高考数学一轮复习考点探究与题型突破第39讲空间几何体及其表面积、体积(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习考点探究与题型突破第39讲空间几何体及其表面积、体积(原卷版+解析)，共24页。试卷主要包含了空间几何体的结构特征，直观图，柱、锥、台、球的表面积和体积，1，）等内容，欢迎下载使用。


1.空间几何体的结构特征
(1)多面体的结构特征
(2)旋转体的结构特征
2.直观图
(1)画法：常用斜二测画法.
(2)规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直.
②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.
3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
4.柱、锥、台、球的表面积和体积
考点1 基本立体图形
[名师点睛]
空间几何体结构特征的判断技巧
(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定.
(2)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可.
直观图
(1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段.“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半.”
(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S直观图＝eq \f(\r(2),4)S原图形.
[典例]
1.(多选)(2023·潍坊调研)下面关于空间几何体的叙述正确的是( )
A.底面是正多边形的棱锥是正棱锥
B.用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形
C.长方体是直平行六面体
D.存在每个面都是直角三角形的四面体
2.一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于( )
A.eq \f(\r(2),4)a2 B.2eq \r(2)a2 C.eq \f(\r(2),2)a2 D.eq \f(2\r(2),3)a2
3.(2023·新高考Ⅰ卷)已知圆锥的底面半径为eq \r(2)，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为( )
A．2B．2eq \r(2)
C．4D．4eq \r(2)
[举一反三]
1.下列说法正确的是( )
A．有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的多面体是棱锥
B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥
D．如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体
2.(2023·浙江·镇海中学模拟预测）如图，梯形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，，则原图形的面积为（ ）
A．B．C．D．
3.如图，一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4 m，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处.若该小虫爬行的最短路程为4eq \r(3) m，则圆锥底面圆的半径等于______ m.
考点2 表面积与体积
[名师点睛]
1.空间几何体表面积的求法
(1)旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用，并弄清底面半径、母线长与对应侧面展开图中边的关系.
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.
2.求空间几何体的体积的常用方法
(1)公式法：规则几何体的体积问题，直接利用公式进行求解；
(2)割补法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何体；
(3)等体积法：通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积.
[典例]
1.(多选)已知正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为θ，若θ＝30°，侧棱长为eq \r(21)，则( )
A.正四棱锥的底面边长为6
B.正四棱锥的底面边长为3
C.正四棱锥的侧面积为24eq \r(3)
D.正四棱锥的侧面积为12eq \r(3)
2.(2023·全国甲卷)已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为________.
3.(2023·新高考Ⅱ卷)正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为( )
A.20＋12eq \r(3) B.28eq \r(2)
C.eq \f(56,3) D.eq \f(28\r(2),3)
4.(2023·新高考全国Ⅱ卷)棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1－D1MN的体积为________.
5.如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为________.
[举一反三]
1．(2023·重庆八中模拟预测）以边长为2的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（ ）
A．8πB．4πC．8D．4
2．(2023·河北保定·一模）圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积的比值为（ ）
A．1∶1B．1∶2C．2∶1D．2∶3
3．(2023·江苏·沭阳如东中学模拟预测）若圆锥的母线长为，侧面展开图的面积为，则该圆锥的体积是（ ）
A．B．C．D．
4．(2023·广东佛山·二模）如图，某几何体由共底面的圆锥和圆柱组合而成，且圆柱的两个底面和圆锥的顶点均在体积为36π的球面上，若圆柱的高为2，则圆锥的侧面积为（ ）
A．2πB．4πC．16πD．
5．(2023·河北衡水中学一模）已如A，B，C是表面积为的球O的球面上的三个点，且，，则三棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
6．(2023·福建福州·模拟预测）如图，一个正六棱柱的茶叶盒，底面边长为，高为，则这个茶叶盒的表面积约为______．（精确到0.1，）
7．(2023·广东·华南师大附中模拟预测）在四面体中，为等边三角形，边长为6，，，，则四面体的体积为______.
