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高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题6.1平面向量的概念及其运算(知识点讲解)(原卷版+解析)
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这是一份高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题6.1平面向量的概念及其运算(知识点讲解)(原卷版+解析)，共25页。
【核心素养】
1.结合平面向量的有关概念，考查对向量特性的理解，凸显数学抽象的核心素养．
2．结合向量的线性运算，考查用向量刻画平面图形的能力，凸显逻辑推理的核心素养．
3．结合向量的线性运算的几何意义，考查数形结合的思想，凸显直观想象的核心素养．
4.与向量线性运算相结合，考查共线向量定理及其应用，凸显数学建模的核心素养．
5.与向量线性运算相结合，考查数量积、向量的夹角、模的计算，凸显数学运算、直观想象的核心素养．
6．以平面图形为载体，考查向量数量积的应用，凸显数学运算、数学建模、直观想象的核心素养．
【知识点展示】
（一）平面向量的概念
1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．
2．零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的．
3．单位向量：长度等于1个单位的向量．
4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．
5．相等向量：长度相等且方向相同的向量．
6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．
（二）平面向量的线性运算
（三）共线向量定理
1.共线向量定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.
提醒：当a≠0时，定理中的实数λ才唯一，否则不唯一．
2.平面向量共线定理的三个应用
（四）两个向量的夹角
1．定义
已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．
2．范围
向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°a与b同向时，夹角θ＝0°；a与b反向时，夹角θ＝180°.
3．向量垂直
如果向量a与b的夹角是90°，则a与b垂直，记作a⊥b.
（五）平面向量的数量积
规定0·a＝0.
（六）数量积的运算律
1．交换律：a·b＝b·a.
2．分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
3．对λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)．
（七）向量数量积的性质
1．如果e是单位向量，则a·e＝e·a.
2．a⊥ba·b＝0.
3．a·a＝|a|2，.
4．cs θ＝.(θ为a与b的夹角)
5．|a·b|≤|a||b|.
【常考题型剖析】
题型一：平面向量的有关概念
例1.（2008·宁夏·高考真题（理））平面向量，共线的充要条件是( )
A．，方向相同
B．，两向量中至少有一个为零向量
C．，
D．存在不全为零的实数，，
例2．(2023·安徽·模拟预测（理））给出下列命题：
①若同向，则有；
②与表示的意义相同；
③若不共线，则有；
④恒成立；
⑤对任意两个向量，总有；
⑥若三向量满足，则此三向量围成一个三角形．
其中正确的命题是__________填序号
【易错提醒】
有关平面向量概念的注意点
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．
(4)非零向量a与eq \f(a,|a|)的关系：eq \f(a,|a|)是与a同方向的单位向量，－eq \f(a,|a|)是与a反方向的单位向量．
(5)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小．
(6)两平行向量有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件．
题型二：平面向量的线性运算
例3.(2023·全国·高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A．B．C．D．
例4.（2023·海南·高考真题）在中，D是AB边上的中点，则=（ ）
A．B．C．D．
例5.(2023·全国·高考真题（文））在△中，为边上的中线，为的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
例6. (2023·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知在中， ，，，则（ ）
A．B．C．D．1
【规律方法】
1.平面向量的线性运算技巧
(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．
(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．
2．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路
(1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．
(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式．
(3)比较、观察可知所求．
【特别提醒】
关于平面向量的线性运算的考查，命题角度主要有两个：一是平面向量的线性运算，二是利用向量线性运算求参数.解题过程中应注意：
①常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．
②找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．
题型三：共线向量定理及其应用
例7. (2023·内蒙古·包钢一中一模（文））已知向量，是两个不共线的向量，与共线，则（ ）
A．2B．C．D．
例8．（2023·全国·高三专题练习（文））如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，.
(1)用表示；
(2)求证：B，E，F三点共线．
【总结提升】
求解向量共线问题的注意事项
(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．
(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．
(3)直线的向量式参数方程：A，P，B三点共线⇔eq \(OP,\s\up16(→))＝(1－t)·eq \(OA,\s\up16(→))＋teq \(OB,\s\up16(→))(O为平面内任一点，t∈R)．
题型四：平面向量数量积的运算
例9. (2023·全国·高考真题（理））已知向量满足，则（ ）
A．B．C．1D．2
例10. (2023·天津·高考真题（理））如图，在平面四边形ABCD中，
若点E为边CD上的动点，则的最小值为
A．B．C．D．
例11．（2023·浙江·高考真题）已知非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
例12．（2023·江苏高考真题）如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是_____.
【总结提升】
1.计算向量数量积的三种常用方法
(1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a·b＝|a||b|csθ(θ是a与b的夹角)．
(2)基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解．
(3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解．
2.总结提升：
（1）.公式a·b＝|a||b|cs与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式a·b＝|a||b|cs求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式a·b＝x1x2＋y1y2求解．
题型五：平面向量的模、夹角
例13.(2023·全国卷Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为( )
A．eq \f (π,6) B．eq \f (π,3) C．eq \f (2π,3) D．eq \f (5π,6)
例14.（2023·全国高考真题（理））已知向量 ，满足，，，则（ ）
A．B．C．D．
例15.（2023·全国高考真题（理））设为单位向量，且，则______________.
