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高考数学一轮复习考点探究与题型突破第36讲等比数列及其前n项和(原卷版+解析)
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这是一份高考数学一轮复习考点探究与题型突破第36讲等比数列及其前n项和(原卷版+解析)，共22页。试卷主要包含了等比数列的概念，等比数列的性质等内容，欢迎下载使用。
1.等比数列的概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0).
数学语言表达式：eq \f(an,an－1)＝q(n≥2，q为非零常数).
(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.此时G2＝ab.
2.等比数列的通项公式及前n项和公式
(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；
通项公式的推广：an＝amqn－m.
(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝eq \f(a1（1－qn）, 1－q )＝eq \f(a1－anq,1－q).
3.等比数列的性质
已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.
(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al＝am·an.
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.
(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn.
考点1 等比数列基本量的运算
[名师点睛]
1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.
2.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝eq \f(a1（1－qn）,1－q)＝eq \f(a1－anq,1－q).
[典例]
1．(2023·山东·济南市历城第二中学模拟预测）在等比数列中，已知，，则（ ）
A．20B．12C．8D．4
2．(2023·山东省淄博第一中学高三开学考试）已知等比数列的前项和为，公比为，则（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·江苏省响水中学高三开学考试）记等比数列的前n项和为Sn，若，则的公比为______
[举一反三]
1．(2023·河北唐山·三模）等比数列中，若，则（ ）
A．16B．C．32D．
2．(2023·重庆市云阳江口中学校高三期末）数列满足，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·福建·厦门一中模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，，则______．
4．(2023·福建·莆田八中高三开学考试）已知等比数列的前n项和为，，，若，则___________.
5．(2023·浙江·模拟预测）已知等比数列的前n项积为，且，则公比q为________．
6．(2023·广东潮州·二模）记为等比数列的前n项和．若，，则______．
考点2 等比数列的判定与证明
[名师点睛]
1.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.
2.在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n＝1的情形进行验证.
[典例]
1．(2023·江苏南京·模拟预测）已知数列的前项和为，，．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)记数列的前项和为，证明：．
2．(2023·湖南·长沙一中模拟预测）已知数列的前项和为，且，，，．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)证明：．
[举一反三]
1．(2023·安徽蚌埠·一模）已知数列的首项，且满足.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)若，求满足条件的最大整数.
2．(2023·全国·高三专题练习）在数列中，已知各项都为正数的数列满足.
(1)证明数列为等比数列；
(2)若，，求的通项公式.
考点3 等比数列的性质及应用
[名师点睛]
(1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.
(2)涉及等比数列的单调性与最值的问题，一般要考虑公比与首项的符号对其的影响.
[典例]
1．(2023·重庆八中高三阶段练习）各项均为正数的等比数列{}满足，则=（ ）
A．2B．4C．6D．8
2．(2023·湖南·长沙一中高三阶段练习）一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为（ ）
A．180B．108
C．75D．63
3．(2023·全国·高三专题练习）记等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A．12B．18C．21D．27
4．(2023·湖南·长郡中学模拟预测）设等比数列满足，则的最大值为（ ）
A．64B．128C．256D．512
[举一反三]
1．(2023·广东茂名·一模）已知等比数列的前项和为，公比为，则下列选项正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
2．(2023·全国·高三专题练习）已知一个等比数列首项为，项数是偶数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个数列的项数为（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·福建·莆田八中高三开学考试）等差数列的公差为2，前n项和为，若p：，，成等比数列，q：的首项为0，则（ ）
A．p是q的充要条件B．p是q的既不充分也不必要条件
C．p是q的充分不必要条件D．p是q的必要不充分条件
4．(2023·全国·高三专题练习）已知数列是各项为正的等比数列，其前n项和为，若，则=（ ）
A．B．C．72D．90
5．(2023·湖北·高三开学考试）已知等比数列的各项均为正数，且，则的最大值为（ ）
A．9B．8C．3D．27
6．（多选）(2023·全国·高三专题练习）已知等比数列满足，公比，且，，则（ ）
A．B．当时，最小
C．当时，最小D．存在，使得
7．(2023·山东·青岛二中高三期末）设为等比数列的前项和.若，，则________.
8．(2023·全国·高三专题练习）已知等比数列共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比________.
