高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题9.5抛物线(知识点讲解)(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题9.5抛物线(知识点讲解)(原卷版+解析)，共29页。

【核心素养】
1.考查抛物线的定义、求抛物线方程、最值等问题，凸显直观想象、数学运算的核心素养．
2.结合抛物线的几何性质及几何图形，求抛物线相关性质及其应用，凸显数学运算、直观想象的核心素养．
3.考查直线与抛物线的位置关系，凸显逻辑推理、数学运算、数学应用的核心素养．
【知识点展示】
（一）抛物线的定义
平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．
（二）抛物线的标准方程及几何性质
（三）直线和抛物线的位置关系
（1）将直线的方程与抛物线的方程y2=2px（p＞0）联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.
若，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点；
若
①Δ＞0 直线和抛物线相交，有两个交点；
②Δ＝0直线和抛物线相切，有一个公共点；
③Δ＜0直线和抛物线相离，无公共点．
（2）直线与抛物线的相交弦
设直线交抛物线于点两点，则
==
同理可得[来源:Z*xx*k.Cm]
这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：
（四）焦半径、焦点弦
1.通径
过焦点垂直于轴的弦称为抛物线的通径，其长为__2p__．
2．焦半径
抛物线上一点与焦点F连接的线段叫做焦半径，设抛物线上任一点A(x0，y0)，则四种标准方程形式下的焦半径公式为
3．焦点弦问题
如图所示：AB是抛物线y2＝2px(p>0)过焦点F的一条弦，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，抛物线的准线为l．
(1)以AB为直径的圆必与准线l__相切__；
(2)|AB|＝2(x0＋eq \f(p,2))＝x1＋x2＋__p__；
(3)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1·x2＝eq \f(p2,4)，y1·y2＝－p2．
【常考题型剖析】
题型一：抛物线定义的应用
例1.（2023·全国·高三专题练习（文））已知抛物线C：的焦点为，A是C上一点，|AF|=，则=（ ）
A．1B．2C．4D．8
例2.（2023·全国·高考真题（理））已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（ ）
A．2B．3C．6D．9
【总结提升】
1．涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．
2.抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离，注意转化思想的运用．
3.利用抛物线定义可以解决距离的最大和最小问题，该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关．实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化．
(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．
(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．
提醒：利用抛物线定义进行距离转化的同时，要注意平面几何知识在其中的重大运用．
题型二：抛物线的标准方程
例3.（2023·全国高二课时练习）已知动圆M经过点A(3，0)，且与直线l：x＝－3相切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A．y2＝12xB．y2＝－12x
C．x2＝12yD．x2＝12y
例4.（2023·全国·高三专题练习）过抛物线的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若，则此抛物线方程为__________．
【规律方法】
1.求抛物线标准方程的方法：
①直接法：直接利用题中已知条件确定焦参数p．
②待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定焦参数p.当焦点位置不确定时，应分类讨论或设抛物线方程为y2＝mx或x2＝my．
2．求抛物线方程应注意的问题
(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；已知焦点坐标或准线方程可确定抛物线标准方程的形式；已知抛物线过某点不能确定抛物线标准方程的形式，需根据四种抛物线的图象及开口方向确定．
(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；
(3)要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．
题型三：抛物线的焦点及准线
例5.（2023·全国·高三专题练习）抛物线的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
例6.（2023·全国高考真题（文））设为坐标原点，直线与抛物线C：交于，两点，若，则的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
例7.（2023·全国高考真题）已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______.
