高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题7.3等比数列及其前n项和(真题测试)(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题7.3等比数列及其前n项和(真题测试)(原卷版+解析)，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2023·全国·高三专题练习）等比数列中，若，则（ ）
A．2B．3C．4D．9
2．（2023·山东·高考真题）在等比数列中，，，则等于（ ）
A．256B．-256C．512D．-512
3．(2023·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（文））已知等差数列中，其前5项的和，等比数列中，则（ ）
A．或B．C．D．
4．(2023·全国·高考真题（理））等差数列的首项为，公差不为．若、、成等比数列，则的前项的和为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·全国·高考真题（文））设是等比数列，且，，则（ ）
A．12B．24C．30D．32
6．（2023·全国·高三专题练习）若数列为等差数列，数列为等比数列，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023·全国·高考真题（理））数列中，，对任意 ，若，则 （ ）
A．2B．3C．4D．5
8．(2023·全国·高考真题（理））几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是
A．440B．330
C．220D．110
二、多选题
9．(2023·湖南·雅礼中学二模）著名的“河内塔”问题中，地面直立着三根柱子，在1号柱上从上至下､从小到大套着n个中心带孔的圆盘.将一个柱子最上方的一个圆盘移动到另一个柱子，且保持每个柱子上较大的圆盘总在较小的圆盘下面，视为一次操作.设将n个圆盘全部从1号柱子移动到3号柱子的最少操作数为，则（ ）
A．B．
C．D．
10．(2023·广东茂名·模拟预测）已知数列的前项和为，，，数列的前项和为，，则下列选项正确的为（ ）
A．数列是等比数列
B．数列是等差数列
C．数列的通项公式为
D．
11．(2023·河北保定·一模）已知数列的前项和为，且满足，，，则下面说法正确的是（ ）
A．数列为等比数列B．数列为等差数列
C．D．
12．(2023·重庆八中模拟预测）如图，一只蚂蚁从正方形的顶点A出发，每一次行动顺时针或逆时针经过一条边到达另一顶点，其中顺时针的概率为，逆时针的概率为，设蚂蚁经过n步到达B，D两点的概率分别为．下列说法正确的有（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
13．（2023·全国·高三专题练习）已知是等差数列，，公差，为其前n项和，若，，成等比数列，则________．
14．（2023·全国·高考真题（文））记Sn为等比数列{an}的前n项和.若，则S4=___________．
15．(2023·全国·高考真题（理））记为数列的前项和，若，则_____________．
16．(2023·上海青浦·二模）已知数列的通项公式为，数列是首项为，公比为的等比数列，若，其中，则公比的取值范围是_________．
四、解答题
17．(2023·辽宁实验中学模拟预测）已知数列的前项和为，，且数列是公比为2的等比数列
(1)求．
(2)若数列满足，，求数列的前项和
18．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，，，且．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)若，，成等比数列，求正整数m．
19.(2023·全国·高考真题（理））等比数列中，．
（1）求的通项公式；
（2）记为的前项和．若，求．
20．（2023·全国·高考真题（文））已知是各项均为正数的等比数列，.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
21．（2023·天津·高考真题（理））设是等差数列，是等比数列.已知.
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足其中.
（i）求数列的通项公式；
（ii）求.
22．(2023·浙江·高考真题）已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为．
(1)若，求；
(2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围．
专题7.3 等比数列及其前n项和（真题测试）
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）等比数列中，若，则（ ）
A．2B．3C．4D．9
答案：C
【解析】
分析：
根据等比数列的性质得到，再利用指数运算法则求出答案.
【详解】
等比数列中，若，所以，
所以．
故选：C
2．（2023·山东·高考真题）在等比数列中，，，则等于（ ）
A．256B．-256C．512D．-512
答案：A
【解析】
分析：
求出等比数列的公比，再由等比数列的通项公式即可求解.
【详解】
设等比数列的公比为，
因为，，所以，
所以，
故选：A.
3．(2023·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（文））已知等差数列中，其前5项的和，等比数列中，则（ ）
A．或B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
由等差数列求和公式求出，由等比数列通项公式基本量计算得到公比，进而求出，从而求出结果.
【详解】
由题意得：，解得：，
设等比数列的公比是，因为，所以，解得：，
显然，所以，所以，
所以
故选：D
4．(2023·全国·高考真题（理））等差数列的首项为，公差不为．若、、成等比数列，则的前项的和为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
分析：
根据等比中项的性质，结合等差数列的通项公式，列出关于等差数列公差的方程，求出，再利用等差数列的前项和公式，即可求出结果.
【详解】
因为设等差数列的公差，且，
若、、成等比数列，
所以，所以，
所以，即，
所以的前项的和为.
故选：A.
5．（2023·全国·高考真题（文））设是等比数列，且，，则（ ）
A．12B．24C．30D．32
答案：D
【解析】
分析：
根据已知条件求得的值，再由可求得结果.