9．(2023·海南中学高三阶段练习）十九世纪下半叶，集合论的创立莫定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征．仿照“康托三分集”我们可以构造一个“四分集”，其操作过程如下：将闭区间均分为四段，去掉其中的区间段记为第一次操作；再将剩下的三个间分别均分为四段，并各自去掉第二个区间段，记为第二次操作；……如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为四段，同样各自去掉第二个区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“四分集”．第三次操作去掉的区间长度和为________；若使去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数n的最小值为________（参考数据：）
10．(2023·全国·高考真题（理））记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
第36讲 等比数列及其前n项和
1.等比数列的概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0).
数学语言表达式：eq \f(an,an－1)＝q(n≥2，q为非零常数).
(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.此时G2＝ab.
2.等比数列的通项公式及前n项和公式
(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；
通项公式的推广：an＝amqn－m.
(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝eq \f(a1（1－qn）, 1－q )＝eq \f(a1－anq,1－q).
3.等比数列的性质
已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.
(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al＝am·an.
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.
(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn.
考点1 等比数列基本量的运算
[名师点睛]
1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.
2.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝eq \f(a1（1－qn）,1－q)＝eq \f(a1－anq,1－q).
[典例]
1．(2023·山东·济南市历城第二中学模拟预测）在等比数列中，已知，，则（ ）
A．20B．12C．8D．4
答案：C
分析：设的公比为q，由条件可列出关于q的方程，求得q，即可求得答案.
【详解】设的公比为q，则，
解得，所以，
故选：C．
2．(2023·山东省淄博第一中学高三开学考试）已知等比数列的前项和为，公比为，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：利用等比数列的求和公式可求得的值.
【详解】由等比数列的求和公式可得，解得.
故选：D.
3．(2023·江苏省响水中学高三开学考试）记等比数列的前n项和为Sn，若，则的公比为______
答案：-1
分析：先将公比假设为，接着对与1进行讨论，分别求出的值即可求出答案
【详解】因为是等比数列，设的公比为，
若时，
由可得，
整理得，因为，所以即，
解得(舍去)或，因为，所以，
若时，，，所以舍去，
综上所述，，
故答案为：-1
[举一反三]
1．(2023·河北唐山·三模）等比数列中，若，则（ ）
A．16B．C．32D．
答案：A
分析：本题考查等比数列得基本量得运算，根据可求得，再由分析得．
【详解】∵，则，即
又∵，即，则且
∴
则
故选：A．
2．(2023·重庆市云阳江口中学校高三期末）数列满足，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：由题设可知为等比数列，再由等比数列的性质即可求解
【详解】，则
又因为，所以
所以为等比数列
当时，；当时，
故选：C
3．(2023·福建·厦门一中模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，，则______．
答案：
分析：利用等比数列的通项公式和前项和公式即可求解.
【详解】由已知条件得
，解得，
∴；
故答案为：.
4．(2023·福建·莆田八中高三开学考试）已知等比数列的前n项和为，，，若，则___________.
答案：5
分析：根据，求得公比，再由求解.
【详解】解：在等比数列中，，，
所以，解得，
又，
即，解得，
故答案为：5
5．(2023·浙江·模拟预测）已知等比数列的前n项积为，且，则公比q为________．
答案：
分析：利用对数运算转化已知条件，结合等比数列的基本量，即可求得公比.
【详解】，解得.
故答案为：.
6．(2023·广东潮州·二模）记为等比数列的前n项和．若，，则______．
答案：
分析：由已知解出公比，根据通项公式即可求解．
【详解】设等比数列的公比为q，
由已知，
即，解得，所以．
故答案为：
考点2 等比数列的判定与证明
[名师点睛]
1.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.
2.在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n＝1的情形进行验证.
[典例]
1．(2023·江苏南京·模拟预测）已知数列的前项和为，，．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)记数列的前项和为，证明：．
【解】（1）因为，所以，所以，因为，所以，，故数列为等比数列，首项为，公比为2；
（2）由（1）可知，所以，所以．
2．(2023·湖南·长沙一中模拟预测）已知数列的前项和为，且，，，．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)证明：．
【证明】(1)因为，，
当时，
当时，所以，
即，
即，又，，所以，
所以，所以，
所以是以为首项，为公比的等比数列；
(2)由（1）可得①，
又，又，，所以，
所以，所以
即是以为首项，为公比的等比数列，
因此②，
①②可得，即
由，则
当为奇数时，，当为偶数时，，
所以
[举一反三]
1．(2023·安徽蚌埠·一模）已知数列的首项，且满足.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)若，求满足条件的最大整数.