例16.（2023·天津·高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E．且交AC于点F,则的值为____________；的最小值为____________．
【总结提升】
1.求向量夹角问题的方法
(1)当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系；
(2)提醒：〈a，b〉∈[0，π]．数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0说明不共线的两向量的夹角为钝角．注意共线时，数量积为±1的特殊情况！
2．平面向量模问题的类型及求解方法
(1)求向量模的常用方法
①若向量a，b是以非坐标形式出现的，求向量a的模可应用公式|a|2＝a2＝a·a，或|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．
(2)求向量模的最值(范围)的方法
①代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解．
②几何法(数形结合法)：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．
题型六：两个向量垂直问题
例17．（2023·全国高考真题（文））已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（ ）
A．B．C． D．
例18．(2023·福州模拟)已知向量|eq \(OA,\s\up7(→))|＝3，|eq \(OB,\s\up7(→))|＝2，eq \(OC,\s\up7(→))＝meq \(OA,\s\up7(→))＋neq \(OB,\s\up7(→))，若eq \(OA,\s\up7(→))与eq \(OB,\s\up7(→))的夹角为60°，且eq \(OC,\s\up7(→))⊥eq \(AB,\s\up7(→))，则实数eq \f (m,n)的值为( )
A．eq \f (1,6) B．eq \f (1,4) C．6 D．4
例19．(2023·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知两非零向量，满足，且，则（ ）
A．8B．3C．2D．
例20．（2023·全国高考真题（理））已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________.
【规律方法】
1．利用坐标运算证明两个向量的垂直问题
若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．
2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值（涉及向量垂直问题为高频考点）
根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
三角形法则
平行四边形法则
①交换律：a＋b＝b＋a；
②结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差
三角形法则
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
①|λa|＝|λ||a|；
②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
λ(μ a)＝(λμ) a；
(λ＋μ)a＝λa＋μ a；
λ(a＋b)＝λa＋λb
定义
设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cs θ叫做a与b的数量积，记作a·b
投影
|a|cs θ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cs θ叫做向量b在a方向上的投影
几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cs θ的乘积
专题6.1 平面向量的概念及其运算（知识点讲解）
【知识框架】
【核心素养】
1.结合平面向量的有关概念，考查对向量特性的理解，凸显数学抽象的核心素养．
2．结合向量的线性运算，考查用向量刻画平面图形的能力，凸显逻辑推理的核心素养．
3．结合向量的线性运算的几何意义，考查数形结合的思想，凸显直观想象的核心素养．
4.与向量线性运算相结合，考查共线向量定理及其应用，凸显数学建模的核心素养．
5.与向量线性运算相结合，考查数量积、向量的夹角、模的计算，凸显数学运算、直观想象的核心素养．
6．以平面图形为载体，考查向量数量积的应用，凸显数学运算、数学建模、直观想象的核心素养．
【知识点展示】
（一）平面向量的概念
1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．
2．零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的．
3．单位向量：长度等于1个单位的向量．
4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．
5．相等向量：长度相等且方向相同的向量．
6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．
（二）平面向量的线性运算
（三）共线向量定理
1.共线向量定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.
提醒：当a≠0时，定理中的实数λ才唯一，否则不唯一．
2.平面向量共线定理的三个应用
（四）两个向量的夹角
1．定义
已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．
2．范围
向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°a与b同向时，夹角θ＝0°；a与b反向时，夹角θ＝180°.
3．向量垂直
如果向量a与b的夹角是90°，则a与b垂直，记作a⊥b.
（五）平面向量的数量积
规定0·a＝0.
（六）数量积的运算律
1．交换律：a·b＝b·a.
2．分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
3．对λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)．
（七）向量数量积的性质
1．如果e是单位向量，则a·e＝e·a.
2．a⊥ba·b＝0.
3．a·a＝|a|2，.
4．cs θ＝.(θ为a与b的夹角)
5．|a·b|≤|a||b|.
【常考题型剖析】
题型一：平面向量的有关概念
例1.（2008·宁夏·高考真题（理））平面向量，共线的充要条件是( )
A．，方向相同
B．，两向量中至少有一个为零向量
C．，
D．存在不全为零的实数，，
答案：D
【解析】
【详解】
若均为零向量，则显然符合题意，且存在不全为零的实数使得；
若，则由两向量共线知，存在，使得，即，符合题意，故选D.