考点3 与球有关的切接问题
[名师点睛]
(1)求解多面体的外接球时，经常用到截面图.如图所示，设球O的半径为R，截面圆O′的半径为r，M为截面圆上任意一点，球心O到截面圆O′的距离为d，则在Rt△OO′M中，OM2＝OO′2＋O′M2，即R2＝d2＋r2.
(2)求解球的内接正方体、长方体等问题的关键是把握球的直径即是几何体的体对角线.
[典例]
1.(2023·湖南·长郡中学模拟预测）圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面的半径分别为4和5，则该圆台的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
2.(2023·天津·南开中学模拟预测）棱长为的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这些球的最大半径为（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·湖北十堰·三模）在四棱锥中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=3，AB=4，则四棱锥外接球与内切球的表面积之比为（ ）
A．B．10C．D．11
[举一反三]
1.(2023·天津和平·一模）中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖脐．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知平面，四边形为正方形，，，若鳖牖的体积为l，则阳马的外接球的表面积等于（ ）．
A．B．C．D．
2．(2023·天津·二模）已知在中，角所对的边分别为，且又点都在球的球面上，且点到平面的距离为，则球的体积为（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·广东·大埔县虎山中学模拟预测）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为
A．B．C．D．
4．(2023·湖北·宜昌市夷陵中学模拟预测）已知正四面体ABCD的表面积为，且A，B，C，D四点都在球O的球面上，则球O的体积为______．
5．(2023·辽宁·鞍山一中模拟预测）已知对棱相等的四面体被称为“等腰四面体”，它的四个面是全等的锐角三角形.在等腰四面体中，，，则该四面体的内切球表面积为___________.
6．(2023·山东省实验中学模拟预测）在四面体ABCD中，是边长为2的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，平面平面BC，则四面体ABCD的外接球的表面积为__________．
名称
棱柱
棱锥
棱台
图形
底面
互相平行且全等
多边形
互相平行且相似
侧棱
平行且相等
相交于一点，但不一定相等
延长线交于一点
侧面形状
平行四边形
三角形
梯形
名称
圆柱
圆锥
圆台
球
图形
母线
互相平行且相等，垂直于底面
相交于一点
延长线交于一点
轴截面
矩形
等腰三角形
等腰梯形
圆面
侧面展开图
矩形
扇形
扇环
圆柱
圆锥
圆台
侧面展开
图
侧面积公
式
S圆柱侧＝2πrl
S圆锥侧＝πrl
S圆台侧＝π(r1＋r2)l
名称
几何体
表面积
体积
柱体(棱柱和圆柱)
S表面积＝S侧＋2S底
V＝Sh
锥体(棱锥和圆锥)
S表面积＝S侧＋S底
V＝eq \f(1,3)Sh
台体(棱台和圆台)
S表面积＝S侧＋S上＋S下
V＝eq \f(1,3)(S上＋S下＋eq \r(S上S下))h
球
S＝4πR2
V＝eq \f(4,3)πR3
第39讲 空间几何体及其表面积、体积
1.空间几何体的结构特征
(1)多面体的结构特征
(2)旋转体的结构特征
2.直观图
(1)画法：常用斜二测画法.
(2)规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直.
②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.
3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
4.柱、锥、台、球的表面积和体积
考点1 基本立体图形
[名师点睛]
空间几何体结构特征的判断技巧
(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定.
(2)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可.
直观图
(1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段.“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半.”
(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S直观图＝eq \f(\r(2),4)S原图形.
[典例]
1.(多选)(2023·潍坊调研)下面关于空间几何体的叙述正确的是( )
A.底面是正多边形的棱锥是正棱锥
B.用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形
C.长方体是直平行六面体
D.存在每个面都是直角三角形的四面体
答案 CD
解析 A中，当顶点在底面的投影是正多边形的中心才是正棱锥，不正确；
B中，当平面与圆柱的母线平行或垂直时，截得的截面才为矩形或圆，否则为椭圆或椭圆的一部分，B不正确；
C正确；
D正确，如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中的三棱锥C1－ABC，四个面都是直角三角形.
