高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题6.4正弦定理、余弦定理的应用(知识点讲解)(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题6.4正弦定理、余弦定理的应用(知识点讲解)(原卷版+解析)，共31页。

【核心素养】
以几何图形为载体，通过考查正弦定理、余弦定理的（实际）应用以及与立体几何、平面解析几何等知识的交汇，凸显直观想象、数学运算、数学建模、逻辑推理等核心数学素养.
【知识点展示】
（一）正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
（二）三角形常用面积公式
(1)S＝eq \f(1,2)a·ha(ha表示边a上的高)．
(2)S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)bcsin A.
(3)S＝eq \f(1,2)r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．
（三）测量中的几个有关术语
特别提醒：
涉及到角时，一定要弄清此角的始边和终边所在位置．如方位角135°的始边是指北方向线，始边顺时针方向旋转135°得到终边；方向角南偏西30°的始边是指南方向线，向西旋转30°得到终边．
（四）常用结论：
1．三角形内角和定理
在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：＝－.
2．三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cs(A＋B)＝－cs C；
(3)sin＝cs ；(4)cs＝sin .
3．三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcs C＋ccs B；b＝acs C＋ccs A；c＝bcs A＋acs B．
4．三角形中的大角对大边
在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B．
【常考题型剖析】
题型一：正弦定理
例1.（2023·山东·高考真题）在△中，，，，等于______．
例2．（2023·全国·高考真题（理））2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（ ）
A．346B．373C．446D．473
【总结提升】
已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．
已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．
已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a，b，A，则
题型二：余弦定理
例3. （2023·全国·高考真题（理））在△ABC中，csC=，AC=4，BC=3，则csB=（ ）
A．B．C．D．
例4.（2023·全国·高考真题（文））在中，已知，，，则（ ）
A．1B．C．D．3
【总结提升】
利用余弦定理及其推论解三角形的类型：
(1)已知三角形的三条边求三个角；
(2)已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角；
(3)已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形．
题型三：正弦定理与余弦定理的综合运用
例5.（2023·山东·高考真题）在中，内角，，的对边分别是，，，若，且 ，则等于（ ）
A．3B．C．3或D．-3或
例6.（2023·海南·高考真题）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【规律方法】
题型四：应用正弦定理、余弦定理判定三角形形状
例7.【多选题】(2023·江苏苏州·模拟预测）在中，，，，下列命题为真命题的有（ ）
A．若，则
B．若，则为锐角三角形
C．若，则为直角三角形
D．若，则为直角三角形
例8．（2023·全国·高考真题（文））△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A；
（2）若，证明：△ABC是直角三角形．
【规律方法】
1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁．
2．无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．注意挖掘隐含条件，重视角的范对三角函数值的限制．
题型五：与三角形面积有关的问题
例9.(2023·全国·高考真题（理））的内角的对边分别为，，，若的面积为，则( )
A．B．C．D．
例10．（2023·北京·高考真题）在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（Ⅰ）a的值：
（Ⅱ）和的面积．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【总结提升】
1.求三角形面积的方法
(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．
(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．
2．已知三角形面积求边、角的方法
(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解．
(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．
提醒：正弦定理、余弦定理与三角函数性质的综合应用中，要注意三角函数公式的工具性作用．
题型六：与三角形周长有关的问题
例11.(2023·全国·高考真题（理））记的内角的对边分别为，已知．
(1)证明：；
(2)若，求的周长．
例12.(2023·北京·高考真题）在中，．
(1)求；
(2)若，且的面积为，求的周长．
【总结提升】
应用正弦定理、余弦定理，建立边长的方程，是解答此类问题的基本方法，解答过程中，要注意整体代换思想的应用，如果遇到确定最值问题，往往要结合均值定理求解.
题型七：三角形中的最值与范围问题
例13.（2023·全国高考真题（文））的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
例14. (2023·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
【总结提升】
三角形中的最值范围问题，往往有三种情况，一是转化成三角函数的值域问题，利用三角函数的图象和性质；二是利用基本不等式求最值，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误；三是利用函数的单调性.
题型八：解三角形中的实际问题
例15.(2023·浙江·高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边，则该三角形的面积___________．
例16.（2023·河南·高三月考（文））据气象部门报道今年第14号台风“灿都”于9月12日起陆续影响我国东南沿海一带，13日5时，测定台风中心位于某市南偏东距离该市千米的位置，预计台风中心以千米/小时的速度向正北方向移动，离台风中心千米的范围都会受到台风影响，则该市从受到台风影响到影响结束，持续的时间为_______________________．
【总结提升】
1.测量距离问题，归纳起来常见的命题角度有：
（1）两点都不可到达；
（2）两点不相通的距离；
（3）两点间可视但有一点不可到达.
2. 求解高度问题的三个关注点
(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(在水平面上所成的角)是关键．
(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．
(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．
3. （1）测量角度问题的基本思路
测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．
提醒：方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角．
（2）解决角度问题的注意事项
= 1 \* GB3 ①测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义．
= 2 \* GB3 ②求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值．
= 3 \* GB3 ③在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．
题型九：平面解析几何中的解三角形问题
例17. (2023·上海普陀·二模）如图，动点在以为直径的半圆上（异于A，），，且，若，则的取值范围为__________.
例18.(2023·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知，是双曲线的左、右焦点，过的直线l与C的一条渐近线垂直，垂足为A，且，则双曲线C的实轴长为______．
例19．(2023·河北·沧县中学模拟预测）已知抛物线的焦点为，点，点是抛物线上的动点，则的最小值为___________．
定理
正弦定理
余弦定理
内容
(1)eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R
(2)a2＝b2＋c2－2bccs A；
b2＝c2＋a2－2cacs B；
c2＝a2＋b2－2abcs C
变形
(3)a＝2Rsin A，
b＝2Rsin B，
c＝2Rsin C；
(4)sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R)；
(5)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(6)asin B＝bsin A，
bsin C＝csin B，
asin C＝csin A
(7)cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)；
cs B＝eq \f(c2＋a2－b2,2ac)；
cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)
术语名称
术语意义
图形表示
仰角与俯角
在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角
方位角
从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