高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题9.4双曲线(知识点讲解)(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题9.4双曲线(知识点讲解)(原卷版+解析)，共33页。

【核心素养】
1.考查双曲线的定义，求轨迹方程及焦点三角形，凸显数学运算、直观想象的核心素养．
2.考查双曲线几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)，结合几何量的计算，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．
3.考查直线与双曲线的位置关系，凸显逻辑推理、数学运算、数学应用的核心素养．
【知识点展示】
（一）双曲线的定义及标准方程
1．双曲线的定义
满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线
(1)在平面内；
(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值；
(3)这一定值一定要小于两定点的距离．
2．双曲线的标准方程
（二）双曲线的几何性质
双曲线的几何性质
（三）常用结论
1.等轴双曲线及性质
(1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程可写作：x2－y2＝λ(λ≠0)．
(2)等轴双曲线⇔离心率e＝eq \r(2)⇔两条渐近线y＝±x相互垂直．
2．双曲线中的几个常用结论
(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为eq \f (2b2,a)，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a.
(4)设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为eq \f (b2,a2).
(5)P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则Seq \s\d5(△PF1F2)＝b2·eq \f (1,tan \f (θ,2))，其中θ为∠F1PF2.
【常考题型剖析】
题型一：双曲线的定义及其应用
例1.（2023·浙江省高考真题）已知点O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．设点P满足|PA|–|PB|=2，且P为函数y=图像上的点，则|OP|=（ ）
A．B．C．D．
例2.(2023·上海·高考真题）设双曲线的焦点为、，为该双曲线上的一点，若，则________
【总结提升】
1.双曲线定义的主要应用
(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．
(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．
2.用定义法求双曲线方程，应依据条件辨清是哪一支，还是全部曲线．
3．与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解．
4．如果题设条件涉及动点到两定点的距离，求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解．
题型二：双曲线的标准方程
例3.（2023·北京高考真题）双曲线过点，且离心率为，则该双曲线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
例4. (2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的上、下焦点分别为，，P是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
例5.【多选题】（2023·海南·高考真题）已知曲线.（ ）
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m=n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn0，则C是两条直线
【规律方法】
1．求双曲线方程的思路
(1)如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x轴上或y轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a，b，c的方程组，解出a2，b2，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)．
(2)当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：
一是分类讨论，注意考虑要全面；二是注意巧设双曲线： = 1 \* GB3 ①双曲线过两点可设为， = 2 \* GB3 ②与共渐近线的双曲线可设为，（3）等轴双曲线可设为等，均为待定系数法求标准方程.
2．利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤如下：
(1)定位置：根据条件判定双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，不能确定时应分类讨论．
(2)设方程：根据焦点位置，设方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1或eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，焦点不定时，亦可设为mx2＋ny2＝1(m·n0时，表示焦点在y轴上的双曲线．
(2)共焦点的双曲线系方程：与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线的方程为eq \f(x2,a2＋λ)－eq \f(y2,b2－λ)＝1(a>0，b>0)；与双曲线eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线的方程为eq \f(y2,a2＋λ)－eq \f(x2,b2－λ)＝1(a>0，b>0)．
题型三：双曲线的实际应用
例6.（2023·全国·高三专题练习）江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永.现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口和底面的直径都是8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
例7.（2023·长丰北城衡安学校高二月考（理））如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐⋅金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线1(a>0，b>0)的右支与y轴及平行于x轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底座外直径为，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，则杯身最细之处的周长为（ ）
A．2πB．3πC．2πD．4π
【总结提升】
解答实际应用问题时，要注意先将实际问题数学化，条件中有两定点，某点与这两定点的距离存在某种联系，解题时先画出图形，分析其关系，看是否与椭圆、双曲线的定义有关，再确定解题思路、步骤．
题型四 已知双曲线的方程，研究其几何性质
例8.(2023·浙江·高考真题）双曲线的焦点坐标是（ ）
A．，B．，
C．， D．，
例9.（2023·全国高考真题（文））双曲线的右焦点到直线的距离为________．
例10.（2023·北京·高考真题）已知双曲线，则C的右焦点的坐标为_________；C的焦点到其渐近线的距离是_________．
例11.（2023·全国·高考真题（理））已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为_________．
例12.（2023·全国·高考真题）若双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程___________.