【解】（1）证明：由题设可得，
所以.又
所以是以首项，为公比的等比数列
（2）由（1）可得，即，
所以
显然右边是递增数列，
易知，当时，，
时，不满足题意，
所以满足条件的最大整数是2022.
2．(2023·全国·高三专题练习）在数列中，已知各项都为正数的数列满足.
(1)证明数列为等比数列；
(2)若，，求的通项公式.
【解】（1）各项都为正数的数列满足，得，即所以数列是公比为的等比数列；
（2）因为，，所以，由（1）知数列是首项为，公比为的等比数列，所以，于是，又因为，所以，即.
考点3 等比数列的性质及应用
[名师点睛]
(1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.
(2)涉及等比数列的单调性与最值的问题，一般要考虑公比与首项的符号对其的影响.
[典例]
1．(2023·重庆八中高三阶段练习）各项均为正数的等比数列{}满足，则=（ ）
A．2B．4C．6D．8
答案：B
分析：利用等比数列的性质即可求得.
【详解】因为各项均为正数的等比数列{}满足，
所以，即.
因为{}为正项等比数列，所以，
所以，所以=4.
故选：B
2．(2023·湖南·长沙一中高三阶段练习）一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为（ ）
A．180B．108
C．75D．63
答案：D
分析：由等比数列前n项和的性质S7，S14－S7，S21－S14组成等比数列，分析即得解
【详解】由题意得S7，S14－S7，S21－S14组成等比数列48，12，3，
即S21－S14＝3，∴S21＝63.
故选：D
3．(2023·全国·高三专题练习）记等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A．12B．18C．21D．27
答案：C
分析：根据等比数列的性质，可知等比数列的公比,所以成等比数列，根据等比的中项性质即可求出结果.
【详解】因为为等比数列的前项和，且，，易知等比数列的公比,
所以成等比数列
所以，所以，解得.
故选：C.
4．(2023·湖南·长郡中学模拟预测）设等比数列满足，则的最大值为（ ）
A．64B．128C．256D．512
答案：A
【详解】由，得.
又，得.故.
由，得，得，且.故当或4时，取得最大值，即.
故选：A.
[举一反三]
1．(2023·广东茂名·一模）已知等比数列的前项和为，公比为，则下列选项正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
答案：B
分析：A选项可用片段和性质，BD选项使用基本量法，C选项借助下标和性质求解.
【详解】A选择中，由即，解得
B选项中，
C选项中，由，，
D选项中，
故选：B
2．(2023·全国·高三专题练习）已知一个等比数列首项为，项数是偶数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个数列的项数为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：设这个等比数列共有项，公比为，利用偶数项之和与奇数项之和的比值求得的值，再利用等比数列的求和公式可求得的值，由此可得出该数列的项数.
【详解】设这个等比数列共有项，公比为，
则奇数项之和为，
偶数项之和为，
，
等比数列的所有项之和为，则，
解得，因此，这个等比数列的项数为.
故选：C.
3．(2023·福建·莆田八中高三开学考试）等差数列的公差为2，前n项和为，若p：，，成等比数列，q：的首项为0，则（ ）
A．p是q的充要条件B．p是q的既不充分也不必要条件
C．p是q的充分不必要条件D．p是q的必要不充分条件
答案：A
分析：根据充分必要条件的定义判断．
【详解】时，，，
，，依次为，是等比数列，是的必要条件，
若，，成等比数列，则，
，解得或，
时，，，，不成等比数列，舍去．
所以，因此是的充分条件，
综上，是的充要条件，
故选：A．
4．(2023·全国·高三专题练习）已知数列是各项为正的等比数列，其前n项和为，若，则=（ ）
A．B．C．72D．90
答案：D
分析：利用等比数列的性质成等比数列，求出公比，进而可求出每一项.
【详解】根据等比数列前n项和的性质，成等比数列，设公比为，
又由已知
，
则，
，
故选：D.
5．(2023·湖北·高三开学考试）已知等比数列的各项均为正数，且，则的最大值为（ ）
A．9B．8C．3D．27
答案：D
分析：设等比数列的公比为，由已知求出、，则转化为求指数的最值可得答案.
