高考数学一轮复习考点探究与题型突破第38讲数列的综合应用(原卷版+解析)
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数列应用问题常见模型
(1)等差模型:后一个量比前一个量增加(或减少)的是同一个固定值.
(2)等比模型:后一个量与前一个量的比是同一个固定的非零常数.
(3)递推数列模型:如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定,随项的变化而变化,那么应考虑an与
an+1(或者相邻三项)之间的递推关系,或者Sn与Sn+1(或者相邻三项)之间的递推关系.
[典例]
1.(2023·湖南·一模)在流行病学中,基本传染数是指在没有外力介入,同时所有人都没有免疫力的情况下,一个感染者平均传染的人数.一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定.对于,而且死亡率较高的传染病,一般要隔离感染者,以控制传染源,切断传播途径.假设某种传染病的基本传染数,平均感染周期为7天(初始感染者传染个人为第一轮传染,经过一个周期后这个人每人再传染个人为第二轮传染……)那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为(参考数据:,)( )
A.35B.42C.49D.56
2.(2023·山东青岛·一模)我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题:“今有人持金出五关,前关二税一,次关三而税一,次关四而税一,次关五而税一,次关六而税一,并五关所税,适重一斤.问本持金几何?”其意思为“今有人持金出五关,第1关收税金为持金的,第2关收税金为剩余金的,第3关收税金为剩余金的,第4关收税金为剩余金的,第5关收税金为剩余金的,5关所收税金之和恰好重1斤.问原来持金多少?”.记这个人原来持金为斤,设,则( )
A.B.7C.13D.26
[举一反三]
1.(2023·辽宁·沈阳二中模拟预测)我们知道,偿还银行贷款时,“等额本金还款法”是一种很常见的还款方式,其本质是将本金平均分配到每一期进行偿还,每一期的还款金额由两部分组成,一部分为每期本金,即贷款本金除以还款期数,另一部分是利息,即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率.自主创业的大学生张华向银行贷款的本金为48万元,张华跟银行约定,按照等额本金还款法,每个月还一次款,20年还清,贷款月利率为,设张华第个月的还款金额为元,则( )
A.2192B.C.D.
2.(2023·全国·高三专题练习)南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中,提出了一些新的垛积公式,他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差并不相等,而是逐项差数之差或者高次差相等.对这类高阶等差数列的研究,在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有一个高阶等差数列,其前7项分别为1,5,11,21,37,61,95,则该数列的第8项为( )
A.99B.131C.139D.141
3.(多选)(2023·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟预测)市民小张计划贷款60万元用于购买一套商品住房,银行给小张提供了两种贷款方式.方式①:等额本金,每月的还款额呈递减趋势,且从第二个还款月开始,每月还款额与上月还款额的差均相同;方式②:等额本息,每个月的还款额均相同.银行规定,在贷款到账日的次月当天开始首次还款(若2021年7月7日贷款到账,则2021年8月7日首次还款).已知小张该笔贷款年限为20年,月利率为0.004,则下列说法正确的是( )(参考数据:,计算结果取整数)
A.选择方式①,若第一个还款月应还4900元,最后一个还款月应还2510元,则小张该笔贷款的总利息为289200元
B.选择方式②,小张每月还款额为3800元
C.选择方式②,小张总利息为333840元
D.从经济利益的角度来考虑,小张应选择方式①
考点2 等差数列、等比数列的综合运算
[名师点睛]
对等差、等比数列的综合问题,应重点分析等差、等比数列项之间的关系.数列的求和主要是等差、等比数列的求和及裂项相消法求和与错位相减法求和,本题中利用裂项相消法求数列的和,然后利用b1=1,d>0证明不等式成立.另外本题在探求{an}与{cn}的通项公式时,考查累加、累乘两种基本方法.
[典例]
(2023·滨州模拟)已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=2,b2=4,an=2lg2bn,n∈N*.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)设数列{an}中不在数列{bn}中的项按从小到大的顺序构成数列{cn},记数列{cn}的前n项和为Sn,求S100.
