高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题4.5《一元函数的导数及其应用》真题+模拟试卷(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题4.5《一元函数的导数及其应用》真题+模拟试卷(原卷版+解析)，共20页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．(2023·江西·高考真题（理））若,则的解集为 （ ）
A．(0,)B．(-1,0)(2,)
C．(2,)D．(-1,0)
2．(2023·广东·高考真题（文））函数的单调递增区间是 （ ）
A．B．(0,3)C．(1,4)D．
3．（2008·湖北·高考真题（理））若f(x)=上是减函数，则b的取值范围是（ ）
A．[-1，+∞）B．（-1，+∞）C．（-∞，-1]D．（-∞，-1）
4．(2023·全国·高考真题（理））已知直线y=x+1与曲线相切，则α的值为（ ）
A．1B．2C．-1D．-2
5．(2023·全国·高考真题（理））函数的图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
6．(2023·全国·高考真题（理））已知函数，下列结论中错误的是（ ）
A．的图像关于点中心对称B．的图像关于直线对称
C．的最大值为D．既是奇函数，又是周期函数
7．（2007·海南·高考真题（理））曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
A．B．C．D．
8．(2023·浙江·高考真题（理））已知e为自然对数的底数,设函数,则（ ）．
A．当k=1时,f(x)在x=1处取到极小值B．当k=1时,f(x)在x=1处取到极大值
C．当k=2时,f(x)在x=1处取到极小值D．当k=2时,f(x)在x=1处取到极大值
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．(2023·全国·高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A．B．C．D．
10．(2023·重庆八中高三阶段练习）函数均是定义在R上的单调递增函数，且，则下列各函数一定在R上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
11．(2023·福建泉州·模拟预测）若，则下列式子可能成立的是（ ）
A．B．
C．D．
12．(2023·全国·模拟预测）已知函数，，若，不等式恒成立，则正数的取值可以是（ ）
A．B．C．D．
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．(2023·天津·高考真题（文））已知函数为的导函数，则的值为__________.
14．(2023·天津·高考真题（文））已知，设函数的图象在点（1，）处的切线为l，则l在y轴上的截距为________ .
15．(2023·福建·高考真题（文））若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是_________
16．(2023·山东·高考真题（理））若函数是自然对数的底数在的定义域上单调递增，则称函数具有M性质，下列函数中所有具有M性质的函数的序号为
① ② ③ ④
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．(2023·福建·高考真题（理））商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量(单位：千克)与销售价格(单位：元/千克)满足关系式，其中，为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．
(1) 求的值；
(2) 若商品的成品为3元/千克, 试确定销售价格的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大
18．(2023·四川·盐亭中学高二阶段练习（文））已知函数在时取得极值．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求在区间上的最大值与最小值．
19．(2023·全国·高考真题（文））已知函数.
（I）当时，求曲线在处的切线方程；
（Ⅱ）若当时，，求的取值范围.
20．(2023·全国·高考真题（文））已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．
(1)若，求a；
(2)求a的取值范围．
21．(2023·全国·郑州一中模拟预测（理））已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，证明：.
22．(2023·全国·高考真题（文））已知函数．
(1)当时，求的最大值；
(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．
专题4.5 《一元函数的导数及其应用》真题+模拟试卷
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．(2023·江西·高考真题（理））若,则的解集为 （ ）
A．(0,)B．(-1,0)(2,)
C．(2,)D．(-1,0)
答案：C
【解析】
【详解】
2．(2023·广东·高考真题（文））函数的单调递增区间是 （ ）
A．B．(0,3)C．(1,4)D．
答案：D
【解析】
【详解】
试题分析：由题意得，，令，解得，所以函数的单调递增区间为，故选D．
3．（2008·湖北·高考真题（理））若f(x)=上是减函数，则b的取值范围是（ ）
A．[-1，+∞）B．（-1，+∞）C．（-∞，-1]D．（-∞，-1）
答案：C
【解析】
【详解】
由题意可知，在上恒成立，即在上恒成立，由于，所以，故Ｃ为正确答案．
4．(2023·全国·高考真题（理））已知直线y=x+1与曲线相切，则α的值为（ ）
A．1B．2C．-1D．-2
答案：B
【解析】
【详解】
设切点，则，又
，故答案选B．
5．(2023·全国·高考真题（理））函数的图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】
【详解】
分析：根据函数图象的特殊点，利用函数的导数研究函数的单调性，由排除法可得结果.
详解：函数过定点，排除，
求得函数的导数，
由得，
得或，此时函数单调递增，排除，故选D.
