高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题9.3椭圆(真题测试)(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题9.3椭圆(真题测试)(原卷版+解析)，共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2023·全国·高三专题练习（文））已知椭圆的一个焦点为，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·浙江·高考真题）椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
3．（全国·高考真题（文））已知椭圆C：的左右焦点为F1,F2离心率为，过F2的直线l交C与A,B两点，若△AF1B的周长为，则C的方程为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·山东·高考真题）已知椭圆的长轴长为10，焦距为8，则该椭圆的短轴长等于（ ）
A．3B．6C．8D．12
5．（2023·北京·高考真题（理））已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，则（ ）
A．a2=2b2B．3a2=4b2C．a=2bD．3a=4b
6.(2023·全国·高考真题（文））已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
7．(2023·全国·高考真题（理））已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·全国·高考真题（理））设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）设圆锥曲线C的两个焦点分别为，若曲线C上存在点P满足，则曲线C的离心率可以是（ ）
A．B．C．D．2
10.(2023·广东·高三开学考试）已知椭圆：，、是椭圆的两个焦点，、是椭圆上两点，且、分别在轴两侧，则（ ）
A．若直线经过原点，则四边形为矩形
B．四边形的周长为20
C．的面积的最大值为12
D．若直线经过，则到直线的最大距离为8
11．(2023·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，点A，B是椭圆C上异于长轴端点的两点，且满足，则（ ）
A．△ABF2的周长为定值B．AB的长度最小值为1
C．若AB⊥AF2，则λ=3D．λ的取值范围是[1，5]
12．(2023·山东·济南市历城第二中学模拟预测）设，F为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上的动点，且椭圆上至少有17个不同的点，，，，…组成公差为d的递增等差数列，则（ ）
A．的最大值为
B．的面积最大时，
C．d的取值范围为
D．椭圆上存在点P，使
三、填空题
13．（2023·山东高考真题）已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆的圆心重合，长轴长等于圆的直径，那么短轴长等于______．
14．(2023·全国·南宁二中高三期末（文））椭圆C：（a>b>0)的焦距为2c，O为坐标原点，A为椭圆的右顶点，以OA为直径的圆与圆交于P，Q两点，若|PQ|=|OA|，则椭圆C的离心率为______.
15．（2023·全国·高考真题（理））设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为___________.
16．(2023·全国·高考真题）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________．
四、解答题
17. (2023·全国·高三专题练习）已知椭圆，过椭圆的左焦点F且斜率为的直线l与椭圆交于A、B两点（A点在B点的上方），若有，求椭圆的离心率．
18.（陕西·高考真题（理））已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程．
19.（2023·天津·高考真题（理））设椭圆的左焦点为，上顶点为.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上.若（为原点），且，求直线的斜率.
20.（2023·江苏·高考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:的焦点为F1（–1、0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2:交于点A，与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．已知DF1=．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求点E的坐标．
21．（2023·天津·高考真题）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，离心率为，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆有唯一的公共点，与轴的正半轴交于点，过与垂直的直线交轴于点．若，求直线的方程．
22.(2023·天津·高考真题（文））设椭圆的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆交于，两点，与直线交于点M，且点P，M均在第四象限．若的面积是面积的2倍，求的值．
专题9.3 椭圆（真题测试）
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习（文））已知椭圆的一个焦点为，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：根据椭圆方程可知值，根据焦点坐标得到值，即可求出代入离心率公式求解.
【详解】由已知可得，，则，所以，
则离心率．
故选：C.
2．(2023·浙江·高考真题）椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由题可知，，，求出，即可求出椭圆的离心率．
【详解】因为椭圆中，，
所以，
得，
故选：B．
3．（全国·高考真题（文））已知椭圆C：的左右焦点为F1,F2离心率为，过F2的直线l交C与A,B两点，若△AF1B的周长为，则C的方程为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【详解】若△AF1B的周长为4,
由椭圆的定义可知,,
,,
，
所以方程为，故选A.
