高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题8.6空间向量及其运算和空间位置关系(真题测试)(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题8.6空间向量及其运算和空间位置关系(真题测试)(原卷版+解析)，共26页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2023·黑龙江·建三江分局第一中学高三期中（文））已知均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（ ）
A．B．C．D．4
2．（2023·全国·高三专题练习）直三棱柱中，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·上海·高考真题（理））设是空间中给定的5个不同的点，则使成立的点的个数为（ ）
A．0B．1C．5D．10
4．（北京·高考真题（理））在空间直角坐标系中,已知.若分别是三棱锥在坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）
A．B．且
C．且D．且
5．（2023·全国·高三专题练习）在三棱锥中，，，，则（ ）
A．B．C．1D．
6．（2023·全国·高三专题练习），若三向量共面，则实数（ ）
A．3B．2C．15D．5
7．（2023·全国·高三专题练习）正四面体的棱长为4，空间中的动点P满足，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
8．（2023·全国·高三专题练习）如图，在正四棱柱中，是底面的中心，分别是的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．//
B．
C．//平面
D．平面
二、多选题
9．(2023·湖北·二模）定义空间两个非零向量的一种运算：，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（ ）
A．B．
C．若，则D．
10．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，、分别为线段、的中点，为线段上的动点（不含端点），则下列说法正确的是（ ）
A．对任意点，则有、、、四点共面
B．存在点，使得、、、四点共面
C．对任意点，则有平面
D．存在点，使得平面
11．(2023·江苏·常州高级中学模拟预测）棱长为1的正方体中，点P为线段上的动点，点M，N分别为线段，的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．B．三棱锥的体积为定值
C．D．的最小值为
12．（2023·全国·高考真题）在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（ ）
A．当时，的周长为定值
B．当时，三棱锥的体积为定值
C．当时，有且仅有一个点，使得
D．当时，有且仅有一个点，使得平面
三、填空题
13．(2023·全国·高考真题）如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为________
14．（广东·高考真题（理））若向量＝(1，1，x)，＝(1，2，1)，＝(1，1，1)满足条件，则x＝________．
15．（宁夏·高考真题（理））已知向量，且，则____________．
16．(2023·全国·高三专题练习（理））在长方体中，已知AB=2，BC=t，若在线段AB上存在点E，使得，则实数t的取值范围是______．
四、解答题
17．（江苏·高考真题）记动点P是棱长为1的正方体的对角线上一点，记．当为钝角时，求的取值范围．
18．(2023·全国·高三专题练习）如图，已知为空间的9个点，且， ，求证：
（1）四点共面，四点共面；
（2）；
（3）.
19．（2023·全国·高三专题练习）已知长方体中,，点N是AB的中点，点M是的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．
（1）写出点的坐标；
（2）求线段的长度；
（3）判断直线与直线是否互相垂直，说明理由．
20．(2023·全国·高三专题练习）如图，在棱长为a的正方体OABC－O1A1B1C1中，E，F分别是棱AB、BC上的动点，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤a，以O为原点建立空间直角坐标系O—xyz．
（1）写出点E，F的坐标；
（2）求证：A1F⊥C1E；
（3）若A1，E，F，C1四点共面，求证：．
21．（2023·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三阶段练习（理））如下图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于1，点分别是的中点，求：
(1)的值；
(2)线段EG的长；
(3)异面直线与所成角的大小.
22．（2023·江苏·矿大附中高三阶段练习）如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点．
(1)求证：平面；
(2)若线段上总存在一点，使得，求的最大值．
专题8.6 空间向量及其运算和空间位置关系（真题测试）
一、单选题
1．（2023·黑龙江·建三江分局第一中学高三期中（文））已知均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（ ）
A．B．C．D．4
答案：C
【解析】
分析：
结合向量夹角，先求解， 再求解.
【详解】
．
故选：C.
2．（2023·全国·高三专题练习）直三棱柱中，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
分析：
根据空间向量的线性运算直接可得解.
【详解】
由已知得，
故选：A.
3．(2023·上海·高考真题（理））设是空间中给定的5个不同的点，则使成立的点的个数为（ ）
A．0B．1C．5D．10
答案：B
【解析】
【详解】
考点：向量的加法及其几何意义．
分析：根据所给的四个固定的点，和以这四个点为终点的向量的和是一个零向量，根据向量加法法则，知这样的点是一个唯一确定的点．
解：根据所给的四个向量的和是一个零向量，
当A1，A2，A3，A4，A5是平面上给定的5个不同点确定以后，
在平面上有且只有一个点满足使得四个向量的和等于零向量，
故选B．
4．（北京·高考真题（理））在空间直角坐标系中,已知.若分别是三棱锥在坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）
A．B．且
C．且D．且
答案：D
【解析】
【详解】
分析：
试题分析：结合其空间立体图形易知，，，所以且，故选D．
5．（2023·全国·高三专题练习）在三棱锥中，，，，则（ ）
A．B．C．1D．
答案：A
【解析】
分析：
根据已知条件，由，利用向量数量积的定义及运算律即可求解.
