高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题8.1空间几何体及其三视图和直观图(知识点讲解)(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题8.1空间几何体及其三视图和直观图(知识点讲解)(原卷版+解析)，共17页。


【核心素养】
1.通过考查棱柱、棱锥或不规则几何体的特征及体积与表面积的计算，凸显数学运算、直观想象的核心素养．
2.考查三视图的识别；三视图与直观图的联系与转化；主要考查几何体与球的组合体的识辨，球的体积、表面积的计算，凸显数学运算、直观想象的核心素养．
【知识点展示】
（一）多面体的结构特征
（二）旋转体的结构特征
（三）简单组合体
简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，有多面体与多面体、多面体与旋转体、旋转体与旋转体的组合体．
（四）空间几何体的直观图
简单几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是：
(1)画几何体的底面
在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°或135°，已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中平行于x′轴、y′轴．已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．
(2)画几何体的高
在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴，也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度不变．
（五）空间几何体的三视图
三视图
几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．
三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽.即“长对正，宽相等，高平齐”.
【常考题型剖析】
题型一：空间几何体的结构特征
例1.（2023·全国·高考真题）已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）
A．B．C．D．
例2.(2023·北京·高考真题）已知正三棱锥的六条棱长均为6，S是及其内部的点构成的集合．设集合，则T表示的区域的面积为（ ）
A．B．C．D．
例3．【多选题】(2023·福建厦门·高一期末）如图，圆台O2O2中，母线AB与下底面所成的角为60°，BC为上底面直径，O2A=6O1B=6，则（ ）
A．圆台的母线长为10
B．圆台的侧面积为
C．由点A出发沿侧面到达点C的最短距离是
D．在圆台内放置一个可以任意转动的正方体，则正方体棱长的最大值是4
例4.(2023·浙江高考)已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是________．
【特别提醒】
1.棱柱的所有侧面都是平行四边形，但侧面都是平行四边形的几何体却不一定是棱柱．
2.棱台的所有侧面都是梯形，但侧面都是梯形的几何体却不一定是棱台．
3.注意棱台的所有侧棱相交于一点．
4.通常利用空间几何体的表面展开图解决以下问题：
(1)求几何体的表面积或侧面积；
(2)求几何体表面上任意两个点的最短表面距离．
题型二：空间几何体的直观图
例5.(2023·天津市求真高级中学高一期末）如图，水平放置的的斜二测直观图是图中的，已知，，则AB边的实际长度是（ ）
A．B．12C．10D．8
例6.(2023·河南新乡·高一期末）在直角坐标系中水平放置的直角梯形OABC如图所示．已知O为坐标原点，，，．在用斜二测画法画出的直观图中，四边形的面积为（ ）
A．4B．C．8D．
例7.(2023·山东烟台·高一期末）已知直四棱柱的高为2，其底面四边形ABCD水平放置时的斜二测直观图为矩形，如图所示．若，则该直四棱柱的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【总结提升】
直观图的面积问题常常有两种解法：一是利用斜二测画法求解，注意 “斜”及“二测”的含义；二是直接套用等量关系：(1)S直观图＝S原图形．(2)S原图形＝S直观图．
题型三：空间几何体的三视图
例8．（2023·全国·高考真题（理））如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为，在俯视图中对应的点为，则该端点在侧视图中对应的点为（ ）
A．B．C．D．
例9.（2023·全国·高考真题（理））以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_________（写出符合要求的一组答案即可）．
例10.（北京·高考真题（文））某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为____________
【总结提升】
画三视图时，可先找出各个顶点在投影面上的投影，然后再确定连线在投影面上的虚实．
多面体
结构特征
棱柱
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个面的交线都平行且相等
棱锥
有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形
棱台
棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分
名称
圆柱
圆锥
圆台
球
图形
旋转
图形
矩形
直角三角形
直角梯形
半圆形
旋转轴
任一边所在的直线
任一直角边所在的直线
垂直于底边的腰所在的直线
直径所在的直线
母线
互相平行且相等，垂直于底面
相交于一点
延长线交于一点
轴截面
全等的矩形
全等的等腰三角形
全等的等腰梯形
圆
侧面展开图
矩形
扇形
扇环
专题8.1 空间几何体及其三视图和直观图（知识点讲解）
【知识框架】

【核心素养】
1.通过考查棱柱、棱锥或不规则几何体的特征及体积与表面积的计算，凸显数学运算、直观想象的核心素养．
2.考查三视图的识别；三视图与直观图的联系与转化；主要考查几何体与球的组合体的识辨，球的体积、表面积的计算，凸显数学运算、直观想象的核心素养．
【知识点展示】
（一）多面体的结构特征
（二）旋转体的结构特征
（三）简单组合体
简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，有多面体与多面体、多面体与旋转体、旋转体与旋转体的组合体．
（四）空间几何体的直观图
简单几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是：
(1)画几何体的底面
在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°或135°，已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中平行于x′轴、y′轴．已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．
(2)画几何体的高
在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴，也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度不变．
（五）空间几何体的三视图
三视图
几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．
三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽.即“长对正，宽相等，高平齐”.
