高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题8.3空间点、直线、平面之间的位置关系(真题测试)(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题8.3空间点、直线、平面之间的位置关系(真题测试)(原卷版+解析)，共26页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（广东·高考真题（文））若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是（ ）
A．与，都相交B．与，都不相交
C．至少与，中的一条相交D．至多与，中的一条相交
2．（2023·全国·高考真题（理））如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面是线段的中点，则（ ）
A．，且直线是相交直线
B．，且直线是相交直线
C．，且直线是异面直线
D．，且直线是异面直线
3．（安徽·高考真题（理））从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为的共有（ ）
A．24对B．30对C．48对D．60对
4．（全国·高考真题（理））已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，是的中点，则所成的角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
5．（·广东·高考真题（理））若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（ ）
A．至多等于3B．至多等于4C．等于5D．大于5
6．（湖南·高考真题（文））如图1，在正四棱柱中，分别是，的中点，则以下结论中不成立的是（ ）
A．与垂直B．与垂直
C．与异面D．与异面
7．(2023·四川南充·高二期末（文））将边长为1的正方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与在平面的同侧，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
8．(2023·全国·高考真题（理））已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为
A．B．C．D．
二、多选题
9．(2023·全国·高一）下面四个条件中，能确定一个平面的是（ ）
A．空间中任意三点B．一条直线和一个点
C．两条相交的直线D．两条平行的直线
10．(2023·辽宁·营口市第二高级中学高一阶段练习）有下列命题：
①经过三点确定一个平面；
②梯形可以确定一个平面；
③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；
④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．
其中正确命题是（ ）
A．①B．②C．③D．④
11．(2023·云南昆明·高一期末）如图，在长方体中，E、F、G、H分别是、、AB、AD的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．点A在平面内B．
C．平面平面D．直线EH与直线FG相交
12．(2023·安徽·合肥市第六中学高一期末）正方体中，下列说法正确的是（ ）
A．在空间中，过作与夹角都为60°的直线可以作4条
B．在空间中，过作与夹角都为45°的直线可以作4条
C．棱的中点分别为E，F，在空间中，能且只能作一条直线与直线，，都相交
D．在空间中，过与直线，，夹角都相等的直线有4条
三、填空题
13．（2023·四川宜宾·高一期末）若直线l与平面平行，直线，则直线l与直线a的位置关系是________．（填满足条件的所有正确结论：平行、相交、异面）
14.（全国·高考真题（文））已知正方体中，E为的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为 .
15．(2023·全国·高考真题（理））α、β是两个平面，m、n是两条直线，有下列四个命题：
（1）如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.（2）如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.
（3）如果α∥β，mα，那么m∥β. （4）如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.
其中正确的命题有________.(填写所有正确命题的编号）
16．（浙江·高考真题（理））如图，三棱锥中， ，点分别是的中点，则异面直线所成的角的余弦值是________．
四、解答题
17．(2023·全国·高一专题练习）如图，正方体中，点分别是棱的中点，判断下列直线的位置关系：
(1)与：
(2)与：
(3)与：
(4)与.
18.(2023·四川省成都市新都一中高二期中（理））如图，在长方体中，，，点，分别为棱，的中点．
(1)证明：，，，四点共面；
(2)求点到平面的距离．
19．(2023·上海青浦·二模）如图，已知圆柱的轴截面是边长为的正方形，是弧的中点．
(1)求该圆柱的表面积和体积；
(2)求异面直线与所成角的大小．
20．(2023·广东韶关·高一期末）如图，已知正方体的棱长为2，E，F分别是AB，的中点．
(1)求直线与直线所成角的正切值；
(2)求三棱锥的体积．
21．(2023·北京·高一期末）如图，在正方体中，是棱上一点，且．
(1)试画出过三点的平面截正方体所得截面；
(2)证明：平面与平面相交，并指出它们的交线．
22．(2023·上海虹口·二模）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为的中点，，直线与平面所成的角为.
(1)求四棱锥的体积；
(2)求异面直线与所成的角的大小.
专题8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系（真题测试）
一、单选题
1．（广东·高考真题（文））若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是（ ）
A．与，都相交B．与，都不相交
C．至少与，中的一条相交D．至多与，中的一条相交
答案：C
【解析】
【详解】
l与l1，l2可以都相交，可可能和其中一条平行，和其中一条相交，如图
所以至少与，中的一条相交.
