高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题4.1导数的概念、运算及导数的几何意义(真题测试)(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题4.1导数的概念、运算及导数的几何意义(真题测试)(原卷版+解析)，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. （2023·四川省叙永第一中学校高三阶段练习）对于以下四个函数：①；②；③；④．在区间上函数的平均变化率最大的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
2．（2023·全国·高考真题（理））函数的图像在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2006·安徽·高考真题（理））若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国·高考真题（文））曲线y=2sinx+csx在点(π，–1)处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．(2023·山东·高考真题（文））若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有性质．下列函数中具有性质的是（ ）
A．B．C．D．
6．(2023·全国·高考真题（文））设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为( )
A．B．C．D．
7．(2023·四川·高考真题（文））设直线l1，l2分别是函数f(x)= 图象上点P1，P­2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是（ ）
A．(0,1)B．(0,2)C．(0,+∞)D．(1,+∞)
8．(2023·四川省内江市第六中学模拟预测（文））若函数与的图象存在公共切线，则实数a的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．(2023·黑龙江·哈尔滨三中高二阶段练习）近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了一系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策．各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中一项就是在规定的时间T内完成房产供应量任务S．已知房产供应量S与时间t的函数关系如图所示，则在以下各种房产供应方案中，在时间内供应效率（单位时间的供应量）不是逐步提高的（ ）
A．B．
C．D．
10．(2023·吉林·长春市第二实验中学高二期中）若曲线在处的切线与直线互相垂直，则（ ）
A．B．
C．D．
11．(2023·广东·二模）吹气球时，记气球的半径r与体积V之间的函数关系为r（V），为r（V）的导函数．已知r（V）在上的图象如图所示，若，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．存在，使得
12．(2023·全国·高三专题练习）已知，直线与曲线相切，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
13．(2023·天津·高考真题（文））已知函数，其中为实数，为的导函数，若，则的值为_________．
14．(2023·全国·高考真题（文））已知曲线在点处的切线与曲线相切,则a=________．
15.（2023·全国·高考真题（文））曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________.
16．(2023·浙江·高考真题（文））定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离．已知曲线C1：y＝x 2＋a到直线l：y＝x的距离等于C2：x 2＋(y＋4) 2 ＝2到直线l：y＝x的距离，则实数a＝______________．
四、解答题
17．(2023·浙江·高三专题练习）已知是一次函数，，求的解析式．
18．（2023·全国·高三专题练习）已知曲线.求该曲线的过点的切线方程.
19．(2023·全国·高三专题练习）已知曲线在点处的切线平行于直线，且点在第三象限．
(1)求的坐标；
(2)若直线，且l也过切点，求直线l的方程．
20．(2023·陕西·高考真题（理））如图，从点作轴的垂线交曲线于点，曲线在点处的切线与轴交于点，再从作 轴的垂线交曲线于点，依次重复上述过程得到一系列点：， ；，；；，记点的坐标为（）
（1）试求与的关系（）
（2）求
21．(2023·四川·绵阳中学实验学校模拟预测（文））已知曲线在处的切线经过坐标原点．
(1)求的值；
(2)若，求的取值范围．
22．（2023·北京·高考真题）已知函数．
（Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程；
（Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．
专题4.1 导数的概念、运算及导数的几何意义（真题测试）
一、单选题
1. （2023·四川省叙永第一中学校高三阶段练习）对于以下四个函数：①；②；③；④．在区间上函数的平均变化率最大的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
答案：C
【解析】
分析：
分析求出四个函数的平均变化率，然后比较即可.
【详解】
①，②，③，④．
故选：C．
2．（2023·全国·高考真题（理））函数的图像在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】
分析：
求得函数的导数，计算出和的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可.
【详解】
，，，，
因此，所求切线的方程为，即.
故选：B.
3．（2006·安徽·高考真题（理））若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
答案：A
【解析】
【详解】
与直线垂直的直线为，即在某一点的导数为4，而，所以在(1，1)处导数为4，此点的切线为，故选A
4．（2023·全国·高考真题（文））曲线y=2sinx+csx在点(π，–1)处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】
分析：
先判定点是否为切点，再利用导数的几何意义求解.
【详解】
当时，，即点在曲线上．则在点处的切线方程为，即．故选C．
5．(2023·山东·高考真题（文））若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有性质．下列函数中具有性质的是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
分析：
若函数y＝f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y＝f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，进而可得答案．
【详解】
解：函数y＝f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，
则函数y＝f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，
当y＝sinx时，y′＝csx，满足条件；
当y＝lnx时，y′0恒成立，不满足条件；
当y＝ex时，y′＝ex＞0恒成立，不满足条件；
当y＝x3时，y′＝3x2＞0恒成立，不满足条件；
故选A．
6．(2023·全国·高考真题（文））设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为( )
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
【详解】
分析：利用奇函数偶次项系数为零求得，进而得到的解析式，再对求导得出切线的斜率，进而求得切线方程.
详解：因为函数是奇函数，所以，解得，
所以，，
所以，
所以曲线在点处的切线方程为，
化简可得，故选D.
