高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题11.2二项式定理(真题测试)(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题11.2二项式定理(真题测试)(原卷版+解析)，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2023·山东·高考真题）在的二项展开式中，第项的二项式系数是（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·山东·高考真题）的二项展开式中，所有项的二项式系数之和是（ ）
A．0B．C．D．32
3．(2023·北京·高考真题）若，则（ ）
A．40B．41C．D．
4．（2023·北京·高考真题）在的展开式中，的系数为（ ）．
A．B．5C．D．10
5．(2023·全国·高考真题（理））的展开式中的系数为（ ）
A．10B．20C．40D．80
6．（2023·全国·高考真题（理））（1+2x2 ）（1+x）4的展开式中x3的系数为（ ）
A．12B．16C．20D．24
5．（2023·全国·高考真题（理））的展开式中x3y3的系数为（ ）
A．5B．10
C．15D．20
8．（2023·全国·高三专题练习（理））伟大的数学家欧拉28岁时解决了困扰数学界近一世纪的“巴赛尔级数”难题．当时，，又根据泰勒展开式可以得到，根据以上两式可求得（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．(2023·广东·东莞四中高三阶段练习）已知二项式的展开式中各项系数的和为1，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．展开式中二项式系数之和为256
C．展开式中第5项为
D．展开式中的系数为
10．（2023·全国·高三专题练习）已知，则下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．D．
11．（2023·山东·临沂市兰山区教学研究室高三开学考试）在的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．不存在常数项B．第4项和第5项二项式系数最大
C．第3项的系数最大D．所有项的系数和为128
12．(2023·浙江·高三开学考试）在二项式的展开式中，正确的说法是（ ）
A．常数项是第3项B．各项的系数和是1
C．偶数项的二项式系数和为32D．第4项的二项式系数最大
三、填空题
13．(2023·天津·高考真题）的展开式中的常数项为______.
14．（2023·天津·高考真题）在的展开式中，的系数是_________．
15．(2023·全国·高考真题）的展开式中的系数为________________（用数字作答）．
16．（2023·浙江·高考真题）已知多项式，则___________，___________.
四、解答题
17．(2023·全国·高三专题练习）已知二项式（）的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是，求展开式中含的项.
18．（2023·全国·高三专题练习）已知（n为正整数）展开式的各项二项式系数之和为256.
(1)求展开式中的第3项；
(2)若，求展开式中的常数项.
19．（2023·江苏·高考真题）设.已知.
（1）求n的值；
（2）设，其中，求的值.
20．（2023·全国·高三专题练习）已知的二项式展开式的各项二项式系数和与各项系数和均为128，
(1)求展开式中所有的有理项；
(2)求展开式中系数最大的项．
21．（2023·全国·高三专题练习）已知展开式的二项式系数和为512，且.
(1)求的值；
(2)设，其中，且，求的值.
22．（2023·全国·高三专题练习）设，求下列各式的值．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
专题11.2 二项式定理（真题测试）
一、单选题
1．（2023·山东·高考真题）在的二项展开式中，第项的二项式系数是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：本题可通过二项式系数的定义得出结果.
【详解】第项的二项式系数为，
故选：A.
2．(2023·山东·高考真题）的二项展开式中，所有项的二项式系数之和是（ ）
A．0B．C．D．32
答案：D
分析：根据的二项展开式系数之和为求解即可
【详解】的二项展开式中所有项的二项式系数之和为
故选：D
3．(2023·北京·高考真题）若，则（ ）
A．40B．41C．D．
答案：B
分析：利用赋值法可求的值.
【详解】令，则，
令，则，
故，
故选：B.
4．（2023·北京·高考真题）在的展开式中，的系数为（ ）．
A．B．5C．D．10
答案：C
分析：首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定的系数即可.
【详解】展开式的通项公式为：，
令可得：，则的系数为：.
故选：C.
【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．
5．(2023·全国·高考真题（理））的展开式中的系数为（ ）
A．10B．20C．40D．80
答案：C
【详解】分析：写出，然后可得结果
详解：由题可得
令,则
所以
故选C.