故选:C．
2．（2023·全国·高考真题（理））如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面是线段的中点，则（ ）
A．，且直线是相交直线
B．，且直线是相交直线
C．，且直线是异面直线
D．，且直线是异面直线
答案：B
【解析】
利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题．
【详解】
如图所示， 作于，连接，过作于．
连，平面平面．
平面，平面，平面，
与均为直角三角形．设正方形边长为2，易知，
．，故选B．
3．（安徽·高考真题（理））从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为的共有（ ）
A．24对B．30对C．48对D．60对
答案：C
【解析】
【详解】
试题分析：在正方体中，与上平面中一条对角线成的直线有，，，共八对直线，与上平面中另一条对角线的直线也有八对直线，所以一个平面中有16对直线，正方体6个面共有对直线，去掉重复，则有对.故选C.
4．（全国·高考真题（理））已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，是的中点，则所成的角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
【详解】
试题分析：设的交点为，连接，则为所成的角或其补角；设正四棱锥的棱长为，则，所以
，故C为正确答案．
5．（·广东·高考真题（理））若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（ ）
A．至多等于3B．至多等于4C．等于5D．大于5
答案：B
【解析】
【详解】
试题分析：先考虑平面上的情况：只有三个点的情况成立；再考虑空间里，只有四个点的情况成立，注意运用外接球和三角形三边的关系，即可判断．
解：考虑平面上，3个点两两距离相等，构成等边三角形，成立；
4个点两两距离相等，由三角形的两边之和大于第三边，则不成立；
n大于4，也不成立；
在空间中，4个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立；
若n＞4，由于任三点不共线，当n=5时，考虑四个点构成的正四面体，
第五个点，与它们距离相等，必为正四面体的外接球的球心，
由三角形的两边之和大于三边，故不成立；
同理n＞5，不成立．
故选B．
6．（湖南·高考真题（文））如图1，在正四棱柱中，分别是，的中点，则以下结论中不成立的是（ ）
A．与垂直B．与垂直
C．与异面D．与异面
答案：D
【解析】
【详解】
如图所示，连结，由几何关系可得点为的中点，且，
由三角形中位线的性质可得：，即与不是异面直线，
很明显，与异面，
由几何关系可得：，则，
综上可得，选项D中的结论不成立.
本题选择D选项.
7．(2023·四川南充·高二期末（文））将边长为1的正方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与在平面的同侧，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
分析：
作出过点的圆柱的母线，连接，证明即可推理、计算作答.
【详解】
作出过点的圆柱的母线，连接，如图，
则有，而，即有，为正三角形，
，因此，，是异面直线与所成的角，
由平面得，而，从而有，，
所以异面直线与所成的角的余弦值为.
故选：C
8．(2023·全国·高考真题（理））已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
【详解】
如图所示，补成直四棱柱，
则所求角为，
易得，因此，故选C．
平移法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：
①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
③计算：求该角的值，常利用解三角形；
④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．
二、多选题
9．(2023·全国·高一）下面四个条件中，能确定一个平面的是（ ）
A．空间中任意三点B．一条直线和一个点
C．两条相交的直线D．两条平行的直线
答案：CD
【解析】
分析：
利用平面的基本性质判断选项的正误即可作答.
【详解】
空间中任意三点，当三点共线时，不能确定一个平面，A不正确；
一条直线和一个点，如果点在直线上，不能确定一个平面，B不正确；
由平面的基本性质可知：两条相交的直线，两条平行的直线，都能确定一个平面，C，D正确.
故选：CD
10．(2023·辽宁·营口市第二高级中学高一阶段练习）有下列命题：
①经过三点确定一个平面；
②梯形可以确定一个平面；
③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；
④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．
其中正确命题是（ ）
A．①B．②C．③D．④
答案：BC
【解析】
分析：
根据确定平面的条件，逐个分析可得答案.
【详解】
对于①，经过不共线的三点确定一个平面，故①不正确；
对于②，因为梯形的两底边平行，经过两条平行直线确定一个平面，故②正确；
对于③，当三条直线交于不同的三点时，三条直线只确定一个平面；当三条直线交于一点时，三条直线最多确定三个平面，故③正确；
对于④，当两个平面的三个公共点在一条直线上时，这两个平面相交于这条直线，不一定重合，故④不正确.
