高考数学一轮复习考点探究与题型突破第65讲　成对数据的统计、分析(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习考点探究与题型突破第65讲　成对数据的统计、分析(原卷版+解析)，共21页。试卷主要包含了变量的相关关系，样本相关系数，一元线性回归模型，列联表与独立性检验，98，35，635)≈0，879等内容，欢迎下载使用。

1.变量的相关关系
(1)相关关系
两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系.
(2)相关关系的分类：正相关和负相关.
(3)线性相关
一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关.
一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关.
2.样本相关系数
(1)相关系数r的计算
变量x和变量y的样本相关系数r的计算公式如下：
(2)相关系数r的性质
①当r>0时，称成对样本数据正相关；当r0时，两个变量正相关
D．如果两个变量的相关性越弱，则|r|就越接近于0
[举一反三]
1.(2023·重庆诊断)某商家今年上半年各月的人均销售额(单位：千元)与利润率统计表如下：
根据表中数据，下列说法正确的是( )
A.利润率与人均销售额成正相关关系
B.利润率与人均销售额成负相关关系
C.利润率与人均销售额成正比例函数关系
D.利润率与人均销售额成反比例函数关系
2.下列四个散点图中，变量x与y之间具有负的线性相关关系的是( )
3.在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)都在直线y＝－eq \f(1,2)x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为( )
A.－1 B.0 C.－eq \f(1,2) D.1
4.两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的决定系数R2如下，其中拟合效果最好的模型是( )
A.模型1的决定系数R2为0.98
B.模型2的决定系数R2为0.80
C.模型3的决定系数R2为0.50
D.模型4的决定系数R2为0.25
考点2 回归分析
[名师点睛]
(1)求经验回归方程：利用公式eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))xiyi－n\a\vs4\al(\(x,\s\up6(－)) ) \a\vs4\al(\(y,\s\up6(－)) ),\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))xeq \\al(2,i)－n\(x,\s\up6(－))2)求eq \(b,\s\up6(^))；利用eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(b,\s\up6(^))eq \(x,\s\up6(－))求eq \(a,\s\up6(^))，写出经验回归方程.
(2)经验回归方程的拟合效果，可以利用相关系数|r|判断，当|r|越趋近于1时，两变量的线性相关性越强.或利用决定系数R2判断，R2越大，拟合效果越好.
(3)非线性经验回归方程转化为线性经验回归方程的方法
①若eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(a,\s\up6(^))＋eq \(b,\s\up6(^)) eq \r(x)，设t＝eq \r(x)，则eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(a,\s\up6(^))＋eq \(b,\s\up6(^))t；②若满足对数式：eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(a,\s\up6(^))＋eq \(b,\s\up6(^))ln x，设t＝ln x，则eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(a,\s\up6(^))＋eq \(b,\s\up6(^))t；③若满足指数式：y＝c1ec2x，两边取对数解ln y＝ln c1＋c2x，设z＝ln y，a＝ln c1，b＝c2，则z＝a＋bx.
[典例]
(2023·广州模拟)根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y(百千克)与某种液体肥料每亩使用量x(千克)之间的对应数据的散点图如图所示：
(1)依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请计算相关系数并加以说明(若|r|>0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合)；
(2)求y关于x的经验回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为多少.
附：相关系数
＝eq \f(\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))xiyi－n\a\vs4\al(\(x,\s\up6(－)) ) \a\vs4\al(\(y,\s\up6(－)) ),\r(\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))xeq \\al(2,i)－n\(x,\s\up6(－))2)\r(\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))yeq \\al(2,i)－n\(y,\s\up6(－))2))，
经验回归直线eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))的斜率和截距的最小二乘估计分别为eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\(∑,\s\up11(n),\s\d4(i＝1)) （xi－\(x,\s\up6(－))）（yi－\(y,\s\up6(－))）,\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1)) （xi－\(x,\s\up6(－))）2)＝eq \f(\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))xiyi－n\a\vs4\al(\(x,\s\up6(－)) ) \a\vs4\al(\(y,\s\up6(－)) ),\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))xeq \\al(2,i)－n\(x,\s\up6(－))2)，eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(b,\s\up6(^))eq \(x,\s\up6(－)).