【规律总结】
求抛物线的焦点及准线方程的步骤：
(1)把抛物线解析式化为标准方程形式；
(2)明确抛物线开口方向；
(3)求出抛物线标准方程中参数p的值；
(4)写出抛物线的焦点坐标或准线方程．
题型四 抛物线对称性的应用
例8.（2023·全国高二课时练习）已知A，B是抛物线两点，O为坐标原点．若，且的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线AB的方程为________．
例9.（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为，为坐标原点．
(1)过作垂直于轴的直线与抛物线交于两点，的面积为．求抛物线的标准方程；
(2)抛物线上有两点，若为正三角形，求的边长．
【总结提升】
1.为了简化解题过程，有时可根据抛物线方程的特征利用参数表示抛物线上动点的坐标，有时还可以利用抛物线的对称性避免分类讨论．
2．不能把抛物线看作是双曲线的一支．虽然两者都是沿开口方向越来越远离对称轴，但抛物线却越来越接近于对称轴的平行线．
题型五 抛物线的焦点弦问题
例10.（2023·山东海南省高考真题）斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则=________．
例11.(2023·全国·高考真题（理））已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则________．
【总结提升】
解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解．
题型六 抛物线的最值问题
例12.(2023·云南民族大学附属中学模拟预测（理））已知点为抛物线上的动点，设点到的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
例13.（2023·全国·高三专题练习）已知以F为焦点的抛物线上的两点A，B，满足，则弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是（ ）
A．2B．C．D．4
例14.【多选题】(2023·全国·高三专题练习）设抛物线的焦点为F，准线为l，为C上一动点，，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，抛物线C在点P处的切线方程为B．当时，的值为6
C．的最小值为3D．的最大值为
【规律方法】
1.求抛物线最值的常见题型是求抛物线上一点到定点距离的最值、求抛物线上一点到定直线距离的最值，解有关抛物线的最值问题主要有两种思路：一是利用抛物线的定义，进行到焦点的距离与准线的距离的转化，数形结合，利用几何意义解决；二是利用抛物线的标准方程，进行消元代换，得到有关距离的含变量的代数式，用目标函数最值的求法解决．
2. 常见题型及处理方法：
(1)求抛物线上一点到定直线的最小距离．可以利用点到直线的距离公式表示出所求的距离，再利用函数求最值的方法求解，亦可转化为抛物线的切线与定直线平行时两直线间的距离问题．
(2)求抛物线上一点到定点的最值问题．可以利用两点间的距离公式表示出所求距离，再利用函数求最值的方法求解，要注意抛物线上点的设法及变量的取值范围．
(3)方法：设P(x0，y0)是抛物线y2＝2px(p>0)上一点，则x0＝eq \f(y\\al(2,0),2p)，即P(eq \f(y\\al(2,0),2p)，y0)．由两点间距离公式，点到直线的距离公式表示出所求距离，再用函数求最值的方法求解．
(4)此类问题应注意抛物线几何性质的应用，尤其范围的应用．如：y2＝2px(p>0)，则x≥0，y2≥0．
题型七：与抛物线有关的综合问题
例15.(2023·天津·高考真题）已知抛物线分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，与双曲线的渐近线交于点A，若，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
例16.（2023·北京·高考真题（文））设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为__________．
例17. （2023·浙江·高考真题）如图，已知F是抛物线的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且，
（1）求抛物线的方程；
（2）设过点F的直线交抛物线与A､B两点，斜率为2的直线l与直线，x轴依次交于点P，Q，R，N，且，求直线l在x轴上截距的范围.
例18.（2023·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，椭圆的顶点分别为，，，，其中点为抛物线的焦点，如图所示.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若过点的直线与抛物线交于，两点，且，求直线的方程.
【总结提升】
抛物线的综合问题常常涉及方程、几何性质，以及与直线、圆、椭圆、双曲线、向量等知识交汇考查综合运用数学知识的能力．
(1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立联系求解．
(2)当与直线、圆、圆锥曲线有关时，常常联立方程组，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系求解．
图形
标准方程
y2=2px（p＞0）
y2=－2px（p＞0）
x2=2py（p＞0）
x2=－2py（p＞0）
顶点
O（0，0）
范围
x≥0，
x≤0，
y≥0，
y≤0，
对称轴
x轴
y轴
焦点
离心率
e=1
准线方程
焦半径
标准方程
y2＝2px
(p>0)
y2＝－2px
(p>0)
x2＝2py
(p>0)
x2＝－2py
(p>0)
焦半径|AF|
|AF|＝__x0＋eq \f(p,2)__
|AF|＝__eq \f(p,2)－x0__
|AF|＝__y0＋eq \f(p,2)__
|AF|＝__eq \f(p,2)－y0__
专题9.5 抛物线（知识点讲解）
【知识框架】

【核心素养】
1.考查抛物线的定义、求抛物线方程、最值等问题，凸显直观想象、数学运算的核心素养．
2.结合抛物线的几何性质及几何图形，求抛物线相关性质及其应用，凸显数学运算、直观想象的核心素养．
3.考查直线与抛物线的位置关系，凸显逻辑推理、数学运算、数学应用的核心素养．
【知识点展示】
（一）抛物线的定义
平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．
（二）抛物线的标准方程及几何性质
（三）直线和抛物线的位置关系
（1）将直线的方程与抛物线的方程y2=2px（p＞0）联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.
