高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题4.2应用导数研究函数的单调性(知识点讲解)(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题4.2应用导数研究函数的单调性(知识点讲解)(原卷版+解析)，共22页。


【核心素养】
考查利用导数求函数的单调区间或讨论函数的单调性以及由函数的单调性求参数范围，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养．
【知识点展示】
（一）导数与函数的单调性
1.在内可导函数，在任意子区间内都不恒等于0.
在上为增函数．
在上为减函数．
2.利用导数研究函数的单调性的方法步骤：①确定函数f(x)的定义域；②求导数f'(x)；③由f'(x)>0（或f'(x)<0）解出相应的x的取值范围，当f'(x)>0时，f(x)在相应区间上是增函数；当f'(x)<0时，f(x)在相应区间上是减增函数.
特别提醒：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则．
（二）常用结论
1．在某区间内f ′(x)＞0(f ′(x)＜0)是函数f (x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．
2．可导函数f (x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f ′(x)≥0(f ′(x)≤0)且f ′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．
【常考题型剖析】
题型一：判断或证明函数的单调性
例1.(2023·山东·高考真题（文））若函数(e=2.71828,是自然对数的底数)在的定义域上单调递增,则称函数具有M性质,下列函数中具有M性质的是（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023·全国·高考真题（文））设函数，其中.
（1）讨论的单调性；
（2）若的图象与轴没有公共点，求a的取值范围.
例3.（2023·全国·高考真题（文））已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标．
【总结提升】
1.利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，易错点是忽视函数的定义域.
2.当f(x)含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．讨论的标准有以下几种可能：(1)f′(x)＝0是否有根；
(2)若f′(x)＝0有根，求出的根是否在定义域内；
(3)若在定义域内有两个根，比较两个根的大小．
题型二：求函数的单调区间
例4．(2023·辽宁·高考真题（文））函数y=x2㏑x的单调递减区间为（ ）
A．（1,1]B．（0,1]C．[1，+∞）D．（0，+∞）
例5.(2023·北京·高考真题（理））设函数，曲线在点处的切线方程为，
（1）求，的值；
（2）求的单调区间.
【总结提升】
1.利用导数求函数单调区间的方法
(1)当导函数不等式可解时，解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0求出单调区间．
(2)当方程f′(x)＝0可解时，解出方程的实根，按实根把函数的定义域划分区间，确定各区间f′(x)的符号，从而确定单调区间．
(3)若导函数的方程、不等式都不可解，根据f′(x)结构特征，利用图象与性质确定f′(x)的符号，从而确定单调区间．
温馨提醒：所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用并集“∪”及“或”连接，只能用“，”“和”字隔开．
2.解决含参数的函数的单调性问题应注意两点
(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．
(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点．
题型三： 利用函数的单调性解不等式
例6．(2023·全国·高考真题（理））设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例7．(2023·江苏·高考真题）已知函数，其中e是自然数对数的底数，若，则实数a的取值范围是_________．
【总结提升】
比较大小或解不等式的思路方法
(1)根据导数计算公式和已知的不等式构造函数，利用不等关系得出函数的单调性，即可确定函数值的大小关系，关键是观察已知条件构造出恰当的函数．
(2)含有两个变元的不等式，可以把两个变元看作两个不同的自变量，构造函数后利用单调性确定其不等关系．
题型四：利用函数的单调性比较大小
例8.(2023·全国·高考真题（理））已知，则（ ）
A．B．C．D．
例9．（2007·陕西·高考真题（理））已知f(x)是定义在(0，＋∞) 上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意的0A．af(b)≤bf(a)B．bf(a)≤af(b)
C．af(a)≤f(b)D．bf(b)≤f(a)
例10．(2023·天津·高考真题（文））设函数，若实数满足，则（ ）
A．B．
C．D．
例11．(2023·全国·高考真题）设，则（ ）
A．B．C．D．
【总结提升】
1.在比较，，，的大小时，首先应该根据函数的奇偶性与周期性将，，，通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．
2.构造函数解不等式或比较大小
一般地，在不等式中若同时含有f (x)与f ′(x)，常需要通过构造含f (x)与另一函数的和、差、积、商的新函数，再借助导数探索新函数的性质，进而求出结果．
常见构造的辅助函数形式有：
(1)f (x)＞g(x)→F(x)＝f (x)－g(x)；
(2)xf ′(x)＋f (x)→[xf (x)]′；
(3)xf ′(x)－f (x)→；
(4)f ′(x)＋f (x)→[exf (x)]′；
(5)f ′(x)－f (x)→.
