高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题5.1任意角和弧度制及任意角的三角函数(知识点讲解)(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题5.1任意角和弧度制及任意角的三角函数(知识点讲解)(原卷版+解析)，共18页。


【核心素养】
1．将象限角及终边相同的角综合考查，凸显数学抽象、直观想象和数学运算的核心素养．
2．结合方程、基本不等式、二次函数的最值及弧度制的应用考查弧长公式、面积公式及最值问题，凸显直观想象、数学运算的核心素养．
3．将三角函数的定义、三角函数符号的判断综合考查，凸显数学抽象、直观想象、数学运算的核心素养．
【知识点展示】
1．角的概念的推广
(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
(2)分类eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(按旋转方向不同分为正角、负角、零角.,按终边位置不同分为象限角和轴线角.))
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
提醒：终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.
(2)公式：
提醒：有关角度与弧度的两个注意点
(1)角度与弧度的换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．
(2)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
3．任意角的三角函数
(1)定义
设角α终边与单位圆交于P(x，y)，则sin α＝y，cs α＝x，tan α＝eq \f (y,x)(x≠0)．
拓展：任意角的三角函数的定义(推广)
设P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，
则sin α＝eq \f (y,r)，cs α＝eq \f (x,r)，tan α＝eq \f (y,x)(x≠0)．
(2)三角函数值在各象限内符号为正的口诀
一全正，二正弦，三正切，四余弦．
(3)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．
【常考题型剖析】
题型一：象限角及终边相同的角
例1.（2023·山东·高考真题）终边在轴的正半轴上的角的集合是（ ）
A．B．
C．D．
【方法技巧】
象限角的两种判断方法
(1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角．
(2)转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．
例2．若是第三象限的角, 则是 （ ）
A. 第一或第二象限的角 B. 第一或第三象限的角 C. 第二或第三象限的角 D. 第二或第四象限的角
例3.终边在直线上的角的集合是 .
【总结提升】
1.象限角与轴线角(终边在坐标轴上的角)的集合表示
(1)象限角：
(2)轴线角：
2.利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角．
题型二：弧度制、扇形的弧长及面积公式
例4.(2023·全国·高考真题（理））沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（ ）
A．B．C．D．
例5.（2023·海南·高考真题）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=，，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．
例6.（2023·江苏·高一课时练习）一扇形的周长为20cm，当扇形的半径和圆心角各取何值时，这个扇形的面积最大？并求此扇形的最大面积．
【总结提升】
应用弧度制解决问题的方法
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度；
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决；
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
题型三：三角函数的定义及其应用
例7．（2023·全国·高考真题（理））若α为第四象限角，则（ ）
A．cs2α>0B．cs2α<0C．sin2α>0D．sin2α<0
例8．(2023·北京·高考真题（文））在平面直角坐标系中，是圆上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以O?为始边，OP为终边，若，则P所在的圆弧是（ ）
A．B．
C．D．
例9．(2023·全国·高考真题（文））已知角的终边经过点，则=（ ）
A．B．C．D．
例10.（2023·北京·高考真题）若点关于轴对称点为，写出的一个取值为_ __．
例11.(2023·广西·桂林市第十九中学高一期中）已知点是角终边上一点，且，则__________．
例12．(2023·贵州·遵义四中高一期中）如图，在平面直角坐标系中，设角，的终边分别与单位圆交于，两点，且原点为单位圆的圆心．设角的终边绕点逆时针旋转后与单位圆交于点．
(1)求点的坐标；
(2)记，求证：．
【总结提升】
1.三角函数的定义中常见的三种题型及解决方法
(1)已知角α的终边上的一点P的坐标，求角α的三角函数值．
方法：先求出点P到原点的距离，再利用三角函数的定义求解．
(2)已知角α的一个三角函数值和终边上一点P的横坐标或纵坐标，求与角α有关的三角函数值．
方法：先求出点P到原点的距离(带参数)，根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题．
(3)已知角α的终边所在的直线方程(y＝kx，k≠0)，求角α的三角函数值．
方法：先设出终边上一点P(a，ka)，a≠0，求出点P到原点的距离(注意a的符号，对a分类讨论)，再利用三角函数的定义求解．
2. 已知一角的三角函数值sinα，csα，tanα)中任意两个的符号，可分别确定出角的终边所在的可能位置，二者的交集即为该角终边的位置，注意终边在坐标轴上的特殊情况．
3.三角函数线可帮助比较三角函数值的大小.
