
又在中，，所以，
所以，即，
故的形状一定是等腰三角形，
故选：A．
2．(2023·全国·高三专题练习）在中，角、、所对的边分别为、、若，则的形状是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形D．不确定
答案：C
分析：在中，原等式化为：，由正弦定理得，，
即，由余弦定理得：，整理得，
则有，于是有或，是等腰三角形或直角三角形，
所以的形状是等腰三角形或直角三角形.
故选：C
[举一反三]
1．(2023·江苏南通·模拟预测）小强计划制作一个三角形，使得它的三条边中线的长度分别为1，，，则（ ）
A．能制作一个锐角三角形B．能制作一个直角三角形
C．能制作一个钝角三角形D．不能制作这样的三角形
答案：C
分析：由向量关系与余弦定理列方程求解三条边长后判断
【详解】设三角形的三条边为a，b，c，设中点为D，
，则
，∴
同理，
∴，∴，，∴可以构成三角形
，∴，
∴为钝角三角形，
故选：C
2．(2023·全国·高三专题练习）在中，角所对的边分别是，且，则的形状为（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
答案：A
分析：首先利用正弦定理边化角公式得到，即可得到答案.
【详解】因为，所以，
即，
整理得到，
因为，，所以，
即，，为等腰三角形.
故选：A
3．(2023·浙江·高三专题练习）若满足，且，则的形状为（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．锐角三角形或直角三角形
答案：B
分析：由正弦定理可得，结合，可得，即，分析即得解
【详解】由正弦定理，以及，可得
代入，可得
故
故为直角三角形
故选：B
4．(2023·浙江·高三专题练习）已知内角，，所对的边分别为，，，面积为.若，，则的形状是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．正三角形D．等腰直角三角形
答案：C
分析：由三角形的内角和定理、诱导公式、正弦定理以及二倍角的正弦公式化简已知条件，可求角，由三角形的面积公式和平面向量数量积的定义可求角，再由三角形的内角和求角，即可判断的形状，进而可得正确选项.
【详解】因为，所以，即，
由正弦定理可得：，
因为，所以，
因为，所以，所以，可得，
所以，解得，
因为，所以，即，
所以，可得，所以，
所以的形状是正三角形，
故选：C.
5．(2023·湖南·长沙一中高三开学考试）中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知.
(1)求内角B的大小；
(2)已知 的面积为，，请判定的形状，并说明理由.
解：（1）因为，由正弦定理可得，又由，可得，因为，可得，所以，即，又因为，可得.
（2）因为的面积为，所以，所以，因为，所以，所以，所以，故为直角三角形.
考点3 和三角形面积有关的问题
[名师点睛]
与三角形面积有关问题的解题策略：(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积；(2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量.
[典例]
1．(2023·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
(1)求的面积；
(2)若，求b．
解：（1）由题意得，则，即，由余弦定理得，整理得，则，又，则，，则；
（2）由正弦定理得：，则，则，.
2．(2023·福建·三明一中模拟预测）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求角A；
(2)若M为的中点，，求面积的最大值．
解：(1)解法一：因为，
由正弦定理得：，
所以，
因为，
所以，
为，
所以．
解法二：因为，
由余弦定理得：，
整理得，
即，
又由余弦定理得
所以，
因为，
所以．
(2)
解法一：因为M为的中点，
所以，
所以，
即，
即，
而，
所以即，当且仅当时等号成立
所以的面积为．
即的面积的最大值为．
解法二：设，
在中，由余弦定理得，①
在中，由余弦定理得，②
因为，所以
所以①+②式得．③
在中，由余弦定理得，
而，所以，④
联立③④得：，即，
而，
所以，即，当且仅当时等号成立．
所以的面积为．
即的面积的最大值为．
[举一反三]
1．(2023·江苏·南京市第五高级中学模拟预测）在中，，为的中点，，则面积的最大值为______.
答案：
分析：首先利用余弦定理得到边长的关系式，然后结合勾股定理和基本不等式即可求得面积的最大值．
【详解】设，，
由于，
在和中应用余弦定理可得：
，整理可得：，
结合勾股定理可得的面积：
，
当且仅当 时等号成立．
则面积的最大值为．
故答案为：
2．(2023·浙江·高考真题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
(1)求的值；
(2)若，求的面积．
解：(1)由于， ，则．因为，
由正弦定理知，则．
(2)因为，由余弦定理，得，
即，解得，而，，
所以的面积．
3．(2023·山东·济南市历城第二中学模拟预测）如图，已知在中，M为BC上一点，，且．
(1)若，求的值；
(2)若AM为的平分线，且，求的面积．
解：（1）因为，,所以，因为，所以由正弦定理知，即，因为，所以，，在中，．
（2）由题意知，设，由余弦定理得，解得或．因为，所以，因为AM为的平分线，所以（h为底边BC的高）所以，故，而由（1）知，所以．
4．(2023·广东·大埔县虎山中学模拟预测）在△中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．
(1)求角C；
(2)若△的面积，且，求△的周长．
解：(1)因为，由余弦定理，得到，
又，所以；
(2)因为△的面积，且，
所以有，
联立，则，
所以△的周长为
5．(2023·江苏南通·模拟预测）在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，．
(1)求csB；
(2)若b＝3，a＞c，△ABC的面积为，求a．
解：(1)因为，由正弦定理得
，因为，
所以，
所以，可得.
(2)，∵，可得
在△ABC中，由余弦定理得，∴，
，，∴a，c可看作一元二次方程的两不等实根，
∵∴.定理
余弦定理
正弦定理
公式
a2＝b2＋c2－2bccs__A；
b2＝c2＋a2－2cacs__B；
c2＝a2＋b2－2abcs__C
eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R
常见变形
cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)；
cs B＝eq \f(c2＋a2－b2,2ac)；
cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C；
(2)sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R)；
(3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；
(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＝bsin A
bsin Aa≥b
a>b
a≤b
解的个数
一解
两解
一解
一解
无解