题型五：根据函数的单调性求参数范围
例12．(2023·全国·高考真题（文））若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
例13．（2023·北京·高考真题（理））设函数f（x）=ex+ae−x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．
例14．(2023·全国·高考真题（理））若函数在区间内是减函数，则实数的取值范围是_______.
【总结提升】
由函数的单调性求参数的取值范围的方法
(1)可导函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，得到关于参数的不等式，从而转化为求函数的最值问题，求出参数的取值范围．
(2)可导函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f′(x)＞0(或f′(x)＜0)在该区间上存在解集，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围．
(3)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I上含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围．
题型六：利用导数研究函数的图象
例15．（2023·浙江·高考真题）已知函数，则图象为如图的函数可能是（ ）
A．B．
C．D．
例16．(2023·全国·高考真题（文））函数的图像大致为 ( )
A．B．
C．D．
例17.(2023·浙江·高考真题）函数的图象如图所示，则函数的图象可能是
A．B．
C．D．
【规律方法】
函数图象的辨识主要从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
题型七：与函数单调性相关的恒成立问题
例18．(2023·广东·执信中学高三阶段练习）已知函数 ， 则 的单调递增区间为________； 若对任意的， 不等式 恒成立， 则实数 的取值范围为________．
例19．(2023·全国·高三专题练习）已知函数，若对任意正数，当时，都有成立，则实数m的取值范围是______．
例20．(2023·全国·高考真题（理））设函数.
(1)若，求的单调区间；
(2)若当时恒成立，求的取值范围．
【规律方法】
处理此类问题，往往利用“构造函数法”、“分离参数法”.
专题4.2 应用导数研究函数的单调性（知识点讲解）
【知识框架】

【核心素养】
考查利用导数求函数的单调区间或讨论函数的单调性以及由函数的单调性求参数范围，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养．
【知识点展示】
（一）导数与函数的单调性
1.在内可导函数，在任意子区间内都不恒等于0.
在上为增函数．
在上为减函数．
2.利用导数研究函数的单调性的方法步骤：①确定函数f(x)的定义域；②求导数f'(x)；③由f'(x)>0（或f'(x)<0）解出相应的x的取值范围，当f'(x)>0时，f(x)在相应区间上是增函数；当f'(x)<0时，f(x)在相应区间上是减增函数.
特别提醒：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则．
（二）常用结论
1．在某区间内f ′(x)＞0(f ′(x)＜0)是函数f (x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．
2．可导函数f (x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f ′(x)≥0(f ′(x)≤0)且f ′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．
【常考题型剖析】
题型一：判断或证明函数的单调性
例1.(2023·山东·高考真题（文））若函数(e=2.71828,是自然对数的底数)在的定义域上单调递增,则称函数具有M性质,下列函数中具有M性质的是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
【详解】
对于A,令,,则在R上单调递增,故具有M性质,故选A.
例2．（2023·全国·高考真题（文））设函数，其中.
（1）讨论的单调性；
（2）若的图象与轴没有公共点，求a的取值范围.
答案：（1）的减区间为，增区间为；（2）.
【解析】
分析：
（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.
（2）根据及（1）的单调性性可得，从而可求a的取值范围.
【详解】
（1）函数的定义域为，
又，
因为，故，
当时，；当时，；
所以的减区间为，增区间为.
（2）因为且的图与轴没有公共点，
所以的图象在轴的上方，
由（1）中函数的单调性可得，
故即.
例3.（2023·全国·高考真题（文））已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标．
答案：(1)答案见解析；(2) 和.
【解析】
分析：
(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论导函数的符号即可确定原函数的单调性；
(2)首先求得导数过坐标原点的切线方程，然后将原问题转化为方程求解的问题，据此即可求得公共点坐标.
【详解】
(1)由函数的解析式可得：，
导函数的判别式，
当时，在R上单调递增，
当时，的解为：，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增；
综上可得：当时，在R上单调递增，
当时，在，上
单调递增，在上单调递减.
(2)由题意可得：，，
则切线方程为：，
切线过坐标原点，则：,
整理可得：，即：，
解得：，则，
切线方程为：,
与联立得，
化简得,由于切点的横坐标1必然是该方程的一个根，是的一个因式，∴该方程可以分解因式为
解得,
，
综上，曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为和.
【总结提升】
1.利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，易错点是忽视函数的定义域.
