高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题5.1任意角和弧度制及任意角的三角函数(真题测试)(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题5.1任意角和弧度制及任意角的三角函数(真题测试)(原卷版+解析)，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．(2023·宁夏·银川一中模拟预测（文））已知点在角的终边上，且，则角的大小为（ ）．
A．B．C．D．
2．(2023·山东·高考真题（文））点(a,9)在函数y=3x的图象上，则tan的值为（ ）
A．0B．C．1D．
3．（2007·北京·高考真题（理））已知，那么角是（ ）
A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角
C．第三或第四象限角D．第一或第四象限角
4．(2023·全国·高考真题（文））若，则（ ）
A．B．C．D．
5．(2023·全国·高考真题（文））已知角的终边经过点，则=（ ）
A．B．C．D．
6．(2023·上海·高考真题（文））已知点 的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的纵坐标为（ ）.
A．B．
C．D．
7．（2023·山东·高考真题）下列命题为真命题的是（ ）
A．且B．或
C．，D．，
8．（2023·北京·高考真题）2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（ Day）．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形（各边均与圆相切的正边形）的周长，将它们的算术平均数作为的近似值．按照阿尔·卡西的方法，的近似值的表达式是（ ）．
A．B．
C．D．
二、多选题
9．(2023·江西·高一期中）已知角的终边与单位圆交于点，则的值可能是（ ）
A．B．C．D．
10．(2023·辽宁·建平县实验中学高一期中）已知点在第一象限，则在内的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
11．(2023·浙江·平湖市当湖高级中学高二阶段练习）在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点，则下列各式的值一定为负的是（ ）
A．B．
C．D．
12．(2023·云南·会泽县实验高级中学校高一开学考试）已知扇形的半径为，弧长为，若其周长为4，则下列说法正确的是（ ）
A．若该扇形的半径为1，则该扇形的面积为1
B．该扇形面积的最大值为1
C．当该扇形面积最大时，其圆心角为2
D．的最小值为3
三、填空题
13．（2023·山东·高考真题）已知，若，则______.
14．（2023·浙江·高考真题）已知圆锥的侧面积（单位：） 为2π，且它的侧面积展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：）是_______．
15．(2023·江西·高考真题（文））已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若是角终边上一点，且，则y=_______.
16．(2023·北京·高考真题（理））如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动．设顶点p（x，y）的轨迹方程是，则的最小正周期为 ；在其两个相邻零点间的图像与x轴所围区域的面积为 ．
说明：“正方形PABC沿轴滚动”包括沿轴正方向和沿轴负方向滚动．沿轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正方形PABC可以沿轴负方向滚动．
四、解答题
17．（2023·全国·高一课时练习）（1）如果，，则是第几象限角．
（2）若，则是第几象限角．
（3）若与异号，则是第几象限角．
（4）若与同号，则是第几象限角．
18．（2023·江苏·高一专题练习）已知角的终边经过点，求的值.
19．（2023·全国·高一专题练习）如图所示，滚珠，同时从点出发沿圆形轨道匀速运动，滚珠按逆时针方向每秒钟转弧度，滚珠按顺时针方向每秒钟转弧度，相遇后发生碰撞，各自按照原来的速度大小反向运动．
(1)求滚珠，第一次相遇时所用的时间及相遇点的坐标；
(2)求从出发到第二次相遇滚珠，各自滚动的路程．
20．（2023·江苏·高一专题练习（文））阅读与探究
人教版普通高中课程标准实验教科书数学必修在第一章的小结中写道：将角放在直角坐标系中讨论不但使角的表示有了统一的方法，而且使我们能够借助直角坐标系中的单位圆，建立角的变化与单位圆上点的变化之间的对应关系，从而用单位圆上点的纵坐标、横坐标来表示圆心角的正弦函数、余弦函数因此，正弦函数、余弦函数的基本性质与圆的几何性质主要是对称性之间存在着非常紧密的联系例如，和单位圆相关的“勾股定理”与同角三角函数的基本关系有内在的一致性；单位圆周长为与正弦函数、余弦函数的周期为是一致的；圆的各种对称性与三角函数的奇偶性、诱导公式等也是一致的等等因此，三角函数的研究过程能够很好地体现数形结合思想．
下而我们再从图形角度认识一下三角函数.如图，角a的终边与单位圆交于点P.过点P作x轴的重线，重足为M.根据三角函数定义.我们有：
如图.过点A(1，0)作单位圆的切线.这条切线必然平行于y轴(为什么?)，设它与a的终边(当a为第一、四象限角时)或其反向延长线(当a为第二、三象限角时)相交于点T.根据正切函数的定义与相似三角形的知识，借助有向线段OA，AT.我们有.我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP、OM、AT，分别叫做角a的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.单位圆中的三商品数线是数形结合的有效工具，借助它，不但可以画出准确的三角函数图象，还可以讨论三角函数的性质.
