高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题7.2等差数列及其前n项和(知识点讲解)(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题7.2等差数列及其前n项和(知识点讲解)(原卷版+解析)，共20页。


【核心素养】
1.与归纳推理相结合，考查数列的概念与通项，凸显逻辑推理的核心素养．
2．与函数、不等式相结合，考查数列的概念及其性质，凸显数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养．
3．与递推公式相结合，考查对求通项公式的方法的掌握，凸显数学运算、数学建模的核心素养．
【知识点展示】
（一）等差数列
1.定义：等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示.用递推公式表示为或.
2.等差数列的通项公式：；
说明：等差数列（通常可称为数列）的单调性：为递增数列，为常数列， 为递减数列.
3.等差中项的概念：
定义：如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项,其中 .
，，成等差数列.
4.要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．
5.注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．
（二）等差数列的前和的求和公式：
.
（三）等差数列的通项公式及前n项和公式与函数的关系
(1)当d≠0时，等差数列{an}的通项公式an＝dn＋(a1－d)是关于d的一次函数．
(2)当d≠0时，等差数列{an}的前n项和Sn＝eq \f (d,2)n2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1－\f (d,2)))n是关于n的二次函数．
（四）等差数列的前n项和的最值
在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值．
（五）等差数列的性质：
（1）在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；
（2）在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列， 如：，，，，……；，，，，……；
（3）在等差数列中，对任意，，，；
（4）在等差数列中，若，，，且，则,特殊地， SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 时，则 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT ， SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 是 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 的等差中项.
（5）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 成等差数列.
（6）两个等差数列与的和差的数列仍为等差数列．
（7）若数列是等差数列,则仍为等差数列．
（8）设数列是等差数列，且公差为，（Ⅰ）若项数为偶数，设共有项，则①； ② ；（Ⅱ）若项数为奇数，设共有项，则①(中间项)；②.
（9）等差数列中，,则,.
（10）如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数．
（11）若与为等差数列，且前项和分别为与，则.
（12）等差数列的增减性：时为递增数列，且当时前n项和有最小值．时为递减数列，且当时前n项和有最大值．
【常考题型剖析】
题型一：等差数列基本量的运算
例1.（2023·全国·高考真题（理））记为等差数列的前n项和．已知，则（ ）
A．B．C．D．
例2．(2023·全国·高考真题（文））记为等差数列的前n项和．若，则公差_______．
【总结提升】
1.解决等差数列运算问题的思想方法
(1)方程思想：等差数列的基本量为首项a1和公差d，通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解，等差数列中包含a1，d，n，an，Sn五个量，可“知三求二”．
(2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解．
(3)利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程．
2.等差数列的通项公式及前项和公式，共涉及五个量，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题.
3.特殊设法:三个数成等差数列，一般设为；四个数成等差数列，一般设为.这对已知和,求数列各项,运算很方便.
题型二：等差数列的判定与证明
例3. （2023·山东·高考真题）某男子擅长走路，9天共走了1260里，其中第1天、第4天、第7天所走的路程之和为390里.若从第2天起，每天比前一天多走的路程相同，问该男子第5天走多少里.这是我国古代数学专著《九章算术》中的一个问题，请尝试解决.
例4.（2023·全国·高考真题（文））记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列.
例5．（2023·全国·高考真题（理））已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列是等差数列：②数列是等差数列；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
【总结提升】
等差数列的四种判断方法
(1) 定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列；
(2) 等差中项：对于数列，若，则数列是等差数列;
(3)通项公式：(为常数,)⇔ 是等差数列;
(4)前项和公式：(为常数, )⇔ 是等差数列;
(5)是等差数列⇔是等差数列.
提醒：判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a2－a1＝d这一关键条件.
题型三：等差数列的前n项和
例6．【多选题】(2023·湖南永州·三模）已知等差数列是递减数列，为其前项和，且，则（ ）
A．B．
C．D．、均为的最大值
例7.（2023·全国·高考真题（文））记为等差数列的前n项和．若，则__________．
例8.(2023·全国·高考真题（文））记为等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求，并求的最小值．
例9.（2023·全国·高考真题）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．
（1）求数列的通项公式；
（2）求使成立的n的最小值．
例10．(2023·福建·厦门一中模拟预测）已知数列的前项和，，，．
(1)计算的值，求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【总结提升】
1.利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值．当，时，有最大值；，时，有最小值；若已知，则最值时的值（）则当，，满足的项数使得取最大值，(2)当，时，满足的项数使得取最小值.