故选：BC
11．(2023·云南昆明·高一期末）如图，在长方体中，E、F、G、H分别是、、AB、AD的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．点A在平面内B．
C．平面平面D．直线EH与直线FG相交
答案：AD
【解析】
分析：
连接、、、，若是的中点，连接、，利用中位线性质有、都为平行四边形，进而有判断A；由过直线外一点有且仅有一条直线与该直线平行判断B；根据平面中点、线、面的关系判断C；连接，易证、即可判断D.
【详解】
连接、、、，若是的中点，连接、，

由题设，且，则为平行四边形，
所以且，
又E是中点，故且，则为平行四边形，
所以且，
综上，且，故共面，A正确；
由过直线外一点有且仅有一条直线与该直线平行，且，不可能有，B错误；
由面，面，故面面，又面，而，故平面平面，C错误；
连接，又G、H分别是AB、AD的中点，则且，
E、F分别是、的中点，则且，
所以，即共面，且，故直线EH与直线FG相交，D正确.
故选：AD
12．(2023·安徽·合肥市第六中学高一期末）正方体中，下列说法正确的是（ ）
A．在空间中，过作与夹角都为60°的直线可以作4条
B．在空间中，过作与夹角都为45°的直线可以作4条
C．棱的中点分别为E，F，在空间中，能且只能作一条直线与直线，，都相交
D．在空间中，过与直线，，夹角都相等的直线有4条
答案：AD
【解析】
分析：
对于选项A、B、D，通过直线在空间中的位置关系进行判断；
对于选项C，可以找到不止一条直线与都相交.
【详解】
记过且与夹角都相等的角为，则，夹角都为60°的直线有4条，A正确；夹角都为45°的直线有2条，所以B错误；
过与直线，CD，夹角都相等的直线有4条，所以D正确；
如图所示，直线分别延长之后与，，都相交；事实上，可以在直线CD上任取一点，都可以作出一条直线与，EF都相交的直线，所以可以作无数条，故C错误．
故选：AD.
【点睛】
本题借助正方体考查空间中直线与直线所成的角和直线与直线的位置关系，解答此类题目时，可以从以下两个角度思考：
(1)在正方体（或其它特殊几何体）中，找到符合要求的直线，即可对选项作出判断；
(2)空间中与两条直线所形成的角度相等的直线，构成两个平面，在这两个平面上寻找符合要求的直线即可.
三、填空题
13．（2023·四川宜宾·高一期末）若直线l与平面平行，直线，则直线l与直线a的位置关系是________．（填满足条件的所有正确结论：平行、相交、异面）
答案：平行或异面
【解析】
分析：
直接根据空间中线线、线面间的位置关系判定即可.
【详解】
在正方形中，
平面ABCD，平面ABCD，，
平面ABCD，平面ABCD，与AD是异面直线，
由此得到：直线l与平面平行，直线，
则直线l与直线a的位置关系是平行或异面．
故答案为：平行或异面．
14.（全国·高考真题（文））已知正方体中，E为的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为 .
答案：
【解析】
【详解】
连接DE，
设AD=2，易知AD∥BC，
∴∠DAE就是异面直线AE与BC所成角，
在△RtADE中，由于DE=，AD=2，可得AE=3，
∴cs∠DAE==．
15．(2023·全国·高考真题（理））α、β是两个平面，m、n是两条直线，有下列四个命题：
（1）如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.（2）如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.
（3）如果α∥β，mα，那么m∥β. （4）如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.
其中正确的命题有________.(填写所有正确命题的编号）
答案：②③④
【解析】
【详解】
试题分析：：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，不能得出α⊥β，故错误；
②如果n∥α，则存在直线l⊂α，使n∥l，由m⊥α，可得m⊥l，那么m⊥n．故正确；
③如果α∥β，m⊂α，那么m与β无公共点，则m∥β．故正确
④如果m∥n，α∥β，那么m，n与α所成的角和m，n与β所成的角均相等．故正确
16．（浙江·高考真题（理））如图，三棱锥中， ，点分别是的中点，则异面直线所成的角的余弦值是________．
答案：
【解析】
【详解】
如下图，连结，取中点，连结，，则可知即为异面直
线，所成角（或其补角）易得，
，，
∴，即异面直线，所成角的余弦值为.