依据上述材料，利用正切线可以讨论研究得出正切函数的性质．比如：由图可知，角的终边落在四个象限时均存在正切线；角的终边落在轴上时，其正切线缩为一个点，值为；角的终边落在轴上时，其正切线不存在；所以正切函数的定义域是．
(1)请利用单位圆中的正切线研究得出正切函数的单调性和奇偶性；
(2)根据阅读材料中图，若角为锐角，求证：．
21．(2023·全国·高一阶段练习）某圆台的侧面展开图为如图所示的扇环（实线部分），已知该扇环的面积为π，两段圆弧所在圆的半径分别为1和2.
(1)求扇环的圆心角的大小；
(2)求圆台的体积.
22．(2023·上海·高考真题）如图，矩形ABCD区域内，D处有一棵古树，为保护古树，以D为圆心，DA为半径划定圆D作为保护区域，已知m，m，点E为AB上的动点，点F为CD上的动点，满足EF与圆D相切.
(1)若∠ADE，求EF的长；
(2)当点E在AB的什么位置时，梯形FEBC的面积有最大值，最大面积为多少？
（长度精确到0.1m，面积精确到0.01m²）
专题5.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数（真题测试）
一、单选题
1．(2023·宁夏·银川一中模拟预测（文））已知点在角的终边上，且，则角的大小为（ ）．
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
分析：
根据给定条件，确定角的范围，再利用三角函数定义求解作答.
【详解】
依题意，点在第二象限，又，则，而，
所以.
故选：B
2．(2023·山东·高考真题（文））点(a,9)在函数y=3x的图象上，则tan的值为（ ）
A．0B．C．1D．
答案：D
【解析】
【详解】
将（a，9）代入到y=3x中，得3a=9，
解得a=2．
∴=．
故选D．
3．（2007·北京·高考真题（理））已知，那么角是（ ）
A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角
C．第三或第四象限角D．第一或第四象限角
答案：C
【解析】
分析：
【详解】
∵，
∴ 当csθ<0，tanθ>0时，θ∈第三象限；当csθ>0，tanθ<0时，θ∈第四象限，
故选C．
4．(2023·全国·高考真题（文））若，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
【详解】
试题分析：由，可得：同正或同负，即可排除A和B，又由，故.
5．(2023·全国·高考真题（文））已知角的终边经过点，则=（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
【详解】
试题分析：由题意可知x=-4，y=3，r=5，所以.故选D.
6．(2023·上海·高考真题（文））已知点 的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的纵坐标为（ ）.
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】
【详解】
试题分析：由题意，设OA与x轴所成的角为，显然，，故，故纵坐标为
7．（2023·山东·高考真题）下列命题为真命题的是（ ）
A．且B．或
C．，D．，
答案：D
【解析】
分析：
本题可通过、、、、得出结果.
【详解】
A项：因为，所以且是假命题，A错误；
B项：根据、易知B错误；
C项：由余弦函数性质易知，C错误；
D项：恒大于等于，D正确，
故选：D.
8．（2023·北京·高考真题）2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（ Day）．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形（各边均与圆相切的正边形）的周长，将它们的算术平均数作为的近似值．按照阿尔·卡西的方法，的近似值的表达式是（ ）．
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】
分析：
计算出单位圆内接正边形和外切正边形的周长，利用它们的算术平均数作为的近似值可得出结果.
【详解】
单位圆内接正边形的每条边所对应的圆心角为，每条边长为 ，
所以，单位圆的内接正边形的周长为，
单位圆的外切正边形的每条边长为，其周长为，
，
则.
故选：A.
二、多选题
9．(2023·江西·高一期中）已知角的终边与单位圆交于点，则的值可能是（ ）
A．B．C．D．
答案：AC
【解析】
分析：
利用三角函数的定义直接求解.
【详解】
由题意可得，解得．
当时，；
当时，．
故A，C正确，B，D错误．
故选：AC
10．(2023·辽宁·建平县实验中学高一期中）已知点在第一象限，则在内的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：AB
【解析】
分析：
由题知位于第一象限或者第三象限，且满足，再分别讨论求解即可.
【详解】
解：因为点在第一象限，
所以，即位于第一象限或者第三象限且，且满足，
所以，当位于第一象限时，时，；
当位于第三象限时，时，.
故选：AB
11．(2023·浙江·平湖市当湖高级中学高二阶段练习）在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点，则下列各式的值一定为负的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：CD
【解析】
分析：
首先确定在第二象限，得到，即得解.
【详解】
解：因为角终边经过点，所以在第二象限，
所以，
如果，所以，所以选项A不满足题意；
；；，故CD正确.
