高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题7.4数列求和(真题测试)(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题7.4数列求和(真题测试)(原卷版+解析)，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2023·宁德市第九中学高二月考）已知等差数列的前项和为，若，则的公差为（ ）
A．4B．3C．2D．1
2．(2023·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．－10B．－20C．－120D．－110
3．(2023·浙江·高考真题）已知等差数列的公差为d,前n项和为,则“d>0”是
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4.（2023·全国·高考真题（理））已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则
A．16B．8C．4D．2
5．(2023·全国·高考真题（理））设为等差数列的前项和，若，，则（ ）
A．B．C．D．
6．(2023·全国·模拟预测）已知数列满足对任意的，总存在，使得，则可能等于（ ）
A．B．2022nC．D．
7．(2023·四川省内江市第六中学模拟预测（理））已知数列的前n项和满足，若数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
8．(2023·河南开封·模拟预测（理））已知正项数列的前n项和为，，记，若数列的前n项和为，则（ ）
A．B．C．200D．400
二、多选题
9．(2023·河北沧州·二模）已知数列满足，记的前项和为，则（ ）
A．B．
C．D．
10．（2023·全国·高三专题练习）公差为d的等差数列满足，，则下面结论正确的有（ ）
A．d＝2B．
C．D．的前n项和为
11．（2023·湖北·高三阶段练习）已知是数列的前项和，且，则（ ）
A．数列为等比数列
B．数列为等比数列
C．
D．
12．（2023·全国·高三专题练习）在1261年，我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中提出了如图所示的三角形数表，这就是著名的“杨辉三角”，它是二项式系数在三角形中的一种几何排列．从第1行开始，第n行从左至右的数字之和记为，如：的前n项和记为，依次去掉每一行中所有的1构成的新数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，记为，的前n项和记为，则下列说法正确的有（ ）
A．B．的前n项和为
C．D．
三、填空题
13．（2023·北京·高考真题（理））设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=−3，S5=−10，则a5=__________，Sn的最小值为__________．
14．(2023·河南开封·模拟预测（理））在等比数列中，为其前n项和，若，，则的公比为______．
15．（2023·全国·高考真题（理））记Sn为等比数列{an}的前n项和．若，则S5=____________．
16．(2023·江苏·高考真题）已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________．
四、解答题
17．（2023·全国·高三专题练习）等比数列中，首项，前项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
18.(2023·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知正项数列满足，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
19.（2023·山东·高考真题）已知公比大于的等比数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和．
20.（2023·天津·高考真题（文）） 设是等差数列，是等比数列，公比大于，已知， ，.
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足求.
21.(2023·山东·高考真题（文））已知{an}是各项均为正数的等比数列,且.
(I)求数列{an}通项公式；
(II){bn}为各项非零的等差数列,其前n项和Sn,已知,求数列的前n项和.
22.(2023·天津·高考真题（文））设{an}是等差数列，其前n项和为Sn（n∈N*）；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn（n∈N*）．已知b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6．
（Ⅰ）求Sn和Tn；
（Ⅱ）若，求正整数n的值．
专题7.4 数列求和（真题测试）
一、单选题
1．（2023·宁德市第九中学高二月考）已知等差数列的前项和为，若，则的公差为（ ）
A．4B．3C．2D．1
答案：A
分析：
由已知，结合等差数列前n项和公式、通项公式列方程组求公差即可.
【详解】
由题设，，解得.
故选：A
2．(2023·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．－10B．－20C．－120D．－110
答案：C
【解析】
分析：
利用数列的运算性质与等差数列的前n项和的公式计算即可.
【详解】
，
，则.
故选：C
3．(2023·浙江·高考真题）已知等差数列的公差为d,前n项和为,则“d>0”是
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
答案：C
【解析】
【详解】
由，可知当时，有，即，反之，若，则，所以“d>0”是“S4 + S6>2S5”的充要条件，选C．
4.（2023·全国·高考真题（理））已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则
A．16B．8C．4D．2
答案：C
【解析】
利用方程思想列出关于的方程组，求出，再利用通项公式即可求得的值．
【详解】
设正数的等比数列{an}的公比为，则，
解得，，故选C．
5．(2023·全国·高考真题（理））设为等差数列的前项和，若，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
【详解】
分析：首先设出等差数列的公差为，利用等差数列的求和公式，得到公差所满足的等量关系式，从而求得结果，之后应用等差数列的通项公式求得，从而求得正确结果.
详解：设该等差数列的公差为，
根据题中的条件可得，
整理解得，所以，故选B.