角α的弧度数公式
|α|＝eq \f (l,r)(弧长用l表示)
角度与弧度的换算
①1°＝eq \f (π,180) rad；②1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (180,π)))eq \s\up12(°)
弧长公式
弧长l＝|α|r
扇形面积公式
S＝eq \f (1,2)lr＝eq \f (1,2)|α|r2
象限角
集合表示
第一象限角
{α|k·360°<α第二象限角
{α|k·360°＋90°<α第三象限角
{α|k·360°＋180°<α第四象限角
{α|k·360°＋270°<α角的终边的位置
集合表示
终边落在x轴的非负半轴上
{α|α＝k·360°，k∈Z}
终边落在x轴的非正半轴上
{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}
终边落在y轴的非负半轴上
{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}
终边落在y轴的非正半轴上
{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}
终边落在y轴上
{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}
终边落在x轴上
{α|α＝k·180°，k∈Z}
终边落在坐标轴上
{α|α＝k·90°，k∈Z}
专题5.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数（知识点讲解）
【知识框架】

【核心素养】
1．将象限角及终边相同的角综合考查，凸显数学抽象、直观想象和数学运算的核心素养．
2．结合方程、基本不等式、二次函数的最值及弧度制的应用考查弧长公式、面积公式及最值问题，凸显直观想象、数学运算的核心素养．
3．将三角函数的定义、三角函数符号的判断综合考查，凸显数学抽象、直观想象、数学运算的核心素养．
【知识点展示】
1．角的概念的推广
(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
(2)分类eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(按旋转方向不同分为正角、负角、零角.,按终边位置不同分为象限角和轴线角.))
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
提醒：终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.
(2)公式：
提醒：有关角度与弧度的两个注意点
(1)角度与弧度的换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．
(2)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
3．任意角的三角函数
(1)定义
设角α终边与单位圆交于P(x，y)，则sin α＝y，cs α＝x，tan α＝eq \f (y,x)(x≠0)．
拓展：任意角的三角函数的定义(推广)
设P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，
则sin α＝eq \f (y,r)，cs α＝eq \f (x,r)，tan α＝eq \f (y,x)(x≠0)．
(2)三角函数值在各象限内符号为正的口诀
一全正，二正弦，三正切，四余弦．
(3)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．
【常考题型剖析】
题型一：象限角及终边相同的角
例1.（2023·山东·高考真题）终边在轴的正半轴上的角的集合是（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
分析：
利用终边落在坐标轴上角的表示方法即可求解
【详解】
终边在轴正半轴上的角的集合是
故选：A
【方法技巧】
象限角的两种判断方法
(1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角．
(2)转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．
例2．若是第三象限的角, 则是 （ ）
A. 第一或第二象限的角 B. 第一或第三象限的角 C. 第二或第三象限的角 D. 第二或第四象限的角
答案：B
【解析】是第三象限角， ， ， ，故当为偶数时， 是第一象限角；故当为奇数时， 是第三象限角，故选B.
例3.终边在直线上的角的集合是 .
答案：
【解析】终边在直线y＝eq \r(3)x上且在第一象限的角为α＝2kπ＋eq \f (π,3)(k∈Z)，终边在直线y＝eq \r(3)x上且在第三象限的角为β＝2kπ＋π＋eq \f (π,3)＝(2k＋1)π＋eq \f (π,3)(k∈Z)．
则终边在直线y＝eq \r(3)x上的角的集合为
【总结提升】
1.象限角与轴线角(终边在坐标轴上的角)的集合表示
(1)象限角：
(2)轴线角：
2.利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角．
题型二：弧度制、扇形的弧长及面积公式
例4.(2023·全国·高考真题（理））沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
分析：
连接，分别求出，再根据题中公式即可得出答案.
【详解】
解：如图，连接，
因为是的中点，
所以，
又，所以三点共线，
即，
又，
所以，
则，故，
所以.
故选：B.
例5.（2023·海南·高考真题）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=，，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．
答案：
【解析】
分析：
利用求出圆弧所在圆的半径，结合扇形的面积公式求出扇形的面积，求出直角的面积，阴影部分的面积可通过两者的面积之和减去半个单位圆的面积求得.
【详解】
设，由题意，，所以，
因为,所以，
因为，所以，
因为与圆弧相切于点，所以，
即为等腰直角三角形；
在直角中，，，
因为，所以，
解得；
等腰直角的面积为；
扇形的面积，
所以阴影部分的面积为.
故答案为：.
例6.（2023·江苏·高一课时练习）一扇形的周长为20cm，当扇形的半径和圆心角各取何值时，这个扇形的面积最大？并求此扇形的最大面积．
答案：当扇形的半径为5cm和圆心角为2rad时，扇形的面积最大，最大值为25cm2．
分析：
设扇形的半径为r，弧长为l，可得，然后可求出答案.