2.利用等差数列的前n项和：(为常数, )为二次函数，通过配方或借助图像，二次函数的性质，转化为二次函数的最值的方法求解；有时利用数列的单调性（,递增；，递减）；
3. 利用数列中最大项和最小项的求法：求最大项的方法：设为最大项，则有；求最小项的方法：设为最小项，则有.只需将等差数列的前n项和依次看成数列，利用数列中最大项和最小项的求法即可.
4.在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用.
题型四：等差数列性质及应用
例11.（2023·浙江·高考真题）已知等差数列{an}的前n项和Sn，公差d≠0，．记b1=S2，bn+1=S2n+2–S2n，，下列等式不可能成立的是（ ）
A．2a4=a2+a6B．2b4=b2+b6C．D．
例12．(2023·北京高考真题（理））若等差数列满足，则当__________时，的前项和最大．
例13．(2023·北京·高考真题（理））已知为等差数列，为其前n项和，若，，则_______.
例14.（2023·江西新余四中高二月考（理））等差数列、的前项和分别为和，若，则________．
【温馨提醒】
等差数列的性质主要涉及“项的性质”和“和的性质”，因此，要注意结合等差数列的通项公式、前n项和公式求解．
专题7.2 等差数列及其前n项和（知识点讲解）
【知识框架】

【核心素养】
1.与归纳推理相结合，考查数列的概念与通项，凸显逻辑推理的核心素养．
2．与函数、不等式相结合，考查数列的概念及其性质，凸显数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养．
3．与递推公式相结合，考查对求通项公式的方法的掌握，凸显数学运算、数学建模的核心素养．
【知识点展示】
（一）等差数列
1.定义：等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示.用递推公式表示为或.
2.等差数列的通项公式：；
说明：等差数列（通常可称为数列）的单调性：为递增数列，为常数列， 为递减数列.
3.等差中项的概念：
定义：如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项,其中 .
，，成等差数列.
4.要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．
5.注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．
（二）等差数列的前和的求和公式：
.
（三）等差数列的通项公式及前n项和公式与函数的关系
(1)当d≠0时，等差数列{an}的通项公式an＝dn＋(a1－d)是关于d的一次函数．
(2)当d≠0时，等差数列{an}的前n项和Sn＝eq \f (d,2)n2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1－\f (d,2)))n是关于n的二次函数．
（四）等差数列的前n项和的最值
在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值．
（五）等差数列的性质：
（1）在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；
（2）在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列， 如：，，，，……；，，，，……；
（3）在等差数列中，对任意，，，；
（4）在等差数列中，若，，，且，则,特殊地， SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 时，则 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT ， SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 是 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 的等差中项.
（5）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 成等差数列.
（6）两个等差数列与的和差的数列仍为等差数列．
（7）若数列是等差数列,则仍为等差数列．
（8）设数列是等差数列，且公差为，（Ⅰ）若项数为偶数，设共有项，则①； ② ；（Ⅱ）若项数为奇数，设共有项，则①(中间项)；②.
（9）等差数列中，,则,.
（10）如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数．
（11）若与为等差数列，且前项和分别为与，则.
（12）等差数列的增减性：时为递增数列，且当时前n项和有最小值．时为递减数列，且当时前n项和有最大值．
【常考题型剖析】
题型一：等差数列基本量的运算
例1.（2023·全国·高考真题（理））记为等差数列的前n项和．已知，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
分析：
等差数列通项公式与前n项和公式．本题还可用排除，对B，，，排除B，对C，，排除C．对D，，排除D，故选A．
【详解】
由题知，，解得，∴，故选A．
例2．(2023·全国·高考真题（文））记为等差数列的前n项和．若，则公差_______．
答案：2
【解析】
分析：
转化条件为，即可得解.
【详解】
由可得，化简得，
即，解得.
故答案为：2.
【总结提升】
1.解决等差数列运算问题的思想方法
(1)方程思想：等差数列的基本量为首项a1和公差d，通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解，等差数列中包含a1，d，n，an，Sn五个量，可“知三求二”．
(2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解．
(3)利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程．
2.等差数列的通项公式及前项和公式，共涉及五个量，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题.