若，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点；
若
①Δ＞0 直线和抛物线相交，有两个交点；
②Δ＝0直线和抛物线相切，有一个公共点；
③Δ＜0直线和抛物线相离，无公共点．
（2）直线与抛物线的相交弦
设直线交抛物线于点两点，则
==
同理可得[来源:Z*xx*k.Cm]
这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：
（四）焦半径、焦点弦
1.通径
过焦点垂直于轴的弦称为抛物线的通径，其长为__2p__．
2．焦半径
抛物线上一点与焦点F连接的线段叫做焦半径，设抛物线上任一点A(x0，y0)，则四种标准方程形式下的焦半径公式为
3．焦点弦问题
如图所示：AB是抛物线y2＝2px(p>0)过焦点F的一条弦，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，抛物线的准线为l．
(1)以AB为直径的圆必与准线l__相切__；
(2)|AB|＝2(x0＋eq \f(p,2))＝x1＋x2＋__p__；
(3)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1·x2＝eq \f(p2,4)，y1·y2＝－p2．
【常考题型剖析】
题型一：抛物线定义的应用
例1.（2023·全国·高三专题练习（文））已知抛物线C：的焦点为，A是C上一点，|AF|=，则=（ ）
A．1B．2C．4D．8
答案：A
分析：根据抛物线的定义可得答案.
【详解】根据抛物线的定义可知，解之得．
故选：A．
例2.（2023·全国·高考真题（理））已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（ ）
A．2B．3C．6D．9
答案：C
分析：利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.
【详解】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得.
故选：C.
【总结提升】
1．涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．
2.抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离，注意转化思想的运用．
3.利用抛物线定义可以解决距离的最大和最小问题，该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关．实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化．
(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．
(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．
提醒：利用抛物线定义进行距离转化的同时，要注意平面几何知识在其中的重大运用．
题型二：抛物线的标准方程
例3.（2023·全国高二课时练习）已知动圆M经过点A(3，0)，且与直线l：x＝－3相切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A．y2＝12xB．y2＝－12x
C．x2＝12yD．x2＝12y
答案：A
分析：
设出点M的坐标，由题意可知|MA|＝|MN|，进而根据抛物线的定义即可得到答案.
【详解】
设动点M(x，y)，圆M与直线l：x＝－3的切点为N，则|MA|＝|MN|，即动点M到定点A和定直线l：x＝－3的距离相等.
∴点M的轨迹是抛物线，且以A(3，0)为焦点，以直线l：x＝－3为准线，
故动圆圆心M的轨迹方程是y2＝12x.
故选：A.
例4.（2023·全国·高三专题练习）过抛物线的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若，则此抛物线方程为__________．
答案：
分析：作准线于，准线于，设，由抛物线定义得，结合求得，进而求出，即可求得抛物线方程.
【详解】
如图，作准线于，准线于，设，由抛物线定义得，，故，
在直角三角形中，因为，，所以，从而得，
设准线与x轴交于，则，所以，因此抛物线方程为.
故答案为：.