故选：CD
12．(2023·云南·会泽县实验高级中学校高一开学考试）已知扇形的半径为，弧长为，若其周长为4，则下列说法正确的是（ ）
A．若该扇形的半径为1，则该扇形的面积为1
B．该扇形面积的最大值为1
C．当该扇形面积最大时，其圆心角为2
D．的最小值为3
答案：ABC
【解析】
分析：
对于A：直接利用扇形的面积公式即可求得；
对于B：表示出扇形的面积，利用基本不等式求出最值;
对于C：直接求出面积最大时的圆心角；
对于D.利用基本不等式中“1”的妙用，求出最小值，即可判断.
【详解】
对于A：因为r=1,周长为l+2r=4，所以l=4-2r=2，所以扇形的面积为,故A正确；
对于B：由已知l+2r=4，所以l=4-2r，又扇形的面积为，
（当且仅当，即时取得最大值）.故B正确;
对于C：当扇形面积为最大时，由对上面选项B分析可知且时,面积最大,圆心角.故C正确；
对于D.因为，所以，
所以（当且仅当，即时等号成立）.故D错误.
故选：ABC
三、填空题
13．（2023·山东·高考真题）已知，若，则______.
答案：
【解析】
分析：
根据反三角函数的定义即可求解.
【详解】
因为，，
所以，
故答案为：.
14．（2023·浙江·高考真题）已知圆锥的侧面积（单位：） 为2π，且它的侧面积展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：）是_______．
答案：
【解析】
分析：
利用题目所给圆锥侧面展开图的条件列方程组，由此求得底面半径.
【详解】
设圆锥底面半径为，母线长为，则
，解得.
故答案为：
15．(2023·江西·高考真题（文））已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若是角终边上一点，且，则y=_______.
答案：－8
【解析】
【详解】
答案：－8. 解析：根据正弦值为负数，判断角在第三、四象限，再加上横坐标为正，断定该 角为第四象限角．
16．(2023·北京·高考真题（理））如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动．设顶点p（x，y）的轨迹方程是，则的最小正周期为 ；在其两个相邻零点间的图像与x轴所围区域的面积为 ．
说明：“正方形PABC沿轴滚动”包括沿轴正方向和沿轴负方向滚动．沿轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正方形PABC可以沿轴负方向滚动．
答案：
【解析】
【详解】
分析：
试题分析：从某一个顶点（比如A）落在x轴上的时候开始计算，到下一次A点落在x轴上，这个过程中四个顶点依次落在了x轴上，而每两个顶点间距离为正方形的边长1，因此该函数的周期为4．
下面考察P点的运动轨迹，不妨考察正方形向右滚动， P点从x轴上开始运动的时候，首先是围绕A点运动个圆，该圆半径为1，然后以B点为中心，滚动到C点落地，其间是以BP为半径，旋转90°，然后以C为圆心，再旋转90°，这时候以CP为半径，因此最终构成图象如下：
所以
四、解答题
17．（2023·全国·高一课时练习）（1）如果，，则是第几象限角．
（2）若，则是第几象限角．
（3）若与异号，则是第几象限角．
（4）若与同号，则是第几象限角．
答案：（1）第一象限角；（2）第二或第三象限角；（3）第二或第四象限角；（4）第一或第二象限角.
【解析】
分析：
由三角函数在各象限内的符号可确定结果.
【详解】
（1），，，由知：为第一象限角；
（2），，是第二或第三象限角；
（3）与异号，即或，是第二或第四象限角；
（4）与同号，即或，是第一或第二象限角.
18．（2023·江苏·高一专题练习）已知角的终边经过点，求的值.
答案：或．
【解析】
分析：
先求点到原点的距离，再利用定义求，，应注意分类讨论．
【详解】
，
当时，，，，；
当时，，，，．
综上可知，的值为或.
19．（2023·全国·高一专题练习）如图所示，滚珠，同时从点出发沿圆形轨道匀速运动，滚珠按逆时针方向每秒钟转弧度，滚珠按顺时针方向每秒钟转弧度，相遇后发生碰撞，各自按照原来的速度大小反向运动．
(1)求滚珠，第一次相遇时所用的时间及相遇点的坐标；
(2)求从出发到第二次相遇滚珠，各自滚动的路程．
答案：(1)时间为4秒，
(2)点滚动的路程为，点滚动的路程为．
【解析】
分析：
（1）设、第一次相遇时所用的时间是，列出方程，求出t，再求出相遇点的坐标；（2）再第一问的基础上，代入弧长公式即可求解.