例2．(2023·安徽·模拟预测（理））给出下列命题：
①若同向，则有；
②与表示的意义相同；
③若不共线，则有；
④恒成立；
⑤对任意两个向量，总有；
⑥若三向量满足，则此三向量围成一个三角形．
其中正确的命题是__________填序号
答案：①⑤
【解析】
分析：
根据向量的模、共线向量的基本概念以及向量加法的法则，逐一分析即可．
【详解】
对于①，若同向，则与同向，所以，故正确；
对于②，与前者表示向量，后者表示向量模的和，表示的意义不相同，故②不正确；
对于③，若不共线，则有，故③不正确；
对于④，若，则，故④不正确；
对于⑤，对任意两个向量，总有，故⑤正确；
对于⑥，若三向量满足，若中有零向量，则此三向量不能围成一个三角形，故⑥不正确．
故答案为：①⑤．
【易错提醒】
有关平面向量概念的注意点
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．
(4)非零向量a与eq \f(a,|a|)的关系：eq \f(a,|a|)是与a同方向的单位向量，－eq \f(a,|a|)是与a反方向的单位向量．
(5)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小．
(6)两平行向量有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件．
题型二：平面向量的线性运算
例3.(2023·全国·高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
分析：
根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．
【详解】
因为点D在边AB上，，所以，即，
所以．
故选：B．
例4.（2023·海南·高考真题）在中，D是AB边上的中点，则=（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
分析：
根据向量的加减法运算法则算出即可.
【详解】
故选：C
例5.(2023·全国·高考真题（文））在△中，为边上的中线，为的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】
分析：
分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.
【详解】
根据向量的运算法则，可得
，
所以，故选A.
例6. (2023·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知在中， ，，，则（ ）
A．B．C．D．1
答案：A
【解析】
分析：
根据，，得到，再根据求解.
【详解】
解：因为，
所以，
因为，
所以，
又，
所以，
又，
所以，
得．
故选：A
【规律方法】
1.平面向量的线性运算技巧
(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．
(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．
2．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路
(1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．
(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式．
(3)比较、观察可知所求．
【特别提醒】
关于平面向量的线性运算的考查，命题角度主要有两个：一是平面向量的线性运算，二是利用向量线性运算求参数.解题过程中应注意：
①常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．
②找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．
题型三：共线向量定理及其应用
例7. (2023·内蒙古·包钢一中一模（文））已知向量，是两个不共线的向量，与共线，则（ ）
A．2B．C．D．
答案：C
【解析】
分析：
根据向量共线的充要条件建立方程直接求解.
【详解】
因为与共线，所以，，
所以，
因为向量，是两个不共线的向量，所以，解得，
故选：C．
例8．（2023·全国·高三专题练习（文））如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，.
(1)用表示；
(2)求证：B，E，F三点共线．
答案：(1)，，，，
(2)证明见解析
【解析】
分析：
（1）根据平面向量的线性运算结合图像计算即可得解；
（2）利用平面向量共线定理证明，即可得证.
(1)
解：在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，
则，
故，
，
，
；
(2)
证明：因为，，
所以，
所以，
又因有公共点，
所以B，E，F三点共线．
【总结提升】
求解向量共线问题的注意事项
(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．
(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．
(3)直线的向量式参数方程：A，P，B三点共线⇔eq \(OP,\s\up16(→))＝(1－t)·eq \(OA,\s\up16(→))＋teq \(OB,\s\up16(→))(O为平面内任一点，t∈R)．
题型四：平面向量数量积的运算
例9. (2023·全国·高考真题（理））已知向量满足，则（ ）
A．B．C．1D．2
答案：C
【解析】
分析：
根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.
【详解】
解：∵，
又∵
∴9，
∴
故选：C.
例10. (2023·天津·高考真题（理））如图，在平面四边形ABCD中，
若点E为边CD上的动点，则的最小值为
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
【详解】
分析：由题意可得为等腰三角形，为等边三角形，把数量积分拆，设，数量积转化为关于t的函数，用函数可求得最小值。
详解：连接BD,取AD中点为O,可知为等腰三角形，而，所以为等边三角形，。设
=
所以当时，上式取最小值 ，选A.
例11．（2023·浙江·高考真题）已知非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
答案：B
分析：
考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.
【详解】
如图所示，,当时，与垂直，，所以成立，此时，
∴不是的充分条件，
当时，，∴,∴成立，
∴是的必要条件，
综上，“”是“”的必要不充分条件
故选：B.
例12．（2023·江苏高考真题）如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是_____.
答案：.
【解析】
如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC中点，知BF=FE=EA,AO=OD.
，
得即故.