【规律方法】
1.求抛物线标准方程的方法：
①直接法：直接利用题中已知条件确定焦参数p．
②待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定焦参数p.当焦点位置不确定时，应分类讨论或设抛物线方程为y2＝mx或x2＝my．
2．求抛物线方程应注意的问题
(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；已知焦点坐标或准线方程可确定抛物线标准方程的形式；已知抛物线过某点不能确定抛物线标准方程的形式，需根据四种抛物线的图象及开口方向确定．
(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；
(3)要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．
题型三：抛物线的焦点及准线
例5.（2023·全国·高三专题练习）抛物线的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：根据抛物线的标准方程以及焦点坐标求解即可
【详解】由题意，抛物线的焦点坐标为
故选：C
例6.（2023·全国高考真题（文））设为坐标原点，直线与抛物线C：交于，两点，若，则的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
因为直线与抛物线交于两点，且，
根据抛物线的对称性可以确定，所以，
代入抛物线方程，求得，所以其焦点坐标为，
故选：B.
例7.（2023·全国高考真题）已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______.
答案：
分析：
先用坐标表示，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得，即得结果.
【详解】
抛物线： ()的焦点,
∵P为上一点，与轴垂直，
所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为,
不妨设,
因为Q为轴上一点，且，所以Q在F的右侧，
又，
因为，所以,
，
所以的准线方程为
故答案为：.
【规律总结】
求抛物线的焦点及准线方程的步骤：
(1)把抛物线解析式化为标准方程形式；
(2)明确抛物线开口方向；
(3)求出抛物线标准方程中参数p的值；
(4)写出抛物线的焦点坐标或准线方程．
题型四 抛物线对称性的应用
例8.（2023·全国高二课时练习）已知A，B是抛物线两点，O为坐标原点．若，且的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线AB的方程为________．
答案：
分析：
由抛物线的性质知关于轴对称,设出坐标，利用三角形垂心的性质，结合斜率之积为，求出坐标即可求解.
【详解】
由抛物线的性质知关于轴对称,
设，则，焦点为.
由题意知，，
所以，即.
因为，所以，即，所以直线AB的方程为.
故答案为：
例9.（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为，为坐标原点．
(1)过作垂直于轴的直线与抛物线交于两点，的面积为．求抛物线的标准方程；
(2)抛物线上有两点，若为正三角形，求的边长．
答案：(1)
(2)
分析：（1）由，利用可构造方程求得，由此可得抛物线方程；
（2）根据对称性可知轴，设，代入抛物线方程可得，利用可构造方程求得，由此可得，即为所求边长.
（1）由抛物线方程知：，为抛物线的通径，则，，解得：，抛物线的标准方程为：.
（2）为正三角形，，由抛物线对称性可知：轴，设，则，解得：，，，，解得：，，即的边长为.
【总结提升】
1.为了简化解题过程，有时可根据抛物线方程的特征利用参数表示抛物线上动点的坐标，有时还可以利用抛物线的对称性避免分类讨论．
2．不能把抛物线看作是双曲线的一支．虽然两者都是沿开口方向越来越远离对称轴，但抛物线却越来越接近于对称轴的平行线．
题型五 抛物线的焦点弦问题
例10.（2023·山东海南省高考真题）斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则=________．
答案：
【解析】
∵抛物线的方程为，∴抛物线的焦点F坐标为，
又∵直线AB过焦点F且斜率为，∴直线AB的方程为：
代入抛物线方程消去y并化简得，
解法一：解得
所以
解法二：
设，则,
过分别作准线的垂线，设垂足分别为如图所示.
故答案为：
例11.(2023·全国·高考真题（理））已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则________．
答案：2
分析：利用点差法得到AB的斜率，结合抛物线定义可得结果.
【详解】详解：设
则
所以
所以
取AB中点,分别过点A,B作准线的垂线，垂足分别为
因为,
，
因为M’为AB中点，
所以MM’平行于x轴
因为M(-1,1)
所以，则即
故答案为2.
【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的性质，设，利用点差法得到，取AB中点, 分别过点A,B作准线的垂线，垂足分别为，由抛物线的性质得到，进而得到斜率．
【总结提升】
解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解．
题型六 抛物线的最值问题
例12.(2023·云南民族大学附属中学模拟预测（理））已知点为抛物线上的动点，设点到的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：直线为抛物线的准线，点到准线的距离等于点到焦点的距离，过焦点作直线的垂线，此时最小，再根据点到直线距离公式即可求解.