[举一反三]
1．(2023·湖北九师联盟联考)下表是关于某设备的使用年限x(单位：年)和所支出的维修费用y(单位：万元)的统计表．
由上表可得经验回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝0.81x＋eq \(a,\s\up6(^))，若规定：维修费用y不超过10万元，一旦大于10万元时，该设备必须报废．据此模型预测，该设备使用年限的最大值约为( )
A．7 B．8 C．9 D．10
2．用模型y＝cekx拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设z＝ln y，其变换后得到经验回归方程为z＝0.5x＋2，则c等于( )
A．0.5 B．e0.5 C．2 D．e2
考点3 独立性检验
[名师点睛]
1.在2×2列联表中，如果两个变量没有关系，则应满足ad－bc≈0.|ad－bc|越小，说明两个变量之间关系越弱；|ad－bc|越大，说明两个变量之间关系越强.
2.解决独立性检验的应用问题，一定要按照独立性检验的步骤得出结论.独立性检验的一般步骤：
(1)根据样本数据制成2×2列联表：
(2)根据公式χ2＝
eq \f(n（ad－bc）2,（a＋b）（a＋c）（b＋d）（c＋d）)计算χ2；
(3)通过比较χ2与临界值的大小关系来作统计推断.
[典例]
(2023·全国Ⅲ卷)某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表(单位：天)：
(1)分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；
(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；
(3)若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”.根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
附：χ2＝eq \f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，
[举一反三]
1．为了解某大学的学生是否爱好体育锻炼，用简单随机抽样方法在校园内调查了120位学生，得到如下2×2列联表：
则a－b－c等于( )
A．7 B．8 C．9 D．10
2．(多选)某医疗研究机构为了了解免疫与注射疫苗的关系，进行一次抽样调查，得到数据如表1.
(表1)
(表2)
则下列说法中正确的是( )
A．χ2≈8.35
B．P(χ2≥6.635)≈0.001
C．依据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们认为免疫与注射疫苗有关系
D．依据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们认为免疫与注射疫苗有关系
3.(2023·太原模拟)为进一步保护环境，加强治理空气污染，某市环保监测部门对市区空气质量进行调研，随机抽查了市区100天的空气质量等级与当天空气中SO2的浓度(单位：μg/m3)，整理数据得到下表：
若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”，根据上述数据，回答以下问题．
(1)估计事件“该市一天的空气质量好，且SO2的浓度不超过150”的概率；
(2)完成下面的2×2列联表，
(3)根据(2)中的列联表，依据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否据此推断该市一天的空气质量与当天SO2的浓度有关？
x
y
合计
y＝y1
y＝y2
x＝x1
a
b
a＋b
x＝x2
c
d
c＋d
合计
a＋c
b＋d
n＝a＋b＋c＋d
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
月份
1
2
3
4
5
6
人均销售额
6
5
8
3
4
7
利润率(%)
12.6
10.4
18.5
3.0
8.1
16.3
x
2
3
4
5
6
y
3.4
4.2
5.1
5.5
6.8
锻炼人次
空气质量等级
[0，200]
(200，400]
(400，600]
1(优)
2
16
25
2(良)
5
10
12
3(轻度污染)
6
7
8
4(中度污染)
7
2
0
人次≤400
人次>400
空气质量好
空气质量不好
男
女
合计
爱好
a
b
73
不爱好
c
25
合计
74
免疫
不免疫
合计
注射疫苗
10
10
20
未注射疫苗
6
34
40
合计
16
44
60
α
0.10
0.050
0.010
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
10.828
SO2的浓度
空气质量等级
[0，50]
(50，150]
(150，475]
1(优)
28
6
2
2(良)
5
7
8
3(轻度污染)
3
8
9
4(中度污染)
1
12
11
SO2的浓度
空气质量
[0，150]
(150，475]
合计
空气质量好
空气质量不好
合计
第65讲 成对数据的统计、分析
1.变量的相关关系
(1)相关关系
两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系.
