高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题7.1数列的概念与简单表示(知识点讲解)(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题7.1数列的概念与简单表示(知识点讲解)(原卷版+解析)，共21页。

【核心素养】
1.与归纳推理相结合，考查数列的概念与通项，凸显逻辑推理的核心素养．
2．与函数、不等式相结合，考查数列的概念及其性质，凸显数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养．
3．与递推公式相结合，考查对求通项公式的方法的掌握，凸显数学运算、数学建模的核心素养．
【知识点展示】
（一）数列的概念
1.定义：按照一定顺序排列的一列数，称为数列.数列中的每一项叫做数列的项.数列的项在这列数中是第几项，则在数列中是第几项.一般记为数列.
2.对数列概念的理解
（1）数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列．
（2）数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别．
（3）数列是一种特殊的函数
数列是一种特殊的函数，其定义域是正整数集和正整数集的有限子集.所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点.
（二）数列的分类
（三）数列的通项公式：
如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．即,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个通项公式.
（四）数列的递推公式
如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
（五）an与Sn的关系
数列的前项和和通项的关系：则
特别地，若a1满足an＝Sn－Sn－1(n≥2)，则不需要分段．
（六）数列的性质----主要指：
（1）数列的单调性----递增数列、递减数列或是常数列；
（2）数列的周期性.
【常考题型剖析】
题型一：数列的概念与通项公式
例1.(2023·全国·高考真题（理））嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023·安徽·六安一中高三阶段练习（理））删去正整数，，，，，中的所有数（如，，等），得到一个新数列，则这个数列的第项是（ ）
A．B．C．D．
【总结提升】
1．根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用或来调整．
2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．由不完全归纳法得出的结果是不可靠，要注意代值验证.
3.对于数列的通项公式要掌握：①已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；②根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况，分解所给数列的前几项，看看这几项的分解中．哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项公式.
题型二：数列的性质
例3.（2023·全国·高考真题（理））0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列满足，且存在正整数，使得成立，则称其为0-1周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期.对于周期为的0-1序列，是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足的序列是（ ）
A．B．C．D．
例4.(2023·北京·高考真题）己知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论：
①的第2项小于3； ②为等比数列；
③为递减数列； ④中存在小于的项．
其中所有正确结论的序号是__________．
例5．(2023·湖南·长沙一中模拟预测）已知正项数列满足，若的前项和为，且，则__________
例6．(2023·全国·高三专题练习）已知数列的通项公式为，若数列为递增数列，求的取值范围．
【总结提升】
1.解决数列的单调性问题可用以下三种方法
(1)用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列或是常数列．
(2)用作商比较法，根据 (an＞0或an＜0)与1的大小关系进行判断．
(3)结合相应函数的图象直观判断．
2.解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．
3.求数列最大项或最小项的方法
(1)利用不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an－1≤an，,an≥an＋1))(n≥2)找到数列的最大项；
(2)利用不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an－1≥an，,an≤an＋1))(n≥2)找到数列的最小项．
3.前项和最值的求法
(1)先求出数列的前项和，根据的表达式求解最值；
(2)根据数列的通项公式，若，且，则最大；若，且，则最小，这样便可直接利用各项的符号确定最值.
题型三：由递推公式推导通项公式
例7.（江西·高考真题）在数列中，，，则（ ）
A．B．C．D．
例8.（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，则数列的前2022项的和为___________.
例9．（北京·高考真题）某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下第棵树种植在点处，其中，，当时，
表示非负实数的整数部分，例如，．
按此方案，第6棵树种植点的坐标应为___________．第2008棵树种植点的坐标应为______．
【总结提升】
递推公式推导通项公式方法：
（1）累加法：
（2）累乘法：
（3）待定系数法：（其中均为常数，）
解法：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解.
（4）待定系数法： （其中均为常数，）. （或其中均为常数）.
解法：在原递推公式两边同除以，得：，令，得：，再按第（3）种情况求解.
（5）待定系数法：
解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列.
（6）待定系数法：
解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列.
（7）待定系数法：（其中均为常数）.
解法：先把原递推公式转化为其中满足，再按第（4）种情况求解.
取倒数法：
解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为，按第（3）种情况求解.
（，解法：等式两边同时除以后换元转化为，按第（3）种情况求解.）.
（9）取对数
解法：这种类型一般是等式两边取以为底的对数，后转化为，按第（3）种情况求解.