【总结提升】
1.已知双曲线方程讨论其几何性质，应先将方程化为标准形式，找出对应的a、b，利用c2＝a2＋b2求出c，再按定义找出其焦点、焦距、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程．
2．画双曲线图形，要先画双曲线的两条渐近线(即以2a、2b为两邻边的矩形对角线)和两个顶点，然后根据双曲线的变化趋势，就可画出双曲线的草图．
3．双曲线的标准方程中对a、b的要求只是a＞0，b＞0易误认为与椭圆标准方程中a，b的要求相同．
若a＞b＞0，则双曲线的离心率e∈(1，eq \r(2))；
若a＝b＞0，则双曲线的离心率e＝eq \r(2)；
若0＜a＜b，则双曲线的离心率e＞eq \r(2).
4．注意区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆a、b、c关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.
5．等轴双曲线的离心率与渐近线关系
双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝eq \r(2)⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．
6．双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b
7．渐近线与离心率
的一条渐近线的斜率为.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．
8.与双曲线有关的范围问题的解题思路
(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接转化求解．
(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系，如借助双曲线上点的坐标范围，方程中Δ≥0等来解决．
题型五 由双曲线的性质求双曲线的方程
例11. (2023·天津·高考真题）已知抛物线分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，与双曲线的渐近线交于点A，若，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
例12.（2023·北京·高考真题）若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
例13.(2023·天津高考真题（文））已知双曲线 的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点.设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且 则双曲线的方程为( )
A．B．
C．D．
【规律总结】
1.由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法，同样需要经历“定位→定式→定量”三个步骤．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0)，从而直接求得．
2．根据双曲线的渐近线方程可设出双曲线方程．渐近线为y＝eq \f(n,m)x的双曲线方程可设为：eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝λ(λ≠0)；如果两条渐近线的方程为Ax±By＝0，那么双曲线的方程可设为A2x2－B2y2＝m(m≠0)；与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1共渐近线的双曲线方程可设为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．
题型六 求双曲线的离心率(或范围)
例13.（2023·全国·高考真题（文））设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为（ ）
A．B．
C．2D．
例14.（2023·湖北恩施土家族苗族自治州·高三开学考试）双曲线（，）的左顶点为，右焦点为，过点的直线交双曲线于另一点，当时满足，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例15.(2023·浙江·高考真题）已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是_________．
例16.（2023·全国·高考真题（文））设双曲线C： (a>0，b>0)的一条渐近线为y=x，则C的离心率为_________．
【规律提升】
1.在解析几何中，求“范围”问题，一般可从以下几个方面考虑：①与已知范围联系，通过求值域或解不等式来完成；②通过判别式Δ求解；③利用点在双曲线内部形成的不等关系求解；④利用解析式的结构特点，如a，eq \r(a)，|a|等非负性求解．
2.求双曲线离心率的取值范围，关键是根据题目条件得到不等关系，并想办法转化为关于a，b，c的不等关 系，结合c2＝a2＋b2和eq \f(c,a)＝e得到关于e的不等式，然后求解．在建立不等式求e时，经常用到的结论：双曲线上一点到相应焦点距离的最小值为c－a.双曲线的离心率常以双曲线的渐近线为载体进行命题，注意二者参数之间的转化．
3.与双曲线离心率、渐近线有关问题的解题策略
(1)双曲线的离心率e＝eq \f(c,a)是一个比值，故只需根据条件得到关于a，b，c的一个关系式，利用b2＝c2－a2消去b，然后变形成关于e的关系式，并且需注意e＞1.
(2)双曲线的渐近线是令，即得两渐近线方程eq \f(x,a)±eq \f(y,b)＝0.
(3)渐近线的斜率也是一个比值，可类比离心率的求法解答．注意应用.
题型七：与双曲线有关的综合问题
例17.(2023·江西·丰城九中高三开学考试（文））已知分别为双曲线的左､右焦点，为双曲线的右顶点.过的直线与双曲线的右支交于两点（其中点在第一象限），设分别为的内心，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例18.(2023·全国·高考真题（理））已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN为直角三角形，则|MN|=（ ）
A．B．3C．D．4
例19.（2023·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线的左焦点重合，若两曲线相交于，两点，且线段的中点是点，则该双曲线的离心率等于______.
例20.（2023·全国·高考真题（理））已知F为双曲线的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为______________.
例21. (2023·全国·高考真题（理））若双曲线的渐近线与圆相切，则_________．
例22. (2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的离心率为，过左焦点且斜率为的直线交的两支于两点．若，则________________．
例23．(2023·广东·广州市真光中学高三开学考试）设，分别是双曲线的左、右两焦点，过点的直线（）与的右支交于，两点，过点，且它的虚轴的端点与焦点的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)当时，求实数的值；
(3)设点关于坐标原点的对称点为，当时，求面积的值.