【详解】设等比数列的公比为，则由得
，解得，，
所以，
当且仅当或时的最大值为.
故选：D.
6．（多选）(2023·全国·高三专题练习）已知等比数列满足，公比，且，，则（ ）
A．B．当时，最小
C．当时，最小D．存在，使得
答案：AC
分析：由等比数列的性质、单调性及不等式的性质可对每一个选项进行判断.
【详解】对A，∵，，∴，又，，
∴，
故A正确.
对B，C，由等比数列的性质，，
故，，∵，
∴，∵，，，∴，，
∴，故当时，最小，B错误，C正确；
对D，当时，，故，故D错误.
故选：AC
7．(2023·山东·青岛二中高三期末）设为等比数列的前项和.若，，则________.
答案：
分析：根据等比数列性质可知成等比数列，由此可依次计算求得，进而得到结果.
【详解】为等比数列的前项和，成等比数列，
又，，，则，
，则.
故答案为：.
8．(2023·全国·高三专题练习）已知等比数列共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比________.
答案：2
分析：设奇数项的和为,偶数项的和为,再根据题意利用等比数列性质求解即可.
【详解】由题意, 设奇数项的和为,偶数项的和为,得
故公比
故答案为2
9．(2023·海南中学高三阶段练习）十九世纪下半叶，集合论的创立莫定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征．仿照“康托三分集”我们可以构造一个“四分集”，其操作过程如下：将闭区间均分为四段，去掉其中的区间段记为第一次操作；再将剩下的三个间分别均分为四段，并各自去掉第二个区间段，记为第二次操作；……如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为四段，同样各自去掉第二个区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“四分集”．第三次操作去掉的区间长度和为________；若使去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数n的最小值为________（参考数据：）
答案：
【详解】由题意得：每次操作，去掉的区间长度和为上一次去掉的区间长度之和的，
设去掉的区间长度之和为，则为等比数列，其中，公比，
所以，故，
其中，令，解得：，
所以需要操作的次数n的最小值为11.
故答案为：，11
10．(2023·全国·高考真题（理））记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
【解】（1）解：因为，即①，
当时，②，
①②得，，
即，
即，所以，且，
所以是以为公差的等差数列．
（2）解：由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，所以，
所以，当或时．
1.等比数列的概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0).
数学语言表达式：eq \f(an,an－1)＝q(n≥2，q为非零常数).
(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.此时G2＝ab.
2.等比数列的通项公式及前n项和公式
(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；
通项公式的推广：an＝amqn－m.
(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝eq \f(a1（1－qn）, 1－q )＝eq \f(a1－anq,1－q).
3.等比数列的性质
已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.
(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al＝am·an.
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.
(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn.
考点1 等比数列基本量的运算
[名师点睛]
1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.
2.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝eq \f(a1（1－qn）,1－q)＝eq \f(a1－anq,1－q).
[典例]
1．(2023·山东·济南市历城第二中学模拟预测）在等比数列中，已知，，则（ ）
A．20B．12C．8D．4
2．(2023·山东省淄博第一中学高三开学考试）已知等比数列的前项和为，公比为，则（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·江苏省响水中学高三开学考试）记等比数列的前n项和为Sn，若，则的公比为______
[举一反三]
1．(2023·河北唐山·三模）等比数列中，若，则（ ）
A．16B．C．32D．
2．(2023·重庆市云阳江口中学校高三期末）数列满足，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·福建·厦门一中模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，，则______．
4．(2023·福建·莆田八中高三开学考试）已知等比数列的前n项和为，，，若，则___________.
5．(2023·浙江·模拟预测）已知等比数列的前n项积为，且，则公比q为________．
6．(2023·广东潮州·二模）记为等比数列的前n项和．若，，则______．
考点2 等比数列的判定与证明
[名师点睛]
1.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.
2.在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n＝1的情形进行验证.
[典例]
1．(2023·江苏南京·模拟预测）已知数列的前项和为，，．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)记数列的前项和为，证明：．
2．(2023·湖南·长沙一中模拟预测）已知数列的前项和为，且，，，．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)证明：．
[举一反三]
1．(2023·安徽蚌埠·一模）已知数列的首项，且满足.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)若，求满足条件的最大整数.