题型四：与的关系求通项
例10. (2023·青海西宁·二模（理））已知为数列的前项和，，，则（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2024
例11．（2023·全国高考真题（理））记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
（1）证明：数列是等差数列;
（2）求的通项公式．
例12．(2023·全国·高考真题（理））已知数列的前n项和，其中．
（Ⅰ）证明是等比数列，并求其通项公式；
（Ⅱ）若 ，求．
【规律方法】
已知Sn求an的三个步骤
(1)先利用a1＝S1求出a1.
(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式．
(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．．
分类原则
类型
满足条件
按项数分类
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
按项与项间的大小关系分类
递增数列
其中n∈N＋
递减数列
常数列
按其他标准分类
有界数列
存在正数，使
摆动数列
的符号正负相间，如1，－1,1，－1，…
专题7.1 数列的概念与简单表示（知识点讲解）
【知识框架】

【核心素养】
1.与归纳推理相结合，考查数列的概念与通项，凸显逻辑推理的核心素养．
2．与函数、不等式相结合，考查数列的概念及其性质，凸显数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养．
3．与递推公式相结合，考查对求通项公式的方法的掌握，凸显数学运算、数学建模的核心素养．
【知识点展示】
（一）数列的概念
1.定义：按照一定顺序排列的一列数，称为数列.数列中的每一项叫做数列的项.数列的项在这列数中是第几项，则在数列中是第几项.一般记为数列.
2.对数列概念的理解
（1）数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列．
（2）数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别．
（3）数列是一种特殊的函数
数列是一种特殊的函数，其定义域是正整数集和正整数集的有限子集.所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点.
（二）数列的分类
（三）数列的通项公式：
如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．即,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个通项公式.
（四）数列的递推公式
如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
（五）an与Sn的关系
数列的前项和和通项的关系：则
特别地，若a1满足an＝Sn－Sn－1(n≥2)，则不需要分段．
（六）数列的性质----主要指：
（1）数列的单调性----递增数列、递减数列或是常数列；
（2）数列的周期性.
【常考题型剖析】
题型一：数列的概念与通项公式
例1.(2023·全国·高考真题（理））嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
根据，再利用数列与的关系判断中各项的大小，即可求解.
【详解】
解：因为，
所以，，得到，
同理，可得，
又因为，
故，；
以此类推，可得，，故A错误；
，故B错误；
，得，故C错误；
，得，故D正确.
故选：D.
例2．（2023·安徽·六安一中高三阶段练习（理））删去正整数，，，，，中的所有数（如，，等），得到一个新数列，则这个数列的第项是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
分析：
分析可得，由此可得出新数列第项的值.
【详解】
，，且，
故新数列的第项是正整数列中的第项，故新数列的第项是.
故选：B.
【总结提升】
1．根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用或来调整．
2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．由不完全归纳法得出的结果是不可靠，要注意代值验证.
3.对于数列的通项公式要掌握：①已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；②根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况，分解所给数列的前几项，看看这几项的分解中．哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项公式.
题型二：数列的性质
例3.（2023·全国·高考真题（理））0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列满足，且存在正整数，使得成立，则称其为0-1周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期.对于周期为的0-1序列，是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足的序列是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
分析：
根据新定义，逐一检验即可
【详解】
由知，序列的周期为m，由已知，，
对于选项A，
，不满足；
对于选项B，
，不满足；
对于选项D，
，不满足；
故选：C
【点晴】
本题考查数列的新定义问题，涉及到周期数列，考查学生对新定义的理解能力以及数学运算能力，是一道中档题.
例4.(2023·北京·高考真题）己知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论：
①的第2项小于3； ②为等比数列；
③为递减数列； ④中存在小于的项．
其中所有正确结论的序号是__________．
答案：①③④
【解析】
分析：
推导出，求出、的值，可判断①；利用反证法可判断②④；利用数列单调性的定义可判断③.
【详解】
由题意可知，，，
当时，，可得；
当时，由可得，两式作差可得，
所以，，则，整理可得，
因为，解得，①对；
假设数列为等比数列，设其公比为，则，即，
所以，，可得，解得，不合乎题意，
故数列不是等比数列，②错；
当时，，可得，所以，数列为递减数列，③对；
假设对任意的，，则，
所以，，与假设矛盾，假设不成立，④对.
故答案为：①③④.
例5．(2023·湖南·长沙一中模拟预测）已知正项数列满足，若的前项和为，且，则__________
答案：
【解析】
分析：
根据可得出数列是周期为2的周期数列，利用周期数列求解即可.
【详解】
因为正项数列满足，
所以，即，
则，因此，即，
数列是周期为2的数列，
因此由可得，，
解得，即，
故答案为：.
例6．(2023·全国·高三专题练习）已知数列的通项公式为，若数列为递增数列，求的取值范围．
答案：
【解析】
分析：
根据递增数列的定义直接求解即可.