【总结提升】
双曲线的综合问题常常涉及双曲线的离心率、渐近线、范围与性质，与圆、椭圆、抛物线、向量、三角函数、不等式等知识交汇考查综合运用数学知识的能力．
(1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立联系求解．
(2)当与直线有关时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系求解．
标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)
图形
标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x
离心率
e＝eq \f(c,a)，e∈(1，＋∞)，其中c＝eq \r(a2＋b2)
实虚轴
线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫作双曲线的实半轴长，b叫作双曲线的虚半轴长．
a、b、c
的关系
c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
专题9.4 双曲线（知识点讲解）
【知识框架】

【核心素养】
1.考查双曲线的定义，求轨迹方程及焦点三角形，凸显数学运算、直观想象的核心素养．
2.考查双曲线几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)，结合几何量的计算，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．
3.考查直线与双曲线的位置关系，凸显逻辑推理、数学运算、数学应用的核心素养．
【知识点展示】
（一）双曲线的定义及标准方程
1．双曲线的定义
满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线
(1)在平面内；
(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值；
(3)这一定值一定要小于两定点的距离．
2．双曲线的标准方程
（二）双曲线的几何性质
双曲线的几何性质
（三）常用结论
1.等轴双曲线及性质
(1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程可写作：x2－y2＝λ(λ≠0)．
(2)等轴双曲线⇔离心率e＝eq \r(2)⇔两条渐近线y＝±x相互垂直．
2．双曲线中的几个常用结论
(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为eq \f (2b2,a)，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a.
(4)设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为eq \f (b2,a2).
(5)P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则Seq \s\d5(△PF1F2)＝b2·eq \f (1,tan \f (θ,2))，其中θ为∠F1PF2.
【常考题型剖析】
题型一：双曲线的定义及其应用
例1.（2023·浙江省高考真题）已知点O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．设点P满足|PA|–|PB|=2，且P为函数y=图像上的点，则|OP|=（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
因为，所以点在以为焦点，实轴长为，焦距为的双曲线的右支上，由可得，，即双曲线的右支方程为，而点还在函数的图象上，所以，
由，解得，即．
故选：D.
例2.(2023·上海·高考真题）设双曲线的焦点为、，为该双曲线上的一点，若，则________
答案：11
【详解】由双曲线的方程，可得，
根据双曲线的定义可知，
又因为，所以.
【总结提升】
1.双曲线定义的主要应用
(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．
(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．
2.用定义法求双曲线方程，应依据条件辨清是哪一支，还是全部曲线．
3．与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解．
4．如果题设条件涉及动点到两定点的距离，求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解．
题型二：双曲线的标准方程
例3.（2023·北京高考真题）双曲线过点，且离心率为，则该双曲线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：
分析可得，再将点代入双曲线的方程，求出的值，即可得出双曲线的标准方程.
【详解】
，则，，则双曲线的方程为，
将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故，
因此，双曲线的方程为.
故选：B
例4. (2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的上、下焦点分别为，，P是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
分析：设双曲线的标准方程为，由双曲线的定义知，，即可求出双曲线的标准方程.
【详解】设双曲线的标准方程为，半焦距为c，
则由题意可知，，即，故，
所以双曲线的标准方程为.
故选：C．
例5.【多选题】（2023·海南·高考真题）已知曲线.（ ）
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m=n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn0，则C是两条直线
答案：ACD
分析：结合选项进行逐项分析求解，时表示椭圆，时表示圆，时表示双曲线，时表示两条直线.
【详解】对于A，若，则可化为，
因为，所以，
即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；
对于B，若，则可化为，
此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；
对于C，若，则可化为，
此时曲线表示双曲线，
由可得，故C正确；
对于D，若，则可化为，
，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确；
故选：ACD.
【规律方法】
1．求双曲线方程的思路
(1)如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x轴上或y轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a，b，c的方程组，解出a2，b2，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)．
(2)当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：
一是分类讨论，注意考虑要全面；二是注意巧设双曲线： = 1 \* GB3 ①双曲线过两点可设为， = 2 \* GB3 ②与共渐近线的双曲线可设为，（3）等轴双曲线可设为等，均为待定系数法求标准方程.