4．（2023·山东·高考真题）已知椭圆的长轴长为10，焦距为8，则该椭圆的短轴长等于（ ）
A．3B．6C．8D．12
答案：B
分析：根据椭圆中的关系即可求解.
【详解】椭圆的长轴长为10，焦距为8，
所以，，可得，，
所以，可得，
所以该椭圆的短轴长，
故选：B.
5．（2023·北京·高考真题（理））已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，则（ ）
A．a2=2b2B．3a2=4b2C．a=2bD．3a=4b
答案：B
分析：由题意利用离心率的定义和的关系可得满足题意的等式.
【详解】椭圆的离心率,化简得,
故选B.
6.(2023·全国·高考真题（文））已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【详解】分析：设，则根据平面几何知识可求，再结合椭圆定义可求离心率.
详解：在中，
设，则，
又由椭圆定义可知
则离心率，
故选D.
7．(2023·全国·高考真题（理））已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【详解】分析：先根据条件得PF2=2c,再利用正弦定理得a,c关系，即得离心率.
详解：因为为等腰三角形，，所以PF2=F1F2=2c,
由斜率为得，，
由正弦定理得,
所以，故选D.
8．（2023·全国·高考真题（理））设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：设，由，根据两点间的距离公式表示出 ，分类讨论求出的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．
【详解】设，由，因为 ，，所以
，
因为，当，即 时，，即 ，符合题意，由可得，即 ；
当，即时， ，即，化简得， ，显然该不等式不成立．
故选：C．
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）设圆锥曲线C的两个焦点分别为，若曲线C上存在点P满足，则曲线C的离心率可以是（ ）
A．B．C．D．2
答案：AC
分析：结合椭圆和双曲线的定义和离心率的求法，即可求得结果．
【详解】若曲线是椭圆则其离心率为；
若曲线是双曲线则其离心率为；
故选：AC
10.(2023·广东·高三开学考试）已知椭圆：，、是椭圆的两个焦点，、是椭圆上两点，且、分别在轴两侧，则（ ）
A．若直线经过原点，则四边形为矩形
B．四边形的周长为20
C．的面积的最大值为12
D．若直线经过，则到直线的最大距离为8
答案：BC
分析：根据题意，结合椭圆的对称性，焦点三角形的性质依次讨论各选项即可得答案.
【详解】解：选项A：若直线经过原点，易知四边形为平行四边形，因为不一定与相等，所以不一定是矩形，故不正确；
选项B：四边形的周长为，故正确；
选项C：的面积的最大值为，故正确；
选项D：若直线MN经过，则到直线的最大距离为，故不正确．
故选：BC．
11．(2023·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，点A，B是椭圆C上异于长轴端点的两点，且满足，则（ ）
A．△ABF2的周长为定值B．AB的长度最小值为1
C．若AB⊥AF2，则λ=3D．λ的取值范围是[1，5]
答案：AC
分析：根据椭圆的定义结合椭圆中焦点弦的几何意义，可判断A、B两项，设直线的方程，与椭圆的方程联立，利用韦达定理求解参数的值或取值范围，即可判断C、D项.
【详解】因为，则三点共线，周长是定值，A对．
，B错．
∵，则，A在上、下顶点处，不妨设，则
解得或，，，，C对．
令
消x可得，
时，
时，∴，D错．
故选：AC.
12．(2023·山东·济南市历城第二中学模拟预测）设，F为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上的动点，且椭圆上至少有17个不同的点，，，，…组成公差为d的递增等差数列，则（ ）
A．的最大值为
B．的面积最大时，
C．d的取值范围为
D．椭圆上存在点P，使
答案：ABC
分析：由题知，易判A正确；当P离横轴的距离最大时，
的面积最大，计算正切值即可；将的最大值、最小值代入公式即可
判断C选项；写出余弦定理公式并配方，得，由均值
不等式知,当且仅当时，此时最大，
此时，易得D不正确.
【详解】由椭圆方程 知， .