[举一反三]
已知等差数列{an}的首项a1≠0,前n项和为Sn,且S4+a2=2S3;等比数列{bn}满足b1=a2,b2=a4.
(1)求证:数列{bn}中的每一项都是数列{an}中的项;
(2)若a1=2,设cn=eq \f(2,lg2bnlg2bn+1),求数列{cn}的前n项的和Tn;
(3)在(2)的条件下,若有f(n)=lg3Tn,求f(1)+f(2)+…+f(n)的最大值.
考点3 新情境下的数列问题
[名师点睛]
新情境下的数列问题的求解策略
(1)深入新情境,建立数列模型,如本题要理解“优值”的含义;
(2)利用新定义,求解数列模型,将新定义和原有知识相联系,和数列的通项、求和相结合.
[典例]
1.(多选)(2023·江苏·高三专题练习)设是无穷数列,若存在正整数k,使得对任意,均有,则称是间隔递增数列,k是的间隔数,下列说法正确的是( )
A.公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列
B.已知,则是间隔递增数列
C.已知,则是间隔递增数列且最小间隔数是2
D.已知,若是间隔递增数列且最小间隔数是3,则
2.(2023·山东潍坊·模拟预测)若数列满足:对,都有(常数),则称数列是公差为d的“准等差数列”.
(1)数列中,,对,都有.求证:数列为“准等差数列”,并求其通项公式;
(2)数列满足:.将(1)中数列中的项按原有的顺序插入数列中,使与之间插入项,形成新数列.求数列前100项和.
[举一反三]
1.(2023·全国·高三专题练习)若数列满足,则称为“梦想数列”,已知正项数列为“梦想数列”,且,则( )
A.B.C.D.
2.(多选)(2023·江苏·苏州市第六中学校三模)在数列中,若(为非零常数),则称为“等方差数列”,称为“公方差”,下列对“等方差数列”的判断正确的是( )
A.是等方差数列
B.若正项等方差数列的首项,且是等比数列,则
C.等比数列不可能为等方差数列
D.存在数列既是等方差数列,又是等差数列
考点4 数列与函数、不等式的交汇
[名师点睛]
数列与函数、不等式的综合问题关键在于通过函数关系寻找数列的递推关系,求出数列的通项或前n项和,再利用数列或数列对应的函数解决最值、范围问题,通过放缩进行不等式的证明.
[典例]
1.(2023·江苏·扬中市第二高级中学模拟预测)已知数列满足.
(1)证明是等比数列,并求的通项公式;
(2)证明: .
2.(2023·江苏江苏·二模)已知数列,当时,,.记数列的前项和为.
(1)求,;
(2)求使得成立的正整数的最大值.
[举一反三]
1.(2023·湖北·天门市教育科学研究院模拟预测)已知数列的首项是,前项和为,且,设,若存在常数,使不等式恒成立,则的取值范围为( )
A.B.C.D.
2.(2023·山东泰安·一模)已知数列是首项为,公差为1的等差数列,数列满足.若对任意的,都有成立,则实数的取值范围是( )
A.,B.C.,D.
3.(2023·广东·模拟预测)已知表示不小于x的最小整数,表示不大于x的最大整数,如,,数列满足,且对,有,若为递增数列,则整数b的最小值为______.
4.(2023·江苏·南京市雨花台中学模拟预测)已知数列中,,且满足,若对于任意,都有成立,则实数的最小值是_________.
5.(2023·辽宁实验中学模拟预测)已知数列的前n项和为,满足:
(1)求证:数列为等差数列;
(2)若,令,数列的前n项和为,若不等式对任意恒成立,求实数m的取值范围.
第38讲 数列的综合应用
考点1 数学文化与数列的实际应用
[名师点睛]
数列应用问题常见模型
(1)等差模型:后一个量比前一个量增加(或减少)的是同一个固定值.
(2)等比模型:后一个量与前一个量的比是同一个固定的非零常数.
(3)递推数列模型:如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定,随项的变化而变化,那么应考虑an与
an+1(或者相邻三项)之间的递推关系,或者Sn与Sn+1(或者相邻三项)之间的递推关系.