【总结提升】
1.计算向量数量积的三种常用方法
(1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a·b＝|a||b|csθ(θ是a与b的夹角)．
(2)基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解．
(3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解．
2.总结提升：
（1）.公式a·b＝|a||b|cs与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式a·b＝|a||b|cs求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式a·b＝x1x2＋y1y2求解．
题型五：平面向量的模、夹角
例13.(2023·全国卷Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为( )
A．eq \f (π,6) B．eq \f (π,3) C．eq \f (2π,3) D．eq \f (5π,6)
答案：B
【解析】法一：因为(a－b)⊥b，所以(a－b)·b＝a·b－|b|2＝0，又因为|a|＝2|b|，所以2|b|2cs〈a，b〉－|b|2＝0，即cs〈a，b〉＝eq \f (1,2)，又知〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝eq \f (π,3)，故选B．
法二：如图，令eq \(OA,\s\up7(→))＝a，eq \(OB,\s\up7(→))＝b，则eq \(BA,\s\up7(→))＝eq \(OA,\s\up7(→))－eq \(OB,\s\up7(→))＝a－b，因为(a－b)⊥b，所以∠OBA＝90°，
又|a|＝2|b|，所以∠AOB＝eq \f (π,3)，即〈a，b〉＝eq \f (π,3).故选B．
例14.（2023·全国高考真题（理））已知向量 ，满足，，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
，，，.
，
因此，.
故选：D.
例15.（2023·全国高考真题（理））设为单位向量，且，则______________.
答案：
【解析】
因为为单位向量，所以
所以
解得：
所以
故答案为：
例16.（2023·天津·高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E．且交AC于点F,则的值为____________；的最小值为____________．
答案：1
分析：
设，由可求出；将化为关于的关系式即可求出最值.
【详解】
设，，为边长为1的等边三角形，，
，
，为边长为的等边三角形，，
，
，
，
所以当时，的最小值为.
故答案为：1；.
【总结提升】
1.求向量夹角问题的方法
(1)当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系；
(2)提醒：〈a，b〉∈[0，π]．数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0说明不共线的两向量的夹角为钝角．注意共线时，数量积为±1的特殊情况！
2．平面向量模问题的类型及求解方法
(1)求向量模的常用方法
①若向量a，b是以非坐标形式出现的，求向量a的模可应用公式|a|2＝a2＝a·a，或|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．
(2)求向量模的最值(范围)的方法
①代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解．
②几何法(数形结合法)：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．
题型六：两个向量垂直问题
例17．（2023·全国高考真题（文））已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（ ）
A．B．C． D．
答案：D
【解析】
由已知可得：.
A：因为，所以本选项不符合题意；
B：因为，所以本选项不符合题意；
C：因为，所以本选项不符合题意；
D：因为，所以本选项符合题意.
故选：D.
例18．(2023·福州模拟)已知向量|eq \(OA,\s\up7(→))|＝3，|eq \(OB,\s\up7(→))|＝2，eq \(OC,\s\up7(→))＝meq \(OA,\s\up7(→))＋neq \(OB,\s\up7(→))，若eq \(OA,\s\up7(→))与eq \(OB,\s\up7(→))的夹角为60°，且eq \(OC,\s\up7(→))⊥eq \(AB,\s\up7(→))，则实数eq \f (m,n)的值为( )
A．eq \f (1,6) B．eq \f (1,4) C．6 D．4
答案：A
【解析】因为向量|eq \(OA,\s\up7(→))|＝3，|eq \(OB,\s\up7(→))|＝2，eq \(OC,\s\up7(→))＝meq \(OA,\s\up7(→))＋neq \(OB,\s\up7(→))，eq \(OA,\s\up7(→))与eq \(OB,\s\up7(→))的夹角为60°，所以eq \(OA,\s\up7(→))·eq \(OB,\s\up7(→))＝3×2×cs 60°＝3，
所以eq \(AB,\s\up7(→))·eq \(OC,\s\up7(→))＝(eq \(OB,\s\up7(→))－eq \(OA,\s\up7(→)))·(meq \(OA,\s\up7(→))＋neq \(OB,\s\up7(→)))
＝(m－n)eq \(OA,\s\up7(→))·eq \(OB,\s\up7(→))－m|eq \(OA,\s\up7(→))|2＋n|eq \(OB,\s\up7(→))|2
＝3(m－n)－9m＋4n＝－6m＋n＝0，所以eq \f (m,n)＝eq \f (1,6)，故选A．
例19．(2023·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知两非零向量，满足，且，则（ ）
A．8B．3C．2D．
答案：A
【解析】
分析：
根据向量的垂直关系进行向量的数量积和向量的模的运算即可.
【详解】
两非零向量，满足，且，可得，.
故选：A
例20．（2023·全国高考真题（理））已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________.
答案：
【解析】
由题意可得：，
由向量垂直的充分必要条件可得：，
即：，解得：.