【详解】直线为抛物线的准线，点到准线的距离等于点到焦点的距离，过焦点作直线的垂线，
如下图所示，此时最小，为点到直线的距离.
，则．
故选：B．
例13.（2023·全国·高三专题练习）已知以F为焦点的抛物线上的两点A，B，满足，则弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是（ ）
A．2B．C．D．4
答案：B
分析：根据抛物线焦点弦的性质以及，联立可得，进而可用对勾函数的性质求的最值，进而可求.
【详解】解法1：抛物线的焦点坐标为，准线方程为，
设，，则∵，由抛物线定义可知，∴，又因为，所以即，由①②可得：
所以.∵，
当时，，当时，，
∴，则弦AB的中点到C的准线的距离，d最大值是.
∴弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是，
故选：B.
解法2：弦AB的中点到C的准线的距离，根据结论，，，
故选：B.
例14.【多选题】(2023·全国·高三专题练习）设抛物线的焦点为F，准线为l，为C上一动点，，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，抛物线C在点P处的切线方程为B．当时，的值为6
C．的最小值为3D．的最大值为
答案：BCD
分析：A选项，求导，求出在的导函数值，即切线斜率，进而用点斜式求出切线方程；B选项，由焦半径求出的值；C选项，利用抛物线定义得到，当三点共线时和最小，求出最小值；D选项，作出辅助线，找到.
【详解】当时，，又，所以，
所以抛物线C在点P处的切线方程为，整理得：，A错误；
当时，，故，B正确；
如图，过点P作PB⊥准线于点B，则由抛物线定义可知：，则，当A、P、B三点共线时，和最小，最小值为1+2=3，C正确；
由题意得：，连接AF并延长，交抛物线于点P，此点即为取最大值的点，此时，其他位置的点，由三角形两边之差小于第三边得：，故的最大值为，D正确.
故选：BCD
【规律方法】
1.求抛物线最值的常见题型是求抛物线上一点到定点距离的最值、求抛物线上一点到定直线距离的最值，解有关抛物线的最值问题主要有两种思路：一是利用抛物线的定义，进行到焦点的距离与准线的距离的转化，数形结合，利用几何意义解决；二是利用抛物线的标准方程，进行消元代换，得到有关距离的含变量的代数式，用目标函数最值的求法解决．
2. 常见题型及处理方法：
(1)求抛物线上一点到定直线的最小距离．可以利用点到直线的距离公式表示出所求的距离，再利用函数求最值的方法求解，亦可转化为抛物线的切线与定直线平行时两直线间的距离问题．
(2)求抛物线上一点到定点的最值问题．可以利用两点间的距离公式表示出所求距离，再利用函数求最值的方法求解，要注意抛物线上点的设法及变量的取值范围．
(3)方法：设P(x0，y0)是抛物线y2＝2px(p>0)上一点，则x0＝eq \f(y\\al(2,0),2p)，即P(eq \f(y\\al(2,0),2p)，y0)．由两点间距离公式，点到直线的距离公式表示出所求距离，再用函数求最值的方法求解．
(4)此类问题应注意抛物线几何性质的应用，尤其范围的应用．如：y2＝2px(p>0)，则x≥0，y2≥0．
题型七：与抛物线有关的综合问题
例15.(2023·天津·高考真题）已知抛物线分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，与双曲线的渐近线交于点A，若，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
分析：由已知可得出的值，求出点的坐标，分析可得，由此可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.
【详解】抛物线的准线方程为，则，则、，
不妨设点为第二象限内的点，联立，可得，即点，
因为且，则为等腰直角三角形，
且，即，可得，
所以，，解得，因此，双曲线的标准方程为.
故选：C.
例16.（2023·北京·高考真题（文））设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为__________．
答案：(x-1)2+y2=4.
分析：由抛物线方程可得焦点坐标，即圆心，焦点到准线距离即半径，进而求得结果.
【详解】抛物线y2=4x中，2p=4，p=2，
焦点F（1,0），准线l的方程为x=-1，
以F为圆心，
且与l相切的圆的方程为 (x-1)2+y2=22,即为(x-1)2+y2=4.