2.一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于( )
A.eq \f(\r(2),4)a2 B.2eq \r(2)a2 C.eq \f(\r(2),2)a2 D.eq \f(2\r(2),3)a2
答案 B
解析 根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则可知，在x轴上(或与x轴平行)的线段，其长度保持不变；在y轴上(或与y轴平行)的线段，其长度变为原来的一半，且∠x′O′y′＝45°(或135°)，所以若设原平面图形的面积为S，则其直观图的面积为S′＝eq \f(1,2)·eq \f(\r(2),2)·S＝eq \f(\r(2),4)S.可以提出一个平面图形的面积S与它的直观图的面积S′之间的关系是S′＝eq \f(\r(2),4)S，本题中直观图的面积为a2，所以原平面四边形的面积S＝eq \f(a2,\f(\r(2),4))＝2eq \r(2)a2.
3.(2023·新高考Ⅰ卷)已知圆锥的底面半径为eq \r(2)，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为( )
A．2B．2eq \r(2)
C．4D．4eq \r(2)
[解析] 设圆锥的母线长为l，因为该圆锥的底面半径为eq \r(2)，所以2π×eq \r(2)＝πl，解得l＝2eq \r(2)，故选B．
[答案] B
[举一反三]
1.下列说法正确的是( )
A．有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的多面体是棱锥
B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥
D．如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体
[解析] 选项A，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥，即其余各面的三角形必须有公共的顶点，错误；选项B，棱台是由棱锥被平行于棱锥底面的平面所截而得的，而有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体有可能不是棱台，因为它的侧棱延长后不一定交于一点，错误；选项C，当棱锥的各个侧面的共顶点的角之和是360°时，各侧面构成平面图形，故这个棱锥不可能为六棱锥，错误；选项D，若每个侧面都是长方形，则说明侧棱与底面垂直，又底面也是长方形，符合长方体的定义，正确．故选D．
[答案] D
2.(2023·浙江·镇海中学模拟预测）如图，梯形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，，则原图形的面积为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【详解】解：由题得,
所以.
故选：B．
3.如图，一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4 m，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处.若该小虫爬行的最短路程为4eq \r(3) m，则圆锥底面圆的半径等于______ m.
答案 eq \f(4,3)
解析 圆锥顶点记为O，把圆锥侧面沿母线OP展开成如图所示的扇形，
由题意OP＝4，PP′＝4eq \r(3)，
则cs ∠POP′＝eq \f(42＋42－（4\r(3)）2,2×4×4)＝－eq \f(1,2)，
又∠POP′为△POP′一内角，
所以∠POP′＝eq \f(2π,3).
设底面圆的半径为r，则2πr＝eq \f(2π,3)×4，
所以r＝eq \f(4,3).
考点2 表面积与体积
[名师点睛]
1.空间几何体表面积的求法
(1)旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用，并弄清底面半径、母线长与对应侧面展开图中边的关系.
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.
2.求空间几何体的体积的常用方法
(1)公式法：规则几何体的体积问题，直接利用公式进行求解；
(2)割补法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何体；
(3)等体积法：通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积.
[典例]
1.(多选)已知正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为θ，若θ＝30°，侧棱长为eq \r(21)，则( )
A.正四棱锥的底面边长为6
B.正四棱锥的底面边长为3
C.正四棱锥的侧面积为24eq \r(3)
D.正四棱锥的侧面积为12eq \r(3)
答案 AC
解析 如图，在正四棱锥S－ABCD中，O为正方形ABCD的中心，SH⊥AB，设底面边长为2a(a＞0)，因为∠SHO＝30°，所以OH＝a，OS＝eq \f(\r(3),3)a，SH＝eq \f(2\r(3),3)a，在Rt△SAH中，a2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),3)a))eq \s\up12(2)＝21，所以a＝3，底面边长为6，侧面积为S＝eq \f(1,2)×6×2eq \r(3)×4＝24eq \r(3).故选AC.