2．(2023·全国·高三专题练习）在数列中，已知各项都为正数的数列满足.
(1)证明数列为等比数列；
(2)若，，求的通项公式.
考点3 等比数列的性质及应用
[名师点睛]
(1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.
(2)涉及等比数列的单调性与最值的问题，一般要考虑公比与首项的符号对其的影响.
[典例]
1．(2023·重庆八中高三阶段练习）各项均为正数的等比数列{}满足，则=（ ）
A．2B．4C．6D．8
2．(2023·湖南·长沙一中高三阶段练习）一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为（ ）
A．180B．108
C．75D．63
3．(2023·全国·高三专题练习）记等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A．12B．18C．21D．27
4．(2023·湖南·长郡中学模拟预测）设等比数列满足，则的最大值为（ ）
A．64B．128C．256D．512
[举一反三]
1．(2023·广东茂名·一模）已知等比数列的前项和为，公比为，则下列选项正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
2．(2023·全国·高三专题练习）已知一个等比数列首项为，项数是偶数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个数列的项数为（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·福建·莆田八中高三开学考试）等差数列的公差为2，前n项和为，若p：，，成等比数列，q：的首项为0，则（ ）
A．p是q的充要条件B．p是q的既不充分也不必要条件
C．p是q的充分不必要条件D．p是q的必要不充分条件
4．(2023·全国·高三专题练习）已知数列是各项为正的等比数列，其前n项和为，若，则=（ ）
A．B．C．72D．90
5．(2023·湖北·高三开学考试）已知等比数列的各项均为正数，且，则的最大值为（ ）
A．9B．8C．3D．27
6．（多选）(2023·全国·高三专题练习）已知等比数列满足，公比，且，，则（ ）
A．B．当时，最小
C．当时，最小D．存在，使得
7．(2023·山东·青岛二中高三期末）设为等比数列的前项和.若，，则________.
8．(2023·全国·高三专题练习）已知等比数列共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比________.
9．(2023·海南中学高三阶段练习）十九世纪下半叶，集合论的创立莫定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征．仿照“康托三分集”我们可以构造一个“四分集”，其操作过程如下：将闭区间均分为四段，去掉其中的区间段记为第一次操作；再将剩下的三个间分别均分为四段，并各自去掉第二个区间段，记为第二次操作；……如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为四段，同样各自去掉第二个区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“四分集”．第三次操作去掉的区间长度和为________；若使去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数n的最小值为________（参考数据：）
10．(2023·全国·高考真题（理））记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
第36讲 等比数列及其前n项和
1.等比数列的概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0).
数学语言表达式：eq \f(an,an－1)＝q(n≥2，q为非零常数).
(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.此时G2＝ab.
2.等比数列的通项公式及前n项和公式
(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；
通项公式的推广：an＝amqn－m.
(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝eq \f(a1（1－qn）, 1－q )＝eq \f(a1－anq,1－q).
3.等比数列的性质
已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.
(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al＝am·an.
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.
(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn.
考点1 等比数列基本量的运算
[名师点睛]
1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.
2.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝eq \f(a1（1－qn）,1－q)＝eq \f(a1－anq,1－q).
[典例]
1．(2023·山东·济南市历城第二中学模拟预测）在等比数列中，已知，，则（ ）
A．20B．12C．8D．4
答案：C
分析：设的公比为q，由条件可列出关于q的方程，求得q，即可求得答案.
【详解】设的公比为q，则，
解得，所以，
故选：C．
2．(2023·山东省淄博第一中学高三开学考试）已知等比数列的前项和为，公比为，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：利用等比数列的求和公式可求得的值.
【详解】由等比数列的求和公式可得，解得.
故选：D.
3．(2023·江苏省响水中学高三开学考试）记等比数列的前n项和为Sn，若，则的公比为______
答案：-1
分析：先将公比假设为，接着对与1进行讨论，分别求出的值即可求出答案
【详解】因为是等比数列，设的公比为，
若时，
由可得，
整理得，因为，所以即，
解得(舍去)或，因为，所以，
若时，，，所以舍去，
综上所述，，
故答案为：-1
[举一反三]
1．(2023·河北唐山·三模）等比数列中，若，则（ ）
A．16B．C．32D．
答案：A
分析：本题考查等比数列得基本量得运算，根据可求得，再由分析得．
【详解】∵，则，即
又∵，即，则且
∴
则
故选：A．
2．(2023·重庆市云阳江口中学校高三期末）数列满足，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：由题设可知为等比数列，再由等比数列的性质即可求解
【详解】，则
又因为，所以
所以为等比数列
当时，；当时，
故选：C
3．(2023·福建·厦门一中模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，，则______．
答案：
分析：利用等比数列的通项公式和前项和公式即可求解.