6．(2023·全国·高考真题（理））已知函数，下列结论中错误的是（ ）
A．的图像关于点中心对称B．的图像关于直线对称
C．的最大值为D．既是奇函数，又是周期函数
答案：C
【解析】
【详解】
试题分析：对于选项，只需考虑即可，而，故正确；
对于选项，
只需考虑是否成立即可，
而，故正确；
对于选项，
，
故是奇函数，有，故周期是，故正确；
对于选项，
，
令，则，求导，令解得，故在上单增，在与上单减，又当时；又当时，故C错误.
7．（2007·海南·高考真题（理））曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
【详解】
因为曲线，所以切线过点（4，e2）
∴f′（x）|x=4= e2，
∴切线方程为：y-e2= e2（x-4），
令y=0，得x=2，与x轴的交点为：（2，0），
令x=0，y=-e2，与y轴的交点为：（0，-e2），
∴曲线在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积s=×2×|-e2|=e2.
故选D．
8．(2023·浙江·高考真题（理））已知e为自然对数的底数,设函数,则（ ）．
A．当k=1时,f(x)在x=1处取到极小值B．当k=1时,f(x)在x=1处取到极大值
C．当k=2时,f(x)在x=1处取到极小值D．当k=2时,f(x)在x=1处取到极大值
答案：C
【解析】
【详解】
当k=1时，函数f(x)=(ex−1)(x−1).
求导函数可得f′(x)=ex(x−1)+(ex−1)=(xex−1)
f′(1)=e−1≠0，f′(2)=2e2−1≠0，
则f(x)在在x=1处与在x=2处均取不到极值，
当k=2时，函数f(x)=(ex−1)(x−1)2.
求导函数可得f′(x)=ex(x−1)2+2(ex−1)(x−1)=(x−1)(xex+ex−2)
∴当x=1，f′(x)=0，且当x>1时，f′(x)>0，当x0故选C.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．(2023·全国·高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A．B．C．D．
答案：BC
【解析】
分析：
转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.
【详解】
因为，均为偶函数，
所以即，，
所以，，则，故C正确；
函数，的图象分别关于直线对称，
又，且函数可导，
所以，
所以，所以，
所以，，故B正确，D错误；
若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.
故选：BC.
10．(2023·重庆八中高三阶段练习）函数均是定义在R上的单调递增函数，且，则下列各函数一定在R上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
答案：BC
【解析】
分析：
根据反例可判断AD的正误，根据单调性的定义可判断BC的正误.
【详解】
取，故，设，
则，
在上，，故在上为减函数，故A错误.
而，设，则，
在上，，故在上为减函数，故D错误.
设，，
任意，则，
因为均是定义在R上的单调递增函数，
故，
所以即，故是R上的单调递增函数.
而
因为是定义在R上的单调递增函数，
故，且，
所以即，故是R上的单调递增函数.
故BC正确.
故选：BC
11．(2023·福建泉州·模拟预测）若，则下列式子可能成立的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：BCD
【解析】
分析：
构造函数，，得到其单调性且零点情况，分与两种情况进行讨论，由函数单调性解不等式，求出答案.
【详解】
令，
则恒成立，
所以单调递增，
其中，，
则存在，使得
①当时，
即，
若，则，且，则，
不满足，故，且，
所以
又因为，所以，D正确；
②当时，
，即
（1）当时，，，则成立，故，B正确；
（2）当时，，若，则，
因为，且在上单调递增，
所以当时，，则，
所以，所以，又因为，所以，选项C正确.
故选：BCD
12．(2023·全国·模拟预测）已知函数，，若，不等式恒成立，则正数的取值可以是（ ）
A．B．C．D．
答案：AB
【解析】
分析：
本题的含义是不等式左边的最大值小于等于右边的最小值，t是常数，
因此先要算出左边的最大值和右边的最小值，再计算不等式即可.
【详解】
因为，所以在上单调递增，
所以对，；
，所以 ，
当时， ；当时， ，
函数在上单调递增，在上单调递减，
∴；
因为，任意，不等式恒成立，
即，整理得，
解得或，所以正数的取值范围为；
6e与均在区间内，
与均不在区间内；
故选：AB．
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．(2023·天津·高考真题（文））已知函数为的导函数，则的值为__________.
答案：3
【解析】
【详解】
试题分析：
14．(2023·天津·高考真题（文））已知，设函数的图象在点（1，）处的切线为l，则l在y轴上的截距为________ .
答案：1
【解析】
【详解】
函数f(x)=ax−lnx,可得,切线的斜率为：，
切点坐标(1,a),切线方程l为：y−a=(a−1)(x−1)，
l在y轴上的截距为：a+(a−1)(−1)=1.
故答案为1.
15．(2023·福建·高考真题（文））若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是_________
答案：
【解析】
【详解】
由题意该函数的定义域，由．因为存在垂直于轴的切线，故此时斜率为，问题转化为范围内导函数存在零点．
解法1 （图像法）再将之转化为与存在交点．当不符合题意，当时，如图1，数形结合可得显然没有交点，当如图2，此时正好有一个交点，故有应填.
