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    高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题7.7《数列与数学归纳法》真题+模拟试卷(原卷版+解析)

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    高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题7.7《数列与数学归纳法》真题+模拟试卷(原卷版+解析)

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    这是一份高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题7.7《数列与数学归纳法》真题+模拟试卷(原卷版+解析),共22页。试卷主要包含了选择题,多项选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
    1.(2023·全国·高三专题练习)在等差数列中,若,则( )
    A.2B.4C.6D.8
    2.(2023·北京·高考真题(理))“十二平均律” 是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为
    A.B.
    C.D.
    3.(2023·全国·高三专题练习)某银行在某段时间内,规定存款按单利计算,且整存整取的年利率如下:
    某人在该段时间存入10 000元,存期两年,利息税为所得利息的5%.则到期的本利和为( )元.
    A.10373B.10396C.10422D.10456
    4.(2023·四川凉山·二模(文))正项等比数列与正项等差数列,若,则与的关系是( )
    A.B.C.D.以上都不正确
    5.(2023·全国·高考真题(理))(2023新课标全国I理科)记为等差数列的前项和.若,,则的公差为
    A.1B.2
    C.4D.8
    6.(2023·辽宁实验中学模拟预测)已知数列是首项为1的正项等差数列,公差不为0,若、数列的第2项、数列的第5项恰好构成等比数列,则数列的通项公式为( )
    A.B.C.D.
    7.(2023·四川·成都七中模拟预测(理))数列满足,则以下说法正确的个数( )

