高考数学一轮复习考点探究与题型突破第37讲数列求和(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习考点探究与题型突破第37讲数列求和(原卷版+解析)，共18页。试卷主要包含了特殊数列的求和公式，数列求和的几种常用方法等内容，欢迎下载使用。


1.特殊数列的求和公式
(1)等差数列的前n项和公式：
Sn＝eq \f(n（a1＋an）,2)＝na1＋eq \f(n（n－1）,2)d.
(2)等比数列的前n项和公式：
Sn＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)＝\f(a1（1－qn）,1－q)，q≠1.))
2.数列求和的几种常用方法
(1)分组转化法
把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.
(2)裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.
(3)错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解.
(4)倒序相加法
如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解.
考点1 分组转化求和
[名师点睛]
1.若数列{cn}满足cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和.
2.若数列{cn}满足cn＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(an，n为奇数，,bn，n为偶数，))其中数列{an}，{bn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{cn}的前n项和.
[典例]
1．(2023·福建漳州·二模）已知是数列的前n项和，，，，记且，则（ ）
A．171B．278C．351D．395
2．(2023·湖南·邵阳市第二中学模拟预测）已知数列的前n项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
[举一反三]
1．(2023·重庆八中模拟预测）已知集合，，将中的所有元素按从小到大的顺序排列构成一个数列，设数列的前项和为，则使得成立的最小的的值为_____________.
2．(2023·重庆八中模拟预测）已知集合，，将中的所有元素按从小到大的顺序排列构成一个数列，设数列的前项和为，则使得成立的最小的的值为_____________.
考点2 裂项相消法求和
[名师点睛]
1.用裂项相消法求和时，要对通项进行变换，如：eq \f(1,\r(n)＋\r(n＋k))＝eq \f(1,k)(eq \r(n＋k)－eq \r(n))，eq \f(1,n（n＋k）)＝eq \f(1,k)(eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋k))，裂项后可以产生连续相互抵消的项.
2.消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.
[典例]
1．(2023·江苏省木渎高级中学模拟预测）已知数列，满足，则等于（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·河北衡水中学模拟预测）已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
[举一反三]
1．(2023·山东省实验中学模拟预测）已知数列的通项公式为，则其前项和为（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·天津实验中学模拟预测）等比数列中，，，则数列的前2022项和为（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·广东·华南师大附中模拟预测）设是数列的前项和，若，，则数列的前99项和为
A．B．
C．D．
4．(2023·广东肇庆·二模）已知是数列的前n项和，，，恒成立，则k最小为______．
5．(2023·广东·佛山市南海区艺术高级中学模拟预测）已知数列是等比数列，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和，并证明：.
考点3 错位相减法求和
[名师点睛]
(1)如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，常采用错位相减法.
(2)错位相减法求和时，应注意：
①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形.
②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式.
③应用等比数列求和公式必须注意公比q是否等于1，如果q＝1，应用公式Sn＝na1.
[典例]
1．(2023·广东·三模）在数学和许多分支中都能见到很多以瑞士数学家欧拉命名的常数､公式和定理，如：欧拉函数（）的函数值等于所有不超过正整数n且与n互素的正整数的个数，（互素是指两个整数的公约数只有1），例如：；（与3互素有1､2）；（与9互素有1､2､4､5､7､8）.记为数列的前n项和，则=（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·辽宁·大连市普兰店区高级中学模拟预测）在①，②，③这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，给出解答．
已知数列的前项和为，满足____，____；又知正项等差数列满足，且，，成等比数列．
（1）求和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
[举一反三]
1．(2023·山东聊城·二模）已知数列，当时，，则数列的前项的和为______．
2．(2023·山东临沂·二模）已知数列的前n项和为，，．
(1)求的通项公式；
(2)记，求数列的前n项和．
3．(2023·广东茂名·二模）已知数列的前n项和为，且．
(1)求证：数列为等差数列；
(2)求数列的前n项和．
第37讲 数列求和
1.特殊数列的求和公式
(1)等差数列的前n项和公式：
Sn＝eq \f(n（a1＋an）,2)＝na1＋eq \f(n（n－1）,2)d.