[典例]
1.(2023·湖南·一模)在流行病学中,基本传染数是指在没有外力介入,同时所有人都没有免疫力的情况下,一个感染者平均传染的人数.一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定.对于,而且死亡率较高的传染病,一般要隔离感染者,以控制传染源,切断传播途径.假设某种传染病的基本传染数,平均感染周期为7天(初始感染者传染个人为第一轮传染,经过一个周期后这个人每人再传染个人为第二轮传染……)那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为(参考数据:,)( )
A.35B.42C.49D.56
答案:B
分析:根据题意列出方程,利用等比数列的求和公式计算n轮传染后感染的总人数,得到指数方程,求得近似解,然后可得需要的天数.
【详解】感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要n轮传染,
则每轮新增感染人数为,
经过n轮传染,总共感染人数为:,
∵,∴当感染人数增加到1000人时,,化简得,
由,故得,又∵平均感染周期为7天,
所以感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要天,
故选:B
2.(2023·山东青岛·一模)我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题:“今有人持金出五关,前关二税一,次关三而税一,次关四而税一,次关五而税一,次关六而税一,并五关所税,适重一斤.问本持金几何?”其意思为“今有人持金出五关,第1关收税金为持金的,第2关收税金为剩余金的,第3关收税金为剩余金的,第4关收税金为剩余金的,第5关收税金为剩余金的,5关所收税金之和恰好重1斤.问原来持金多少?”.记这个人原来持金为斤,设,则( )
A.B.7C.13D.26
答案:C
分析:根据题意求得每次收的税金,结合题意得到,求得的值,代入函数的解析式,即可求解.
【详解】由题意知:这个人原来持金为斤,
第1关收税金为:斤;第2关收税金为斤;
第3关收税金为斤,
以此类推可得的,第4关收税金为斤,第5关收税金为斤,
所以,
即,解得,
又由,所以.
故选:C.
[举一反三]
1.(2023·辽宁·沈阳二中模拟预测)我们知道,偿还银行贷款时,“等额本金还款法”是一种很常见的还款方式,其本质是将本金平均分配到每一期进行偿还,每一期的还款金额由两部分组成,一部分为每期本金,即贷款本金除以还款期数,另一部分是利息,即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率.自主创业的大学生张华向银行贷款的本金为48万元,张华跟银行约定,按照等额本金还款法,每个月还一次款,20年还清,贷款月利率为,设张华第个月的还款金额为元,则( )
A.2192B.C.D.
答案:D
分析:计算出每月应还的本金数,再计算第n个月已还多少本金,由此可计算出个月的还款金额.
【详解】由题意可知:每月还本金为2000元,
设张华第个月的还款金额为元,
则,
故选:D
2.(2023·全国·高三专题练习)南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中,提出了一些新的垛积公式,他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差并不相等,而是逐项差数之差或者高次差相等.对这类高阶等差数列的研究,在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有一个高阶等差数列,其前7项分别为1,5,11,21,37,61,95,则该数列的第8项为( )
A.99B.131C.139D.141
答案:D
分析:根据题中所给高阶等差数列定义,找出其一般规律即可求解.
【详解】设该高阶等差数列的第8项为,
根据所给定义,用数列的后一项减去前一项得到一个数列,得到的数列也用后一项减去前一项得到一个数列,即得到了一个等差数列,如图:
由图可得,则.