6．(2023·全国·模拟预测）已知数列满足对任意的，总存在，使得，则可能等于（ ）
A．B．2022nC．D．
答案：B
【解析】
分析：
A选项，利用等比数列求和公式列出方程，令n＝2时，得到，m不存在，A错误；B选项，利用等差数列求和公式进行求解得到方程，取即可，C选项，利用平方和公式得到，当n＝2时，，m不存在；D选项，当n＝2时，，m不存在.
【详解】
对于选项A：当时，则是等比数列，因为
所以，当n＝2时，，m不存在，A错误；
对于选项B：当时，是等差数列，因为，则，取即可，B正确；
对于选项C：当时，，则，当n＝2时，，m不存在，C错误；
对于选项D：当时，，则，当n＝2时，，m不存在，D错误．
故选：B．
7．(2023·四川省内江市第六中学模拟预测（理））已知数列的前n项和满足，若数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
已知，则有，做差求，再检验，求出的通项公式，代入求，裂项法求和计算结果.
【详解】
，
当时，
，
当时，，，，所以
.
故
，
故选：D.
8．(2023·河南开封·模拟预测（理））已知正项数列的前n项和为，，记，若数列的前n项和为，则（ ）
A．B．C．200D．400
答案：C
【解析】
分析：
利用关系及等差数列的定义求的通项公式，进而可得，根据正弦函数的周期性并讨论，求得，即可求.
【详解】
由题设，则，
所以，又为正项数列，则，
由，可得，
所以是首项为1，公差为2的等差数列，则，故，
当且，；
当且，；
当且，；
当且，；
则，
由.
故选：C
二、多选题
9．(2023·河北沧州·二模）已知数列满足，记的前项和为，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：BCD
【解析】
分析：
由条件可得当为奇数时，；当为偶数时，，然后可逐一判断.
【详解】
因为，
所以当为奇数时，；当为偶数时，.
所以，选项错误；又因为，所以，选项B正确；
故C正确
，选项D正确.
故选：BCD
10．（2023·全国·高三专题练习）公差为d的等差数列满足，，则下面结论正确的有（ ）
A．d＝2B．
C．D．的前n项和为
答案：ABD
【解析】
分析：
根据等差数列的通项公式求得，结合等差数列的性质即可判断A、B；
利用裂项相消求和法即可判断C、D.
【详解】
由题意得，
，即，
解得，所以，故A、B正确；
得，
故，故C错误；
所以数列的前n项和为
，故D正确.
故选：ABD.
11．（2023·湖北·高三阶段练习）已知是数列的前项和，且，则（ ）
A．数列为等比数列
B．数列为等比数列
C．
D．
答案：AB
【解析】
分析：
由，分别得到，，然后逐项判断.
【详解】
由，得，
又，
所以数列是首项为1，公比为的等比数列，则正确；
由，得，
又，
所以数列是首项为7，公比为4的等比数列，则正确；
，相减可得，
所以，则错误；
，
，则错误．
故选：AB．
12．（2023·全国·高三专题练习）在1261年，我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中提出了如图所示的三角形数表，这就是著名的“杨辉三角”，它是二项式系数在三角形中的一种几何排列．从第1行开始，第n行从左至右的数字之和记为，如：的前n项和记为，依次去掉每一行中所有的1构成的新数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，记为，的前n项和记为，则下列说法正确的有（ ）
A．B．的前n项和为
C．D．
答案：ABD
【解析】
分析：
由题意分析出数列为等比数列，再求其前n项和记为，然后对各选项逐一分析即可.
【详解】
从第一行开始，每一行的数依次对应的二项式系数，所以，
为等比数列，，所以，故A正确；
，
所以的前n项和为
，故B正确；
依次去掉每一行中所有的1后，每一行剩下的项数分别为0，1，2，3……构成一个等差数列，项数之和为，的最大整数为10，杨辉三角中取满了第11行，第12行首位为1，在中去掉，取的就是第12行的第2项，，故C错误；
，这11行中共去掉了22个1，
所以，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
13．（2023·北京·高考真题（理））设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=−3，S5=−10，则a5=__________，Sn的最小值为__________．
答案： 0. -10.
【解析】
分析：
首先确定公差,然后由通项公式可得的值，进一步研究数列中正项､负项的变化规律,得到和的最小值.
【详解】
等差数列中,,得,公差,,
由等差数列的性质得时,,时,大于0,所以的最小值为或,即为.
14．(2023·河南开封·模拟预测（理））在等比数列中，为其前n项和，若，，则的公比为______．
答案：１或.
【解析】
分析：
分和两种情况讨论.
【详解】
解：当时，满足，，此时；
当时，由，，
可得：，解得 ，此时.
综上所述：公比的值为：１或.
故答案为：１或.