2.(2023·全国甲卷)已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为________.
答案 39π
解析 设该圆锥的高为h，则由已知条件可得eq \f(1,3)×π×62·h＝30π，解得h＝eq \f(5,2)，则圆锥的母线长为eq \r(h2＋62)＝eq \r(\f(25,4)＋36)＝eq \f(13,2)，故该圆锥的侧面积为π×6×eq \f(13,2)＝39π.
3.(2023·新高考Ⅱ卷)正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为( )
A.20＋12eq \r(3) B.28eq \r(2)
C.eq \f(56,3) D.eq \f(28\r(2),3)
答案 D
解析 连接该正四棱台上、下底面的中心，如图，因为该四棱台上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，所以该棱台的高h＝eq \r(22－（2\r(2)－\r(2)）2)＝eq \r(2)，下底面面积S1＝16，上底面面积S2＝4，所以该棱台的体积V＝eq \f(1,3)h(S1＋S2＋eq \r(S1S2))＝eq \f(1,3)×eq \r(2)×(16＋4＋eq \r(64))＝eq \f(28\r(2),3).
4.(2023·新高考全国Ⅱ卷)棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1－D1MN的体积为________.
答案 1
解析 如图，由正方体棱长为2及M，N分别为BB1，AB的中点，得
S△A1MN＝2×2－2×eq \f(1,2)×2×1－eq \f(1,2)×1×1＝eq \f(3,2)，又易知D1A1为三棱锥D1－A1MN的高，且D1A1＝2，
∴VA1－D1MN＝VD1－A1MN＝eq \f(1,3)·S△A1MN·D1A1＝eq \f(1,3)×eq \f(3,2)×2＝1.
5.如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为________.
答案 eq \f(\r(2),3)
解析 如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH.
则原几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱.
依题意，三棱锥E－ADG的高EG＝eq \f(1,2)，直三棱柱AGD－BHC的高AB＝1.
则AG＝eq \r(AE2－EG2)＝eq \r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq \f(\r(3),2).
取AD的中点M，则MG＝eq \f(\r(2),2)，
所以S△AGD＝eq \f(1,2)×1×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(2),4)，
∴V多面体＝VE－ADG＋VF－BHC＋VAGD－BHC＝2VE－ADG＋VAGD－BHC＝eq \f(1,3)×eq \f(\r(2),4)×eq \f(1,2)×2＋eq \f(\r(2),4)×1＝eq \f(\r(2),3).
[举一反三]
1．(2023·重庆八中模拟预测）以边长为2的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（ ）
A．8πB．4πC．8D．4
答案：A
【详解】以边长为2的正方形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆柱，
其底面半径r=2，高h=2，
故其侧面积为.
故选：A
2．(2023·河北保定·一模）圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积的比值为（ ）
A．1∶1B．1∶2C．2∶1D．2∶3
答案：A
【详解】设球的半径的r，依题意圆柱的底面半径也是r，高是2r，
圆柱的侧面积= ，球的表面积为 ，
其比例为1:1，
故选：A.
3．(2023·江苏·沭阳如东中学模拟预测）若圆锥的母线长为，侧面展开图的面积为，则该圆锥的体积是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【详解】设圆锥的高为，底面半径为，
则，解得.
所以.
则圆锥的体积.
故选：B
4．(2023·广东佛山·二模）如图，某几何体由共底面的圆锥和圆柱组合而成，且圆柱的两个底面和圆锥的顶点均在体积为36π的球面上，若圆柱的高为2，则圆锥的侧面积为（ ）
A．2πB．4πC．16πD．
答案：B
分析：分析图中的几何关系，分别求出圆锥的底面半径和母线长即可.