(2)等比数列的前n项和公式：
Sn＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)＝\f(a1（1－qn）,1－q)，q≠1.))
2.数列求和的几种常用方法
(1)分组转化法
把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.
(2)裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.
(3)错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解.
(4)倒序相加法
如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解.
考点1 分组转化求和
[名师点睛]
1.若数列{cn}满足cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和.
2.若数列{cn}满足cn＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(an，n为奇数，,bn，n为偶数，))其中数列{an}，{bn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{cn}的前n项和.
[典例]
1．(2023·福建漳州·二模）已知是数列的前n项和，，，，记且，则（ ）
A．171B．278C．351D．395
答案：C
分析：通过得出数列隔两项取出的数是等差数列，按照等差数列求和和分组求和计算得出答案.
【详解】由，，
是首项为1，公差为2的等差数列，是首项为2，公差为2的等差数列，
是首项为3，公差为2的等差数列，
.
故选：C.
2．(2023·湖南·邵阳市第二中学模拟预测）已知数列的前n项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【解】(1)∵，①
当时，，即
当时，．②
由①－②得，即
∴数列是以2为首项，4为公比的等比数列．
∴
(2)由（1）知
∴，
∴．
[举一反三]
1．(2023·重庆八中模拟预测）已知集合，，将中的所有元素按从小到大的顺序排列构成一个数列，设数列的前项和为，则使得成立的最小的的值为_____________.
答案：36
分析：由题可得为数列的项，且利用分组求和可得，通过计算即得.
【详解】由题意，对于数列的项，其前面的项1，3，5，…，，共有项，，共有项，所以为数列的项，
且.
可算得（项），，，
因为，，，所以，，，
因此所求的最小值为36.
故答案为：36.
2．(2023·重庆八中模拟预测）已知集合，，将中的所有元素按从小到大的顺序排列构成一个数列，设数列的前项和为，则使得成立的最小的的值为_____________.
答案：36
分析：由题可得为数列的项，且利用分组求和可得，通过计算即得.
【详解】由题意，对于数列的项，其前面的项1，3，5，…，，共有项，，共有项，所以为数列的项，
且.
可算得（项），，，
因为，，，所以，，，
因此所求的最小值为36.
故答案为：36.
考点2 裂项相消法求和
[名师点睛]
1.用裂项相消法求和时，要对通项进行变换，如：eq \f(1,\r(n)＋\r(n＋k))＝eq \f(1,k)(eq \r(n＋k)－eq \r(n))，eq \f(1,n（n＋k）)＝eq \f(1,k)(eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋k))，裂项后可以产生连续相互抵消的项.
2.消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.
[典例]
1．(2023·江苏省木渎高级中学模拟预测）已知数列，满足，则等于（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：运用递推公式可以得到，结合已知递推公式可以求出数列的通项公式，再运用裂项相消法进行求解即可.
【详解】因为，①
所以，②
①－②得，，所以，
而，适合上式，所以，，
，
∴.
故选：D．
2．(2023·河北衡水中学模拟预测）已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【解】（1）当时，，故；
当时，，故，
故，则，又满足，
∴，.
（2）由（1）可得：，
故.
[举一反三]
1．(2023·山东省实验中学模拟预测）已知数列的通项公式为，则其前项和为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：，然后可算出答案.
【详解】因为
所以其前项和为
故选：A
2．(2023·天津实验中学模拟预测）等比数列中，，，则数列的前2022项和为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：由题知，，进而根据裂项求和法求解即可.