3.特殊设法:三个数成等差数列，一般设为；四个数成等差数列，一般设为.这对已知和,求数列各项,运算很方便.
题型二：等差数列的判定与证明
例3. （2023·山东·高考真题）某男子擅长走路，9天共走了1260里，其中第1天、第4天、第7天所走的路程之和为390里.若从第2天起，每天比前一天多走的路程相同，问该男子第5天走多少里.这是我国古代数学专著《九章算术》中的一个问题，请尝试解决.
答案：140里.
【解析】
分析：
由条件确定，该男子这9天中每天走的路程数构成等差数列，根据等差数列的通项公式，和前项和公式，列式求解.
【详解】
解：因为从第2天起，每天比前一天多走的路程相同，
所以该男子这9天中每天走的路程数构成等差数列，
设该数列为，第1天走的路程数为首项，公差为，
则，.
因为，，
所以，解得，
则，
所以该男子第5天走140里.
例4.（2023·全国·高考真题（文））记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列.
答案：证明见解析.
【解析】
分析：
先根据求出数列的公差，进一步写出的通项，从而求出的通项公式，最终得证.
【详解】
∵数列是等差数列，设公差为
∴，
∴，
∴当时，
当时，，满足，
∴的通项公式为，
∴
∴是等差数列.
例5．（2023·全国·高考真题（理））已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列是等差数列：②数列是等差数列；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
答案：证明过程见解析
【解析】
分析：
选①②作条件证明③时，可设出，结合的关系求出，利用是等差数列可证；也可分别设出公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系，进行证明.
选①③作条件证明②时，根据等差数列的求和公式表示出，结合等差数列定义可证；
选②③作条件证明①时，设出，结合的关系求出，根据可求，然后可证是等差数列；也可利用前两项的差求出公差，然后求出通项公式，进而证明出结论.
【详解】
选①②作条件证明③：
[方法一]：待定系数法+与关系式
设，则，
当时，；
当时，；
因为也是等差数列，所以，解得；
所以，，故.
[方法二] ：待定系数法
设等差数列的公差为d，等差数列的公差为，
则，将代入，
化简得对于恒成立．
则有，解得．所以．
选①③作条件证明②：
因为，是等差数列，
所以公差，
所以，即，
因为，
所以是等差数列.
选②③作条件证明①：
[方法一]：定义法
设，则，
当时，；
当时，；
因为，所以，解得或；
当时，，当时，满足等差数列的定义，此时为等差数列；
当时，，不合题意，舍去.
综上可知为等差数列.
[方法二]【最优解】：求解通项公式
因为，所以，，因为也为等差数列，所以公差，所以，故，当时，，当时，满足上式，故的通项公式为，所以，，符合题意.
【整体点评】
这类题型在解答题中较为罕见，求解的关键是牢牢抓住已知条件，结合相关公式，逐步推演，选①②时，法一：利用等差数列的通项公式是关于的一次函数，直接设出，平方后得到的关系式，利用得到的通项公式，进而得到，是选择①②证明③的通式通法；法二：分别设出与的公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系，，进而得到；选①③时，按照正常的思维求出公差，表示出及，进而由等差数列定义进行证明；选②③时，法一：利用等差数列的通项公式是关于的一次函数，直接设出，结合的关系求出，根据可求，然后可证是等差数列；法二：利用是等差数列即前两项的差求出公差，然后求出的通项公式，利用，求出的通项公式，进而证明出结论.
【总结提升】
等差数列的四种判断方法
(1) 定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列；
(2) 等差中项：对于数列，若，则数列是等差数列;
(3)通项公式：(为常数,)⇔ 是等差数列;
(4)前项和公式：(为常数, )⇔ 是等差数列;
(5)是等差数列⇔是等差数列.
提醒：判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a2－a1＝d这一关键条件.
题型三：等差数列的前n项和
例6．【多选题】(2023·湖南永州·三模）已知等差数列是递减数列，为其前项和，且，则（ ）
A．B．
C．D．、均为的最大值
答案：BD
【解析】
分析：
根据等差数列的性质以及其前项和的性质，逐个选项进行判断即可求解
【详解】
因为等差数列是递减数列，所以，，所以，，故A错误；
因为，所以，故B正确；
因为，故C错误；
因为由题意得，，所以，，故D正确；
故选：BD
例7.（2023·全国·高考真题（文））记为等差数列的前n项和．若，则__________．
答案：
【解析】
分析：
因为是等差数列，根据已知条件，求出公差，根据等差数列前项和，即可求得答案.