2．利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤如下：
(1)定位置：根据条件判定双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，不能确定时应分类讨论．
(2)设方程：根据焦点位置，设方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1或eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，焦点不定时，亦可设为mx2＋ny2＝1(m·n0时，表示焦点在y轴上的双曲线．
(2)共焦点的双曲线系方程：与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线的方程为eq \f(x2,a2＋λ)－eq \f(y2,b2－λ)＝1(a>0，b>0)；与双曲线eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线的方程为eq \f(y2,a2＋λ)－eq \f(x2,b2－λ)＝1(a>0，b>0)．
题型三：双曲线的实际应用
例6.（2023·全国·高三专题练习）江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永.现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口和底面的直径都是8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
分析：由已知得双曲线的焦点在x轴上，设该双曲线的方程为，代入建立方程组，求解即可得双曲线的标准方程．
【详解】由题意可知该双曲线的焦点在x轴上，实轴长为4，点在该双曲线上．
设该双曲线的方程为，
则解得，，
故该双曲线的标准方程是．
故选：D.
例7.（2023·长丰北城衡安学校高二月考（理））如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐⋅金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线1(a>0，b>0)的右支与y轴及平行于x轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底座外直径为，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，则杯身最细之处的周长为（ ）
A．2πB．3πC．2πD．4π
答案：C
分析：
利用该金杯主体部分的上口外直径为，下底座外直径为，
且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，
可设，
代入方程，即可解得，
即杯身最细处圆的半径为 ，从而得解.
【详解】
该金杯主体部分的上口外直径为，下底座外直径为，
且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，
可设 代入双曲线方程可得
，
即，
作差可得，解得 ，
所以杯身最细处的周长为 .
故选：C
【总结提升】
解答实际应用问题时，要注意先将实际问题数学化，条件中有两定点，某点与这两定点的距离存在某种联系，解题时先画出图形，分析其关系，看是否与椭圆、双曲线的定义有关，再确定解题思路、步骤．
题型四 已知双曲线的方程，研究其几何性质
例8.(2023·浙江·高考真题）双曲线的焦点坐标是（ ）
A．，B．，
C．， D．，
答案：B
分析：根据双曲线方程确定焦点位置，再根据求焦点坐标.
【详解】因为双曲线方程为，所以焦点坐标可设为，
因为，所以焦点坐标为，选B.
例9.（2023·全国高考真题（文））双曲线的右焦点到直线的距离为________．
答案：
分析：
先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.
【详解】
由已知，，所以双曲线的右焦点为，
所以右焦点到直线的距离为.
故答案为：
例10.（2023·北京·高考真题）已知双曲线，则C的右焦点的坐标为_________；C的焦点到其渐近线的距离是_________．
答案：
分析：根据双曲线的标准方程可得出双曲线的右焦点坐标，并求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式可求得双曲线的焦点到渐近线的距离.
【详解】在双曲线中，，，则，则双曲线的右焦点坐标为，
双曲线的渐近线方程为，即，
所以，双曲线的焦点到其渐近线的距离为.
故答案为：；.
例11.（2023·全国·高考真题（理））已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为_________．
答案：4
分析：将渐近线方程化成斜截式，得出的关系，再结合双曲线中对应关系，联立求解，再由关系式求得，即可求解.
【详解】由渐近线方程化简得，即，同时平方得，又双曲线中，故，解得（舍去），，故焦距.
故答案为：4.
例12.（2023·全国·高考真题）若双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程___________.
答案：
分析：根据离心率得出，结合得出关系，即可求出双曲线的渐近线方程.
【详解】解：由题可知，离心率，即，
又，即，则，
故此双曲线的渐近线方程为.
故答案为：.
【总结提升】
1.已知双曲线方程讨论其几何性质，应先将方程化为标准形式，找出对应的a、b，利用c2＝a2＋b2求出c，再按定义找出其焦点、焦距、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程．
2．画双曲线图形，要先画双曲线的两条渐近线(即以2a、2b为两邻边的矩形对角线)和两个顶点，然后根据双曲线的变化趋势，就可画出双曲线的草图．
3．双曲线的标准方程中对a、b的要求只是a＞0，b＞0易误认为与椭圆标准方程中a，b的要求相同．
若a＞b＞0，则双曲线的离心率e∈(1，eq \r(2))；
若a＝b＞0，则双曲线的离心率e＝eq \r(2)；
若0＜a＜b，则双曲线的离心率e＞eq \r(2).
4．注意区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆a、b、c关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.
