高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题6.5《平面向量》真题+模拟试卷(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题6.5《平面向量》真题+模拟试卷(原卷版+解析)，共26页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
2.(2023·全国·高考真题（文））设非零向量，满足，则（ ）
A．⊥B．
C．∥D．
3．(2023·全国·高考真题（文））在中，,BC=1,AC=5，则AB=（ ）
A．B．C．D．
4.(2023·北京·高考真题（理））设向量均为单位向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件
5.(2023·山东潍坊·模拟预测）在平行四边形中，分别是的中点，，，则（ ）
A．B．C．D．
6．(2023·辽宁·大连市一0三中学模拟预测）已知单位向量，满足，则与的夹角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
7．(2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，已知∠A=90°，AB=2，AC=4，点P在以A为圆心且与边BC相切的圆上，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
8．(2023·全国·模拟预测）已知H为的垂心，若，则（ ）
A．B．
C．D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．(2023·全国·高三专题练习）已知为非零平面向量，则下列说法正确的有（ ）
A．B．
C．若，则D．
10．(2023·辽宁实验中学模拟预测）已知平面向量，且，满足，若﹐则可能的取值为（ ）
A．4B．8C．12D．16
11．(2023·江苏·模拟预测）已知向量，，，，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．的最小值为
D．若向量与向量的夹角为锐角，则的取值范围是
12．(2023·福建·福州三中高三阶段练习）中，角的对边分别为，且，以下四个命题中正确的是（ ）
A．满足条件的不可能是直角三角形
B．面积的最大值为
C．是中点，的最大值为3
D．当时，的面积为
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2023·北京·高考真题）已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则 ________；________.
14．（2023·全国·高考真题（理））已知向量．若，则________．
15．（2023·全国·高考真题（理））记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________．
16．（2023·天津·高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E．且交AC于点F,则的值为____________；的最小值为____________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2023·全国·高三专题练习）已知，，．
(1)求的值；
(2)求与的夹角．
18．(2023·浙江·高考真题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
(1)求的值；
(2)若，求的面积．
19．（2023·全国·高考真题）在中，角、、所对的边长分别为、、，，.．
（1）若，求的面积；
（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
20．(2023·全国·高三专题练习）已知向量，其中.
(1)若，，求；
(2)若，函数的最小值为，求实数的值.
21．（2023·全国·高考真题）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.
（1）证明：；
（2）若，求.
22．（2023·浙江·高考真题）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（I）求角B的大小；
（II）求csA+csB+csC的取值范围．
专题6.5 《平面向量》真题+模拟试卷
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
答案：D
【解析】
分析：
先求得，然后求得.
【详解】
因为，所以.
故选：D
2.(2023·全国·高考真题（文））设非零向量，满足，则（ ）
A．⊥B．
C．∥D．
答案：A
【解析】
【详解】
由平方得，即，则，故选A.
3．(2023·全国·高考真题（文））在中，,BC=1,AC=5，则AB=（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
【详解】
分析：先根据二倍角余弦公式求csC,再根据余弦定理求AB.
详解：因为
所以，选A.
4.(2023·北京·高考真题（理））设向量均为单位向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件
答案：C
【解析】
分析：
根据向量数量积的应用，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
【详解】
因为向量均为单位向量
所以
所以“”是“”的充要条件
故选：C
5.(2023·山东潍坊·模拟预测）在平行四边形中，分别是的中点，，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
分析：
设，根据向量的线性运算，得到，结合，列出方程组，求得的值，即可求解.
【详解】
如图所示，设，且，
则，
又因为，
所以，解得，所以.
故选：B.
6．(2023·辽宁·大连市一0三中学模拟预测）已知单位向量，满足，则与的夹角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
答案：C
【解析】
分析：
根据数量积的运算律及夹角公式计算可得；
【详解】
解：因为，为单位向量，所以，
又，所以，即，
所以，即，所以，
所以，因为，所以；
故选：C
7．(2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，已知∠A=90°，AB=2，AC=4，点P在以A为圆心且与边BC相切的圆上，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
由几何关系分解向量，根据数量积的定义与运算法则求解
【详解】
设为斜边上的高，则圆的半径，
设为斜边的中点，，因为，，
则
，
所以的最大值为
故选：D
8．(2023·全国·模拟预测）已知H为的垂心，若，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】
分析：
，，利用、得，，解得， 再利用平方共线可得答案.
【详解】
依题意，，同理．
由H为△ABC的垂心，得，即，
可知，即．同理有，
即，可知，
即，解得，
，又，
所以．
故选：C．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．(2023·全国·高三专题练习）已知为非零平面向量，则下列说法正确的有（ ）
A．B．
C．若，则D．
答案：AB
【解析】
分析：
A．利用平面向量的数量积运算判断；B.利用平面向量共线定理判断；C.利用平面向量数量积的运算律判断；D.利用平面向量的共线定理判断.