选项A：因为P为椭圆上的动点，所以，所以的最大值为
，故A正确；
选项B：当点P为短轴顶点时，的高最大，所以的面积最大，
此时，所以B正确；
选项C：设，，，…组成公差为d的等差数列为，所以，，，
故C正确；
选项D：因为
，又 ，
所以 ，而 ，
当且仅当 时取等号.此时 ，
故此时最大. 此时
故D不成立.
故选：ABC．
三、填空题
13．（2023·山东高考真题）已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆的圆心重合，长轴长等于圆的直径，那么短轴长等于______．
答案：
分析：
由于是圆，可得，通过圆心和半径计算，即得解
【详解】
由于是圆，
即：圆
其中圆心为，半径为4
那么椭圆的长轴长为8，即，，，
那么短轴长为
故答案为：
14．(2023·全国·南宁二中高三期末（文））椭圆C：（a>b>0)的焦距为2c，O为坐标原点，A为椭圆的右顶点，以OA为直径的圆与圆交于P，Q两点，若|PQ|=|OA|，则椭圆C的离心率为______.
答案：##
分析：根据条件求出方程为，进而求出y，则可表示出|PQ|，再结合|PQ|=|OA|，即可求出离心率.
【详解】以为直径的圆方程为：，
由，
整理得，
联立，解得，
根据|PQ|=|OA|可知，解得，
所以椭圆的离心率为.
故答案为：
15．（2023·全国·高考真题（理））设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为___________.
答案：
分析：根据椭圆的定义分别求出，设出的坐标，结合三角形面积可求出的坐标.
【详解】由已知可得，
又为上一点且在第一象限,为等腰三角形，
．∴．
设点的坐标为，则，
又，解得，
，解得（舍去），
的坐标为．
16．(2023·全国·高考真题）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________．
答案：13
分析：利用离心率得到椭圆的方程为，根据离心率得到直线的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线的斜率，写出直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，利用弦长公式求得，得，根据对称性将的周长转化为的周长，利用椭圆的定义得到周长为.
【详解】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，
判别式，
∴，
∴ ， 得，
∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为.
故答案为：13.
四、解答题
17. (2023·全国·高三专题练习）已知椭圆，过椭圆的左焦点F且斜率为的直线l与椭圆交于A、B两点（A点在B点的上方），若有，求椭圆的离心率．
答案：
分析：利用点差法，设、，代入椭圆方程中，变形后作差，由可得，，从而可得，求出点的坐标代入椭圆方程中化简可求出离心率
【详解】因为，设、，
①②得：，
，，
则，
得，
∵，∴，将A代入椭圆方程
整理得：，所以或（舍）
故．
18.（陕西·高考真题（理））已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程．
答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【详解】试题分析：（1）依题意，由点到直线的距离公式可得，又有，联立可求离心率；
（2）由（1）设椭圆方程，再设直线方程，与椭圆方程联立，求得，令，可得，即得椭圆方程.
试题解析：（Ⅰ）过点的直线方程为，
则原点到直线的距离，
由，得，解得离心率.
（Ⅱ）由（1）知，椭圆的方程为.
依题意，圆心是线段的中点，且.
易知，不与轴垂直.
设其直线方程为，代入（1）得
.
设，则，.
由，得，解得.
从而.
于是.
由，得，解得.
故椭圆的方程为.
19.（2023·天津·高考真题（理））设椭圆的左焦点为，上顶点为.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上.若（为原点），且，求直线的斜率.
答案：（Ⅰ）（Ⅱ）或.
分析：(Ⅰ)由题意得到关于a,b,c的方程，解方程可得椭圆方程；
(Ⅱ)联立直线方程与椭圆方程确定点P的坐标，从而可得OP的斜率，然后利用斜率公式可得MN的斜率表达式，最后利用直线垂直的充分必要条件得到关于斜率的方程，解方程可得直线的斜率.
【详解】(Ⅰ) 设椭圆的半焦距为，依题意，，又，可得，b=2，c=1.
