高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题7.1数列的概念与简单表示(真题测试)(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题7.1数列的概念与简单表示(真题测试)(原卷版+解析)，共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．(2023·全国·高三专题练习）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50，则此数列的第21项是（ ）
A．200B．210C．220D．242
2．(2023·四川省内江市第六中学模拟预测（理））已知数列满足：，点在函数的图象上，记为的前n项和，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
3．（2023·河南·睢县高级中学高三阶段练习（理））设数列的通项公式为，其前项和为，则（ ）
A．B．C．180D．240
4．(2023·上海普陀·二模）数列的前项的和满足，则下列选项中正确的是（ ）
A．数列是常数列
B．若，则是递增数列
C．若，则
D．若，则的最小项的值为
5．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，用表示不超过的最大整数，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．（2023·浙江·高考真题）已知，函数.若成等比数列，则平面上点的轨迹是（ ）
A．直线和圆B．直线和椭圆C．直线和双曲线D．直线和抛物线
7．（2023·浙江·高考真题）已知数列满足.记数列的前n项和为，则（ ）
A．B．C．D．
8．(2023·浙江·高考真题）已知数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．(2023·辽宁大连·二模）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”（下图所示的是一个4层的三角跺）.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n层有个球，从上往下n层球的球的总数为，则（ ）
A．B．
C．D．
10．(2023·江苏泰州·模拟预测）已知数列满足，，前n项和为，则（ ）
A．B．C．D．
11．（2023·全国·高考真题）设正整数，其中，记．则（ ）
A．B．
C．D．
12．(2023·全国·高三专题练习）已知数列的各项均为正数，.下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．D．数列为递减数列
三、填空题
13．（2023·浙江·高考真题）我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列就是二阶等差数列，数列 的前3项和是________．
14．（2023·全国·高考真题（文））数列满足，前16项和为540，则 ______________.
15.（2023·全国）已知数列满足若，则________.
16．(2023·上海市七宝中学模拟预测）定义在上的函数满足，，已知，则数列的前项和______.
四、解答题
17．(2023·全国·高考真题（文））已知各项都为正数的数列满足，.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求的通项公式.
18．(2023·全国·高考真题（文））设数列满足.
（1）求的通项公式；
（2）求数列 的前项和．
19．(2023·全国·高考真题（文））已知数列满足，，设．
（1）求；
（2）判断数列是否为等比数列，并说明理由；
（3）求的通项公式．
20．(2023·河南·模拟预测（文））已知数列{an}对任意的n∈N*都满足．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝，求数列{bn}的前n项和为Tn．
21．（2023·全国·高考真题）已知数列满足，
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和.
22．(2023·全国·模拟预测）数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)数列中是否存在最大项和最小项？若存在，求出相应的最大项或最小项；若不存在，说明理由．
专题7.1 数列的概念与简单表示（真题测试）
一、单选题
1．(2023·全国·高三专题练习）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50，则此数列的第21项是（ ）
A．200B．210C．220D．242
答案：C
【解析】
分析：
由数列奇数项的前几项可归纳出奇数项上的通项公式，从而得到答案.
【详解】
根据题意，数列的前10项依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50，其中奇数项为0、4、12、24、40，有
故其奇数项上的通项公式为故，
故选：C
2．(2023·四川省内江市第六中学模拟预测（理））已知数列满足：，点在函数的图象上，记为的前n项和，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
答案：A
【解析】
分析：
由以及解析式求出，再由得出答案.
【详解】
由题得，解得，故，所以
故选：A．
3．（2023·河南·睢县高级中学高三阶段练习（理））设数列的通项公式为，其前项和为，则（ ）
A．B．C．180D．240
答案：D
【解析】
分析：
分别取，，和，，可验证出，利用周期性可验算得到结果.
【详解】
当，时，，；
当，时，，；
当，时，，；
当，时，，.
，.
故选：D
4．(2023·上海普陀·二模）数列的前项的和满足，则下列选项中正确的是（ ）
A．数列是常数列
B．若，则是递增数列
C．若，则
D．若，则的最小项的值为
答案：D
【解析】
分析：
由题设可得且()，进而可知时偶数项、奇数项的值分别相等，再结合各项的描述判断正误.
【详解】
当时，，
当时，，则，
而不一定成立，故不一定是常数列，A错误；
由，显然且，即不单调，B错误；
若，则，，故，偶数项为3，奇数项为，
而，C错误；
若，则，，故，偶数项为，奇数项为2，故的最小项的值为，D正确.
故选：D
5．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，用表示不超过的最大整数，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
答案：B
【解析】
分析：
由得，进而得到，再由数列是递增数列，得到，即可求解.
【详解】
因为，所以，即，
所以，
由，可得，，，，
则数列是递增数列，，则，则.
故选：B.