【详解】
设扇形的半径为r，弧长为l，则l＋2r＝20，即l＝20－2r，从而可得0又
当r＝5时，S有最大值25，此时l＝20－2×5＝10，圆心角．
答：当扇形的半径为5cm和圆心角为2rad时，扇形的面积最大，最大值为25cm2．
【总结提升】
应用弧度制解决问题的方法
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度；
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决；
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
题型三：三角函数的定义及其应用
例7．（2023·全国·高考真题（理））若α为第四象限角，则（ ）
A．cs2α>0B．cs2α<0C．sin2α>0D．sin2α<0
答案：D
【解析】
分析：
由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可.
【详解】
方法一：由α为第四象限角，可得，
所以
此时的终边落在第三、四象限及轴的非正半轴上，所以
故选：D.
方法二：当时，，选项B错误；
当时，，选项A错误；
由在第四象限可得：，则，选项C错误，选项D正确；
故选：D.
例8．(2023·北京·高考真题（文））在平面直角坐标系中，是圆上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以O?为始边，OP为终边，若，则P所在的圆弧是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】
【详解】
分析：逐个分析A、B、C、D四个选项，利用三角函数的三角函数线可得正确结论.
详解：由下图可得：有向线段为余弦线，有向线段为正弦线，有向线段为正切线.
A选项：当点在上时，，
，故A选项错误；
B选项：当点在上时，，，
，故B选项错误；
C选项：当点在上时，，，
，故C选项正确；
D选项：点在上且在第三象限，，故D选项错误.
综上，故选C.
点睛：此题考查三角函数的定义，解题的关键是能够利用数形结合思想，作出图形，找到所对应的三角函数线进行比较.
例9．(2023·全国·高考真题（文））已知角的终边经过点，则=（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
【详解】
试题分析：由题意可知x=-4，y=3，r=5，所以.故选D.
例10.（2023·北京·高考真题）若点关于轴对称点为，写出的一个取值为_ __．
答案：（满足即可）
【解析】
分析：
根据在单位圆上，可得关于轴对称，得出求解.
【详解】
与关于轴对称，
即关于轴对称，
，
则，
当时，可取的一个值为.
故答案为：（满足即可）.
例11.(2023·广西·桂林市第十九中学高一期中）已知点是角终边上一点，且，则__________．
答案：##
【解析】
分析：
解方程即得解.
【详解】
解：是角终边上的一点，
到原点的距离为，
，
.
故答案为：
例12．(2023·贵州·遵义四中高一期中）如图，在平面直角坐标系中，设角，的终边分别与单位圆交于，两点，且原点为单位圆的圆心．设角的终边绕点逆时针旋转后与单位圆交于点．
(1)求点的坐标；
(2)记，求证：．
答案：(1)；
(2)证明见解析.
【解析】
分析：
（1）由题设对应角为，应用诱导公式求出的坐标.
（2）应用几何法，作，轴，轴于，轴，根据线段间的关系证明结论.
(1)
由题设，而角终边绕逆时针旋转后与单位圆交于，
所以，即.
(2)
如下图，，轴，轴于，轴，而，
所以，则，
且，则，
又，且，
所以，得证.
【总结提升】
1.三角函数的定义中常见的三种题型及解决方法
(1)已知角α的终边上的一点P的坐标，求角α的三角函数值．
方法：先求出点P到原点的距离，再利用三角函数的定义求解．
(2)已知角α的一个三角函数值和终边上一点P的横坐标或纵坐标，求与角α有关的三角函数值．
方法：先求出点P到原点的距离(带参数)，根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题．
(3)已知角α的终边所在的直线方程(y＝kx，k≠0)，求角α的三角函数值．
方法：先设出终边上一点P(a，ka)，a≠0，求出点P到原点的距离(注意a的符号，对a分类讨论)，再利用三角函数的定义求解．
2. 已知一角的三角函数值sinα，csα，tanα)中任意两个的符号，可分别确定出角的终边所在的可能位置，二者的交集即为该角终边的位置，注意终边在坐标轴上的特殊情况．
3.三角函数线可帮助比较三角函数值的大小.角α的弧度数公式
|α|＝eq \f (l,r)(弧长用l表示)
角度与弧度的换算
①1°＝eq \f (π,180) rad；②1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (180,π)))eq \s\up12(°)
弧长公式
弧长l＝|α|r
扇形面积公式
S＝eq \f (1,2)lr＝eq \f (1,2)|α|r2
象限角
集合表示
第一象限角
{α|k·360°<α第二象限角
{α|k·360°＋90°<α第三象限角
{α|k·360°＋180°<α第四象限角
{α|k·360°＋270°<α角的终边的位置
集合表示
终边落在x轴的非负半轴上
{α|α＝k·360°，k∈Z}
终边落在x轴的非正半轴上
{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}
终边落在y轴的非负半轴上
{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}
终边落在y轴的非正半轴上
{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}
终边落在y轴上
{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}
终边落在x轴上
{α|α＝k·180°，k∈Z}
终边落在坐标轴上
{α|α＝k·90°，k∈Z}