【详解】解：设等比数列的公比为，因为等比数列中，，，
所以，解得，
所以，，
所以，
所以数列的前2022项和为
故选：C
3．(2023·广东·华南师大附中模拟预测）设是数列的前项和，若，，则数列的前99项和为
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】利用两式作差，代入求出，再利用裂项相消法求出和即可．
【详解】解：当时，，则，
即，则，从而，
故.
故选：．
4．(2023·广东肇庆·二模）已知是数列的前n项和，，，恒成立，则k最小为______．
答案：2
分析：利用递推关系求出的通项公式，再裂项求和即可.
【详解】由，得，
当时，得，，…，，
则，
即，则，
当n=1时符合上式，
则，
所以k最小为2．
故答案为：.
5．(2023·广东·佛山市南海区艺术高级中学模拟预测）已知数列是等比数列，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和，并证明：.
【解】（1）设等比数列的公比是q，首项是.
由，可得.
由，可得，所以，
所以；
（2）证明：因为，
所以
.
又，所以.
考点3 错位相减法求和
[名师点睛]
(1)如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，常采用错位相减法.
(2)错位相减法求和时，应注意：
①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形.
②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式.
③应用等比数列求和公式必须注意公比q是否等于1，如果q＝1，应用公式Sn＝na1.
[典例]
1．(2023·广东·三模）在数学和许多分支中都能见到很多以瑞士数学家欧拉命名的常数､公式和定理，如：欧拉函数（）的函数值等于所有不超过正整数n且与n互素的正整数的个数，（互素是指两个整数的公约数只有1），例如：；（与3互素有1､2）；（与9互素有1､2､4､5､7､8）.记为数列的前n项和，则=（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：根据欧拉函数定义得出，然后由错位相减法求得和，从而可得．
【详解】因为与互素的数为1，2，4，5，7，8，10，11，，，共有，所以，则，
于是①，
②，
由①-②得，
则.于是.
故选：A．
2．(2023·辽宁·大连市普兰店区高级中学模拟预测）在①，②，③这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，给出解答．
已知数列的前项和为，满足____，____；又知正项等差数列满足，且，，成等比数列．
（1）求和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【解】（1）选择①②：
由当时，有，
两式相减得：，即，．
又当时，有，又∵，∴，也适合，
所以数列是首项、公比均为的等比数列，所以；
选择：②③：
由当时，，
两式相减得：，即，．
又当时，有，又∵，∴，也适合，
所以数列是首项、公比均为的等比数列，所以；
选择①③：
由，，则
即，所以，
两式相减可得：，
当时，由，得，即，即
由，得，即，与上式相同，不能求出的值.
故不能选择①③
所以数列是首项、公比均为的等比数列，所以；
设正项等差数列的公差为，∵，且，，成等比数列，
∴，即，解得：或（舍），
∴，故，．
（2）
所以，
则，
两式相减得
．
∴
[举一反三]
1．(2023·山东聊城·二模）已知数列，当时，，则数列的前项的和为______．
答案：
分析：分别取、、、时，满足的项数，计算得出，利用错位相减法可求得数列的前项的和.
【详解】当时，，共项，
当时，，共项，
当时，，共项，
当时，，共项，又因为，
所以，数列的前项的和为，
记，
则，
上述两个等式作差可得，
所以，，
因此，数列的前项的和为.
故答案为：.
2．(2023·山东临沂·二模）已知数列的前n项和为，，．
(1)求的通项公式；
(2)记，求数列的前n项和．
【解】（1）由得，
∴，
∴.
又，，∴，整理得.
∴数列是首项为1，公比为2的等比数列，
∴数列的通项公式为：.
（2）由（1）得，∴.
∴，
即，
，
两式相减，得，
∴.
3．(2023·广东茂名·二模）已知数列的前n项和为，且．
(1)求证：数列为等差数列；
(2)求数列的前n项和．
【解】（1）由可得，
由得，
所以，即，
所以，，
所以数列是公差为1，首项为1的等差数列.
（2）由（1），得，
所以，
，两式相减得
，
所以.