6．（2023·浙江·高考真题）已知，函数.若成等比数列，则平面上点的轨迹是（ ）
A．直线和圆B．直线和椭圆C．直线和双曲线D．直线和抛物线
答案：C
【解析】
分析：
首先利用等比数列得到等式，然后对所得的等式进行恒等变形即可确定其轨迹方程.
【详解】
由题意得，即，
对其进行整理变形：
，
，
，
，
所以或，
其中为双曲线，为直线.
故选：C.
7．（2023·浙江·高考真题）已知数列满足.记数列的前n项和为，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
分析：
显然可知，，利用倒数法得到，再放缩可得，由累加法可得，进而由局部放缩可得，然后利用累乘法求得，最后根据裂项相消法即可得到，从而得解．
【详解】
因为，所以，．
由
，即
根据累加法可得，，当且仅当时取等号，
，
由累乘法可得，当且仅当时取等号，
由裂项求和法得：
所以，即．
故选：A．
8．(2023·浙江·高考真题）已知数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
分析：
先通过递推关系式确定除去，其他项都在范围内，再利用递推公式变形得到，累加可求出，得出，再利用，累加可求出，再次放缩可得出．
【详解】
∵，易得，依次类推可得
由题意，，即，
∴，
即，，，…，，
累加可得，即，
∴，即，,
又，
∴，，，…，，
累加可得，
∴，
即，∴，即；
综上：．
故选：B．
二、多选题
9．(2023·辽宁大连·二模）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”（下图所示的是一个4层的三角跺）.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n层有个球，从上往下n层球的球的总数为，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：BCD
【解析】
分析：
根据题意求得，进而可得，利用累加法求出即可判断选项A、C；计算前7项的和即可判断B；利用裂项相消求和法即可判断D.
【详解】
由题意得，
，
以上n个式子累加可得
，
又满足上式，所以，故A错误；
则，
得，故B正确；
有，故C正确；
由，
得，
故D正确.
故选：BCD.
10．(2023·江苏泰州·模拟预测）已知数列满足，，前n项和为，则（ ）
A．B．C．D．
答案：BCD
【解析】
分析：
根据首项判断A，由递推关系式可推出数列为递减数列，据此放缩后可判断D，再由放缩可得，据此可判断BC.
【详解】
由知，A错；
∵，，∴，，∴，
时，；
时，，D对；
，∴，
∴，∴，∴，∴；
，∴，
∴，∴，∴
时，，，B对．
，C对．
故选：BCD
11．（2023·全国·高考真题）设正整数，其中，记．则（ ）
A．B．
C．D．
答案：ACD
【解析】
分析：
利用的定义可判断ACD选项的正误，利用特殊值法可判断B选项的正误.
【详解】
对于A选项，，，
所以，，A选项正确；
对于B选项，取，，，
而，则，即，B选项错误；
对于C选项，，
所以，，
，
所以，，因此，，C选项正确；
对于D选项，，故，D选项正确.
故选：ACD.
12．(2023·全国·高三专题练习）已知数列的各项均为正数，.下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．D．数列为递减数列
答案：ABC
【解析】
分析：
对A，根据递推公式求得，再结合二次函数取值范围分析即可；
对B，根据分析即可；
对C，化简可得，再结合分析即可；
对D，分析的正负即可
【详解】
对A，因为数列的各项均为正数，，
所以可得，
所以可得，故A正确；
对B，因为，所以，
所以，故B正确；
对C，因为，
因为且各项为正，所以，所以可得，
即可得，故C正确；
对D，因为，所以可得数列为递增数列，故D错误；
故选：ABC．
三、填空题
13．（2023·浙江·高考真题）我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列就是二阶等差数列，数列 的前3项和是________．
答案：
【解析】
分析：
根据通项公式可求出数列的前三项，即可求出．
【详解】
因为，所以．
即．
故答案为：.
14．（2023·全国·高考真题（文））数列满足，前16项和为540，则 ______________.
答案：
【解析】
分析：
对为奇偶数分类讨论，分别得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推公式将奇数项用表示，由偶数项递推公式得出偶数项的和，建立方程，求解即可得出结论.
【详解】
，
当为奇数时，；当为偶数时，.
设数列的前项和为，
，
.
故答案为：.
15.（2023·全国）已知数列满足若，则________.
答案：
分析：
根据递推公式，可知，，，，…，故数列是以为周期的周期数列，由此即可求出结果.
【详解】
因为
所以，，，…
故数列是以为周期的周期数列，
又知，所以.
故答案为：.
16．(2023·上海市七宝中学模拟预测）定义在上的函数满足，，已知，则数列的前项和______.
答案：
【解析】
分析：
由已知条件可得，进而求得，以及周期，利用周期性求的前项和.
【详解】
由题设，两边平方得：，
化简得，
∵得：，
∴，，,则，，
综上，是周期为2的数列且，，
因此，数列的前项和.
故答案为：
四、解答题
17．(2023·全国·高考真题（文））已知各项都为正数的数列满足，.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求的通项公式.