例17. （2023·浙江·高考真题）如图，已知F是抛物线的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且，
（1）求抛物线的方程；
（2）设过点F的直线交抛物线与A､B两点，斜率为2的直线l与直线，x轴依次交于点P，Q，R，N，且，求直线l在x轴上截距的范围.
答案：（1）；（2）.
分析：（1）求出的值后可求抛物线的方程.
（2）方法一：设，，，联立直线的方程和抛物线的方程后可得，求出直线的方程，联立各直线方程可求出，根据题设条件可得，从而可求的范围.
【详解】（1）因为，故，故抛物线的方程为：.
（2）[方法一]：通式通法
设，，，
所以直线，由题设可得且.
由可得，故，
因为，故，故.
又，由可得，
同理，
由可得，
所以，
整理得到，
故，
令，则且，
故，
故即，
解得或或.
故直线在轴上的截距的范围为或或.
[方法二]：利用焦点弦性质
设直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为，由题设可得且．
由得，所以．
因为，
，．
由得．
同理．
由得．
因为，
所以即．
故．
令，则．
所以，解得或或．
故直线在x轴上的截距的范围为．
[方法三]【最优解】：
设，
由三点共线得，即．
所以直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为．
设直线的方程为，
则．
所以．
故（其中）．
所以．
因此直线在x轴上的截距为．
【整体点评】本题主要是处理共线的线段长度问题，主要方法是长度转化为坐标.
方法一：主要是用坐标表示直线，利用弦长公式将线段长度关系转为纵坐标关系，再将所求构建出函数关系式，再利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围.
方法二：利用焦点弦的性质求得直线的斜率之和为0，再利用线段长度关系即为纵坐标关系，再将所求构建出函数关系式，再利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围.
方法三：利用点在抛物线上，巧妙设点坐标，借助于焦点弦的性质求得点横坐标的关系，这样有助于减少变元，再将所求构建出函数关系式，再利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围.
例18.（2023·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，椭圆的顶点分别为，，，，其中点为抛物线的焦点，如图所示.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若过点的直线与抛物线交于，两点，且，求直线的方程.
答案：（1）；（2）.
分析：（1）根据抛物线的焦点，求抛物线方程；（2）首先设出直线的方程为，与抛物线方程联立，并利用韦达定理表示，并利用，求直线的斜率，验证后，即可得到直线方程.
【详解】解：（1）由椭圆可知，，
所以，，则，
因为抛物线的焦点为，可设抛物线方程为，
所以，即.
所以抛物线的标准方程为.
（2）由椭圆可知，，
若直线无斜率，则其方程为，经检验，不符合要求.
所以直线的斜率存在，设为，直线过点，
则直线的方程为，
设点，，
联立方程组，
消去，得.①
因为直线与抛物线有两个交点，
所以，即，
解得，且.
由①可知，
所以，
则，
因为，且，
所以，
解得或，
因为，且，
所以不符合题意，舍去，
所以直线的方程为，
即.
【总结提升】
抛物线的综合问题常常涉及方程、几何性质，以及与直线、圆、椭圆、双曲线、向量等知识交汇考查综合运用数学知识的能力．
(1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立联系求解．
(2)当与直线、圆、圆锥曲线有关时，常常联立方程组，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系求解．图形
标准方程
y2=2px（p＞0）
y2=－2px（p＞0）
x2=2py（p＞0）
x2=－2py（p＞0）
顶点
O（0，0）
范围
x≥0，
x≤0，
y≥0，
y≤0，
对称轴
x轴
y轴
焦点
离心率
e=1
准线方程
焦半径
标准方程
y2＝2px
(p>0)
y2＝－2px
(p>0)
x2＝2py
(p>0)
x2＝－2py
(p>0)
焦半径|AF|
|AF|＝__x0＋eq \f(p,2)__
|AF|＝__eq \f(p,2)－x0__
|AF|＝__y0＋eq \f(p,2)__
|AF|＝__eq \f(p,2)－y0__