故选:D
3.(多选)(2023·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟预测)市民小张计划贷款60万元用于购买一套商品住房,银行给小张提供了两种贷款方式.方式①:等额本金,每月的还款额呈递减趋势,且从第二个还款月开始,每月还款额与上月还款额的差均相同;方式②:等额本息,每个月的还款额均相同.银行规定,在贷款到账日的次月当天开始首次还款(若2021年7月7日贷款到账,则2021年8月7日首次还款).已知小张该笔贷款年限为20年,月利率为0.004,则下列说法正确的是( )(参考数据:,计算结果取整数)
A.选择方式①,若第一个还款月应还4900元,最后一个还款月应还2510元,则小张该笔贷款的总利息为289200元
B.选择方式②,小张每月还款额为3800元
C.选择方式②,小张总利息为333840元
D.从经济利益的角度来考虑,小张应选择方式①
答案:ACD
分析:等额本金还款方式中,每月的还款额构成一个等差数列,记为,则,,等额本息还款方式中,设小张每月还款额为元,
则,
分别利用等差数列、等比数列模型研究,依次判断即可
【详解】对于A,由题意可知,等额本金还款方式中,每月的还款额构成一个等差数列,记为,表示数列的前项和,则,,
则,
故小张该笔贷款的总利息为(元),故A正确.
对于B,设小张每月还款额为元,
则,
所以,
即,故B错误.
对于C,小张采取等额本息贷款方式的总利息为(元),故C正确.
对于D,因为,所以从经济利益的角度来考虑,小张应选择方式①,故D正确.
故选:ACD
考点2 等差数列、等比数列的综合运算
[名师点睛]
对等差、等比数列的综合问题,应重点分析等差、等比数列项之间的关系.数列的求和主要是等差、等比数列的求和及裂项相消法求和与错位相减法求和,本题中利用裂项相消法求数列的和,然后利用b1=1,d>0证明不等式成立.另外本题在探求{an}与{cn}的通项公式时,考查累加、累乘两种基本方法.
[典例]
(2023·滨州模拟)已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=2,b2=4,an=2lg2bn,n∈N*.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)设数列{an}中不在数列{bn}中的项按从小到大的顺序构成数列{cn},记数列{cn}的前n项和为Sn,求S100.
解 (1)设等差数列{an}的公差为d,
因为b2=4,所以a2=2lg2b2=4,
所以d=a2-a1=2,
所以an=2+(n-1)×2=2n.
又an=2lg2bn,即2n=2lg2bn,
所以n=lg2bn,
所以bn=2n.
(2)由(1)得bn=2n=2·2n-1=a2n-1,
即bn是数列{an}中的第2n-1项.
设数列{an}的前n项和为Pn,数列{bn}的前n项和为Qn,
因为b7=a26=a64,b8=a27=a128,
所以数列{cn}的前100项是由数列{an}的前107项去掉数列{bn}的前7项后构成的,
所以S100=P107-Q7
=eq \f(107×2+214,2)-eq \f(2-28,1-2)=11 302.
[举一反三]
已知等差数列{an}的首项a1≠0,前n项和为Sn,且S4+a2=2S3;等比数列{bn}满足b1=a2,b2=a4.
(1)求证:数列{bn}中的每一项都是数列{an}中的项;
(2)若a1=2,设cn=eq \f(2,lg2bnlg2bn+1),求数列{cn}的前n项的和Tn;
(3)在(2)的条件下,若有f(n)=lg3Tn,求f(1)+f(2)+…+f(n)的最大值.
(1)证明 等差数列{an}的首项a1≠0,
设公差为d,由S4+a2=2S3,
可得4a1+6d+a1+d=2(3a1+3d),
所以a1=d,
所以an=a1+(n-1)d=nd,
等比数列{bn}满足b1=a2=2d,b2=a4=4d,
设公比为q,则公比q=eq \f(b2,b1)=2,
可得bn=2d·2n-1=2nd,
由d≠0,n∈N*,
可得2n∈N*,
所以数列{bn}中的每一项都是数列{an}中的项.
(2)解 若a1=2,
由(1)可得cn=eq \f(2,lg2bnlg2bn+1)
=eq \f(2,lg22n+1·lg22n+2)
=eq \f(2,n+1n+2)=2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n+1)-\f(1,n+2))),
则数列{cn}的前n项的和
Tn=2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)-\f(1,3)+\f(1,3)-\f(1,4)+…+\f(1,n+1)-\f(1,n+2)))
=2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)-\f(1,n+2)))
=eq \f(n,n+2).