故答案为：．
【规律方法】
1．利用坐标运算证明两个向量的垂直问题
若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．
2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值（涉及向量垂直问题为高频考点）
根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
三角形法则
平行四边形法则
①交换律：a＋b＝b＋a；
②结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差
三角形法则
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
①|λa|＝|λ||a|；
②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
λ(μ a)＝(λμ) a；
(λ＋μ)a＝λa＋μ a；
λ(a＋b)＝λa＋λb
定义
设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cs θ叫做a与b的数量积，记作a·b
投影
|a|cs θ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cs θ叫做向量b在a方向上的投影
几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cs θ的乘积
【核心素养】
1.结合平面向量的有关概念，考查对向量特性的理解，凸显数学抽象的核心素养．
2．结合向量的线性运算，考查用向量刻画平面图形的能力，凸显逻辑推理的核心素养．
3．结合向量的线性运算的几何意义，考查数形结合的思想，凸显直观想象的核心素养．
4.与向量线性运算相结合，考查共线向量定理及其应用，凸显数学建模的核心素养．
5.与向量线性运算相结合，考查数量积、向量的夹角、模的计算，凸显数学运算、直观想象的核心素养．
6．以平面图形为载体，考查向量数量积的应用，凸显数学运算、数学建模、直观想象的核心素养．
【知识点展示】
（一）平面向量的概念
1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．
2．零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的．
3．单位向量：长度等于1个单位的向量．
4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．
5．相等向量：长度相等且方向相同的向量．
6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．
（二）平面向量的线性运算
（三）共线向量定理
1.共线向量定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.
提醒：当a≠0时，定理中的实数λ才唯一，否则不唯一．
2.平面向量共线定理的三个应用
（四）两个向量的夹角
1．定义
已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．
2．范围
向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°a与b同向时，夹角θ＝0°；a与b反向时，夹角θ＝180°.
3．向量垂直
如果向量a与b的夹角是90°，则a与b垂直，记作a⊥b.
（五）平面向量的数量积
规定0·a＝0.
（六）数量积的运算律
1．交换律：a·b＝b·a.
2．分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
3．对λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)．
（七）向量数量积的性质
1．如果e是单位向量，则a·e＝e·a.
2．a⊥ba·b＝0.
3．a·a＝|a|2，.
4．cs θ＝.(θ为a与b的夹角)
5．|a·b|≤|a||b|.
【常考题型剖析】
题型一：平面向量的有关概念
例1.（2008·宁夏·高考真题（理））平面向量，共线的充要条件是( )
A．，方向相同
B．，两向量中至少有一个为零向量
C．，
D．存在不全为零的实数，，
例2．(2023·安徽·模拟预测（理））给出下列命题：
①若同向，则有；
②与表示的意义相同；
③若不共线，则有；
④恒成立；
⑤对任意两个向量，总有；
⑥若三向量满足，则此三向量围成一个三角形．
其中正确的命题是__________填序号
【易错提醒】
有关平面向量概念的注意点
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．
(4)非零向量a与eq \f(a,|a|)的关系：eq \f(a,|a|)是与a同方向的单位向量，－eq \f(a,|a|)是与a反方向的单位向量．
(5)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小．
(6)两平行向量有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件．
题型二：平面向量的线性运算
例3.(2023·全国·高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A．B．C．D．
例4.（2023·海南·高考真题）在中，D是AB边上的中点，则=（ ）
A．B．C．D．
例5.(2023·全国·高考真题（文））在△中，为边上的中线，为的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
例6. (2023·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知在中， ，，，则（ ）
A．B．C．D．1
【规律方法】
1.平面向量的线性运算技巧
(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．
(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．
2．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路
(1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．
(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式．
(3)比较、观察可知所求．
【特别提醒】
关于平面向量的线性运算的考查，命题角度主要有两个：一是平面向量的线性运算，二是利用向量线性运算求参数.解题过程中应注意：
①常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．
②找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．
题型三：共线向量定理及其应用
例7. (2023·内蒙古·包钢一中一模（文））已知向量，是两个不共线的向量，与共线，则（ ）
A．2B．C．D．
例8．（2023·全国·高三专题练习（文））如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，.
(1)用表示；
(2)求证：B，E，F三点共线．
【总结提升】
求解向量共线问题的注意事项
(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．
(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．
(3)直线的向量式参数方程：A，P，B三点共线⇔eq \(OP,\s\up16(→))＝(1－t)·eq \(OA,\s\up16(→))＋teq \(OB,\s\up16(→))(O为平面内任一点，t∈R)．
题型四：平面向量数量积的运算
例9. (2023·全国·高考真题（理））已知向量满足，则（ ）
A．B．C．1D．2
例10. (2023·天津·高考真题（理））如图，在平面四边形ABCD中，
若点E为边CD上的动点，则的最小值为
A．B．C．D．
例11．（2023·浙江·高考真题）已知非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
例12．（2023·江苏高考真题）如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是_____.
【总结提升】
1.计算向量数量积的三种常用方法
(1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a·b＝|a||b|csθ(θ是a与b的夹角)．
(2)基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解．
(3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解．
2.总结提升：
（1）.公式a·b＝|a||b|cs
题型五：平面向量的模、夹角
例13.(2023·全国卷Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为( )
A．eq \f (π,6) B．eq \f (π,3) C．eq \f (2π,3) D．eq \f (5π,6)
例14.（2023·全国高考真题（理））已知向量 ，满足，，，则（ ）
A．B．C．D．
例15.（2023·全国高考真题（理））设为单位向量，且，则______________.
