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高考数学一轮复习考点探究与题型突破第51讲直线与椭圆的位置关系(原卷版+解析)
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这是一份高考数学一轮复习考点探究与题型突破第51讲直线与椭圆的位置关系(原卷版+解析),共15页。试卷主要包含了直线与椭圆的位置判断,弦长公式等内容,欢迎下载使用。
1.直线与椭圆的位置判断
将直线方程与椭圆方程联立,消去y(或x),得到关于x(或y)的一元二次方程,则直线与椭圆相交⇔Δ>0;直线与椭圆相切⇔Δ=0;直线与椭圆相离⇔Δ1 B.m>0
C.00)的左、右顶点,直线BP交E于点Q,△ABP是等腰直角三角形,且eq \(PQ,\s\up6(→))=eq \f(3,2)eq \(QB,\s\up6(→)).
(1)求椭圆E的方程;
(2)设过点P的动直线l与E相交于M,N两点,当坐标原点O位于以MN为直径的圆外时,求直线l斜率的取值范围.
[举一反三]
已知椭圆C:eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)的离心率为eq \f(\r(3),2),短轴长为2.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过点P(1,0)的直线l与椭圆C交于A,B两点,若△ABO的面积为eq \f(3,5)(O为坐标原点),求直线l的方程.
第51讲 直线与椭圆的位置关系
1.直线与椭圆的位置判断
将直线方程与椭圆方程联立,消去y(或x),得到关于x(或y)的一元二次方程,则直线与椭圆相交⇔Δ>0;直线与椭圆相切⇔Δ=0;直线与椭圆相离⇔Δ0,即-3eq \r(2)0)的左、右顶点,直线BP交E于点Q,△ABP是等腰直角三角形,且eq \(PQ,\s\up6(→))=eq \f(3,2)eq \(QB,\s\up6(→)).
(1)求椭圆E的方程;
(2)设过点P的动直线l与E相交于M,N两点,当坐标原点O位于以MN为直径的圆外时,求直线l斜率的取值范围.
解 (1)由△ABP是等腰直角三角形,
得a=2,B(2,0).
设Q(x0,y0),则由eq \(PQ,\s\up6(→))=eq \f(3,2)eq \(QB,\s\up6(→)),得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0=\f(6,5),,y0=-\f(4,5),))
代入椭圆方程得b2=1,
所以椭圆E的方程为eq \f(x2,4)+y2=1.
(2)依题意得,直线l的斜率存在,方程设为y=kx-2.
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y=kx-2,,\f(x2,4)+y2=1,))
消去y并整理得(1+4k2)x2-16kx+12=0.(*)
因直线l与E有两个交点,即方程(*)有不等的两实根,
故Δ=(-16k)2-48(1+4k2)>0,
解得k2>eq \f(3,4).
设M(x1,y1),N(x2,y2),
由根与系数的关系得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1+x2=\f(16k,1+4k2),,x1x2=\f(12,1+4k2),))
因坐标原点O位于以MN为直径的圆外,
所以eq \(OM,\s\up6(→))·eq \(ON,\s\up6(→))>0,即x1x2+y1y2>0,
又由x1x2+y1y2=x1x2+(kx1-2)(kx2-2)=(1+k2)x1x2-2k(x1+x2)+4=(1+k2)·eq \f(12,1+4k2)-2k·eq \f(16k,1+4k2)+4>0,
解得k2
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