(1)
设、第一次相遇时所用的时间是，
则，
（秒，即第一次相遇的时间为4秒．
设第一次相遇点为，则，，
点的坐标为，
(2)
第一次相遇时，点滚动的路程为，点滚动的路程为，故第二次相遇时，点滚动的路程为，点滚动的路程为．
20．（2023·江苏·高一专题练习（文））阅读与探究
人教版普通高中课程标准实验教科书数学必修在第一章的小结中写道：将角放在直角坐标系中讨论不但使角的表示有了统一的方法，而且使我们能够借助直角坐标系中的单位圆，建立角的变化与单位圆上点的变化之间的对应关系，从而用单位圆上点的纵坐标、横坐标来表示圆心角的正弦函数、余弦函数因此，正弦函数、余弦函数的基本性质与圆的几何性质主要是对称性之间存在着非常紧密的联系例如，和单位圆相关的“勾股定理”与同角三角函数的基本关系有内在的一致性；单位圆周长为与正弦函数、余弦函数的周期为是一致的；圆的各种对称性与三角函数的奇偶性、诱导公式等也是一致的等等因此，三角函数的研究过程能够很好地体现数形结合思想．
下而我们再从图形角度认识一下三角函数.如图，角a的终边与单位圆交于点P.过点P作x轴的重线，重足为M.根据三角函数定义.我们有：
如图.过点A(1，0)作单位圆的切线.这条切线必然平行于y轴(为什么?)，设它与a的终边(当a为第一、四象限角时)或其反向延长线(当a为第二、三象限角时)相交于点T.根据正切函数的定义与相似三角形的知识，借助有向线段OA，AT.我们有.我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP、OM、AT，分别叫做角a的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.单位圆中的三商品数线是数形结合的有效工具，借助它，不但可以画出准确的三角函数图象，还可以讨论三角函数的性质.
依据上述材料，利用正切线可以讨论研究得出正切函数的性质．比如：由图可知，角的终边落在四个象限时均存在正切线；角的终边落在轴上时，其正切线缩为一个点，值为；角的终边落在轴上时，其正切线不存在；所以正切函数的定义域是．
(1)请利用单位圆中的正切线研究得出正切函数的单调性和奇偶性；
(2)根据阅读材料中图，若角为锐角，求证：．
答案：(1)在区间上单调递增；奇函数
(2)证明见解析
【解析】
分析：
（1）在单位圆中画出角的正切线，观察随增大正切线的值得变化情况，再观察时，正切线的值随增大时的变化情况，发现正切函数在区间上单调递增，且为奇函数；
（2）当为锐角时，在单位圆中作出它的正弦线，正切线，根据图形判断出，即可证明
(1)
当时，增大时正切线的值越来越大；
当时，正切线与区间上的情况完全一样；
随着角的终边不停旋转，正切线不停重复出现，
故可得出正切函数在区间上单调递增；
由题意知正切函数的定义域关于原点对称，
在坐标系中画出角和，它们的终边关于轴对称，
在单位圆中作出它们的正切线，
可以发现它们的正切线长度相等，方向相反，
即，得出正切函数为奇函数．
(2)
如图，当为锐角时，在单位圆中作出它的正弦线，正切线，
又因为，所以，
又，，
，
而，
故，即.
21．(2023·全国·高一阶段练习）某圆台的侧面展开图为如图所示的扇环（实线部分），已知该扇环的面积为π，两段圆弧所在圆的半径分别为1和2.
(1)求扇环的圆心角的大小；
(2)求圆台的体积.
答案：(1)
(2)
【解析】
分析：
（1）根据扇环的面积等于大扇形的面积减去小扇形的面积，结合扇形的面积公式，即可得出答案；
（2）分别求出圆台的上底面半径r和下底面半径R，及高h，再根据圆台的体积公式即可得出答案.
(1)
解：由题意知扇环的面积，
得；
(2)
解：设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，
由，可得，
由，得，
又∵圆台的母线长为1，
∴，
∴圆台的体积为.
22．(2023·上海·高考真题）如图，矩形ABCD区域内，D处有一棵古树，为保护古树，以D为圆心，DA为半径划定圆D作为保护区域，已知m，m，点E为AB上的动点，点F为CD上的动点，满足EF与圆D相切.
(1)若∠ADE，求EF的长；
(2)当点E在AB的什么位置时，梯形FEBC的面积有最大值，最大面积为多少？
（长度精确到0.1m，面积精确到0.01m²）
答案：(1)23.3m
(2)当时，梯形FEBC的面积有最大值,最大值为
【解析】
分析：
（1）设EF与圆D相切于对点，连接，则，，在直角和直角中分别求出,从而得出答案.
（2）先求出梯形的面积的最小值，从而得出梯形FEBC的面积的最大值.
(1)
设EF与圆D相切于对点，连接，则，
则，所以直角与直角全等
所以
在直角中，

在直角中，

(2)
设,，则，



所以梯形的面积为
当且当，即时取得等号，此时
即当时，梯形的面积取得最小值
则此时梯形FEBC的面积有最大值
所以当时，梯形FEBC的面积有最大值,最大值为