例16.（2023·天津·高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E．且交AC于点F,则的值为____________；的最小值为____________．
【总结提升】
1.求向量夹角问题的方法
(1)当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系；
(2)提醒：〈a，b〉∈[0，π]．数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0说明不共线的两向量的夹角为钝角．注意共线时，数量积为±1的特殊情况！
2．平面向量模问题的类型及求解方法
(1)求向量模的常用方法
①若向量a，b是以非坐标形式出现的，求向量a的模可应用公式|a|2＝a2＝a·a，或|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．
(2)求向量模的最值(范围)的方法
①代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解．
②几何法(数形结合法)：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．
题型六：两个向量垂直问题
例17．（2023·全国高考真题（文））已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（ ）
A．B．C． D．
例18．(2023·福州模拟)已知向量|eq \(OA,\s\up7(→))|＝3，|eq \(OB,\s\up7(→))|＝2，eq \(OC,\s\up7(→))＝meq \(OA,\s\up7(→))＋neq \(OB,\s\up7(→))，若eq \(OA,\s\up7(→))与eq \(OB,\s\up7(→))的夹角为60°，且eq \(OC,\s\up7(→))⊥eq \(AB,\s\up7(→))，则实数eq \f (m,n)的值为( )
A．eq \f (1,6) B．eq \f (1,4) C．6 D．4
例19．(2023·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知两非零向量，满足，且，则（ ）
A．8B．3C．2D．
例20．（2023·全国高考真题（理））已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________.
【规律方法】
1．利用坐标运算证明两个向量的垂直问题
若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．
2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值（涉及向量垂直问题为高频考点）
根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
三角形法则
平行四边形法则
①交换律：a＋b＝b＋a；
②结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差
三角形法则
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
①|λa|＝|λ||a|；
②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
λ(μ a)＝(λμ) a；
(λ＋μ)a＝λa＋μ a；
λ(a＋b)＝λa＋λb
定义
设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cs θ叫做a与b的数量积，记作a·b
投影
|a|cs θ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cs θ叫做向量b在a方向上的投影
几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cs θ的乘积
专题6.1 平面向量的概念及其运算（知识点讲解）
【知识框架】
【核心素养】
1.结合平面向量的有关概念，考查对向量特性的理解，凸显数学抽象的核心素养．
2．结合向量的线性运算，考查用向量刻画平面图形的能力，凸显逻辑推理的核心素养．
3．结合向量的线性运算的几何意义，考查数形结合的思想，凸显直观想象的核心素养．
4.与向量线性运算相结合，考查共线向量定理及其应用，凸显数学建模的核心素养．
5.与向量线性运算相结合，考查数量积、向量的夹角、模的计算，凸显数学运算、直观想象的核心素养．
6．以平面图形为载体，考查向量数量积的应用，凸显数学运算、数学建模、直观想象的核心素养．
【知识点展示】
（一）平面向量的概念
1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．
2．零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的．
3．单位向量：长度等于1个单位的向量．
4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．
5．相等向量：长度相等且方向相同的向量．
6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．
（二）平面向量的线性运算
（三）共线向量定理
1.共线向量定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.
提醒：当a≠0时，定理中的实数λ才唯一，否则不唯一．
2.平面向量共线定理的三个应用
（四）两个向量的夹角
1．定义
已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．
2．范围
向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°a与b同向时，夹角θ＝0°；a与b反向时，夹角θ＝180°.
3．向量垂直
如果向量a与b的夹角是90°，则a与b垂直，记作a⊥b.
（五）平面向量的数量积
规定0·a＝0.
（六）数量积的运算律
1．交换律：a·b＝b·a.
2．分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
3．对λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)．
（七）向量数量积的性质
1．如果e是单位向量，则a·e＝e·a.
2．a⊥ba·b＝0.
3．a·a＝|a|2，.
4．cs θ＝.(θ为a与b的夹角)
5．|a·b|≤|a||b|.
【常考题型剖析】
题型一：平面向量的有关概念
例1.（2008·宁夏·高考真题（理））平面向量，共线的充要条件是( )
A．，方向相同
B．，两向量中至少有一个为零向量
C．，
D．存在不全为零的实数，，
答案：D
【解析】
【详解】
若均为零向量，则显然符合题意，且存在不全为零的实数使得；
若，则由两向量共线知，存在，使得，即，符合题意，故选D.