(2)相关关系的分类：正相关和负相关.
(3)线性相关
一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关.
一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关.
2.样本相关系数
(1)相关系数r的计算
变量x和变量y的样本相关系数r的计算公式如下：
(2)相关系数r的性质
①当r>0时，称成对样本数据正相关；当r0时，两个变量正相关
D．如果两个变量的相关性越弱，则|r|就越接近于0
答案 ACD
解析 对于A，经验回归直线必过点(eq \x\t(x)，eq \x\t(y))，故A正确；
对于B，经验回归直线在散点图中可能不经过任一样本数据点，故B不正确；
对于C，当样本相关系数r>0时，则两个变量正相关，故C正确；
对于D，如果两个变量的相关性越弱，则|r|就越接近于0，故D正确．
[举一反三]
1.(2023·重庆诊断)某商家今年上半年各月的人均销售额(单位：千元)与利润率统计表如下：
根据表中数据，下列说法正确的是( )
A.利润率与人均销售额成正相关关系
B.利润率与人均销售额成负相关关系
C.利润率与人均销售额成正比例函数关系
D.利润率与人均销售额成反比例函数关系
答案 A
解析 由统计表可得利润率与人均销售额不是正比例关系，也不是反比例关系，排除C和D；其属于正相关关系，A正确，B错误.
2.下列四个散点图中，变量x与y之间具有负的线性相关关系的是( )
答案 D
解析 观察散点图可知，只有D选项的散点图表示的是变量x与y之间具有负的线性相关关系.
3.在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)都在直线y＝－eq \f(1,2)x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为( )
A.－1 B.0 C.－eq \f(1,2) D.1
答案 A
解析 因为样本点在直线y＝－eq \f(1,2)x＋1上，呈现完全负相关，样本相关系数为－1.
4.两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的决定系数R2如下，其中拟合效果最好的模型是( )
A.模型1的决定系数R2为0.98
B.模型2的决定系数R2为0.80
C.模型3的决定系数R2为0.50
D.模型4的决定系数R2为0.25
答案 A
解析 在两个变量y与x的回归模型中，它们的决定系数R2越接近1，模型拟合效果越好，在四个选项中A的决定系数最大，所以拟合效果最好的是模型1.
考点2 回归分析
[名师点睛]
(1)求经验回归方程：利用公式eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))xiyi－n\a\vs4\al(\(x,\s\up6(－)) ) \a\vs4\al(\(y,\s\up6(－)) ),\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))xeq \\al(2,i)－n\(x,\s\up6(－))2)求eq \(b,\s\up6(^))；利用eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(b,\s\up6(^))eq \(x,\s\up6(－))求eq \(a,\s\up6(^))，写出经验回归方程.
(2)经验回归方程的拟合效果，可以利用相关系数|r|判断，当|r|越趋近于1时，两变量的线性相关性越强.或利用决定系数R2判断，R2越大，拟合效果越好.
(3)非线性经验回归方程转化为线性经验回归方程的方法
①若eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(a,\s\up6(^))＋eq \(b,\s\up6(^)) eq \r(x)，设t＝eq \r(x)，则eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(a,\s\up6(^))＋eq \(b,\s\up6(^))t；②若满足对数式：eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(a,\s\up6(^))＋eq \(b,\s\up6(^))ln x，设t＝ln x，则eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(a,\s\up6(^))＋eq \(b,\s\up6(^))t；③若满足指数式：y＝c1ec2x，两边取对数解ln y＝ln c1＋c2x，设z＝ln y，a＝ln c1，b＝c2，则z＝a＋bx.
[典例]
(2023·广州模拟)根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y(百千克)与某种液体肥料每亩使用量x(千克)之间的对应数据的散点图如图所示：
(1)依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请计算相关系数并加以说明(若|r|>0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合)；
(2)求y关于x的经验回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为多少.