    ②;
    ③对任意正数,都存在正整数使得成立

    A.1B.2C.3D.4
    8.(2023·浙江湖州·模拟预测)已知数列的各项都是正数,.记,数列的前n项和为,给出下列四个命题:
    ①若数列各项单调递增,则首项
    ②若数列各项单调递减,则首项
    ③若数列各项单调递增,当时,
    ④若数列各项单调递增,当时,,
    则以下说法正确的个数( )
    A.4B.3C.2D.1
    二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对得5分,部分选对得3分,有选错的得0分.
    9.(2023·重庆·二模)设数列的前n项和为,已知,且,则下列结论正确的是( )
    A.是等比数列B.是等比数列
    C.D.
    10.(2023·福建漳州·三模)已知数列{}的前n项和为,则下列说法正确的是( ).
    A.是递增数列B.是递减数列
    C.D.数列的最大项为和
    11.(2023·全国·模拟预测)已知数列满足,,数列的前n项和为,且,则( )
    A.B.
    C.数列为单调递增的等差数列D.,正整数n的最小值为31
    12.(2023·湖南·高二期末)古希腊人十分重视数学与逻辑,闲暇之余喜欢在沙滩上玩数字游戏,如图,古希腊学者用石头摆出三角形图案,第1行有1颗石头,第2行有2颗,以此类推,第行有颗,第行第颗 石头记为表示从第1行第1颗至第行第颗石头的总数,设,则 ( )
    A.B.
    C.D.
    第II卷 非选择题部分(共90分)
    三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
    13.(2023·全国·高考真题(文))记为等差数列的前项和,若,则___________.
    14.(2023·北京·高考真题(理))若等差数列和等比数列满足,,则_______.
    15.(2023·云南师大附中高三阶段练习)“物不知数”问题:“今有物,不知其数,三、三数之,剩二;五、五数之,剩三;七、七数之,剩二.问物几何?”即著名的“孙子问题”,最早由《孙子算经》提出,研究的是整除与同余的问题.现有这样一个问题:将1到2022这2022个数中,被3除余2且被5除余2的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列,则此数列的中位数为____________.
    16.(2023·江西·临川一中模拟预测(文))已知,若对于任意恒成立,则实数的取值范围是_______.
    四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
    17.(2023·北京·高考真题(文))设是等差数列,且.
    (Ⅰ)求的通项公式;
    (Ⅱ)求.
    18.(2023·青海·海东市第一中学模拟预测(理))设数列的前n项和为,.
    (1)证明:数列是等比数列.
    (2)若数列的前m项和,求m的值.
    19.(2023·全国·高考真题(理))为等差数列的前n项和,且记,其中表示不超过x的最大整数,如.
    (Ⅰ)求;
    (Ⅱ)求数列的前1000项和.
    20.(2023·江苏无锡·模拟预测)已知数列满足:
    (1)求、、;
    (2)将数列中下标为奇数的项依次取出,构成新数列,
    ①证明:是等差数列;
    ②设数列的前m项和为,求证:.
    21.(2023·全国·高三专题练习)已知数列中,满足对任意都成立,数列的前n项和为.若,且是等比数列,求k的值,并求.
    22.(2023·全国·高三专题练习)已知数列的前n项和满足.数列满足,.
    (1)求证:数列为等比数列,并求数列的通项公式;
    (2)求证:.
    存期
    1年
    2年
    3年
    5年
    年利率(%)
    2.25
    2.4
    2.73
    2.88
    专题7.7 《数列与数学归纳法》真题+模拟试卷
    第I卷 选择题部分(共60分)
    一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
    1.(2023·全国·高三专题练习)在等差数列中,若,则( )
    A.2B.4C.6D.8
    答案:D
    【解析】
    分析:
    根据等差数列的下标和性质即可解出.
    【详解】
    因为,解得:,所以.
    故选:D.
    2.(2023·北京·高考真题(理))“十二平均律” 是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为
    A.B.
    C.D.
    答案:D
    【解析】
    【详解】
    分析:根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列,利用等比数列的相关性质可解.
    详解:因为每一个单音与前一个单音频率比为,
    所以,
    又,则
    故选D.
    3.(2023·全国·高三专题练习)某银行在某段时间内,规定存款按单利计算,且整存整取的年利率如下:
    某人在该段时间存入10 000元,存期两年,利息税为所得利息的5%.则到期的本利和为( )元.
    A.10373B.10396C.10422D.10456
    答案:D
    【解析】
    分析:
    先求出存期两年的利息与本金和,再求得利息税,作差即可.
    【详解】
    由题意存期两年的利息与本金为10 000×(1+2×2.4%),利息税为10 000×2×2.4%×5%,
    所以到期的本利和为10 000×(1+2×2.4%)-10 000×2×2.4%×5%=10 456.
    故选:.
    4.(2023·四川凉山·二模(文))正项等比数列与正项等差数列,若,则与的关系是( )
    A.B.C.D.以上都不正确
    答案:C
    【解析】
    分析:
    利用等差数列通项公式和等比数列性质可将已知等式化为,由此可得结果.
    【详解】
    设等差数列公差为,则,
    又,,
    均为正项数列,.
    故选:C
    5.(2023·全国·高考真题(理))(2023新课标全国I理科)记为等差数列的前项和.若,,则的公差为
    A.1B.2
    C.4D.8
    答案:C
    【解析】
    【详解】
    设公差为,,,联立解得,故选C.
    点睛:求解等差数列基本量问题时,要多多使用等差数列的性质,如为等差数列,若,则.
    6.(2023·辽宁实验中学模拟预测)已知数列是首项为1的正项等差数列,公差不为0,若、数列的第2项、数列的第5项恰好构成等比数列,则数列的通项公式为( )
    A.B.C.D.
    答案:A
    【解析】
    分析:
    根据题意设,所以,,所以,,构成等比数列,即,求出即可求解.
    【详解】
    设等差数列的公差为,所以,所以,
    ,又、数列的第2项、数列的第5项恰好构成等比数列,
    即,,构成等比数列,所以,
    解得,(舍去),所以.
    故选:A.
    7.(2023·四川·成都七中模拟预测(理))数列满足,则以下说法正确的个数( )

    ②;
    ③对任意正数,都存在正整数使得成立

    A.1B.2C.3D.4
    答案:B
    【解析】
    分析:
    利用二次函数的性质及递推关系得,然后作差,可判断①,已知等式变形为,求出平方和可得②成立,利用简单的放缩可得,可判断③,利用数学归纳法思想判断④.
    【详解】
    因为,若,则,
    ∴,∴,①错误;
    由已知,
    ∴,②正确;
    由及①得,,
    ∴,
    显然对任意的正数,在在正整数,使得,此时成立,③正确;
    (i)已知成立,
    (ii)假设,则,
    又,
    ∴,
    由数学归纳法思想得④错误.
    故选:B.
    8.(2023·浙江湖州·模拟预测)已知数列的各项都是正数,.记,数列的前n项和为,给出下列四个命题:
    ①若数列各项单调递增,则首项
    ②若数列各项单调递减,则首项
    ③若数列各项单调递增,当时,
    ④若数列各项单调递增,当时,,
    则以下说法正确的个数( )
    A.4B.3C.2D.1
    答案:B
    【解析】
    分析:
    将化为,根据数列的单调性列式,解不等式得到的范围,从而得的范围,再根据可得的范围,由此可判断①②;
    由,得,利用裂项求和法求出,再根据单调性及首项,可得的范围,由此可判断③④.
    【详解】
    对于①,由题意,正数数列是单调递增数列,且,
    ∴,解得,∴.
    ∴.∵,∴.则①成立,
    对于②,由题意,正数数列是单调递减数列,且,
    ∴,解得,∴.
    ∴.故②成立.
    又由,可得:.
    ∴.∵,