例2．(2023·安徽·模拟预测（理））给出下列命题：
①若同向，则有；
②与表示的意义相同；
③若不共线，则有；
④恒成立；
⑤对任意两个向量，总有；
⑥若三向量满足，则此三向量围成一个三角形．
其中正确的命题是__________填序号
答案：①⑤
【解析】
分析：
根据向量的模、共线向量的基本概念以及向量加法的法则，逐一分析即可．
【详解】
对于①，若同向，则与同向，所以，故正确；
对于②，与前者表示向量，后者表示向量模的和，表示的意义不相同，故②不正确；
对于③，若不共线，则有，故③不正确；
对于④，若，则，故④不正确；
对于⑤，对任意两个向量，总有，故⑤正确；
对于⑥，若三向量满足，若中有零向量，则此三向量不能围成一个三角形，故⑥不正确．
故答案为：①⑤．
【易错提醒】
有关平面向量概念的注意点
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．
(4)非零向量a与eq \f(a,|a|)的关系：eq \f(a,|a|)是与a同方向的单位向量，－eq \f(a,|a|)是与a反方向的单位向量．
(5)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小．
(6)两平行向量有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件．
题型二：平面向量的线性运算
例3.(2023·全国·高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
分析：
根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．
【详解】
因为点D在边AB上，，所以，即，
所以．
故选：B．
例4.（2023·海南·高考真题）在中，D是AB边上的中点，则=（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
分析：
根据向量的加减法运算法则算出即可.
【详解】
故选：C
例5.(2023·全国·高考真题（文））在△中，为边上的中线，为的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】
分析：
分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.
【详解】
根据向量的运算法则，可得
，
所以，故选A.
例6. (2023·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知在中， ，，，则（ ）
A．B．C．D．1
答案：A
【解析】
分析：
根据，，得到，再根据求解.
【详解】
解：因为，
所以，
因为，
所以，
又，
所以，
又，
所以，
得．
故选：A
【规律方法】
1.平面向量的线性运算技巧
(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．
(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．
2．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路
(1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．
(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式．
(3)比较、观察可知所求．
【特别提醒】
关于平面向量的线性运算的考查，命题角度主要有两个：一是平面向量的线性运算，二是利用向量线性运算求参数.解题过程中应注意：
①常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．
②找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．
题型三：共线向量定理及其应用
例7. (2023·内蒙古·包钢一中一模（文））已知向量，是两个不共线的向量，与共线，则（ ）
A．2B．C．D．
答案：C
【解析】
分析：
根据向量共线的充要条件建立方程直接求解.
【详解】
因为与共线，所以，，
所以，
因为向量，是两个不共线的向量，所以，解得，
故选：C．
例8．（2023·全国·高三专题练习（文））如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，.
(1)用表示；
(2)求证：B，E，F三点共线．
答案：(1)，，，，
(2)证明见解析
【解析】
分析：
（1）根据平面向量的线性运算结合图像计算即可得解；
（2）利用平面向量共线定理证明，即可得证.
(1)
解：在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，
则，
故，
，
，
；
(2)
证明：因为，，
所以，
所以，
又因有公共点，
所以B，E，F三点共线．
【总结提升】
求解向量共线问题的注意事项
(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．
(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．
(3)直线的向量式参数方程：A，P，B三点共线⇔eq \(OP,\s\up16(→))＝(1－t)·eq \(OA,\s\up16(→))＋teq \(OB,\s\up16(→))(O为平面内任一点，t∈R)．
题型四：平面向量数量积的运算
例9. (2023·全国·高考真题（理））已知向量满足，则（ ）
A．B．C．1D．2
答案：C
【解析】
分析：
根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.
【详解】
解：∵，
又∵
∴9，
∴
故选：C.
例10. (2023·天津·高考真题（理））如图，在平面四边形ABCD中，
若点E为边CD上的动点，则的最小值为
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
【详解】
分析：由题意可得为等腰三角形，为等边三角形，把数量积分拆，设，数量积转化为关于t的函数，用函数可求得最小值。
详解：连接BD,取AD中点为O,可知为等腰三角形，而，所以为等边三角形，。设
=
所以当时，上式取最小值 ，选A.
例11．（2023·浙江·高考真题）已知非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
答案：B
分析：
考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.
【详解】
如图所示，,当时，与垂直，，所以成立，此时，
∴不是的充分条件，
当时，，∴,∴成立，
∴是的必要条件，
综上，“”是“”的必要不充分条件
故选：B.
例12．（2023·江苏高考真题）如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是_____.
答案：.
【解析】
如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC中点，知BF=FE=EA,AO=OD.
，
得即故.