【详解】
设等比数列的公比为，则，
，
因此，.
故选：D.
6．（2023·全国·高三专题练习）若数列为等差数列，数列为等比数列，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】
分析：
对选项A，令即可检验；对选项B，令即可检验；对选项C，令即可检验；对选项D，设出等差数列的首项和公比，然后作差即可.
【详解】
若，则
可得：，故选项A错误；
若，则
可得：，故选项B错误；
若，则
可得：，故选项C错误；
不妨设的首项为，公差为，则有：
则有：，故选项D正确
故选：D
7．（2023·全国·高考真题（理））数列中，，对任意 ，若，则 （ ）
A．2B．3C．4D．5
答案：C
【解析】
分析：
取，可得出数列是等比数列，求得数列的通项公式，利用等比数列求和公式可得出关于的等式，由可求得的值.
【详解】
在等式中，令，可得，，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，
，
，则，解得.
故选：C.
8．(2023·全国·高考真题（理））几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是
A．440B．330
C．220D．110
答案：A
【解析】
【详解】
由题意得，数列如下：
则该数列的前项和为
，
要使，有，此时，所以是第组等比数列的部分和，设，
所以，则，此时，
所以对应满足条件的最小整数，故选A.
二、多选题
9．(2023·湖南·雅礼中学二模）著名的“河内塔”问题中，地面直立着三根柱子，在1号柱上从上至下､从小到大套着n个中心带孔的圆盘.将一个柱子最上方的一个圆盘移动到另一个柱子，且保持每个柱子上较大的圆盘总在较小的圆盘下面，视为一次操作.设将n个圆盘全部从1号柱子移动到3号柱子的最少操作数为，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：AD
【解析】
分析：
由题可得，进而可得是以2为首项，2为公比的等比数列，可得，即得.
【详解】
将圆盘从小到大编为号圆盘，则将第号圆盘移动到3号柱时，需先将第号圆盘移动到2号柱，需次操作；
将第号圆盘移动到3号柱需1次操作；
再将号圆需移动到3号柱需次操作，
故，，又，
∴是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴，即，
∴.
故选：AD.
10．(2023·广东茂名·模拟预测）已知数列的前项和为，，，数列的前项和为，，则下列选项正确的为（ ）
A．数列是等比数列
B．数列是等差数列
C．数列的通项公式为
D．
答案：AC
【解析】
分析：
由可得，，可判断A,B的正误，再求出，可判断C的正误，利用裂项相消法求，可判断D的正误.
【详解】
因为，
所以，，
即，且，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，故A正确，B错误；
所以，即，故C正确；
因为，
所以，
故D错误；
故选：AC.
11．(2023·河北保定·一模）已知数列的前项和为，且满足，，，则下面说法正确的是（ ）
A．数列为等比数列B．数列为等差数列
C．D．
答案：ABD
【解析】
分析：
由已知递推式可得或，从而可得数列为公比为3的等比数列，数列为常数列，从而可求出，进而可分析判断
【详解】
根据题意得，令或，所以可得：或，所以数列为公比为3的等比数列，故选项A正确；
数列为常数列，即为公差为0的等差数列，故选项B正确；
所以，且，
解得，所以C错误，
所以
，所以D正确，
故选：ABD．
12．(2023·重庆八中模拟预测）如图，一只蚂蚁从正方形的顶点A出发，每一次行动顺时针或逆时针经过一条边到达另一顶点，其中顺时针的概率为，逆时针的概率为，设蚂蚁经过n步到达B，D两点的概率分别为．下列说法正确的有（ ）
A．B．
C．D．
答案：ACD
【解析】
分析：
有四种情形：，求其概率可判断A；从顶点A出发经过2n步到达B、D两点为不可能事件，所以可判断B；对于C，当为偶数时，当为奇数时，先计算从点或点出发经过两步到达点的概率，再讨论从顶点出发经过步到达点的两种情形：①从顶点出发经过步到达点，再经过两步到达点的概率为，②从顶点出发经过步到达点，再经过两步到达点的概率为，可得可判断C；
利用可判断D；
【详解】
对于A，有四种情形：，其所求的概率为，故A正确；
对于B，当为偶数时，从顶点出发，只能到达点或点，此时，
当为奇数时，从顶点出发，只能到达点或点，此时，即从顶点A出发经过2n步到达B、D两点为不可能事件，所以，故B错误；
对于C，当为偶数时，当为奇数时，先计算从点或点出发经过两步到达点的概率，分别为，，现讨论从顶点出发经过步到达点的两种情形：①从顶点出发经过步到达点，再经过两步到达点的概率为，②从顶点出发经过步到达点，再经过两步到达点的概率为，故，可得，又，所以，故C正确；
对于D，
，所以
，故D正确；
故选：ACD.