附：相关系数
＝eq \f(\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))xiyi－n\a\vs4\al(\(x,\s\up6(－)) ) \a\vs4\al(\(y,\s\up6(－)) ),\r(\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))xeq \\al(2,i)－n\(x,\s\up6(－))2)\r(\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))yeq \\al(2,i)－n\(y,\s\up6(－))2))，
经验回归直线eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))的斜率和截距的最小二乘估计分别为eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\(∑,\s\up11(n),\s\d4(i＝1)) （xi－\(x,\s\up6(－))）（yi－\(y,\s\up6(－))）,\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1)) （xi－\(x,\s\up6(－))）2)＝eq \f(\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))xiyi－n\a\vs4\al(\(x,\s\up6(－)) ) \a\vs4\al(\(y,\s\up6(－)) ),\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))xeq \\al(2,i)－n\(x,\s\up6(－))2)，eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(b,\s\up6(^))eq \(x,\s\up6(－)).
解 (1)eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(2＋4＋5＋6＋8,5)＝5，
eq \(y,\s\up6(－))＝eq \f(3＋4＋5＋6＋7,5)＝5.
eq \(∑,\s\up11(5),\s\d4(i＝1)) (xi－eq \(x,\s\up6(－)))(yi－eq \(y,\s\up6(－)))＝(－3)×(－2)＋(－1)×(－1)＋0×0＋1×1＋3×2＝14，
eq \(∑,\s\up11(5),\s\d4(i＝1)) (xi－eq \(x,\s\up6(－)))2＝(－3)2＋(－1)2＋02＋12＋32＝20，
eq \(∑,\s\up11(5),\s\d4(i＝1)) (yi－eq \(y,\s\up6(－)))2＝(－2)2＋(－1)2＋02＋12＋22＝10.
＝eq \f(14,\r(20)×\r(10))＝eq \f(7\r(2),10)>0.75，
∴可用线性回归模型拟合y与x的关系.
(2)eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\(∑,\s\up11(5),\s\d4(i＝1)) （xi－\(x,\s\up6(－))）（yi－\(y,\s\up6(－))）,\(∑,\s\up6(5),\s\d4(i＝1)) （xi－\(x,\s\up6(－))）2)＝eq \f(14,20)＝0.7，
则eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(b,\s\up6(^))eq \(x,\s\up6(－))＝5－0.7×5＝1.5，
∴eq \(y,\s\up6(^))＝0.7x＋1.5.
当x＝12时，eq \(y,\s\up6(^))＝0.7×12＋1.5＝9.9，
∴预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为9.9百千克.
当x＝10时，eq \(y,\s\up6(^))＝39.6，则预测2025年该地区的经济收入为39.6百万元
[举一反三]
1．(2023·湖北九师联盟联考)下表是关于某设备的使用年限x(单位：年)和所支出的维修费用y(单位：万元)的统计表．
由上表可得经验回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝0.81x＋eq \(a,\s\up6(^))，若规定：维修费用y不超过10万元，一旦大于10万元时，该设备必须报废．据此模型预测，该设备使用年限的最大值约为( )
A．7 B．8 C．9 D．10
答案 D
解析 由表格，得
eq \x\t(x)＝eq \f(1,5)×(2＋3＋4＋5＋6)＝4，
eq \x\t(y)＝eq \f(1,5)×(3.4＋4.2＋5.1＋5.5＋6.8)＝5，
因为经验回归直线恒过点(eq \x\t(x)，eq \x\t(y))，
所以5＝0.81×4＋eq \(a,\s\up6(^))，
解得eq \(a,\s\up6(^))＝1.76，
所以经验回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝0.81x＋1.76，
由y≤10，得0.81x＋1.76≤10，
解得x≤eq \f(824,81)≈10.17，
由于x∈N*，所以据此模型预测，该设备使用年限的最大值约为10.
2．用模型y＝cekx拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设z＝ln y，其变换后得到经验回归方程为z＝0.5x＋2，则c等于( )
A．0.5 B．e0.5 C．2 D．e2
答案 D
解析 因为y＝cekx，两边取对数得，
ln y＝ln(cekx)＝ln c＋ln ekx＝kx＋ln c，
则z＝kx＋ln c，而z＝0.5x＋2，
于是得ln c＝2，即c＝e2.