6．（2023·全国·高考真题（理））（1+2x2 ）（1+x）4的展开式中x3的系数为（ ）
A．12B．16C．20D．24
答案：A
分析：本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数．
【详解】由题意得x3的系数为，故选A．
5．（2023·全国·高考真题（理））的展开式中x3y3的系数为（ ）
A．5B．10
C．15D．20
答案：C
分析：求得展开式的通项公式为（且），即可求得与展开式的乘积为或形式，对分别赋值为3，1即可求得的系数，问题得解.
【详解】展开式的通项公式为（且）
所以的各项与展开式的通项的乘积可表示为：
和
在中，令，可得：，该项中的系数为，
在中，令，可得：，该项中的系数为
所以的系数为
故选：C
8．（2023·全国·高三专题练习（理））伟大的数学家欧拉28岁时解决了困扰数学界近一世纪的“巴赛尔级数”难题．当时，，又根据泰勒展开式可以得到，根据以上两式可求得（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：由同时除以x，再利用展开式中的系数可求出.
【详解】由，两边同时除以x，
得，
又
展开式中的系数为，
所以，
所以．
故选：A．
二、多选题
9．(2023·广东·东莞四中高三阶段练习）已知二项式的展开式中各项系数的和为1，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．展开式中二项式系数之和为256
C．展开式中第5项为
D．展开式中的系数为
答案：AC
分析：令即可得到展开式各项系数和，从而得到参数的值，即可判断A，再根据二项式系数和为，即可判断B，再写出展开式的通项，即可计算C、D.
【详解】解：对于A：令可得，解得，故A正确；
对于B：二项式系数和为，故B错误；
对于C：展开式的通项为，第5项即，所以，故C正确；
对于D：令，解得，所以展开式中的系数为，故D错误.
故选：AC
10．（2023·全国·高三专题练习）已知，则下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．D．
答案：ABD
分析：通过赋值根据选项一一判断即可得结果.
【详解】解：对于A，取得，所以，故A正确；
对于B，的展开式中第7项为，所以，故B正确；
对于C，取得，故C错误；
对于D，由，
取得，
取得，
所以，故D正确.
故选：ABD.
11．（2023·山东·临沂市兰山区教学研究室高三开学考试）在的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．不存在常数项B．第4项和第5项二项式系数最大
C．第3项的系数最大D．所有项的系数和为128
答案：ABC
分析：利用二项展开式的通项公式及赋值法，逐项分析即得.
【详解】因为展开式的通项公式为，
由，得(舍去)，所以展开式不存在常数项，故A正确；
展开式共有项，所以第4项和第5项二项式系数最大，故B正确；
由通项公式可得为偶数时，系数才有可能取到最大值，
由，可知第项的系数最大，故C正确；
令，得所有项的系数和为，故D错误；
故选：ABC.
12．(2023·浙江·高三开学考试）在二项式的展开式中，正确的说法是（ ）
A．常数项是第3项B．各项的系数和是1
C．偶数项的二项式系数和为32D．第4项的二项式系数最大
答案：BCD
分析：利用二项式展开式通项可判断A选项；利用各项系数和可判断B选项；求出偶数项的二项式系数和可判断C选项；利用二项式系数的性质可判断D选项；
【详解】解：二项式的展开式通项为，
对于A选项，令，可得，故常数项是第项，A错；
对于B选项，各项的系数和是，B对；
对于C选项，偶数项二项式系数和为，C对
对于D选项，展开式共项，第项二项式系数最大，D对；
故选：BCD
三、填空题
13．(2023·天津·高考真题）的展开式中的常数项为______.
答案：
分析：由题意结合二项式定理可得的展开式的通项为，令，代入即可得解.
【详解】由题意的展开式的通项为，
令即，则，
所以的展开式中的常数项为.
故答案为：.
14．（2023·天津·高考真题）在的展开式中，的系数是_________．
答案：10
分析：写出二项展开式的通项公式，整理后令的指数为2，即可求出．
【详解】因为的展开式的通项公式为，令，解得．
所以的系数为．
故答案为：．
15．(2023·全国·高考真题）的展开式中的系数为________________（用数字作答）．
答案：-28
分析：可化为，结合二项式展开式的通项公式求解.