四、解答题
17．(2023·全国·高一专题练习）如图，正方体中，点分别是棱的中点，判断下列直线的位置关系：
(1)与：
(2)与：
(3)与：
(4)与.
答案：(1)异面
(2)异面
(3)共面
(4)共面
【解析】
分析：
（1）（2）均可直接判断出异面；（3）连接与，证明出四边形为平行四边形，得到共面；（4）连接，由中位线证明出线线平行，从而得到共面.
(1)
由图易得与异面；
(2)
由图易得与异面
(3)
连接与，
因为分别是棱的中点，
所以，由勾股定理得：，
故四边形为平行四边形，所以与共面；
(4)
连接，
因为分别是棱的中点，
所以∥，
又因为∥，
所以∥，
所以与共面
18.(2023·四川省成都市新都一中高二期中（理））如图，在长方体中，，，点，分别为棱，的中点．
(1)证明：，，，四点共面；
(2)求点到平面的距离．
答案：(1)证明见解析
(2)
【解析】
分析：
（1）连接，证明，即可证明结论；
（2）先求得，再根据，即可求得答案.
(1)
证明：连接 ,则由点，分别为棱，的中点．
知,
在长方体中， ,
则四边形是平行四边形，故 ,
所以 ,故四点共面；
(2)
连接,
则 ,故 ,
由于 ,设点到平面的距离为h,
故 ,即，
解得，即点到平面的距离为.
19．(2023·上海青浦·二模）如图，已知圆柱的轴截面是边长为的正方形，是弧的中点．
(1)求该圆柱的表面积和体积；
(2)求异面直线与所成角的大小．
答案：(1)表面积为，体积为.
(2)
【解析】
分析：
（1）根据圆柱的表面积公式和体积公式可求出结果；
（2）根据，得到或其补角是直线与所成角，取弧的中点，连接、、，求出，进一步可得.
(1)
由已知可得圆柱的底面半径，高，

，
(2)
，
∴或其补角是直线与所成角，
取弧的中点，连接、、，
，
在中，，
∴.
所以异面直线与所成角的大小为.
20．(2023·广东韶关·高一期末）如图，已知正方体的棱长为2，E，F分别是AB，的中点．
(1)求直线与直线所成角的正切值；
(2)求三棱锥的体积．
答案：(1)2
(2)1
【解析】
分析：
（1）根据，可得即为直线与直线所成角，解即可得解；
（2）根据棱锥的体积公式即可得解.
(1)
解：在正方体中，有，
所以即为直线与直线所成角，
在中，易知，，
所以，
所以直线与直线所成角的正切值为2．
(2)
解：在正方形中，
有，
又平面．
所以，
即三棱锥的体积为1．
21．(2023·北京·高一期末）如图，在正方体中，是棱上一点，且．
(1)试画出过三点的平面截正方体所得截面；
(2)证明：平面与平面相交，并指出它们的交线．
答案：(1)作图见解析
(2)证明见解析；为面与面的交线
【解析】
分析：
（1）在上取一点，使得，延长交于点，连结，即可得到截面；
（2）根据两平面有公共点，可知两面相交；延长，设它们交于点，可证得在两面交线上，由此可知交线为.
(1)
在上取一点，使得，延长交于点，连结，
则平面就是过三点的平面截正方体所得截面．
(2)
平面，平面，
平面平面，即平面与平面相交．
延长，设它们交于点，
直线，直线平面，平面．
直线，直线平面，平面．
为面与面的交线．
22．(2023·上海虹口·二模）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为的中点，，直线与平面所成的角为.
(1)求四棱锥的体积；
(2)求异面直线与所成的角的大小.
答案：(1)；
(2)．
【解析】
分析：
（1）根据直线与平面所成的角可求出，从而得出，再根据四棱锥的体积公式即可解出；
（2）取中点，连接，（或其补角）即为异面直线与所成的角，解三角形即可求出．
(1)
因为底面，所以直线与平面所成的角为，在中，，，所以，而，所以，
因此四棱锥的体积．
(2)
如图所示：
取中点，连接，因为，所以四边形为平行四边形，即有，所以（或其补角）即为异面直线与所成的角．
在中，，，所以，，所以，即异面直线与所成的角为．