答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【解析】
【详解】
试题分析：（Ⅰ）将代入递推公式求得，将的值代入递推公式可求得；（Ⅱ）将已知的递推公式进行因式分解，然后由定义可判断数列为等比数列，由此可求得数列的通项公式．
试题解析：（Ⅰ）由题意，得.
（Ⅱ）由得.
因为的各项都为正数，所以.
故是首项为，公比为的等比数列，因此.
18．(2023·全国·高考真题（文））设数列满足.
（1）求的通项公式；
（2）求数列 的前项和．
答案：(1) ；(2).
【解析】
（1）利用递推公式,作差后即可求得的通项公式.
（2）将的通项公式代入,可得数列的表达式.利用裂项法即可求得前项和.
【详解】
（1）数列满足
时,
∴
∴
当时,,上式也成立
∴
（2）
∴数列的前n项和
19．(2023·全国·高考真题（文））已知数列满足，，设．
（1）求；
（2）判断数列是否为等比数列，并说明理由；
（3）求的通项公式．
答案：（1），，；（2）是首项为，公比为的等比数列．理由见解析；（3）.
【解析】
分析：
（1）根据题中条件所给的数列的递推公式，将其化为，分别令和，代入上式求得和，再利用，从而求得，，；
（2）利用条件可以得到，从而 可以得出，这样就可以得到数列是首项为，公比为的等比数列；
（3）借助等比数列的通项公式求得，从而求得.
【详解】
（1）由条件可得．
将代入得，，而，所以，．
将代入得，，所以，．
从而，，；
（2）是首项为，公比为的等比数列．
由条件可得，即，又，
所以是首项为，公比为的等比数列；
（3）由（2）可得，所以．
20．(2023·河南·模拟预测（文））已知数列{an}对任意的n∈N*都满足．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝，求数列{bn}的前n项和为Tn．
答案：(1)
(2)
【解析】
分析：
（1）根据题干中的已知条件可得当时，，当时，，即可求解数列的通项公式；
（2）代入化简数列，利用裂项相消法即可求解数列的前n项和.
(1)
解：∵，∴当时，，
当时，，
从而有，即当时，，
又满足上式，
故数列的通项公式为．
(2)
解：由题可知，，
所以，
，
所以.
21．（2023·全国·高考真题）已知数列满足，
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和.
答案：（1）；（2）.
【解析】
分析：
(1)方法一：由题意结合递推关系式确定数列的特征，然后求和其通项公式即可；
(2)方法二：分组求和，结合等差数列前项和公式即可求得数列的前20项和.
【详解】
解：（1）[方法一]【最优解】：
显然为偶数，则，
所以，即，且，
所以是以2为首项，3为公差的等差数列，
于是．
[方法二]：奇偶分类讨论
由题意知，所以．
由（为奇数）及（为偶数）可知，
数列从第一项起，
若为奇数，则其后一项减去该项的差为1，
若为偶数，则其后一项减去该项的差为2．
所以，则．
[方法三]：累加法
由题意知数列满足．
所以，
，
则．
所以，数列的通项公式．
（2）[方法一]：奇偶分类讨论
．
[方法二]：分组求和
由题意知数列满足，
所以．
所以数列的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；
同理，由知数列的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列．
从而数列的前20项和为：
．
【整体点评】
(1)方法一：由题意讨论的性质为最一般的思路和最优的解法；
方法二：利用递推关系式分类讨论奇偶两种情况，然后利用递推关系式确定数列的性质；
方法三：写出数列的通项公式，然后累加求数列的通项公式，是一种更加灵活的思路.
(2)方法一：由通项公式分奇偶的情况求解前项和是一种常规的方法；
方法二：分组求和是常见的数列求和的一种方法，结合等差数列前项和公式和分组的方法进行求和是一种不错的选择.
22．(2023·全国·模拟预测）数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)数列中是否存在最大项和最小项？若存在，求出相应的最大项或最小项；若不存在，说明理由．
答案：(1)，
(2)存在最大项和最小项，最大项为第四项，最小项为第三项
【解析】
分析：
（1）由题意得，与原式相除可得，利用累加法，即可得通项.
（2）设，分析可得数列是摆动数列，所有奇数项均为负数，所有偶数项均为正数，分别讨论数列的奇数项和偶数项，根据数列的单调性，分析求解，综合即可得答案.
(1)
因为，
所以
两式相除得，
又当时，满足上式，所以
从而，
所以，
，，
累加可得时，则，
又当时，亦符合该通项，
所以的通项公式为，．
(2)
设，则数列是摆动数列，所有奇数项均为负数，所有偶数项均为正数．
所以若出现最大项，一定在偶数项出现；若出现最小项，一定在奇数项出现．
（i）考查奇数项，令，解得，此时，
又，且，所以,
所以有，这表明数列的最小项为．
（ii）考查偶数项，令，解得，此时，
又，即，
所以有，这表明数列的最大项为．
综上所述，存在最大项和最小项，最大项为第四项，最小项为第三项．