【详解】依题意，做球的剖面图如下：
其中，O是球心，E是圆锥的顶点，EC是圆锥的母线，
由题意可知球的半径计算公式： ，由于圆柱的高为2，
OD=1，DE=3-1=2， ，母线 ，
∴圆锥的侧面积为 ，
故选：B.
5．(2023·河北衡水中学一模）已如A，B，C是表面积为的球O的球面上的三个点，且，，则三棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【详解】解：设球的半径为，外接圆的半径为，
在中，由，，则
得，所以，
因为球O的表面积为，
则，解得，
所以球心到的距离，
即三棱锥的高为，
，
所以三棱锥的体积.
故选：C.
6．(2023·福建福州·模拟预测）如图，一个正六棱柱的茶叶盒，底面边长为，高为，则这个茶叶盒的表面积约为______．（精确到0.1，）
答案：
【详解】边长为10的正六边形的面积为
所以表面积为
故答案为：
7．(2023·广东·华南师大附中模拟预测）在四面体中，为等边三角形，边长为6，，，，则四面体的体积为______.
答案：
【详解】解：在四面体中，为等边三角形，边长为6，
，，，
，，
分别取、的中点、，连结、、，
则，，，
且，，，
，，
，平面，平面，平面，
四面体的体积为：
．
故答案为：．
考点3 与球有关的切接问题
[名师点睛]
(1)求解多面体的外接球时，经常用到截面图.如图所示，设球O的半径为R，截面圆O′的半径为r，M为截面圆上任意一点，球心O到截面圆O′的距离为d，则在Rt△OO′M中，OM2＝OO′2＋O′M2，即R2＝d2＋r2.
(2)求解球的内接正方体、长方体等问题的关键是把握球的直径即是几何体的体对角线.
[典例]
1.(2023·湖南·长郡中学模拟预测）圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面的半径分别为4和5，则该圆台的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：根据题意作出轴截面图，求出圆台母线长，利用侧面积公式求解.
【详解】因为圆台下底面半径为5，球的直径为，
所以圆台下底面圆心与球心重合，底面圆的半径为，画出轴截面如图，

设圆台上底面圆的半径，则
所以球心到上底面的距离，即圆台的高为3，
所以母线长，
所以，
故选：C.
2.(2023·天津·南开中学模拟预测）棱长为的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这些球的最大半径为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：先求出正四面体的体积及表面积，利用求出内切球的半径，再通过求出空隙处球的最大半径即可.
【详解】
如图，由题意知球和正四面体的三个侧面以及内切球都相切时半径最大，设内切球球心为，半径为，空隙处的最大球球心为，半径为，
为的中心，易知面，为中点，球和球分别与面相切于和.
易得，，，由，
可得，又，，
故，，，
又由和相似，可得，即，解得，即球的最大半径为.
故选：C.
3．(2023·湖北十堰·三模）在四棱锥中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=3，AB=4，则四棱锥外接球与内切球的表面积之比为（ ）
A．B．10C．D．11
答案：C
分析：判断出为外接球直径即可求出外接球半径，由得即可求出内切球半径，即可求出表面积之比.
【详解】
设四棱锥外接球与内切球的半径分别为R，r，由底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，
则即为外接球直径，则.
设内切球球心为，因为，
又，，
四棱锥的表面积，所以，
故四棱锥外接球与内切球的表面积之比为.
故选：C.
[举一反三]
1.(2023·天津和平·一模）中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖脐．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知平面，四边形为正方形，，，若鳖牖的体积为l，则阳马的外接球的表面积等于（ ）．
A．B．C．D．
答案：A
分析：先根据鳖牖的体积为l，求得，再根据阳马的外接球的直径是以为宽，长，高的长方体的体对角线可求得求得直径，从而求得表面积．
【详解】由题意，因为平面，四边形为正方形，，，
又由鳖牖的体积为，所以，
解得，
而阳马的外接球的直径是以为宽，长，高的长方体的体对角线，
所以，即，
球的表面积为．
故选A．
2．(2023·天津·二模）已知在中，角所对的边分别为，且又点都在球的球面上，且点到平面的距离为，则球的体积为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：设三角形ABC的外接圆的圆心为O',根据球的截面性质可知OO'⊥平面ABC,利用正弦定理求得AO',计算球的半径，进而求得体积.