【详解】
解：因为三棱锥中，，，，
所以，
故选：A.
6．（2023·全国·高三专题练习），若三向量共面，则实数（ ）
A．3B．2C．15D．5
答案：D
【解析】
分析：
利用向量共面的坐标运算进行求解即可.
【详解】
∵，∴与不共线，
又∵三向量共面，则存在实数m，n使
即，解得．
故选：D．
7．（2023·全国·高三专题练习）正四面体的棱长为4，空间中的动点P满足，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】
分析：
分别取BC，AD的中点E，F，由题意可得点的轨迹是以为球心，以为半径的球面，又，再求出的最值即可求解
【详解】
分别取BC，AD的中点E，F，则，
所以，
故点的轨迹是以为球心，以为半径的球面，，
又，
所以，，
所以的取值范围为．
故选：D．
8．（2023·全国·高三专题练习）如图，在正四棱柱中，是底面的中心，分别是的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．//
B．
C．//平面
D．平面
答案：B
【解析】
分析：
建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明，逐项分析、判断作答.
【详解】
在正四棱柱中，以点D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
令，是底面的中心，分别是的中点，
则，，，
对于A，显然与不共线，即与不平行，A不正确；
对于B，因，则，即，B正确；
对于C，设平面的法向量为，则，令，得，
，因此与不垂直，即不平行于平面，C不正确；
对于D，由选项C知，与不共线，即不垂直于平面，D不正确.
故选：B
二、多选题
9．(2023·湖北·二模）定义空间两个非零向量的一种运算：，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（ ）
A．B．
C．若，则D．
答案：BD
【解析】
分析：
理解新定义，对选项逐一判断
【详解】
对于A，若为负数，可知，故A错误，
对于B，由定义知B正确，
对于C，若，则，共线，故C错误，
对于D，由定义知，故D正确．
故选：BD
10．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，、分别为线段、的中点，为线段上的动点（不含端点），则下列说法正确的是（ ）
A．对任意点，则有、、、四点共面
B．存在点，使得、、、四点共面
C．对任意点，则有平面
D．存在点，使得平面
答案：BD
【解析】
分析：
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法可判断各选项的正误.
【详解】
因为底面，四边形为正方形，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设，则、、、、、、，
设，其中，则，
，，设，
则，解得，故存在点，使得、、、四点共面，B对；
，，，
设，所以，，解得，不合乎题意，A错；
，，
若平面，平面，则，解得，C错；
设平面的法向量为，，，
则，取，则，
，
若平面，则，解得，
故当点与点重合时，平面，D对.
故选：BD.
11．(2023·江苏·常州高级中学模拟预测）棱长为1的正方体中，点P为线段上的动点，点M，N分别为线段，的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．B．三棱锥的体积为定值
C．D．的最小值为
答案：ABC
【解析】
分析：
证明平面，可判断A；由平面，可得点到平面的距离为定值，又为定值，可判断B；计算的取值范围可判断C；结合C可判断D.
【详解】
选项A，连接，由正方体可知，且平面，
而，又，所以平面，
而平面，所以，即，故A正确；
选项B，连接，，，，，，
由点，分别为线段，的中点，
得，平面，平面，
故平面，即点到平面的距离为定值，
又，，故为定值，
所以三棱锥的体积为定值，故B正确；
选项C，连接，，由点为线段上的动点，
设，，
故，，
所以
，
当时，取最小值为，当时，取最大值为，
故，即，，
故C正确；
选项D，
，
当时，的最小值为，故D错误.
故选：ABC.
12．（2023·全国·高考真题）在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（ ）
A．当时，的周长为定值
B．当时，三棱锥的体积为定值
C．当时，有且仅有一个点，使得
D．当时，有且仅有一个点，使得平面
答案：BD
【解析】
分析：
对于A，由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标；
对于B，将点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值；
对于C，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数；
对于D，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数．
【详解】
易知，点在矩形内部（含边界）．
对于A，当时，，即此时线段，周长不是定值，故A错误；
对于B，当时，，故此时点轨迹为线段，而，平面，则有到平面的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确．
对于C，当时，，取，中点分别为，，则，所以点轨迹为线段，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，，，，则，，，所以或．故均满足，故C错误；
对于D，当时，，取，中点为．，所以点轨迹为线段．设，因为，所以，，所以，此时与重合，故D正确．
故选：BD．
三、填空题
13．(2023·全国·高考真题）如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为________
答案：
【解析】
【详解】
如图所示，以长方体的顶点为坐标原点，
过的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，
因为的坐标为，所以,
所以.

14．（广东·高考真题（理））若向量＝(1，1，x)，＝(1，2，1)，＝(1，1，1)满足条件，则x＝________．
答案：
【解析】
分析：
利用空间向量的坐标运算和数量积表示求解.
【详解】
解：
，解得
故答案为：
15．（宁夏·高考真题（理））已知向量，且，则____________．
答案：3
【解析】
分析：
利用向量的坐标运算求得求出，根据空间向量模的公式列方程求解即可.
【详解】
因为，
所以，
可得，
因为，解得，故答案为3.