5．等轴双曲线的离心率与渐近线关系
双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝eq \r(2)⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．
6．双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b
7．渐近线与离心率
的一条渐近线的斜率为.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．
8.与双曲线有关的范围问题的解题思路
(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接转化求解．
(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系，如借助双曲线上点的坐标范围，方程中Δ≥0等来解决．
题型五 由双曲线的性质求双曲线的方程
例11. (2023·天津·高考真题）已知抛物线分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，与双曲线的渐近线交于点A，若，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
分析：由已知可得出的值，求出点的坐标，分析可得，由此可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.
【详解】抛物线的准线方程为，则，则、，
不妨设点为第二象限内的点，联立，可得，即点，
因为且，则为等腰直角三角形，
且，即，可得，
所以，，解得，因此，双曲线的标准方程为.
故选：C.
例12.（2023·北京·高考真题）若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：分析可得，再将点代入双曲线的方程，求出的值，即可得出双曲线的标准方程.
【详解】，则，，则双曲线的方程为，
将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故，
因此，双曲线的方程为.
故选：B
例13.(2023·天津高考真题（文））已知双曲线 的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点.设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且 则双曲线的方程为( )
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】
设双曲线的右焦点坐标为（c>0），则，
由可得：，
不妨设：，双曲线的一条渐近线方程为，
据此可得：，，
则，则，
双曲线的离心率：，
据此可得：，则双曲线的方程为.
本题选择A选项.
【规律总结】
1.由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法，同样需要经历“定位→定式→定量”三个步骤．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0)，从而直接求得．
2．根据双曲线的渐近线方程可设出双曲线方程．渐近线为y＝eq \f(n,m)x的双曲线方程可设为：eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝λ(λ≠0)；如果两条渐近线的方程为Ax±By＝0，那么双曲线的方程可设为A2x2－B2y2＝m(m≠0)；与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1共渐近线的双曲线方程可设为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．
题型六 求双曲线的离心率(或范围)
例13.（2023·全国·高考真题（文））设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为（ ）
A．B．
C．2D．
答案：A
分析：准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率．
【详解】设与轴交于点，由对称性可知轴，
又，为以为直径的圆的半径，
为圆心．
，又点在圆上，
，即．
，故选A．
例14.（2023·湖北恩施土家族苗族自治州·高三开学考试）双曲线（，）的左顶点为，右焦点为，过点的直线交双曲线于另一点，当时满足，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：
设双曲线半焦距c，再根据给定条件求出|BF|长，列出不等式即可得解.
【详解】
设双曲线半焦距为c，因，则由得，而，
于是得，即，整理得，从而有，又，
所以双曲线离心率的取值范围是.
故选：B
例15.(2023·浙江·高考真题）已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是_________．
答案：
分析：联立直线和渐近线方程，可求出点，再根据可求得点，最后根据点在双曲线上，即可解出离心率．
【详解】过且斜率为的直线，渐近线，
联立，得，由，得
而点在双曲线上，于是，解得：，所以离心率.
故答案为：．
例16.（2023·全国·高考真题（文））设双曲线C： (a>0，b>0)的一条渐近线为y=x，则C的离心率为_________．
答案：
分析：根据已知可得，结合双曲线中的关系，即可求解.
【详解】由双曲线方程可得其焦点在轴上，
因为其一条渐近线为，
所以，.
故答案为：
【规律提升】
1.在解析几何中，求“范围”问题，一般可从以下几个方面考虑：①与已知范围联系，通过求值域或解不等式来完成；②通过判别式Δ求解；③利用点在双曲线内部形成的不等关系求解；④利用解析式的结构特点，如a，eq \r(a)，|a|等非负性求解．
2.求双曲线离心率的取值范围，关键是根据题目条件得到不等关系，并想办法转化为关于a，b，c的不等关 系，结合c2＝a2＋b2和eq \f(c,a)＝e得到关于e的不等式，然后求解．在建立不等式求e时，经常用到的结论：双曲线上一点到相应焦点距离的最小值为c－a.双曲线的离心率常以双曲线的渐近线为载体进行命题，注意二者参数之间的转化．
3.与双曲线离心率、渐近线有关问题的解题策略
(1)双曲线的离心率e＝eq \f(c,a)是一个比值，故只需根据条件得到关于a，b，c的一个关系式，利用b2＝c2－a2消去b，然后变形成关于e的关系式，并且需注意e＞1.
(2)双曲线的渐近线是令，即得两渐近线方程eq \f(x,a)±eq \f(y,b)＝0.
(3)渐近线的斜率也是一个比值，可类比离心率的求法解答．注意应用.