【详解】
是等差数列，且，
设等差数列的公差
根据等差数列通项公式：
可得
即：
整理可得：
解得：
根据等差数列前项和公式：
可得：
.
故答案为：.
例8.(2023·全国·高考真题（文））记为等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求，并求的最小值．
答案：（1）=2n–9，（2）Sn=n2–8n，最小值为–16．
【解析】
【详解】
分析：（1）根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果，（2）根据等差数列前n项和公式得的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.
详解：（1）设的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．
由a1=–7得d=2．
所以{}的通项公式为=2n–9．
（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．
所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16．
例9.（2023·全国·高考真题）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．
（1）求数列的通项公式；
（2）求使成立的n的最小值．
答案：(1)；(2)7.
【解析】
分析：
(1)由题意首先求得的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；
(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.
【详解】
(1)由等差数列的性质可得：，则：，
设等差数列的公差为，从而有：，
，
从而：，由于公差不为零，故：，
数列的通项公式为：.
(2)由数列的通项公式可得：，则：，
则不等式即：，整理可得：，
解得：或，又为正整数，故的最小值为.
例10．(2023·福建·厦门一中模拟预测）已知数列的前项和，，，．
(1)计算的值，求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
答案：(1)，
(2)
【解析】
分析：
（1）根据，作差得到，再根据等差数列通项公式计算可得；
（2）由（1）可得，利用并项求和法计算可得；
(1)
解：当时，，解得，
由题知①，②，
由②①得，因为，所以，
于是：数列的奇数项是以为首项，以4为公差的等差数列，
即，
偶数项是以为首项，以4为公差的等差数列，
即
所以的通项公式；
(2)
解：由（1）可得，
.
【总结提升】
1.利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值．当，时，有最大值；，时，有最小值；若已知，则最值时的值（）则当，，满足的项数使得取最大值，(2)当，时，满足的项数使得取最小值.
2.利用等差数列的前n项和：(为常数, )为二次函数，通过配方或借助图像，二次函数的性质，转化为二次函数的最值的方法求解；有时利用数列的单调性（,递增；，递减）；
3. 利用数列中最大项和最小项的求法：求最大项的方法：设为最大项，则有；求最小项的方法：设为最小项，则有.只需将等差数列的前n项和依次看成数列，利用数列中最大项和最小项的求法即可.
4.在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用.
题型四：等差数列性质及应用
例11.（2023·浙江·高考真题）已知等差数列{an}的前n项和Sn，公差d≠0，．记b1=S2，bn+1=S2n+2–S2n，，下列等式不可能成立的是（ ）
A．2a4=a2+a6B．2b4=b2+b6C．D．
答案：D
【解析】
分析：
根据题意可得，，而，即可表示出题中，再结合等差数列的性质即可判断各等式是否成立．
【详解】
对于A，因为数列为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由可得，，A正确；
对于B，由题意可知，，，
∴，，，．
∴，．
根据等差数列的下标和性质，由可得，B正确；
对于C，，
当时，，C正确；
对于D，，，
．
当时，，∴即；
当时，，∴即，所以，D不正确．
故选：D.
例12．(2023·北京高考真题（理））若等差数列满足，则当__________时，的前项和最大．
答案：8
【解析】
由等差数列的性质，，，又因为，所以
所以，所以，，故数列的前8项最大.
例13．(2023·北京·高考真题（理））已知为等差数列，为其前n项和，若，，则_______.
答案：6
【解析】
【详解】
试题分析：因为是等差数列，所以，即，又，所以，
所以．故答案为6．
例14.（2023·江西新余四中高二月考（理））等差数列、的前项和分别为和，若，则________．
答案：
分析：
证明得出，结合等差中项的基本性质可求得结果.
【详解】
因为等差数列、的前项和分别为和，
则，
所以，.
故答案为：.
【温馨提醒】
等差数列的性质主要涉及“项的性质”和“和的性质”，因此，要注意结合等差数列的通项公式、前n项和公式求解．