【总结提升】
1.计算向量数量积的三种常用方法
(1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a·b＝|a||b|csθ(θ是a与b的夹角)．
(2)基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解．
(3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解．
2.总结提升：
（1）.公式a·b＝|a||b|cs
题型五：平面向量的模、夹角
例13.(2023·全国卷Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为( )
A．eq \f (π,6) B．eq \f (π,3) C．eq \f (2π,3) D．eq \f (5π,6)
答案：B
【解析】法一：因为(a－b)⊥b，所以(a－b)·b＝a·b－|b|2＝0，又因为|a|＝2|b|，所以2|b|2cs〈a，b〉－|b|2＝0，即cs〈a，b〉＝eq \f (1,2)，又知〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝eq \f (π,3)，故选B．
法二：如图，令eq \(OA,\s\up7(→))＝a，eq \(OB,\s\up7(→))＝b，则eq \(BA,\s\up7(→))＝eq \(OA,\s\up7(→))－eq \(OB,\s\up7(→))＝a－b，因为(a－b)⊥b，所以∠OBA＝90°，
又|a|＝2|b|，所以∠AOB＝eq \f (π,3)，即〈a，b〉＝eq \f (π,3).故选B．
例14.（2023·全国高考真题（理））已知向量 ，满足，，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
，，，.
，
因此，.
故选：D.
例15.（2023·全国高考真题（理））设为单位向量，且，则______________.
答案：
【解析】
因为为单位向量，所以
所以
解得：
所以
故答案为：
例16.（2023·天津·高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E．且交AC于点F,则的值为____________；的最小值为____________．
答案：1
分析：
设，由可求出；将化为关于的关系式即可求出最值.
【详解】
设，，为边长为1的等边三角形，，
，
，为边长为的等边三角形，，
，
，
，
所以当时，的最小值为.
故答案为：1；.
【总结提升】
1.求向量夹角问题的方法
(1)当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系；
(2)提醒：〈a，b〉∈[0，π]．数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0说明不共线的两向量的夹角为钝角．注意共线时，数量积为±1的特殊情况！
2．平面向量模问题的类型及求解方法
(1)求向量模的常用方法
①若向量a，b是以非坐标形式出现的，求向量a的模可应用公式|a|2＝a2＝a·a，或|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．
(2)求向量模的最值(范围)的方法
①代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解．
②几何法(数形结合法)：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．
题型六：两个向量垂直问题
例17．（2023·全国高考真题（文））已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（ ）
A．B．C． D．
答案：D
【解析】
由已知可得：.
A：因为，所以本选项不符合题意；
B：因为，所以本选项不符合题意；
C：因为，所以本选项不符合题意；
D：因为，所以本选项符合题意.
故选：D.
例18．(2023·福州模拟)已知向量|eq \(OA,\s\up7(→))|＝3，|eq \(OB,\s\up7(→))|＝2，eq \(OC,\s\up7(→))＝meq \(OA,\s\up7(→))＋neq \(OB,\s\up7(→))，若eq \(OA,\s\up7(→))与eq \(OB,\s\up7(→))的夹角为60°，且eq \(OC,\s\up7(→))⊥eq \(AB,\s\up7(→))，则实数eq \f (m,n)的值为( )
A．eq \f (1,6) B．eq \f (1,4) C．6 D．4
答案：A
【解析】因为向量|eq \(OA,\s\up7(→))|＝3，|eq \(OB,\s\up7(→))|＝2，eq \(OC,\s\up7(→))＝meq \(OA,\s\up7(→))＋neq \(OB,\s\up7(→))，eq \(OA,\s\up7(→))与eq \(OB,\s\up7(→))的夹角为60°，所以eq \(OA,\s\up7(→))·eq \(OB,\s\up7(→))＝3×2×cs 60°＝3，
所以eq \(AB,\s\up7(→))·eq \(OC,\s\up7(→))＝(eq \(OB,\s\up7(→))－eq \(OA,\s\up7(→)))·(meq \(OA,\s\up7(→))＋neq \(OB,\s\up7(→)))
＝(m－n)eq \(OA,\s\up7(→))·eq \(OB,\s\up7(→))－m|eq \(OA,\s\up7(→))|2＋n|eq \(OB,\s\up7(→))|2
＝3(m－n)－9m＋4n＝－6m＋n＝0，所以eq \f (m,n)＝eq \f (1,6)，故选A．
例19．(2023·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知两非零向量，满足，且，则（ ）
A．8B．3C．2D．
答案：A
【解析】
分析：
根据向量的垂直关系进行向量的数量积和向量的模的运算即可.
【详解】
两非零向量，满足，且，可得，.
故选：A
例20．（2023·全国高考真题（理））已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________.
答案：
【解析】
由题意可得：，
由向量垂直的充分必要条件可得：，
即：，解得：.
故答案为：．
【规律方法】
1．利用坐标运算证明两个向量的垂直问题
若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．
2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值（涉及向量垂直问题为高频考点）
根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
三角形法则
平行四边形法则
①交换律：a＋b＝b＋a；
②结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差
三角形法则
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
①|λa|＝|λ||a|；
②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
λ(μ a)＝(λμ) a；
(λ＋μ)a＝λa＋μ a；
λ(a＋b)＝λa＋λb
定义
设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cs θ叫做a与b的数量积，记作a·b
投影
|a|cs θ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cs θ叫做向量b在a方向上的投影
几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cs θ的乘积
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