(3)解 在(2)的条件下,
若f(n)=lg3Tn=lg3eq \f(n,n+2),
则f(1)+f(2)+…+f(n)=lg3eq \f(1,3)+lg3eq \f(2,4)+lg3eq \f(3,5)+lg3eq \f(4,6)+…+lg3eq \f(n,n+2)
=lg3eq \f(1×2×3×4×…×n,3×4×5×6×…×n+2)
=lg3eq \f(2,n+1n+2),
由lg3eq \f(2,n+1n+2)在n∈N*时单调递减,
可得n=1时,lg3eq \f(2,n+1n+2)取得最大值lg3eq \f(1,3)=-1,
故f(1)+f(2)+…+f(n)的最大值为-1.
考点3 新情境下的数列问题
[名师点睛]
新情境下的数列问题的求解策略
(1)深入新情境,建立数列模型,如本题要理解“优值”的含义;
(2)利用新定义,求解数列模型,将新定义和原有知识相联系,和数列的通项、求和相结合.
[典例]
1.(多选)(2023·江苏·高三专题练习)设是无穷数列,若存在正整数k,使得对任意,均有,则称是间隔递增数列,k是的间隔数,下列说法正确的是( )
A.公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列
B.已知,则是间隔递增数列
C.已知,则是间隔递增数列且最小间隔数是2
D.已知,若是间隔递增数列且最小间隔数是3,则
答案:BCD
分析:根据间隔递增数列的定义求解.
【详解】A. ,因为,所以当时,,故错误;
B. ,令,t在单调递增,则,解得,故正确;
C. ,当为奇数时,,存在成立,当为偶数时,,存在成立,综上:是间隔递增数列且最小间隔数是2,故正确;
D. 若是间隔递增数列且最小间隔数是3,
则,成立,
则,对于成立,且,对于成立
即,对于成立,且,对于成立
所以,且
解得,故正确.
故选:BCD
2.(2023·山东潍坊·模拟预测)若数列满足:对,都有(常数),则称数列是公差为d的“准等差数列”.
(1)数列中,,对,都有.求证:数列为“准等差数列”,并求其通项公式;
(2)数列满足:.将(1)中数列中的项按原有的顺序插入数列中,使与之间插入项,形成新数列.求数列前100项和.
【解】(1)∵,∴,
两式相减得,所以数列为“准等差数列”,
∵,∴,∴的奇数项成以2为首项,2为公差的等差数列,
故,,
的偶数项成以0为首项,2为公差的等差数列,
故,,
综上可得;
(2)由题意可知,在数列的前100项中,数列一共有94项,共中47项为奇数项,47项为偶数项,数列一共有6项,
∴
.
[举一反三]
1.(2023·全国·高三专题练习)若数列满足,则称为“梦想数列”,已知正项数列为“梦想数列”,且,则( )
A.B.C.D.
答案:D
【解析】利用等比数列的定义可推导出“梦想数列”是公比为的等比数列,进而结合题意可知数列是公比为的等比数列,由此可得,即可得解.
【详解】由题意可知,若数列为“梦想数列”,则,可得,
所以,“梦想数列”是公比为的等比数列,
若正项数列为“梦想数列”,则,所以,,
即正项数列是公比为的等比数列,
因为,因此,.
故选:D.
2.(多选)(2023·江苏·苏州市第六中学校三模)在数列中,若(为非零常数),则称为“等方差数列”,称为“公方差”,下列对“等方差数列”的判断正确的是( )
A.是等方差数列
B.若正项等方差数列的首项,且是等比数列,则
C.等比数列不可能为等方差数列
D.存在数列既是等方差数列,又是等差数列
答案:BC
分析:根据等方差数列定义判断A,由等方差数列定义及等比数列求判断B,根据等方差数列定义及等比数列的通项公式判断C,由等差数列及等方差数列定义,利用反证法判断D.
【详解】设,则,不满足为非零常数,所以不是等方差数列,故A错误;
由题意,则,即,解得或(舍去),当时,满足题意,故B正确;
设数列为等比数列,不妨设,则,所以,若为常数,则,但此时,不满足题意,故C正确;
若数列既是等方差数列,又是等差数列,不妨设,(为非零常数),,所以,即,所以,即,所以为常数列,这与,矛盾,故D错误.