考点3 独立性检验
[名师点睛]
1.在2×2列联表中，如果两个变量没有关系，则应满足ad－bc≈0.|ad－bc|越小，说明两个变量之间关系越弱；|ad－bc|越大，说明两个变量之间关系越强.
2.解决独立性检验的应用问题，一定要按照独立性检验的步骤得出结论.独立性检验的一般步骤：
(1)根据样本数据制成2×2列联表：
(2)根据公式χ2＝
eq \f(n（ad－bc）2,（a＋b）（a＋c）（b＋d）（c＋d）)计算χ2；
(3)通过比较χ2与临界值的大小关系来作统计推断.
[典例]
(2023·全国Ⅲ卷)某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表(单位：天)：
(1)分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；
(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；
(3)若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”.根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
附：χ2＝eq \f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，
解 (1)由所给数据，得该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率的估计值如下表：
(2)一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为
eq \f(1,100)(100×20＋300×35＋500×45)＝350.
(3)根据所给数据，可得2×2列联表：
零假设为H0：
一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量无关.
根据列联表得
χ2＝eq \f(100×（33×8－22×37）2,55×45×70×30)≈5.820>3.841＝xα.
根据小概率值α＝0.050的χ2独立性检验，可推断H0不成立，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.
[举一反三]
1．为了解某大学的学生是否爱好体育锻炼，用简单随机抽样方法在校园内调查了120位学生，得到如下2×2列联表：
则a－b－c等于( )
A．7 B．8 C．9 D．10
答案 C
解析 根据题意，可得c＝120－73－25＝22，a＝74－22＝52，b＝73－52＝21，
∴a－b－c＝52－21－22＝9.
2．(多选)某医疗研究机构为了了解免疫与注射疫苗的关系，进行一次抽样调查，得到数据如表1.
(表1)
(表2)
则下列说法中正确的是( )
A．χ2≈8.35
B．P(χ2≥6.635)≈0.001
C．依据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们认为免疫与注射疫苗有关系
D．依据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们认为免疫与注射疫苗有关系
答案 AC
解析 由表中数据，
得χ2＝eq \f(60×10×34－6×102,20×40×16×44)
≈8.352≈8.35，所以A正确；
因为P(χ2≥6.635)≈0.01，所以B错误；
χ2≈8.352>6.635＝x0.01，
依据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们认为免疫与注射疫苗有关系，所以C正确；
χ2≈8.3526.635＝x0.01，
根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为该市一天的空气质量与当天SO2的浓度有关．
x
y
合计
y＝y1
y＝y2
x＝x1
a
b
a＋b
x＝x2
c
d
c＋d
合计
a＋c
b＋d
n＝a＋b＋c＋d
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
月份
1
2
3
4
5
6
人均销售额
6
5
8
3
4
7
利润率(%)
12.6
10.4
18.5
3.0
8.1
16.3
x
2
3
4
5
6
y
3.4
4.2
5.1
5.5
6.8
锻炼人次
空气质量等级
[0，200]
(200，400]
(400，600]
1(优)
2
16
25
2(良)
5
10
12
3(轻度污染)
6
7
8
4(中度污染)
7
2
0
人次≤400
人次>400
空气质量好
空气质量不好
空气质量等级
1
2
3
4
概率的估计值
0.43
0.27
0.21
0.09
人次≤400
人次>400
空气质量好
33
37
空气质量不好
22
8
男
女
合计
爱好
a
b
73
不爱好
c
25
合计
74
免疫
不免疫
合计
注射疫苗
10
10
20
未注射疫苗
6
34
40
合计
16
44
60
α
0.10
0.050
0.010
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
10.828
SO2的浓度
空气质量等级
[0，50]
(50，150]
(150，475]
1(优)
28
6
2
2(良)
5
7
8
3(轻度污染)
3
8
9
4(中度污染)
1
12
11
SO2的浓度
空气质量
[0，150]
(150，475]
合计
空气质量好
空气质量不好
合计
SO2的浓度
空气质量
[0，150]
(150，475]
合计
空气质量好
46
10
56
空气质量不好
24
20
44
合计
70
30
100