    对于③,当时,因为,所以,∴,则,故③不成立;
    对于④,当时,因为,∴,即,
    ∴.则,故④成立.
    故选:B
    二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对得5分,部分选对得3分,有选错的得0分.
    9.(2023·重庆·二模)设数列的前n项和为,已知,且,则下列结论正确的是( )
    A.是等比数列B.是等比数列
    C.D.
    答案:BC
    【解析】
    分析:
    由条件变形,先求的通项公式,再判断选项
    【详解】
    由题意得,故是首项为2,公比为2的等比数列,
    ,则.故B,C正确,A错误
    ,
    ,
    两式相减得:,故D错误.
    故选:BC
    10.(2023·福建漳州·三模)已知数列{}的前n项和为,则下列说法正确的是( ).
    A.是递增数列B.是递减数列
    C.D.数列的最大项为和
    答案:BCD
    【解析】
    分析:
    根据,利用二次函数的性质判断D,利用数列通项和前n项和关系求得通项公式判断ABC.
    【详解】
    解:因为,所以数列的最大项为和,故D正确;
    当时,,
    当时,由,得,
    两式相减得:,
    又,适合上式,
    所以,故C正确;
    因为,所以是递减数列,故A错误,B正确;
    故选:BCD
    11.(2023·全国·模拟预测)已知数列满足,,数列的前n项和为,且,则( )
    A.B.
    C.数列为单调递增的等差数列D.,正整数n的最小值为31
    答案:BCD
    【解析】
    分析:
    对AB,根据计算判断即可;
    对C,根据递推公式可得判断即可;
    对D,结合与,求解可得,进而求得,再求解即可
    【详解】
    对AB,因为,所以,解得,则,,所以,,所以A选项错误,B选项正确;
    对C,因为,即,所以.又,所以数列为单调递增的等差数列,所以C选项正确;
    对D,因为,所以

    所以
    ,解得.又,所以正整数n的最小值为31,所以D选项正确,
    故选:BCD.
    12.(2023·湖南·高二期末)古希腊人十分重视数学与逻辑,闲暇之余喜欢在沙滩上玩数字游戏,如图,古希腊学者用石头摆出三角形图案,第1行有1颗石头,第2行有2颗,以此类推,第行有颗,第行第颗 石头记为表示从第1行第1颗至第行第颗石头的总数,设,则 ( )
    A.B.
    C.D.
    答案:ABD
    【解析】
    分析:
    分析题意,可求得的表达式,从而得的表达式,逐项验证即可.
    【详解】
    解:由题意可知,,故B正确;
    ,所以,故A正确;
    ,故D正确;
    所以,故C不正确.
    故选:ABD.
    第II卷 非选择题部分(共90分)
    三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
    13.(2023·全国·高考真题(文))记为等差数列的前项和,若,则___________.
    答案:100
    【解析】
    分析:
    根据题意可求出首项和公差,进而求得结果.
    【详解】

    14.(2023·北京·高考真题(理))若等差数列和等比数列满足,,则_______.
    答案:
    【解析】
    分析:
    设等差数列的公差为,等比数列的公比为,根据题中条件求出、的值,进而求出和的值,由此可得出的值.
    【详解】
    设等差数列的公差和等比数列的公比分别为和,则,
    求得,,那么,故答案为.
    15.(2023·云南师大附中高三阶段练习)“物不知数”问题:“今有物,不知其数,三、三数之,剩二;五、五数之,剩三;七、七数之,剩二.问物几何?”即著名的“孙子问题”,最早由《孙子算经》提出,研究的是整除与同余的问题.现有这样一个问题:将1到2022这2022个数中,被3除余2且被5除余2的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列,则此数列的中位数为____________.
    答案:1007
    【解析】
    分析:
    由题意可知,数列满足,再根据与2022的大小关系确定数列共有135项,进而求得中位数即可
    【详解】
    由题意可知,既是3的倍数,又是5的倍数,即,所以,
    当时,,
    当时,,所以,
    数列共有135项,因此中位数为第68项,.
    故答案为:1007
    16.(2023·江西·临川一中模拟预测(文))已知,若对于任意恒成立,则实数的取值范围是_______.
    答案:
    【解析】
    分析:
    先分离参数将问题转化为对于任意恒成立,进而转化为,构造,再作差判定单调性求出数列的最值,进而求出的取值范围.
    【详解】
    因为,且对于任意恒成立,
    所以对于任意恒成立,即,
    令,则,
    因为,,,
    且对于任意恒成立,
    所以,即,
    所以实数的取值范围是.
    故答案为:.
    四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
    17.(2023·北京·高考真题(文))设是等差数列,且.
    (Ⅰ)求的通项公式;
    (Ⅱ)求.
    答案:(I);(II).
    【解析】
    分析:
    (I)设公差为,根据题意可列关于的方程组,求解,代入通项公式可得;(II)由(I)可得,进而可利用等比数列求和公式进行求解.
    【详解】
    (I)设等差数列的公差为,
    ∵,
    ∴,
    又,∴.
    ∴.
    (II)由(I)知,
    ∵,
    ∴是以2为首项,2为公比的等比数列.