2.当f(x)含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．讨论的标准有以下几种可能：(1)f′(x)＝0是否有根；
(2)若f′(x)＝0有根，求出的根是否在定义域内；
(3)若在定义域内有两个根，比较两个根的大小．
题型二：求函数的单调区间
例4．(2023·辽宁·高考真题（文））函数y=x2㏑x的单调递减区间为（ ）
A．（1,1]B．（0,1]C．[1，+∞）D．（0，+∞）
答案：B
【解析】
【详解】
对函数求导，得（x>0）,令解得，因此函数的单调减区间为，故选B
例5.(2023·北京·高考真题（理））设函数，曲线在点处的切线方程为，
（1）求，的值；
（2）求的单调区间.
答案：（Ⅰ），；（2）的单调递增区间为.
【解析】
【详解】
试题分析：（Ⅰ）根据题意求出，根据求a,b的值即可；
（Ⅱ）由题意判断的符号，即判断的单调性，知g(x)>0，即>0，由此求得f(x)的单调区间.
试题解析：（Ⅰ）因为，所以.
依题设，即
解得.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知.
由及知，与同号.
令，则.
所以，当时，，在区间上单调递减；
当时，，在区间上单调递增.
故是在区间上的最小值，
从而.
综上可知，，.故的单调递增区间为.
【总结提升】
1.利用导数求函数单调区间的方法
(1)当导函数不等式可解时，解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0求出单调区间．
(2)当方程f′(x)＝0可解时，解出方程的实根，按实根把函数的定义域划分区间，确定各区间f′(x)的符号，从而确定单调区间．
(3)若导函数的方程、不等式都不可解，根据f′(x)结构特征，利用图象与性质确定f′(x)的符号，从而确定单调区间．
温馨提醒：所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用并集“∪”及“或”连接，只能用“，”“和”字隔开．
2.解决含参数的函数的单调性问题应注意两点
(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．
(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点．
题型三： 利用函数的单调性解不等式
例6．(2023·全国·高考真题（理））设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】
【详解】
构造新函数,，当时.
所以在上单减，又，即.
所以可得,此时，
又为奇函数，所以在上的解集为：.
故选A.
点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如，想到构造.一般：（1）条件含有，就构造,（2）若，就构造，（3），就构造，（4）就构造，等便于给出导数时联想构造函数.
例7．(2023·江苏·高考真题）已知函数，其中e是自然数对数的底数，若，则实数a的取值范围是_________．
答案：
【解析】
【详解】
因为，所以函数是奇函数，
因为，所以数在上单调递增，
又，即，所以，即，
解得，故实数的取值范围为．
【总结提升】
比较大小或解不等式的思路方法
(1)根据导数计算公式和已知的不等式构造函数，利用不等关系得出函数的单调性，即可确定函数值的大小关系，关键是观察已知条件构造出恰当的函数．
(2)含有两个变元的不等式，可以把两个变元看作两个不同的自变量，构造函数后利用单调性确定其不等关系．
题型四：利用函数的单调性比较大小
例8.(2023·全国·高考真题（理））已知，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
分析：
由结合三角函数的性质可得；构造函数，利用导数可得，即可得解.
【详解】
因为,因为当
所以,即,所以；
设，
，所以在单调递增，
则,所以，
所以,所以，
故选：A
例9．（2007·陕西·高考真题（理））已知f(x)是定义在(0，＋∞) 上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意的0A．af(b)≤bf(a)B．bf(a)≤af(b)
C．af(a)≤f(b)D．bf(b)≤f(a)
答案：A
【解析】
【详解】
因为xf′(x)≤－f(x)，f(x)≥0，
所以′＝≤≤0，
则函数在(0，＋∞)上单调递减．
由于0例10．(2023·天津·高考真题（文））设函数，若实数满足，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】
【详解】
试题分析：对函数求导得，函数单调递增，，由知，同理对函数求导，知在定义域内单调递增，，由知，所以.
例11．(2023·全国·高考真题）设，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
分析：
构造函数， 导数判断其单调性，由此确定的大小.
【详解】
设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，
所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以
故选：C.
【总结提升】
1.在比较，，，的大小时，首先应该根据函数的奇偶性与周期性将，，，通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．
2.构造函数解不等式或比较大小
一般地，在不等式中若同时含有f (x)与f ′(x)，常需要通过构造含f (x)与另一函数的和、差、积、商的新函数，再借助导数探索新函数的性质，进而求出结果．
常见构造的辅助函数形式有：
(1)f (x)＞g(x)→F(x)＝f (x)－g(x)；
(2)xf ′(x)＋f (x)→[xf (x)]′；
(3)xf ′(x)－f (x)→；
(4)f ′(x)＋f (x)→[exf (x)]′；
(5)f ′(x)－f (x)→.