7．(2023·四川·高考真题（文））设直线l1，l2分别是函数f(x)= 图象上点P1，P­2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是（ ）
A．(0,1)B．(0,2)C．(0,+∞)D．(1,+∞)
答案：A
【解析】
【详解】
试题分析：设（不妨设），则由导数的几何意义易得切线的斜率分别为由已知得切线的方程分别为，切线的方程为，即．分别令得又与的交点为，故选A．
8．(2023·四川省内江市第六中学模拟预测（文））若函数与的图象存在公共切线，则实数a的最大值为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
分析：
分别设公切线与和的切点，，根据导数的几何意义列式，再化简可得，再求导分析的最大值即可
【详解】
，，设公切线与的图象切于点，与曲线切于点，
∴，故，所以，∴，∵，故，
设，则，
∴在上递增，在上递减，∴，
∴实数a的最大值为e
故选：B.
二、多选题
9．(2023·黑龙江·哈尔滨三中高二阶段练习）近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了一系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策．各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中一项就是在规定的时间T内完成房产供应量任务S．已知房产供应量S与时间t的函数关系如图所示，则在以下各种房产供应方案中，在时间内供应效率（单位时间的供应量）不是逐步提高的（ ）
A．B．
C．D．
答案：ACD
【解析】
分析：
根据变化率的知识，结合曲线在某点处导数的几何意义，可得结果.
【详解】
单位时间的供应量逐步提高时，供应量的增长速度越来越快，图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大，则曲线是上升的，且越来越陡，
故函数的图象应一直下凹的.则选项B满足条件，
所以在时间[0，T]内供应效率（单位时间的供应量）不是逐步提高的是ACD选项，
故选：ACD.
10．(2023·吉林·长春市第二实验中学高二期中）若曲线在处的切线与直线互相垂直，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：BCD
【解析】
分析：
由已知，选项A、选项B，可根据给出的曲线解析式直接求导做出判断，选项C，可将带入求解出的中进行求解判断，选项D，根据求解出的结合直线方程的斜率，利用在处的切线与直线互相垂直即可列出等量关系，求解出的值.
【详解】
选项A，已知曲线，所以，故该选项错误；
选项B，已知曲线，所以，故该选项正确；
选项C，因为，所以，故该选项正确；
选项D，直线的斜率为，而，由已知，曲线在处的切线与直线互相垂直，所以，所以，该选项正确；
故选：BCD.
11．(2023·广东·二模）吹气球时，记气球的半径r与体积V之间的函数关系为r（V），为r（V）的导函数．已知r（V）在上的图象如图所示，若，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．存在，使得
答案：BD
【解析】
分析：
A：设，由图得，所以该选项错误；
B:根据图象和导数的几何意义得，所以该选项正确；
C:设 ，所以该选项错误；
D:结合图象和导数的几何意义可以判断该选项正确.
【详解】
解：A：设，由图得，所以所以，所以该选项错误；
B:由图得图象上点的切线的斜率越来越小，根据导数的几何意义得，所以该选项正确；
C:设，因为所以，所以该选项错误；
D:表示两点之间的斜率，表示处切线的斜率，由于，所以可以平移直线使之和曲线相切，切点就是点,所以该选项正确.
故选：BD
12．(2023·全国·高三专题练习）已知，直线与曲线相切，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：AC
【解析】
分析：
利用导数的几何意义，求出a，b的关系，再结合均值不等式逐项分析、计算并判断作答.
【详解】
设直线与曲线相切的切点为，
由求导得：，则有，解得，
因此，，即，而，
对于A，，当且仅当时取“=”，A正确；
对于B，，当且仅当，即时取“=”，B不正确；
对于C，因，则有，即，
当且仅当，即时取“=”，由得，所以当时，，C正确；
对于D，由，得，，，而函数在R上单调递增，
因此，，D不正确.
故选：AC
三、填空题
13．(2023·天津·高考真题（文））已知函数，其中为实数，为的导函数，若，则的值为_________．
答案：3
【解析】
，所以．
14．(2023·全国·高考真题（文））已知曲线在点处的切线与曲线相切,则a=________．
答案：8
【解析】
【详解】
试题分析：函数在处的导数为，所以切线方程为；曲线的导函数的为，因与该曲线相切，可令，当时，曲线为直线，与直线平行，不符合题意；当时，代入曲线方程可求得切点，代入切线方程即可求得.
15.（2023·全国·高考真题（文））曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________.
答案：
【解析】
分析：
设切线的切点坐标为，对函数求导，利用，求出，代入曲线方程求出，得到切线的点斜式方程，化简即可.
【详解】
设切线的切点坐标为，
，所以切点坐标为，
所求的切线方程为，即.
故答案为：.
16．(2023·浙江·高考真题（文））定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离．已知曲线C1：y＝x 2＋a到直线l：y＝x的距离等于C2：x 2＋(y＋4) 2 ＝2到直线l：y＝x的距离，则实数a＝______________．
答案：
【解析】
【详解】
试题分析：由新定义可知，直线与曲线相离，
圆的圆心到直线的距离为，此时直线与圆相离，
根据新定义可知，曲线到直线的距离为，
对函数求导得，令，
故曲线在处的切线方程为，即，
于是曲线到直线的距离为，则有，
解得或，
当时，直线与曲线相交，不合乎题意；当时，直线与曲线相离，合乎题意.