题型七：与双曲线有关的综合问题
例17.(2023·江西·丰城九中高三开学考试（文））已知分别为双曲线的左､右焦点，为双曲线的右顶点.过的直线与双曲线的右支交于两点（其中点在第一象限），设分别为的内心，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
分析：由内心的性质，可知M，N的横坐标都是a，得到MN⊥x轴，设直线AB的倾斜角为θ，有，将表示为θ的三角函数，结合正切函数的性质可求得范围.
【详解】设上的切点分别为H､I､J，
则.
由，得，
∴，即.
设内心M的横坐标为，由轴得点J的横坐标也为，则，
得，则E为直线与x轴的交点，即J与E重合.
同理可得的内心在直线上，
设直线的领斜角为，则，
，
当时，；
当时，由题知，，
因为A，B两点在双曲线的右支上，
∴，且，所以或，
∴且，
∴，
综上所述，.
故选：B.
例18.(2023·全国·高考真题（理））已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN为直角三角形，则|MN|=（ ）
A．B．3C．D．4
答案：B
【详解】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到，根据直角三角形的条件，可以确定直线的倾斜角为或，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得，利用两点间距离公式求得的值.
详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为，且右焦点为，
从而得到，所以直线的倾斜角为或，
根据双曲线的对称性，设其倾斜角为，
可以得出直线的方程为，
分别与两条渐近线和联立，
求得，
所以，故选B.
例19.（2023·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线的左焦点重合，若两曲线相交于，两点，且线段的中点是点，则该双曲线的离心率等于______.
答案：
分析：利用抛物线的性质，得到M的坐标，再带入到双曲线方程中，即可求解.
【详解】由题意知：
抛物线方程为：
在抛物线上，所以
在双曲线上，
，又，
故答案为：
例20.（2023·全国·高考真题（理））已知F为双曲线的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为______________.
答案：2
分析：根据双曲线的几何性质可知，，，即可根据斜率列出等式求解即可．
【详解】联立，解得，所以.
依题可得，，，即，变形得，,
因此，双曲线的离心率为.
故答案为：．
例21. (2023·全国·高考真题（理））若双曲线的渐近线与圆相切，则_________．
答案：
分析：首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．
【详解】解：双曲线的渐近线为，即，
不妨取，圆，即，所以圆心为，半径，
依题意圆心到渐近线的距离，
解得或（舍去）．
故答案为：．
例22. (2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的离心率为，过左焦点且斜率为的直线交的两支于两点．若，则________________．
答案：
分析：由题意设双曲线的方程为，直线为，即，
联立方程，设，由，得，由根与系数的关系求解即可
【详解】因为，
所以，双曲线的方程为，
设过左焦点且斜率为的直线为，即，
与双曲线联立得，
设，则，
因为，
所以，
所以，
消去得，
化简得，即，
因为，
所以，
故答案为：
例23．(2023·广东·广州市真光中学高三开学考试）设，分别是双曲线的左、右两焦点，过点的直线（）与的右支交于，两点，过点，且它的虚轴的端点与焦点的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)当时，求实数的值；
(3)设点关于坐标原点的对称点为，当时，求面积的值.
答案：(1)；
(2)；
(3).
分析：（1）根据点在双曲线上及两点距离列方程组求双曲线参数，即可得方程；
（2）由点在直线上求得，根据到直线与等腰三角形底边上的高相等，列方程求参数m；
（3）设，，联立双曲线与直线方程，应用韦达定理得，，由向量的数量关系可得，根据对称点、三角形面积公式求面积.
（1）
由过点，且它的虚轴的端点与焦点的距离为，
所以，即，
则所求的双曲线的方程为.
（2）
因为直线过点，所以，
由得：等腰三角形底边上的高的大小为，
又到直线的距离等于等腰三角形底边上的高，则，
即，则.
（3）
设，，
由得：，
则，，又，即，
则，，即，则，
又关于坐标原点的对称点为，
则.
则所求的面积为.
【总结提升】
双曲线的综合问题常常涉及双曲线的离心率、渐近线、范围与性质，与圆、椭圆、抛物线、向量、三角函数、不等式等知识交汇考查综合运用数学知识的能力．
(1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立联系求解．
(2)当与直线有关时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系求解．标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)
图形
标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x
离心率
e＝eq \f(c,a)，e∈(1，＋∞)，其中c＝eq \r(a2＋b2)
实虚轴
线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫作双曲线的实半轴长，b叫作双曲线的虚半轴长．
a、b、c
的关系
c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)