【详解】因为，
所以的展开式中含的项为，
的展开式中的系数为-28
故答案为：-28
16．（2023·浙江·高考真题）已知多项式，则___________，___________.
答案： ; .
分析：根据二项展开式定理，分别求出的展开式，即可得出结论.
【详解】，
，
所以，
，
所以.
故答案为：.
四、解答题
17．(2023·全国·高三专题练习）已知二项式（）的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是，求展开式中含的项.
答案：
分析：根据二项式展开式，找到第2项与第3项的二项式系数，即可求得n=6，再令，可解得含的项.
【详解】因为的展开式的通项公式为，则，，
展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是，则，
解得n=6.所以原二项式为，，
令，则6.
所以展开式中含的项为第7项，
18．（2023·全国·高三专题练习）已知（n为正整数）展开式的各项二项式系数之和为256.
(1)求展开式中的第3项；
(2)若，求展开式中的常数项.
答案：(1)
(2)
分析：（1）由题意，解出，写出展开式的通项公式，从而可得出第3项.
（2）将代入展开式的通项公式，令的指数为0，从而可得出答案.
（1）依题意可得，解得，则展开式的通项公式为：所以展开式中的第3项为
（2）由（1）及，则展开式的通项公式为：令，解得则展开式中的常数项为
19．（2023·江苏·高考真题）设.已知.
（1）求n的值；
（2）设，其中，求的值.
答案：（1）；
（2）-32.
分析：(1)首先由二项式展开式的通项公式确定的值，然后求解关于的方程可得的值；
(2)解法一：利用(1)中求得的n的值确定有理项和无理项从而可得a,b的值，然后计算的值即可；
解法二：利用(1)中求得的n的值，由题意得到的展开式，最后结合平方差公式即可确定的值.
【详解】（1）因为，
所以，
．
因为，
所以，
解得．
（2）由（1）知，．
．
解法一：
因为，所以，
从而．
解法二：
．
因为，所以．
因此．
20．（2023·全国·高三专题练习）已知的二项式展开式的各项二项式系数和与各项系数和均为128，
(1)求展开式中所有的有理项；
(2)求展开式中系数最大的项．
答案：(1)展开式中所有的有理项为，
(2)和
分析：（1）由二项式系数的性质可得，进而可得的值，再令求出的值，然后结合二项展开式的通项公式即可求解；
（2）由二项展开式的通项公式可知，展开式中系数最大的项即为展开式中二项式系数最大的项，从而利用二项式系数的性质即可求解.
（1）
解：因为的二项展开式的各二项式系数和为，各项系数和为，
所以由已知得，故，
所以，解得，
所以该二项式为，其通项为，，
所以当时，该项为有理项，
所以展开式中所有的有理项为，；
（2）
解：因为展开式的通项公式为，，
所以展开式中系数最大的项即为展开式中二项式系数最大的项，而由二项式系数的性质可知最大的项为展开式的第或第项，
所以展开式中系数最大的项为和；
21．（2023·全国·高三专题练习）已知展开式的二项式系数和为512，且.
(1)求的值；
(2)设，其中，且，求的值.
答案：(1)
(2)
分析：（1）根据二项展开式的二项式系数和求出，再结合，根据二项式定理即可求出答案；
（2）根据已知条件改写原式，得到原式可以被整除的部分，根据余项、转化求解即可得到答案.
（1）
因为展开式的二项式系数和为512，
所以，得，
所以，
所以.
（2）
，
因为能被6整除，
而，，所以.
22．（2023·全国·高三专题练习）设，求下列各式的值．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
答案：(1)
(2)﹣2100
(3)
(4)1
(5)
分析：（1）令即可求解；
（2）令求出，进而进行求解；
（3）令求出，再联立方程组进行求解；
（4）利用平方差公式和前两问的结果进行求解；
（5）利用的展开式的通项确定系数的符号，进而去掉绝对值进行求解.
（1）
在中，
令，得．
（2）
令，得 ①，
则.
（3）
令，得 ②，
联立①②，得．
（4）
．
（5）
因为的展开式的通项为，
所以，，，，，，，
所以
．