15．（2023·全国·高考真题（理））记Sn为等比数列{an}的前n项和．若，则S5=____________．
答案：.
【解析】
分析：
本题根据已知条件，列出关于等比数列公比的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到．题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查．
【详解】
设等比数列的公比为，由已知，所以又，
所以所以．
16．(2023·江苏·高考真题）已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________．
答案：27
【解析】
【详解】
分析：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值.
详解：设，则
由得
所以只需研究是否有满足条件的解，
此时，，为等差数列项数，且.
由
得满足条件的最小值为.
点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如），符号型（如），周期型（如）.
四、解答题
17．（2023·全国·高三专题练习）等比数列中，首项，前项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
答案：(1)
(2)
【解析】
分析：
（1）根据等比数列求解公比即可；（2）根据题意得，再裂项求和即可.
(1)
设数列公比为，由，，
可得，化简得，
即，所以．
(2)
由（1）得，
所以
所以
.
18.(2023·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知正项数列满足，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
答案：(1)
(2)
【解析】
分析：
（1）根据，即可得到（），两式作差即可得解；
（2）依题意可得，利用分组求和及裂项相消法求和即可；
(1)
解：因为，①
当时，．②
①②得，所以．
当时，，也满足上式，
所以．
(2)
解：因为，
则，
则．
19.（2023·山东·高考真题）已知公比大于的等比数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和．
答案：（1）；（2）.
【解析】
分析：
（1）利用基本元的思想，将已知条件转化为的形式，求解出，由此求得数列的通项公式.
（2）方法一：通过分析数列的规律，由此求得数列的前项和.
【详解】
（1）由于数列是公比大于的等比数列，设首项为，公比为，依题意有，解得解得，或(舍)，
所以，所以数列的通项公式为.
（2）［方法一］：规律探索
由于，所以
对应的区间为，则；
对应的区间分别为，则，即有2个1；
对应的区间分别为，则，即有个2；
对应的区间分别为，则，即有个3；
对应的区间分别为，则，即有个4；
对应的区间分别为，则，即有个5；
对应的区间分别为，则，即有37个6．
所以．
［方法二］【最优解】：
由题意，，即，当时，．
当时，，则
．
［方法三］：
由题意知，因此，当时，；时，；时，；时，；时，；时，；时，．
所以
．
所以数列的前100项和．
【整体点评】
（2）方法一：通过数列的前几项以及数列的规律可以得到的值，从而求出数列的前项和，这是本题的通性通法；方法二：通过解指数不等式可得数列的通项公式，从而求出数列的前项和，是本题的最优解；方法三，是方法一的简化版．
20.（2023·天津·高考真题（文）） 设是等差数列，是等比数列，公比大于，已知， ，.
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足求.
答案：（I），；
（II）
【解析】
分析：
（I）首先设出等差数列的公差，等比数列的公比，根据题意，列出方程组，求得，进而求得等差数列和等比数列的通项公式；
（II）根据题中所给的所满足的条件，将表示出来，之后应用分组求和法，结合等差数列的求和公式，以及错位相减法求和，最后求得结果.
【详解】
（I）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
依题意，得，解得，
故，，
所以，的通项公式为，的通项公式为；
（II）
，
记 ①
则 ②
②①得，，
所以
.
21.(2023·山东·高考真题（文））已知{an}是各项均为正数的等比数列,且.
(I)求数列{an}通项公式；
(II){bn}为各项非零的等差数列,其前n项和Sn,已知,求数列的前n项和.
答案：（Ⅰ）.（Ⅱ）.
【解析】
【详解】
试题分析：（Ⅰ）列出关于的方程组,解方程组求基本量；（Ⅱ）用错位相减法求和.
试题解析：（Ⅰ）设的公比为，由题意知：.
又，
解得：，
所以.
（Ⅱ）由题意知：，
又
所以,
令,
则，
因此
,
又,
两式相减得
所以.
22.(2023·天津·高考真题（文））设{an}是等差数列，其前n项和为Sn（n∈N*）；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn（n∈N*）．已知b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6．
（Ⅰ）求Sn和Tn；
（Ⅱ）若，求正整数n的值．
答案：(Ⅰ)，；(Ⅱ)4.
【解析】
分析：
（I）由题意得到关于q的方程，解方程可得，则.结合题意可得等差数列的首项和公差为，则其前n项和.
（II）由（I），知 据此可得 解得（舍），或.则n的值为4.
【详解】
（I）设等比数列的公比为q，由b1=1，b3=b2+2，可得．
因为，可得，故．所以，．
设等差数列的公差为．由，可得．
由，可得从而，故，所以，．
（II）由（I），有
由,
可得，
整理得解得（舍），或．所以n的值为4．