所以，椭圆方程为.
(Ⅱ)由题意，设.设直线的斜率为，
又，则直线的方程为，与椭圆方程联立，
整理得，可得，
代入得，
进而直线的斜率，
在中，令，得.
由题意得，所以直线的斜率为.
由，得，
化简得，从而.
所以，直线的斜率为或.
20.（2023·江苏·高考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:的焦点为F1（–1、0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2:交于点A，与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．已知DF1=．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求点E的坐标．
答案：（1）；
（2）.
分析：(1)由题意分别求得a,b的值即可确定椭圆方程；
(2)解法一：由题意首先确定直线的方程，联立直线方程与圆的方程，确定点B的坐标，联立直线BF2与椭圆的方程即可确定点E的坐标；
解法二：由题意利用几何关系确定点E的纵坐标，然后代入椭圆方程可得点E的坐标.
【详解】（1）设椭圆C的焦距为2c.
因为F1(－1，0)，F2(1，0)，所以F1F2=2，c=1.
又因为DF1=，AF2⊥x轴，所以DF2=，
因此2a=DF1+DF2=4，从而a=2.
由b2=a2-c2，得b2=3.
因此，椭圆C的标准方程为.
（2）解法一：
由（1）知，椭圆C：，a=2，
因为AF2⊥x轴，所以点A的横坐标为1.
将x=1代入圆F2的方程(x-1) 2+y2=16，解得y=±4.
因为点A在x轴上方，所以A(1，4).
又F1(-1，0)，所以直线AF1：y=2x+2.
由，得，
解得或.
将代入，得，
因此.又F2(1，0)，所以直线BF2：.
由，得，解得或.
又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以.
将代入，得.因此.
解法二：
由（1）知，椭圆C：.如图，连结EF1.
因为BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以EF1=EB，
从而∠BF1E=∠B.
因为F2A=F2B，所以∠A=∠B，
所以∠A=∠BF1E，从而EF1∥F2A.
因为AF2⊥x轴，所以EF1⊥x轴.
因为F1(-1，0)，由，得.
又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以.
因此.
21．（2023·天津·高考真题）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，离心率为，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆有唯一的公共点，与轴的正半轴交于点，过与垂直的直线交轴于点．若，求直线的方程．
答案：（1）；（2）.
分析：（1）求出的值，结合的值可得出的值，进而可得出椭圆的方程；
（2）设点，分析出直线的方程为，求出点的坐标，根据可得出，求出、的值，即可得出直线的方程.
【详解】（1）易知点、，故，
因为椭圆的离心率为，故，，
因此，椭圆的方程为；
（2）设点为椭圆上一点，
先证明直线的方程为，
联立，消去并整理得，，
因此，椭圆在点处的切线方程为.
在直线的方程中，令，可得，由题意可知，即点，
直线的斜率为，所以，直线的方程为，
在直线的方程中，令，可得，即点，
因为，则，即，整理可得，
所以，，因为，，故，，
所以，直线的方程为，即.
22.(2023·天津·高考真题（文））设椭圆的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆交于，两点，与直线交于点M，且点P，M均在第四象限．若的面积是面积的2倍，求的值．
答案：（1）；(2)．
【详解】分析：（I）由题意结合几何关系可求得.则椭圆的方程为.
（II）设点P的坐标为，点M的坐标为 ，由题意可得.
易知直线的方程为，由方程组可得.由方程组可得.结合，可得，或.经检验的值为.
详解：（I）设椭圆的焦距为2c，由已知得，又由，可得．由,从而．
所以，椭圆的方程为．
（II）设点P的坐标为，点M的坐标为，由题意，，
点的坐标为．由的面积是面积的2倍，可得，
从而，即．
易知直线的方程为，由方程组消去y，可得．由方程组消去，可得．由，可得，两边平方，整理得，解得，或．
当时，，不合题意，舍去；当时，，，符合题意．
所以，的值为．