【详解】由已知条件得
，解得，
∴；
故答案为：.
4．(2023·福建·莆田八中高三开学考试）已知等比数列的前n项和为，，，若，则___________.
答案：5
分析：根据，求得公比，再由求解.
【详解】解：在等比数列中，，，
所以，解得，
又，
即，解得，
故答案为：5
5．(2023·浙江·模拟预测）已知等比数列的前n项积为，且，则公比q为________．
答案：
分析：利用对数运算转化已知条件，结合等比数列的基本量，即可求得公比.
【详解】，解得.
故答案为：.
6．(2023·广东潮州·二模）记为等比数列的前n项和．若，，则______．
答案：
分析：由已知解出公比，根据通项公式即可求解．
【详解】设等比数列的公比为q，
由已知，
即，解得，所以．
故答案为：
考点2 等比数列的判定与证明
[名师点睛]
1.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.
2.在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n＝1的情形进行验证.
[典例]
1．(2023·江苏南京·模拟预测）已知数列的前项和为，，．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)记数列的前项和为，证明：．
【解】（1）因为，所以，所以，因为，所以，，故数列为等比数列，首项为，公比为2；
（2）由（1）可知，所以，所以．
2．(2023·湖南·长沙一中模拟预测）已知数列的前项和为，且，，，．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)证明：．
【证明】(1)因为，，
当时，
当时，所以，
即，
即，又，，所以，
所以，所以，
所以是以为首项，为公比的等比数列；
(2)由（1）可得①，
又，又，，所以，
所以，所以
即是以为首项，为公比的等比数列，
因此②，
①②可得，即
由，则
当为奇数时，，当为偶数时，，
所以
[举一反三]
1．(2023·安徽蚌埠·一模）已知数列的首项，且满足.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)若，求满足条件的最大整数.
【解】（1）证明：由题设可得，
所以.又
所以是以首项，为公比的等比数列
（2）由（1）可得，即，
所以
显然右边是递增数列，
易知，当时，，
时，不满足题意，
所以满足条件的最大整数是2022.
2．(2023·全国·高三专题练习）在数列中，已知各项都为正数的数列满足.
(1)证明数列为等比数列；
(2)若，，求的通项公式.
【解】（1）各项都为正数的数列满足，得，即所以数列是公比为的等比数列；
（2）因为，，所以，由（1）知数列是首项为，公比为的等比数列，所以，于是，又因为，所以，即.
考点3 等比数列的性质及应用
[名师点睛]
(1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.
(2)涉及等比数列的单调性与最值的问题，一般要考虑公比与首项的符号对其的影响.
[典例]
1．(2023·重庆八中高三阶段练习）各项均为正数的等比数列{}满足，则=（ ）
A．2B．4C．6D．8
答案：B
分析：利用等比数列的性质即可求得.
【详解】因为各项均为正数的等比数列{}满足，
所以，即.
因为{}为正项等比数列，所以，
所以，所以=4.
故选：B
2．(2023·湖南·长沙一中高三阶段练习）一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为（ ）
A．180B．108
C．75D．63
答案：D
分析：由等比数列前n项和的性质S7，S14－S7，S21－S14组成等比数列，分析即得解
【详解】由题意得S7，S14－S7，S21－S14组成等比数列48，12，3，
即S21－S14＝3，∴S21＝63.
故选：D
3．(2023·全国·高三专题练习）记等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A．12B．18C．21D．27
答案：C
分析：根据等比数列的性质，可知等比数列的公比,所以成等比数列，根据等比的中项性质即可求出结果.
【详解】因为为等比数列的前项和，且，，易知等比数列的公比,
所以成等比数列
所以，所以，解得.
故选：C.
4．(2023·湖南·长郡中学模拟预测）设等比数列满足，则的最大值为（ ）
A．64B．128C．256D．512
答案：A
【详解】由，得.
又，得.故.