解法2 （分离变量法）上述也可等价于方程在内有解，显然可得
16．(2023·山东·高考真题（理））若函数是自然对数的底数在的定义域上单调递增，则称函数具有M性质，下列函数中所有具有M性质的函数的序号为
① ② ③ ④
答案：①④
【解析】
【详解】
①在上单调递增，故具有性质；
②在上单调递减，故不具有性质；
③，令，则，当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增，故不具有性质；
④，令，则，在上单调递增，故具有性质．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．(2023·福建·高考真题（理））商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量(单位：千克)与销售价格(单位：元/千克)满足关系式，其中，为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．
(1) 求的值；
(2) 若商品的成品为3元/千克, 试确定销售价格的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大
答案：(1) 2；
(2)当时，利润最大42.
答：当销售价格时,商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42.
【解析】
(1)因为时，所以；
(2)由(1)知该商品每日的销售量，所以商场每日销售该商品所获得的利润：；
，令得函数在(3,4)上递增，在(4,6)上递减，
所以当时函数取得最大值
答：当销售价格时,商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42.
18．(2023·四川·盐亭中学高二阶段练习（文））已知函数在时取得极值．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求在区间上的最大值与最小值．
答案：(1)
(2)，；
【解析】
分析：
（1）首先求出函数的导函数，依题意，即可求出，再求出切点坐标与切线的斜率，即可求出切线方程；
（2）由（1）可得函数的单调性，再计算出区间端点的函数值，即可求出函数的最值．
(1)
解： ，所以，
，解得，
，
，当时，当或时，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
在处取得极大值，符合题意，
又，，即切点为，切线的斜率，
在处的切线方程为，即；
(2)
解：因为，由（1）可知在上单调递增，在上单调递减，
，、，．
19．(2023·全国·高考真题（文））已知函数.
（I）当时，求曲线在处的切线方程；
（Ⅱ）若当时，，求的取值范围.
答案：（1）（2）
【解析】
【详解】
试题分析：（Ⅰ）先求的定义域，再求，，，由直线方程的点斜式可求曲线在处的切线方程为（Ⅱ）构造新函数，对实数分类讨论，用导数法求解.
试题解析：（I）的定义域为.当时，
，
曲线在处的切线方程为
（II）当时，等价于
设，则
，
（i）当，时，，故在上单调递增，因此；
（ii）当时，令得
.
由和得，故当时，，在单调递减，因此.
综上，的取值范围是
20．(2023·全国·高考真题（文））已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．
(1)若，求a；
(2)求a的取值范围．
答案：(1)3
(2)
【解析】
分析：
（1）先由上的切点求出切线方程，设出上的切点坐标，由斜率求出切点坐标，再由函数值求出即可；
（2）设出上的切点坐标，分别由和及切点表示出切线方程，由切线重合表示出，构造函数，求导求出函数值域，即可求得的取值范围.
(1)
由题意知，，，，则在点处的切线方程为，
即，设该切线与切于点，，则，解得，则，解得；
(2)
，则在点处的切线方程为，整理得，
设该切线与切于点，，则，则切线方程为，整理得，
则，整理得，
令，则，令，解得或，
令，解得或，则变化时，的变化情况如下表：
则的值域为，故的取值范围为.
21．(2023·全国·郑州一中模拟预测（理））已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，证明：.
答案：(1)答案见解析
(2)证明见解析
【解析】
分析：
（1）求导可得，再分和两种情况讨论即可；
（2）当根据函数的正负证明，当时，转证，构造函数求导分析单调性与最值即可
(1)
依题意知，，
令得，
当时，在上，单调递减，在单调递增；
当时，在上，单调递增，在单调递减.
(2)
依题意，要证，
①当时，，，故原不等式成立，
②当时，要证：，即证：，
令，则，，
∴在单调递减，∴，∴在单调递减，∴，即，
故原不等式成立.
22．(2023·全国·高考真题（文））已知函数．
(1)当时，求的最大值；
(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．
答案：(1)
(2)
【解析】
分析：
（1）由导数确定函数的单调性，即可得解；
（2）求导得，按照、及结合导数讨论函数的单调性，求得函数的极值，即可得解.
(1)
当时，，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以；
(2)
，则，
当时，，所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以，此时函数无零点，不合题意；
当时，，在上，，单调递增；
在上，，单调递减；
又，
由（1）得，即，所以，
当时，，
则存在，使得，
所以仅在有唯一零点，符合题意；
当时，，所以单调递增，又，
所以有唯一零点，符合题意；
当时，，在上，，单调递增；
在上，，单调递减；此时，
由（1）得当时，，，所以，
此时
存在，使得，
所以在有一个零点，在无零点，
所以有唯一零点，符合题意；
综上，a的取值范围为.
0
1
0
0
0