【常考题型剖析】
题型一：空间几何体的结构特征
例1.（2023·全国·高考真题）已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
分析：
设圆锥的母线长为，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得的值，即为所求.
【详解】
设圆锥的母线长为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则，解得.
故选：B.
例2.(2023·北京·高考真题）已知正三棱锥的六条棱长均为6，S是及其内部的点构成的集合．设集合，则T表示的区域的面积为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
分析：
求出以为球心，5为半径的球与底面的截面圆的半径后可求区域的面积.
【详解】
设顶点在底面上的投影为，连接，则为三角形的中心，
且，故.
因为，故，
故的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，
而三角形内切圆的圆心为，半径为，
故的轨迹圆在三角形内部，故其面积为
故选：B
例3．【多选题】(2023·福建厦门·高一期末）如图，圆台O2O2中，母线AB与下底面所成的角为60°，BC为上底面直径，O2A=6O1B=6，则（ ）
A．圆台的母线长为10
B．圆台的侧面积为
C．由点A出发沿侧面到达点C的最短距离是
D．在圆台内放置一个可以任意转动的正方体，则正方体棱长的最大值是4
答案：ABD
【解析】
分析：
对A，根据轴截面分析即可；
对B，根据圆台的侧面积公式求解即可；
对C，将圆台侧面展开，再计算即可；
对D，计算圆台内能放下的最大球的直径，再根据该球为此正方体外接球求解即可
【详解】
对A，母线长为，故A正确；
对B，由A母线长为10，则根据圆台的侧面积公式，故B正确；
对C，由题意，侧面全展开的圆心角为，因为此时，但线段有小部分不在扇环上，故由点A出发沿侧面到达点C的最短距离大于，故C错误；
对D，由题意，该圆台的轴截面可补全为一个边长为12的正三角形，故圆台中能放下的最大球的半径为，直径为，故在圆台内放置一个可以任意转动的正方体，则正方体为该球的内接正方体，棱长为，故D正确；
故选：ABD
例4.(2023·浙江高考)已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是________．
答案：1.
【解析】：法一：设该圆锥的母线长为l，
因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，其面积为2π，
所以πl2＝2π，解得l＝2，
所以该半圆的弧长为2π.
设该圆锥的底面半径为R，则2πR＝2π，解得R＝1.
法二：设该圆锥的底面半径为R，
则该圆锥侧面展开图中的圆弧的弧长为2πR.
因为侧面展开图是一个半圆，
设该半圆的半径为r，则πr＝2πR，即r＝2R，
所以侧面展开图的面积为·2R·2πR＝2πR2＝2π，解得R＝1.