【详解】
A. 因为，所以，则，故正确；
B. 若为非零平面向量，且，由共线向量定理知：，故正确；
C.若，则，则，故错误；
D. 与共线，与共线，故错误；
故选：AB
10．(2023·辽宁实验中学模拟预测）已知平面向量，且，满足，若﹐则可能的取值为（ ）
A．4B．8C．12D．16
答案：CD
【解析】
分析：
因为，且，所以不妨设，，然后设．由，得点位置（轨迹），分类讨论求出的范围，得出正确选项．
【详解】
因为，且，所以不妨设，，如图，设．
因为， 则点在轴负半轴或射线上（不含原点），，，
显然当在在轴负半轴的点时，，不满足，
因此满足的点在射线上（不含原点），
由得，
即，所以，，
只有CD满足．
故选：CD．
11．(2023·江苏·模拟预测）已知向量，，，，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．的最小值为
D．若向量与向量的夹角为锐角，则的取值范围是
答案：ABC
【解析】
分析：
利用向量的坐标运算及向量垂直的坐标表示判断A，利用向量坐标的表示可判断B，利用向量的模长的坐标公式及二次函数的性质可判断C，利用向量数量积的坐标表示及向量共线的坐标表示可判断D.
【详解】
对于A，因为，，，所以，解得，所以A正确.
对于B，由，得，
则解得，故，所以B正确.
对于C，因为，
所以，
则当时，取得最小值，为，所以C正确.
对于D，因为，，向量与向量的夹角为锐角，
所以，解得；
当向量与向量共线时，，解得，
所以的取值范围是，所以D不正确.
故选：ABC.
12．(2023·福建·福州三中高三阶段练习）中，角的对边分别为，且，以下四个命题中正确的是（ ）
A．满足条件的不可能是直角三角形
B．面积的最大值为
C．是中点，的最大值为3
D．当时，的面积为
答案：BD
【解析】
分析：
建立平面直角坐标系，由条件确定点的轨迹，由此判断各选项对错.
【详解】
以为原点，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，则，
设，由，得，即，
，化简得：，
即点在以为圆心，以为半径的圆上（除去两点）.
如图所示：
对于：以为圆心，为半径作圆，记该圆与圆的交点为，则
为直角三角形，错误；
对于：由图得面积的最大值为正确；
对于是中点，的值为在上的投影与的积，又点在以为圆心，以为半径的圆上（除去两点），故，错误；
对于D：若，则，，
正确.
故选：BD
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2023·北京·高考真题）已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则 ________；________.
答案： 0 3
【解析】
分析：
根据坐标求出，再根据数量积的坐标运算直接计算即可.
【详解】
以交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示：
则，
，，
.
故答案为：0；3.
14．（2023·全国·高考真题（理））已知向量．若，则________．
答案：.
【解析】
分析：
利用向量的坐标运算法则求得向量的坐标，利用向量的数量积为零求得的值
【详解】
,
，解得,
故答案为：.
15．（2023·全国·高考真题（理））记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________．
答案：
【解析】
分析：
由三角形面积公式可得，再结合余弦定理即可得解.
【详解】
由题意，，
所以，
所以，解得（负值舍去）.
故答案为：.
16．（2023·天津·高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E．且交AC于点F,则的值为____________；的最小值为____________．
答案： 1
【解析】
分析：
设，由可求出；将化为关于的关系式即可求出最值.
【详解】
设，，为边长为1的等边三角形，，
，
，为边长为的等边三角形，，
，
，
，
所以当时，的最小值为.
故答案为：1；.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2023·全国·高三专题练习）已知，，．
(1)求的值；
(2)求与的夹角．
答案：(1)
(2)
【解析】
分析：
（1）根据向量数量积运算法则得到，进而求出模长；（2）结合第一问，利用向量夹角坐标公式进行求解.
(1)
∵，，，
∴，解得:..
故；
(2)
设与的夹角，则，
又∵，∴
18．(2023·浙江·高考真题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
(1)求的值；
(2)若，求的面积．
答案：(1)；
(2)．
【解析】
分析：
（1）先由平方关系求出，再根据正弦定理即可解出；
（2）根据余弦定理的推论以及可解出，即可由三角形面积公式求出面积．
(1)
由于， ，则．因为，
由正弦定理知，则．
(2)
因为，由余弦定理，得，
即，解得，而，，
所以的面积．
19．（2023·全国·高考真题）在中，角、、所对的边长分别为、、，，.．
（1）若，求的面积；
（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
答案：（1）；（2）存在，且.