故选:BC
考点4 数列与函数、不等式的交汇
[名师点睛]
数列与函数、不等式的综合问题关键在于通过函数关系寻找数列的递推关系,求出数列的通项或前n项和,再利用数列或数列对应的函数解决最值、范围问题,通过放缩进行不等式的证明.
[典例]
1.(2023·江苏·扬中市第二高级中学模拟预测)已知数列满足.
(1)证明是等比数列,并求的通项公式;
(2)证明: .
【解】(1)证明:由得,所以,所以是等比数列,首项为,公比为3,所以,解得.
(2)由(1)知:,所以,
因为当时,,所以,于是≤1+13+⋯+13n−1=,
所以.
2.(2023·江苏江苏·二模)已知数列,当时,,.记数列的前项和为.
(1)求,;
(2)求使得成立的正整数的最大值.
【解】(1)因当时,,,而,则,又,则,
所以,.
(2)因当时,,,
当时,,当时,,当时,,
当时,,当时,,
当时,,
而,
又,
则有时,,由得:
,而,于是得,
所以使得成立的正整数的最大值是51.
[举一反三]
1.(2023·湖北·天门市教育科学研究院模拟预测)已知数列的首项是,前项和为,且,设,若存在常数,使不等式恒成立,则的取值范围为( )
A.B.C.D.
答案:C
分析:首先由数列通项与前项和的关系得到数列的递推关系,再构造等比数列,求数列的通项公式,进一步求出数列的通项公式,从而可求数列通项公式,代入所求式子,分子、分母同除以构造基本不等式即可求出的最大值,从而求出的范围.
【详解】由,则当时,得,
两式相减得,变形可得:,
又,,所以,,
∴数列是以为首项、为公比的等比数列,故,
所以,
所以,当且仅当时等号成立,故.
故选:C.
2.(2023·山东泰安·一模)已知数列是首项为,公差为1的等差数列,数列满足.若对任意的,都有成立,则实数的取值范围是( )
A.,B.C.,D.
答案:D
分析:由等差数列通项公式得,再结合题意得数列单调递增,且满足,,即,再解不等式即可得答案.
【详解】解:根据题意:数列是首项为,公差为1的等差数列,
所以,
由于数列满足,
所以对任意的都成立,
故数列单调递增,且满足,,
所以,
解得.
故选:.
3.(2023·广东·模拟预测)已知表示不小于x的最小整数,表示不大于x的最大整数,如,,数列满足,且对,有,若为递增数列,则整数b的最小值为______.
答案:0
分析:根据题意得,,有,进而得,故,再根据分和讨论求解得,进而得答案.
【详解】解:∵数列满足,且对,有,
∴,
∵可得,
∴,有,
∴当时,,即,,
∴,
∴,
∵为递增数列,则,
当时,,解得,
当时,,即,解得:,∴,
又,则,∴整数b的最小值为0.
故答案为:
4.(2023·江苏·南京市雨花台中学模拟预测)已知数列中,,且满足,若对于任意,都有成立,则实数的最小值是_________.
答案:2
【解析】将已知等式化为,根据数列是首项为3公差为1的等差数列,可求得通项公式,将不等式化为恒成立,求出的最大值即可得解.
【详解】因为时,,所以,而,
所以数列是首项为3公差为1的等差数列,故,从而.
又因为恒成立,即恒成立,所以.
由得,得,
所以,所以,即实数的最小值是2.
故答案为:2
5.(2023·辽宁实验中学模拟预测)已知数列的前n项和为,满足:
(1)求证:数列为等差数列;
(2)若,令,数列的前n项和为,若不等式对任意恒成立,求实数m的取值范围.
【解】(1)由题设,,则,
所以,整理得,则,
所以,即,,
所以,故数列为等差数列,得证.
(2)由,可得,又,结合(1)结论知:公差,
所以,故,则,
所以,且,
所以,即,
所以,在且上递减,则,
要使对任意恒成立,即,
所以.
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