【详解】设三角形ABC的外接圆的圆心为O',根据球的截面性质可知OO'⊥平面ABC,
如图所示，∵,∴AO'=,
∴OA=
∴球的体积为,
故选：C.
3．(2023·广东·大埔县虎山中学模拟预测）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为
A．B．C．D．
答案：B
【详解】试题分析：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱，上下底面中心连线的中点就是球心，
如图：
则其外接球的半径为
球的表面积为；
故选B．
4．(2023·湖北·宜昌市夷陵中学模拟预测）已知正四面体ABCD的表面积为，且A，B，C，D四点都在球O的球面上，则球O的体积为______．
答案：
分析：设正四面体的棱长为a，根据正四面体的结构特征求出它的表面积，结合正四面体和正方体的联系求出正方体的棱长，利用正方体的外接球的体积公式计算即可.
【详解】正四面体各面都是全等的等边三角形，设正四面体的棱长为a，
所以该正四面体的表面积为，所以，
又正方体的面对角线可构成正四面体，
若正四面体棱长为，可得正方体的棱长为1，
所以正方体的外接球即为该正四面体的外接球，所以外接球的直径为，半径为，
所以球O的体积为．
故答案为：
5．(2023·辽宁·鞍山一中模拟预测）已知对棱相等的四面体被称为“等腰四面体”，它的四个面是全等的锐角三角形.在等腰四面体中，，，则该四面体的内切球表面积为___________.
答案：
分析：首先将四面体补成一个长方体，求得长方体棱长，从而求得四面体的体积，再根据等体积的方法，运算割补法，求得内切球的半径，求得答案
【详解】如图示，将等腰四面体补成一个长方体，
设 ，则 ，解得 ，
故四面体的体积为 ,
设该四面体的内切球的半径为 ，则 ，
而 ，
故 ，则该四面体的内切球表面积为 ，
故答案为：
6．(2023·山东省实验中学模拟预测）在四面体ABCD中，是边长为2的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，平面平面BC，则四面体ABCD的外接球的表面积为__________．
答案：
分析：由面面垂直得线面垂直，从而可证得两两垂直，以为棱构造正方体，正方体的外接球就是四面体的外接球，由此得球半径，得球表面积．
【详解】因为是以为斜边的等腰直角三角形，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，平面，，所以，
所以，于是，即两两垂直，
以为棱构造正方体，正方体的外接球就是四面体的外接球，
可得四面体的外接球半径，
所以表面积为
故答案为：．
名称
棱柱
棱锥
棱台
图形
底面
互相平行且全等
多边形
互相平行且相似
侧棱
平行且相等
相交于一点，但不一定相等
延长线交于一点
侧面形状
平行四边形
三角形
梯形
名称
圆柱
圆锥
圆台
球
图形
母线
互相平行且相等，垂直于底面
相交于一点
延长线交于一点
轴截面
矩形
等腰三角形
等腰梯形
圆面
侧面展开图
矩形
扇形
扇环
圆柱
圆锥
圆台
侧面展开
图
侧面积公
式
S圆柱侧＝2πrl
S圆锥侧＝πrl
S圆台侧＝π(r1＋r2)l
名称
几何体
表面积
体积
柱体(棱柱和圆柱)
S表面积＝S侧＋2S底
V＝Sh
锥体(棱锥和圆锥)
S表面积＝S侧＋S底
V＝eq \f(1,3)Sh
台体(棱台和圆台)
S表面积＝S侧＋S上＋S下
V＝eq \f(1,3)(S上＋S下＋eq \r(S上S下))h
球
S＝4πR2
V＝eq \f(4,3)πR3