答案：1
【特别提醒】
1.棱柱的所有侧面都是平行四边形，但侧面都是平行四边形的几何体却不一定是棱柱．
2.棱台的所有侧面都是梯形，但侧面都是梯形的几何体却不一定是棱台．
3.注意棱台的所有侧棱相交于一点．
4.通常利用空间几何体的表面展开图解决以下问题：
(1)求几何体的表面积或侧面积；
(2)求几何体表面上任意两个点的最短表面距离．
题型二：空间几何体的直观图
例5.(2023·天津市求真高级中学高一期末）如图，水平放置的的斜二测直观图是图中的，已知，，则AB边的实际长度是（ ）
A．B．12C．10D．8
答案：C
【解析】
分析：
由斜二测画法的法则结合勾股定理得出.
【详解】
因为，所以
因为，所以
即
故选：C
例6.(2023·河南新乡·高一期末）在直角坐标系中水平放置的直角梯形OABC如图所示．已知O为坐标原点，，，．在用斜二测画法画出的直观图中，四边形的面积为（ ）
A．4B．C．8D．
答案：A
【解析】
分析：
利用斜二测画法画出直观图四边形，再计算面积
【详解】
如图，画出直观图，过点作，垂足为
因为，，
所以，，，则，
故四边形的面积为．
故选：A
例7.(2023·山东烟台·高一期末）已知直四棱柱的高为2，其底面四边形ABCD水平放置时的斜二测直观图为矩形，如图所示．若，则该直四棱柱的表面积为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
分析：
首先得到底面四边形的平面图形，根据斜二测法及勾股定理求出线段的长度，即可求出底面积与底面周长，再根据表面积公式计算可得；
【详解】
解：由直观图可得底面四边形的平面图形如下，由，
则，，所以，
则，，
所以，又直棱柱的高，所以棱柱的侧面积，
所以.
故选：C
【总结提升】
直观图的面积问题常常有两种解法：一是利用斜二测画法求解，注意 “斜”及“二测”的含义；二是直接套用等量关系：(1)S直观图＝S原图形．(2)S原图形＝S直观图．
题型三：空间几何体的三视图
例8．（2023·全国·高考真题（理））如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为，在俯视图中对应的点为，则该端点在侧视图中对应的点为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
分析：
根据三视图，画出多面体立体图形，即可求得点在侧视图中对应的点.
【详解】
根据三视图，画出多面体立体图形，
上的点在正视图中都对应点M,直线上的点在俯视图中对应的点为N,
∴在正视图中对应,在俯视图中对应的点是,线段,上的所有点在侧试图中都对应,∴点在侧视图中对应的点为.
故选：A
例9.（2023·全国·高考真题（理））以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_________（写出符合要求的一组答案即可）．
答案：③④（答案不唯一）
【解析】
分析：
由题意结合所给的图形确定一组三视图的组合即可.
【详解】
选择侧视图为③，俯视图为④，
如图所示，长方体中，，
分别为棱的中点，
则正视图①，侧视图③，俯视图④对应的几何体为三棱锥.
故答案为：③④.
例10.（北京·高考真题（文））某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为____________
答案：
【解析】
分析：
根据三视图得到图像，直接运算求解即可
【详解】
由三视图可知图像，该几何体为一条侧棱垂直于底面的三棱锥，底面是边长为2的正三角形，垂直于底面的侧棱长为2 ，则最长棱的棱长为
故答案为：
【总结提升】
画三视图时，可先找出各个顶点在投影面上的投影，然后再确定连线在投影面上的虚实．多面体
结构特征
棱柱
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个面的交线都平行且相等
棱锥
有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形
棱台
棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分
名称
圆柱
圆锥
圆台
球
图形
旋转
图形
矩形
直角三角形
直角梯形
半圆形
旋转轴
任一边所在的直线
任一直角边所在的直线
垂直于底边的腰所在的直线
直径所在的直线
母线
互相平行且相等，垂直于底面
相交于一点
延长线交于一点
轴截面
全等的矩形
全等的等腰三角形
全等的等腰梯形
圆
侧面展开图
矩形
扇形
扇环