题型五：根据函数的单调性求参数范围
例12．(2023·全国·高考真题（文））若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
【详解】
试题分析：，∵函数在区间单调递增，∴在区间上恒成立．∴，而在区间上单调递减，∴．∴的取值范围是．故选D．
例13．（2023·北京·高考真题（理））设函数f（x）=ex+ae−x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．
答案： -1; .
【解析】
分析：
首先由奇函数的定义得到关于的恒等式，据此可得的值，然后利用导函数的解析式可得a的取值范围.
【详解】
若函数为奇函数,则，
对任意的恒成立.
若函数是上的增函数,则恒成立,.
即实数的取值范围是
例14．(2023·全国·高考真题（理））若函数在区间内是减函数，则实数的取值范围是_______.
答案：
【解析】
时，是减函数，又，∴由得在上恒成立，．
【总结提升】
由函数的单调性求参数的取值范围的方法
(1)可导函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，得到关于参数的不等式，从而转化为求函数的最值问题，求出参数的取值范围．
(2)可导函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f′(x)＞0(或f′(x)＜0)在该区间上存在解集，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围．
(3)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I上含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围．
题型六：利用导数研究函数的图象
例15．（2023·浙江·高考真题）已知函数，则图象为如图的函数可能是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】
分析：
由函数的奇偶性可排除A、B，结合导数判断函数的单调性可判断C，即可得解.
【详解】
对于A，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；
对于B，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；
对于C，，则，
当时，，与图象不符，排除C.
故选：D.
例16．(2023·全国·高考真题（文））函数的图像大致为 ( )
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】
【详解】
分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.
详解：为奇函数，舍去A,
舍去D;
，
所以舍去C；因此选B.
例17.(2023·浙江·高考真题）函数的图象如图所示，则函数的图象可能是
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】
【详解】
原函数先减再增，再减再增，且位于增区间内，因此选D．
【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与轴的交点为，且图象在两侧附近连续分布于轴上下方，则为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数的正负，得出原函数的单调区间．
【规律方法】
函数图象的辨识主要从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
题型七：与函数单调性相关的恒成立问题
例18．(2023·广东·执信中学高三阶段练习）已知函数 ， 则 的单调递增区间为________； 若对任意的， 不等式 恒成立， 则实数 的取值范围为________．
答案： (填亦可)
【解析】
分析：
求出函数导数，利用导数求函数单调区间，不等式恒成立可分离参数后求函数的最小值，令换元后可根据单调性求最值.
【详解】
,
令,
可得的单调递增区间 (或亦可);
可化为.
令==，
设，则，
由在上单调递增可知，
，
则，
故解得.
故答案为：(填亦可)；
例19．(2023·全国·高三专题练习）已知函数，若对任意正数，当时，都有成立，则实数m的取值范围是______．
答案：
【解析】
分析：
令，进而原题等价于在单调递增，从而转化为，在上恒成立，参变分离即可求出结果.
【详解】
由得，
令，∴
∴在单调递增，
又∵
∴，在上恒成立，即
令，则
∴在单调递减，又因为，
∴．
故答案为：.
例20．(2023·全国·高考真题（理））设函数.
(1)若，求的单调区间；
(2)若当时恒成立，求的取值范围．
答案：(1) f(x)在(－∞，0)单调减少，在(0，＋∞)单调增加;(2) a的取值范围为(－∞，].
【解析】
分析：
(1)a＝0时，，.分别令f′(x)<0，f′(x)>0
可求的单调区间；
(2求导得到)f′(x)＝ex－1－2ax.由(1)知ex≥1＋x，当且仅当x＝0时等号成立．故问题转化为f′(x)≥x－2ax＝(1－2a)x，从而对1－2a的符号进行讨论即可得出结果.
【详解】
(1)a＝0时，，.
当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.故f(x)在(－∞，0)单调减少，在(0，＋∞)单调增加
(2) .由(1)知，当且仅当x＝0时等号成立．故f′(x)≥x－2ax＝(1－2a)x，从而当1－2a≥0，即a≤时，f′(x)≥0(x≥0)，而f(0)＝0，于是当x≥0时，f(x)≥0.由 (x≠0)得 (x≠0)，从而当a>时，f′(x)< ＋2a()＝ ()(－2a)，故当x∈(0，ln2a)时， f′(x)<0，而f(0)＝0，于是当x∈(0，ln2a)时，f(x)<0，
综上可得a的取值范围为(－∞，]．
【规律方法】
处理此类问题，往往利用“构造函数法”、“分离参数法”.