【解析】
分析：
（1）由正弦定理可得出，结合已知条件求出的值，进一步可求得、的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出，再利用三角形的面积公式可求得结果；
（2）分析可知，角为钝角，由结合三角形三边关系可求得整数的值.
【详解】
（1）因为，则，则，故，，
，所以，为锐角，则，
因此，；
（2）显然，若为钝角三角形，则为钝角，
由余弦定理可得，
解得，则，
由三角形三边关系可得，可得，，故.
20．(2023·全国·高三专题练习）已知向量，其中.
(1)若，，求；
(2)若，函数的最小值为，求实数的值.
答案：(1)
(2)
【解析】
分析：
（1）根据，得到，再利用平方关系求解；
（2）由，，令，则，转化为，，根据的最小值为，利用二次函数的性质求解.
(1)
解：因为，
所以，
于是，
因式分解得：，
结合，
解得，（舍），
检验，，在满足，
故.
(2)
，，
设，则，
因为函数的最小值为，
所以，，
的最小值为.
根据对称轴所在范围讨论如下：
①当对称轴在区间左侧，即时，在上单调递增，
故，不满足的最小值为.
②当对称轴在区间上，即时，
故，即，
解得或（舍）.
③当对称轴在区间右侧，即时，在上单调递减，
故，解得，不满足，
综上，.
21．（2023·全国·高考真题）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.
（1）证明：；
（2）若，求.
答案：（1）证明见解析；（2）.
【解析】
分析：
（1）根据正弦定理的边角关系有，结合已知即可证结论.
（2）方法一：两次应用余弦定理，求得边与的关系，然后利用余弦定理即可求得的值.
【详解】
（1）设的外接圆半径为R，由正弦定理，
得，
因为，所以，即．
又因为，所以．
（2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理
因为，如图，在中，，①
在中，．②
由①②得，整理得．
又因为，所以，解得或，
当时，（舍去）．
当时，．
所以．
[方法二]：等面积法和三角形相似
如图，已知，则，
即，
而，即，
故有，从而．
由，即，即，即，
故，即，
又，所以，
则．
[方法三]：正弦定理、余弦定理相结合
由（1）知，再由得．
在中，由正弦定理得．
又，所以，化简得．
在中，由正弦定理知，又由，所以．
在中，由余弦定理，得．
故．
[方法四]：构造辅助线利用相似的性质
如图，作，交于点E，则．
由，得．
在中，．
在中．
因为，
所以，
整理得．
又因为，所以，
即或．
下同解法1．
[方法五]：平面向量基本定理
因为，所以．
以向量为基底，有．
所以，
即，
又因为，所以．③
由余弦定理得，
所以④
联立③④，得．
所以或．
下同解法1．
[方法六]：建系求解
以D为坐标原点，所在直线为x轴，过点D垂直于的直线为y轴，
长为单位长度建立直角坐标系，
如图所示，则．
由（1）知，，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动．
设，则．⑤
由知，，
即．⑥
联立⑤⑥解得或（舍去），，
代入⑥式得，
由余弦定理得．
【整体点评】
(2)方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；
方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；
方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；
方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；
方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；
方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.
22．（2023·浙江·高考真题）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（I）求角B的大小；
（II）求csA+csB+csC的取值范围．
答案：（I）；（II）
【解析】
分析：
（I）方法二：首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定角B的大小；
（II）方法二：结合(Ⅰ)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有角A的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定角A的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得的取值范围.
【详解】
（I）
[方法一]：余弦定理
由，得，即．
结合余弦定，
∴，
即,
即,
即,
即,
∵为锐角三角形，∴，
∴，
所以，
又B为的一个内角，故．
[方法二]【最优解】：正弦定理边化角
由，结合正弦定理可得：
为锐角三角形，故.
（II）
[方法一]：余弦定理基本不等式
因为，并利用余弦定理整理得，
即．
结合，得．
由临界状态（不妨取）可知．
而为锐角三角形，所以．
由余弦定理得，
，代入化简得
故的取值范围是．
[方法二]【最优解】：恒等变换三角函数性质
结合(1)的结论有：
.
由可得：，，
则，.
即的取值范围是.
【整体点评】
（I）的方法一，根据已知条件，利用余弦定理经过较复杂的代数恒等变形求得，运算能力要求较高；方法二则利用正弦定理边化角，运算简洁，是常用的方法，确定为最优解；（II）的三种方法中，方法一涉及到较为复杂的余弦定理代入化简，运算较为麻烦，方法二直接使用三角恒等变形，简洁明快，确定为最优解.