由，得，得，且.故当或4时，取得最大值，即.
故选：A.
[举一反三]
1．(2023·广东茂名·一模）已知等比数列的前项和为，公比为，则下列选项正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
答案：B
分析：A选项可用片段和性质，BD选项使用基本量法，C选项借助下标和性质求解.
【详解】A选择中，由即，解得
B选项中，
C选项中，由，，
D选项中，
故选：B
2．(2023·全国·高三专题练习）已知一个等比数列首项为，项数是偶数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个数列的项数为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：设这个等比数列共有项，公比为，利用偶数项之和与奇数项之和的比值求得的值，再利用等比数列的求和公式可求得的值，由此可得出该数列的项数.
【详解】设这个等比数列共有项，公比为，
则奇数项之和为，
偶数项之和为，
，
等比数列的所有项之和为，则，
解得，因此，这个等比数列的项数为.
故选：C.
3．(2023·福建·莆田八中高三开学考试）等差数列的公差为2，前n项和为，若p：，，成等比数列，q：的首项为0，则（ ）
A．p是q的充要条件B．p是q的既不充分也不必要条件
C．p是q的充分不必要条件D．p是q的必要不充分条件
答案：A
分析：根据充分必要条件的定义判断．
【详解】时，，，
，，依次为，是等比数列，是的必要条件，
若，，成等比数列，则，
，解得或，
时，，，，不成等比数列，舍去．
所以，因此是的充分条件，
综上，是的充要条件，
故选：A．
4．(2023·全国·高三专题练习）已知数列是各项为正的等比数列，其前n项和为，若，则=（ ）
A．B．C．72D．90
答案：D
分析：利用等比数列的性质成等比数列，求出公比，进而可求出每一项.
【详解】根据等比数列前n项和的性质，成等比数列，设公比为，
又由已知
，
则，
，
故选：D.
5．(2023·湖北·高三开学考试）已知等比数列的各项均为正数，且，则的最大值为（ ）
A．9B．8C．3D．27
答案：D
分析：设等比数列的公比为，由已知求出、，则转化为求指数的最值可得答案.
【详解】设等比数列的公比为，则由得
，解得，，
所以，
当且仅当或时的最大值为.
故选：D.
6．（多选）(2023·全国·高三专题练习）已知等比数列满足，公比，且，，则（ ）
A．B．当时，最小
C．当时，最小D．存在，使得
答案：AC
分析：由等比数列的性质、单调性及不等式的性质可对每一个选项进行判断.
【详解】对A，∵，，∴，又，，
∴，
故A正确.
对B，C，由等比数列的性质，，
故，，∵，
∴，∵，，，∴，，
∴，故当时，最小，B错误，C正确；
对D，当时，，故，故D错误.
故选：AC
7．(2023·山东·青岛二中高三期末）设为等比数列的前项和.若，，则________.
答案：
分析：根据等比数列性质可知成等比数列，由此可依次计算求得，进而得到结果.
【详解】为等比数列的前项和，成等比数列，
又，，，则，
，则.
故答案为：.
8．(2023·全国·高三专题练习）已知等比数列共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比________.
答案：2
分析：设奇数项的和为,偶数项的和为,再根据题意利用等比数列性质求解即可.
【详解】由题意, 设奇数项的和为,偶数项的和为,得
故公比
故答案为2
9．(2023·海南中学高三阶段练习）十九世纪下半叶，集合论的创立莫定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征．仿照“康托三分集”我们可以构造一个“四分集”，其操作过程如下：将闭区间均分为四段，去掉其中的区间段记为第一次操作；再将剩下的三个间分别均分为四段，并各自去掉第二个区间段，记为第二次操作；……如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为四段，同样各自去掉第二个区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“四分集”．第三次操作去掉的区间长度和为________；若使去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数n的最小值为________（参考数据：）
答案：
【详解】由题意得：每次操作，去掉的区间长度和为上一次去掉的区间长度之和的，
设去掉的区间长度之和为，则为等比数列，其中，公比，
所以，故，
其中，令，解得：，
所以需要操作的次数n的最小值为11.
故答案为：，11
10．(2023·全国·高考真题（理））记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
【解】（1）解：因为，即①，
当时，②，
①②得，，
即，
即，所以，且，
所以是以为公差的等差数列．
（2）解：由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，所以，
所以，当或时．
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