    .

    18.(2023·青海·海东市第一中学模拟预测(理))设数列的前n项和为,.
    (1)证明:数列是等比数列.
    (2)若数列的前m项和,求m的值.
    答案:(1)证明见解析
    (2)8
    【解析】
    分析:
    (1)根据与的关系式化简证明;(2)由(1)得数列的通项公式为.所以,继而求和计算.
    (1)
    当时,,.
    当时,,两式相减得,
    即,,
    则数列是首项为2,公比为2的等比数列.
    (2)
    由(1)得,,当时,,
    数列的通项公式为.


    令,
    得,解得.
    19.(2023·全国·高考真题(理))为等差数列的前n项和,且记,其中表示不超过x的最大整数,如.
    (Ⅰ)求;
    (Ⅱ)求数列的前1000项和.
    答案:(Ⅰ)(Ⅱ)1893.
    【解析】
    【详解】
    试题分析:(Ⅰ)先求公差、通项,再根据已知条件求;(Ⅱ)用分段函数表示,再由等差数列的前项和公式求数列的前1 000项和.
    试题解析:(Ⅰ)设的公差为,据已知有,解得
    所以的通项公式为
    (Ⅱ)因为
    所以数列的前项和为
    20.(2023·江苏无锡·模拟预测)已知数列满足:
    (1)求、、;
    (2)将数列中下标为奇数的项依次取出,构成新数列,
    ①证明:是等差数列;
    ②设数列的前m项和为,求证:.
    答案:(1) ; ;
    (2)①证明见解析 ;②证明见解析
    【解析】
    分析:
    (1)根据求解;
    (2)①利用等差数列的定义证明;②利用裂项相消法求解.
    (1)
    由题意知:,


    (2)
    ①当n为奇数时,n+1为偶数,
    ,
    ,
    ,
    当时,,
    是以为首项,2为公差的等差数列.
    ②由①知,


    .
    21.(2023·全国·高三专题练习)已知数列中,满足对任意都成立,数列的前n项和为.若,且是等比数列,求k的值,并求.
    答案:;当时,;当时,,.
    【解析】
    分析:
    根据已知条件结合等比中项的性质,即可求解的值,解得,分别求解和时的前n项和为.
    【详解】
    解:因为且得,
    又是等比数列,则,
    即,得.
    当时,,,故是以2为首项,公比为1的等比数列,
    此时的前n项和;
    当时,,即,
    所以,且所以以为首项,公比为-1的等比数列,
    又,
    所以,当n是偶数时,

    当n是奇数时,,

    综上,当时,,
    当时,.
    22.(2023·全国·高三专题练习)已知数列的前n项和满足.数列满足,.
    (1)求证:数列为等比数列,并求数列的通项公式;
    (2)求证:.
    答案:(1)证明见解析,
    (2)证明见解析
    【解析】
    分析:
    (1)由公式当时,可得与的关系式,进而可证数列为等比数列,并求得数列的通项公式;
    (2)由题意得,所以与同号,又数列为递增数列,又,累加得
    所以
    (1)
    当时,;
    当时,,
    所以,整理得.
    所以,又,故.
    所以,即为等比数列.所以
    (2)
    由题意得,所以与同号,
    又因为,所以,即,即.
    所以数列为递增数列,所以,
    即,累加得.
    令,,所以,
    两式相减得:,
    所以,所以,所以.
    存期
    1年
    2年
    3年
    5年
    年利率(%)
    2.25
    2.4
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