三、填空题
13．（2023·全国·高三专题练习）已知是等差数列，，公差，为其前n项和，若，，成等比数列，则________．
答案：
【解析】
分析：
根据，，成等比数列以及列出关于的方程，解出，再根据计算答案即可
【详解】
因为，，成等比数列
，即
解得 或（舍）
故答案为：
14．（2023·全国·高考真题（文））记Sn为等比数列{an}的前n项和.若，则S4=___________．
答案：.
【解析】
分析：
本题根据已知条件，列出关于等比数列公比的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到．题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查．
【详解】
详解：设等比数列的公比为，由已知
，即
解得，
所以．
15．(2023·全国·高考真题（理））记为数列的前项和，若，则_____________．
答案：
【解析】
分析：
首先根据题中所给的，类比着写出，两式相减，整理得到，从而确定出数列为等比数列，再令，结合的关系，求得，之后应用等比数列的求和公式求得的值.
【详解】
根据，可得，
两式相减得，即，
当时，，解得，
所以数列是以-1为首项，以2为公比的等比数列，
所以，故答案是.
16．(2023·上海青浦·二模）已知数列的通项公式为，数列是首项为，公比为的等比数列，若，其中，则公比的取值范围是_________．
答案：
【解析】
分析：
根据，可得，再根据结合指数运算可得，利用指数函数单调性求，运算整理．
【详解】
∵，即，则
又∵，即，则
∵，则，∴，则
∴
故答案为：．
四、解答题
17．(2023·辽宁实验中学模拟预测）已知数列的前项和为，，且数列是公比为2的等比数列
(1)求．
(2)若数列满足，，求数列的前项和
答案：(1)
(2)
【解析】
分析：
（1）根据题意先求出的通项，再根据，求出；（2），，两式相除得：，再分析求解即可.
(1)
因为数列是公比为2的等比数列，，所以，所以，
所以，当时，，而符合上式，所以
(2)
因为，所以，两式相除，
得，又，所以，
18．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，，，且．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)若，，成等比数列，求正整数m．
答案：(1)证明见解析
(2)7
【解析】
分析：
（1）根据化简整理，解得等差数列定义处理；（2）根据，，并代入运算求解．
(1)
因为，
所以，即，
则．
又，，满足，
所以是公差为4的等差数列．
(2)
由（1）得，，
则．
又，
所以，
化简得，解得m＝7或（舍）．
所以m的值为7．
19.(2023·全国·高考真题（理））等比数列中，．
（1）求的通项公式；
（2）记为的前项和．若，求．
答案：（1）或 .
（2）.
【解析】
【详解】
分析：（1）列出方程，解出q可得；（2）求出前n项和，解方程可得m．
详解：（1）设的公比为，由题设得．
由已知得，解得（舍去），或．
故或．
（2）若，则．由得，此方程没有正整数解．
若，则．由得，解得．
综上，．
20．（2023·全国·高考真题（文））已知是各项均为正数的等比数列，.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
答案：（1）；（2）.
【解析】
分析：
(1)本题首先可以根据数列是等比数列将转化为，转化为，再然后将其带入中，并根据数列是各项均为正数以及即可通过运算得出结果；
(2)本题可以通过数列的通项公式以及对数的相关性质计算出数列的通项公式，再通过数列的通项公式得知数列是等差数列，最后通过等差数列求和公式即可得出结果．
【详解】
(1)因为数列是各项均为正数的等比数列，，，
所以令数列的公比为，，，
所以，解得(舍去)或，
所以数列是首项为、公比为的等比数列，．
(2)因为，所以，，，
所以数列是首项为、公差为的等差数列，．
21．（2023·天津·高考真题（理））设是等差数列，是等比数列.已知.
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足其中.
（i）求数列的通项公式；
（ii）求.
答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）（ii）
【解析】
分析：
(Ⅰ)由题意首先求得公比和公差，然后确定数列的通项公式即可；
(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论可得数列的通项公式，结合所得的通项公式对所求的数列通项公式进行等价变形，结合等比数列前n项和公式可得的值.
【详解】
(Ⅰ)设等差数列的公差为，等比数列的公比为.
依题意得，解得，
故，.
所以，的通项公式为，的通项公式为.
(Ⅱ)(i).
所以，数列的通项公式为.
(ii)
.
22．(2023·浙江·高考真题）已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为．
(1)若，求；
(2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围．
答案：(1)
(2)
【解析】
分析：
（1）利用等差数列通项公式及前项和公式化简条件，求出，再求；
(2)由等比数列定义列方程，结合一元二次方程有解的条件求的范围.
(1)
因为，
所以，
所以，又，
所以，
所以，
所以，
(2)
因为，，成等比数列，
所以，
，
，
由已知方程的判别式大于等于0，
所以，
所以对于任意的恒成立，
所以对于任意的恒成立，
当时，，
当时，由，可得
当时，，
又
所以