高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题4.3应用导数研究函数的极值、最值(知识点讲解)(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题4.3应用导数研究函数的极值、最值(知识点讲解)(原卷版+解析)，共23页。

【核心素养】
1.考查利用导数求函数的极值、最值，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养．
2.考查利用导数研究函数的图象，凸显直观想象、数学运算、逻辑推理的核心素养．
【知识点展示】
（一）导数与函数的极值
1．函数的极小值：
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
2．函数的极大值：
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
3.特别提醒：
(1)函数f (x)在处有极值的必要不充分条件是f ′()＝0，极值点是f ′(x)＝0的根，但f ′(x)＝0的根不都是极值点(例如，f ′(0)＝0，但x＝0不是极值点)．
(2)极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质．极值点是函数在区间内部的点，不会是端点．
（二）导数与函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
（三）利用导数解决生活中的优化问题的四个步骤
(1)分析实际问题中各量之间的关系，建立实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f (x)．
(2)求函数的导数f ′(x)，解方程f ′(x)＝0.
(3)比较函数在区间端点和f ′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．
(4)回归实际问题，结合实际问题作答．
（四）常用结论
1．若函数f (x)的图象连续不断，则f (x)在[a，b]上一定有最值．
2．若函数f (x)在[a，b]上是单调函数，则f (x)一定在区间端点处取得最值．
3．若函数f (x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．
【常考题型剖析】
题型一：利用导数研究函数的极值
例1.(2023·全国高考真题（理））若是函数的极值点，则的极小值为（ ）．
A．B．C．D．
例2．(2023·重庆·高考真题（理））设函数在R上可导，其导函数为 ，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是
A．函数有极大值 和极小值
B．函数有极大值 和极小值
C．函数有极大值 和极小值
D．函数有极大值 和极小值
例3.（2008·福建·高考真题（文））已知函数的图象过点（-1，-6），且函数的图象关于y轴对称.
(Ⅰ)求m、n的值及函数y=f(x)的单调区间；
(Ⅱ)若a＞0，求函数y=f(x)在区间（a-1,a+1）内的极值.
【总结提升】
1.两点说明：
（1）可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f ′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f ′(x)的符号不同；
（2）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．
2.求函数f(x)极值的步骤：
(1)确定函数的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；
(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值．
3.求极值问题主要有两种类型，一是由图象求极值，二是求具体函数的极值.
题型二：根据函数极值（点）求参数的值或范围
例4.（2023·全国高考真题（理））设，若为函数的极大值点，则（ ）
A．B．C．D．
例5.(2023·全国·高考真题（理））已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________．
例6.已知f (x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，则a－b＝________.
例7．(2023·江苏·高考真题）已知函数有极值，且导函数的极值点是的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）
（1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；
（2）证明：b²>3a;
（3）若， 这两个函数的所有极值之和不小于，求a的取值范围．
【总结提升】
由函数极值求参数的值或范围．
讨论极值点有无(个数)问题，转化为讨论f′(x)＝0根的有无(个数)．然后由已知条件列出方程或不等式求出参数的值或范围，特别注意：极值点处的导数为0，而导数为0的点不一定是极值点，要检验极值点两侧导数是否异号．
题型三：利用导数研究函数的最值
例8．(2023·全国·高考真题（理））当时，函数取得最大值，则（ ）
A．B．C．D．1
例9．（2023·全国·高考真题）函数的最小值为______.
例10.（2023年高考全国Ⅲ卷理）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由.
例11.(2023·北京·高考真题（文））已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．
【规律方法】
1.求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤：
第一步，求函数在(a，b)内的极值；
第二步，求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；
第三步，将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
2．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．
3. 二次求导！当导函数y＝f ′(x)无法判断正负时，可令g(x)＝f ′(x)再求g′(x)，先判断g(x)＝f ′(x)的单调性，再根据单调性确定y＝f ′(x)的正负号．
题四：利用导数解决生活中的优化问题
例12．（2023·江苏省高考真题）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上，桥AB与MN平行，为铅垂线(在AB上).经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离(米)与D到的距离a(米)之间满足关系式；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离(米)与F到的距离b(米)之间满足关系式.已知点B到的距离为40米.
（1）求桥AB的长度；
（2）计划在谷底两侧建造平行于的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元)、桥墩CD每米造价(万元)(k>0).问为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低?
【总结提升】
实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等一般都需要利用导数求解相应函数的最小值，此时根据f ′(x)＝0求出极值点(注意根据实际意义舍去不合适的极值点)后，若函数在该点附近满足左减右增，则此时唯一的极小值就是所求函数的最小值．
题型五：函数极值与最值的综合问题
例13.(2023·天津·高考真题（理））设函数x∈R，其中a,b∈R.
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）存在极值点x0，且f（x1）= f（x0），其中x1≠x0，求证：x1+2x0=3；
（Ⅲ）设a＞0,函数g（x）= |f（x）|,求证：g（x）在区间[0,2]上的最大值不小于.
例14．（2023·北京高考真题）已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．
【总结提升】
求解函数极值与最值综合问题的策略
(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小范围．
(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．
专题4.3 应用导数研究函数的极值、最值（知识点讲解）
【知识框架】

【核心素养】
1.考查利用导数求函数的极值、最值，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养．
2.考查利用导数研究函数的图象，凸显直观想象、数学运算、逻辑推理的核心素养．
3.考查利用导数解决生活中的优化问题，凸显数学建模、数学运算的核心素养．
【知识点展示】
（一）导数与函数的极值
1．函数的极小值：
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
2．函数的极大值：
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
3.特别提醒：
(1)函数f (x)在处有极值的必要不充分条件是f ′()＝0，极值点是f ′(x)＝0的根，但f ′(x)＝0的根不都是极值点(例如，f ′(0)＝0，但x＝0不是极值点)．
(2)极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质．极值点是函数在区间内部的点，不会是端点．
（二）导数与函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
（三）利用导数解决生活中的优化问题的四个步骤
(1)分析实际问题中各量之间的关系，建立实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f (x)．
(2)求函数的导数f ′(x)，解方程f ′(x)＝0.
(3)比较函数在区间端点和f ′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．
(4)回归实际问题，结合实际问题作答．
（四）常用结论
1．若函数f (x)的图象连续不断，则f (x)在[a，b]上一定有最值．
2．若函数f (x)在[a，b]上是单调函数，则f (x)一定在区间端点处取得最值．
3．若函数f (x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．
【常考题型剖析】
题型一：利用导数研究函数的极值
例1.(2023·全国高考真题（理））若是函数的极值点，则的极小值为（ ）．
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
由题可得，
因为，所以，，故，
令，解得或，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的极小值为，故选A．
例2．(2023·重庆·高考真题（理））设函数在R上可导，其导函数为 ，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是
A．函数有极大值 和极小值
B．函数有极大值 和极小值
C．函数有极大值 和极小值
D．函数有极大值 和极小值
答案：D
【解析】
【详解】
则函数增；
则函数减；
则函数减；
则函数增；选D.
例3.（2008·福建·高考真题（文））已知函数的图象过点（-1，-6），且函数的图象关于y轴对称.
(Ⅰ)求m、n的值及函数y=f(x)的单调区间；
(Ⅱ)若a＞0，求函数y=f(x)在区间（a-1,a+1）内的极值.
答案：（1）m=-3, n=0. f(x)的单调递增区间是（－∞，0），（2，＋∞）；f(x)的单调递减区间是（0，2）（2）当0