【详解】
依题意对于 ，都有 ，
即 ， ，
，∴ ，
故答案为： .
【总结提升】
1.解决数列的单调性问题可用以下三种方法
(1)用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列或是常数列．
(2)用作商比较法，根据 (an＞0或an＜0)与1的大小关系进行判断．
(3)结合相应函数的图象直观判断．
2.解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．
3.求数列最大项或最小项的方法
(1)利用不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an－1≤an，,an≥an＋1))(n≥2)找到数列的最大项；
(2)利用不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an－1≥an，,an≤an＋1))(n≥2)找到数列的最小项．
3.前项和最值的求法
(1)先求出数列的前项和，根据的表达式求解最值；
(2)根据数列的通项公式，若，且，则最大；若，且，则最小，这样便可直接利用各项的符号确定最值.
题型三：由递推公式推导通项公式
例7.（江西·高考真题）在数列中，，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
【详解】
试题分析：在数列中，
故选A.
例8.（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，则数列的前2022项的和为___________.
答案：
【解析】
分析：
利用累加法求数列的通项公式，再利用裂项相消法求数列的前2022项的和即可.
【详解】
由题意可知，满足，
当时，，
，以上各式累加得，
.
，
当时，也满足上式，∴，则.
∴数列的前n项和为，
∴.
故答案为：.
例9．（北京·高考真题）某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下第棵树种植在点处，其中，，当时，
表示非负实数的整数部分，例如，．
按此方案，第6棵树种植点的坐标应为___________．第2008棵树种植点的坐标应为______．
答案： (1,2) (3, 402)
【解析】
【详解】
T组成的数列为1,0,0,0,0,1, 0,0,0,0,1, 0,0,0,0,1……(k=1,2,3,4……)．
一一代入计算得数列为1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5……；
数列为1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4…….
因此，第6棵树种在 (1,2)，第2008棵树种在(3, 402)．
【总结提升】
递推公式推导通项公式方法：
（1）累加法：
（2）累乘法：
（3）待定系数法：（其中均为常数，）
解法：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解.
（4）待定系数法： （其中均为常数，）. （或其中均为常数）.
解法：在原递推公式两边同除以，得：，令，得：，再按第（3）种情况求解.
（5）待定系数法：
解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列.
（6）待定系数法：
解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列.
（7）待定系数法：（其中均为常数）.
解法：先把原递推公式转化为其中满足，再按第（4）种情况求解.
取倒数法：
解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为，按第（3）种情况求解.
（，解法：等式两边同时除以后换元转化为，按第（3）种情况求解.）.
（9）取对数
解法：这种类型一般是等式两边取以为底的对数，后转化为，按第（3）种情况求解.
题型四：与的关系求通项
例10. (2023·青海西宁·二模（理））已知为数列的前项和，，，则（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2024
答案：C
【解析】
分析：
利用化简可得出，则可求出答案.
【详解】
当时， ，
当时，由得，
两式相减可得
，即，
所以，可得，
所以.
故选：C.
例11．（2023·全国高考真题（理））记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
（1）证明：数列是等差数列;
（2）求的通项公式．
答案：（1）证明见解析；（2）.
分析：
（1）由已知得,且，取,得,由题意得,消积得到项的递推关系,进而证明数列是等差数列;
（2）由（1）可得的表达式,由此得到的表达式,然后利用和与项的关系求得.
【详解】
（1）由已知得,且，,
取,由得,
由于为数列的前n项积，
所以,
所以，
所以,
由于
所以，即,其中
所以数列是以为首项，以为公差等差数列;
（2）由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，
,
,
当n=1时，,
当n≥2时,,显然对于n=1不成立,
∴.
例12．(2023·全国·高考真题（理））已知数列的前n项和，其中．
（Ⅰ）证明是等比数列，并求其通项公式；
（Ⅱ）若 ，求．
答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【解析】
【详解】
试题分析：（Ⅰ）首先利用公式，得到数列的递推公式，即可得到是等比数列及的通项公式；（Ⅱ）利用（Ⅰ），用表示前项和，结合的值，建立方程可求得的值．
试题解析：（Ⅰ）由题意得，故，，.
由，得，即.由，得，所以.
因此是首项为，公比为的等比数列，于是.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得.由得，即.
解得.
【规律方法】
已知Sn求an的三个步骤
(1)先利用a1＝S1求出a1.
(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式．
(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．．
分类原则
类型
满足条件
按项数分类
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
按项与项间的大小关系分类
递增数列
其中n∈N＋
递减数列
常数列
按其他标准分类
有界数列
存在正数，使
摆动数列
的符号正负相间，如1，－1,1，－1，…