综上所述，.
四、解答题
17．(2023·浙江·高三专题练习）已知是一次函数，，求的解析式．
答案：
【解析】
分析：
分析可知，函数为二次函数，可设，根据导数的运算法则结合已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个未知数的值，即可得出函数的解析式.
【详解】
由为一次函数可知为二次函数．
设，则．
所以，，
即，所以，，解得，
因此，.
18．（2023·全国·高三专题练习）已知曲线.求该曲线的过点的切线方程.
答案：或.
【解析】
分析：
设出曲线过P点的切线方程的切点坐标，把切点的横坐标代入到导函数中即可表示出切线的斜率，根据切点坐标和表示出的斜率，写出切线的方程，把P的坐标带入到切线方程即可得到关于切点横坐标的方程，求出方程的解即可得到切点横坐标的值，分别代入所设的切线方程即可.
【详解】
解：设切点坐标为，切点在曲线上，
在点处切线的斜率为.
切线方程为.
又切线过点，且切点在曲线上
整理得，即，
解得或.
当，，即切线斜率为4时，切线的方程为；
当，，即切线斜率为1时，切线的方程为.
综上，所求切线方程为或.
19．(2023·全国·高三专题练习）已知曲线在点处的切线平行于直线，且点在第三象限．
(1)求的坐标；
(2)若直线，且l也过切点，求直线l的方程．
答案：(1)；
(2).
【解析】
分析：
（1）设点，求出给定函数的导数，再利用导数的几何意义，列式计算作答.
（2）求出直线l的斜率，由（1）的结论结合直线的点斜式方程求解作答.
(1)
由求导得：，设切点，而点在第三象限，即，
依题意，，解得：，此时，，显然点不在直线上，
所以切点的坐标为.
(2)
直线，而的斜率为4，则直线l的斜率为，
又l过切点，于是得直线l的方程为，即，
所以直线l的方程为：.
20．(2023·陕西·高考真题（理））如图，从点作轴的垂线交曲线于点，曲线在点处的切线与轴交于点，再从作 轴的垂线交曲线于点，依次重复上述过程得到一系列点：， ；，；；，记点的坐标为（）
（1）试求与的关系（）
（2）求
答案：（1）
（2）
【解析】
【详解】
（1）根据函数的导数求切线方程，然后再求切线与轴的交点坐标；（2）尝试求出通项的表达式，然后再求和．
（1）设点的坐标是，∵，∴，
∴，在点处的切线方程是，
令，则（）．
（2）∵，，∴，
∴，于是有
，
即．
21．(2023·四川·绵阳中学实验学校模拟预测（文））已知曲线在处的切线经过坐标原点．
(1)求的值；
(2)若，求的取值范围．
答案：(1)
(2)
【解析】
分析：
（1）利用导数的几何意义可求得在处的切线方程，代入坐标原点即可求得；
（2）采用分离变量的方式可得，利用导数可求得单调性，由此可得，进而得到的取值范围.
(1)
，，又，
在处的切线为：，
又该切线过原点，，解得：.
(2)
由（1）得：，定义域为；
若恒成立，则；
令，则；
令，则；
恒成立，，在上单调递减，
又，当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
，，即的取值范围为.
22．（2023·北京·高考真题）已知函数．
（Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程；
（Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．
答案：（Ⅰ），（Ⅱ）.
【解析】
分析：
（Ⅰ）根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果；
（Ⅱ）根据导数的几何意义求出切线方程，再得到切线在坐标轴上的截距，进一步得到三角形的面积，最后利用导数可求得最值.
【详解】
（Ⅰ）因为，所以，
设切点为，则，即，所以切点为，
由点斜式可得切线方程为：，即.
（Ⅱ）[方法一]：导数法
显然，因为在点处的切线方程为：，
令，得，令，得，
所以，
不妨设时，结果一样，
则，
所以
，
由，得，由，得，
所以在上递减，在上递增，
所以时，取得极小值，
也是最小值为.
[方法二]【最优解】：换元加导数法
．
因为为偶函数，不妨设，，
令，则．
令，则面积为，只需求出的最小值．
．
因为，所以令，得．
随着a的变化，的变化情况如下表：
所以．
所以当，即时，．
因为为偶函数，当时，．
综上，当时，的最小值为32．
[方法三]：多元均值不等式法
同方法二，只需求出的最小值．
令，
当且仅当，即时取等号．
所以当，即时，．
因为为偶函数，当时，．
综上，当时，的最小值为32．
[方法四]：两次使用基本不等式法
同方法一得到
,下同方法一.
【整体点评】
（Ⅱ）的方法一直接对面积函数求导数，方法二利用换元方法，简化了运算，确定为最优解；方法三在方法二换元的基础上，利用多元均值不等式求得最小值，运算较为简洁；方法四两次使用基本不等式，所有知识最少，配凑巧妙，技巧性较高.
60
a
0
减
极小值
增