16．(2023·全国·高三专题练习（理））在长方体中，已知AB=2，BC=t，若在线段AB上存在点E，使得，则实数t的取值范围是______．
答案：
【解析】
分析：
如图，以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，设，，然后利用空间向量表示出的关系，从而可求得结果
【详解】
如图，以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，设，，（）
则，
因为，所以，
所以，所以，
因为，所以，
所以，
因为t >0
所以实数t的取值范围是，
故答案为：
四、解答题
17．（江苏·高考真题）记动点P是棱长为1的正方体的对角线上一点，记．当为钝角时，求的取值范围．
答案：
【解析】
分析：
【详解】
建构如图所示空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则相关点的坐标分别为：､､､，则.
由，得，
而；
又.
由，
化简得，解得.
18．(2023·全国·高三专题练习）如图，已知为空间的9个点，且， ，求证：
（1）四点共面，四点共面；
（2）；
（3）.
答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【解析】
分析：
（1）利用共面向量定理证明四点共面；
（2）利用向量加减及数运算找到的关系，证明；
（3）利用向量加减及数运算可得.
【详解】
证明：（1），∴A、B、C、D四点共面．
，∴E、F、G、H四点共面．
（2）.
（3）.
19．（2023·全国·高三专题练习）已知长方体中,，点N是AB的中点，点M是的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．
（1）写出点的坐标；
（2）求线段的长度；
（3）判断直线与直线是否互相垂直，说明理由．
答案：（1）；（2）；（3）不垂直，理由见解析.
【解析】
分析：
（1）根据长方体的长，宽，高，结合中点坐标公式，即可得出点的坐标；
（2）根据空间中两点的距离公式求解即可；
（3）由空间中向量的数量积公式，证明即可.
【详解】
（1）由于为坐标原点，所以
由得：
点N是AB的中点，点M是的中点，；
（2）由两点距离公式得：，
；
（3）直线与直线不垂直
理由：由（1）中各点坐标得：
与不垂直，所以直线与直线不垂直
20．(2023·全国·高三专题练习）如图，在棱长为a的正方体OABC－O1A1B1C1中，E，F分别是棱AB、BC上的动点，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤a，以O为原点建立空间直角坐标系O—xyz．
（1）写出点E，F的坐标；
（2）求证：A1F⊥C1E；
（3）若A1，E，F，C1四点共面，求证：．
答案：（1） E(a，x，0)，F(a－x，a，0)；（2）证明见解析 ；（3） 证明见解析．
【解析】
分析：
( 1 )在空间直角坐标中结合正方体结构特征，能求出E, F的坐标；
(2)求出，利用向量法能证明A1F⊥C1E；
(3)由 A1，E，F，C1四点共面，得到,从而E, F,分别AB, BC的中点，由此能证明.
【详解】
（1）在棱长为的正方体中，分别是棱上的动点且，其中以O为原点建立空间直角坐标系O—xyz，
所以E(a，x，0)，F(a－x，a，0)．
（2）证明：∵A1(a，0，a)，C1(0，a，a)，
∴＝(－x，a，－a)，＝(a，x－a，－a)，
∴＝－ax＋a(x－a)＋a2＝0，
∴⊥，
∴A1F⊥C1E．
（3）证明：∵A1，E，F，C1四点共面，
共面．
选与为在平面A1C1E上的一组基向量，则存在唯一实数对(λ1，λ2)，使＝λ1＋λ2，
即(－x，a，－a)＝λ1(－a，a，0)＋λ2(0，x，－a)＝(－aλ1，aλ1＋xλ2，－aλ2)，
解得λ1＝，λ2＝1．
于是＝＋．
21．（2023·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三阶段练习（理））如下图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于1，点分别是的中点，求：
(1)的值；
(2)线段EG的长；
(3)异面直线与所成角的大小.
答案：(1)
(2)
(3)
【解析】
分析：
（1）设，得到，，结合向量的数量积的运算公式，即可求解.
（2）化简向量，根据，结合向量的数量积的运算公式，即可求解.
（3）由，求得，结合向量的夹角公式，即可求解.
(1)
解：设，
则，且，
可得，，
所以.
(2)
解：由
，
则，
所以，即的长为.
(3)
解：由，
则，
所以，
因为，所以异面直线与所成的角为.
22．（2023·江苏·矿大附中高三阶段练习）如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点．
(1)求证：平面；
(2)若线段上总存在一点，使得，求的最大值．
答案：(1)证明见解析
(2)
【解析】
分析：
（1）设，连接，通过证明即可得出；
（2）设，求出，利用求出，即可得出的最大值.
(1)
设，连接，
因为是正方形，所以是中点，
又因为是矩形，是线段的中点，所以,,
所以四边形为平行四边形，所以,
又平面，平面，所以平面；
(2)
正方形和矩形所在的平面互相垂直，
则可得两两垂直，则可以C为原点建立如图所示空间直角坐标系，
，则，
因为点在线段上，设，其中，
则，从而点坐标为，
于是，而，
则由可知，即，
所以，解得，故的最大值为.