高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题12.2离散型随机变量的分布列、均值与方差(知识点讲解)(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题12.2离散型随机变量的分布列、均值与方差(知识点讲解)(原卷版+解析)，共30页。


【核心素养】
1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，凸显数学抽象、数据分析的核心素养.
2.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念，会求简单的离散型随机变量的均值、方差，凸显数学运算的核心素养．
3.能利用离散型随机变量的均值、方差的概念解决一些简单实际问题，凸显数学运算、数学建模的核心素养．
【知识点展示】
（一）离散型随机变量的分布列
1．离散型随机变量的分布列
(1)随机变量
如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用字母X，Y，ξ，η等表示．
(2)离散型随机变量
对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．
随机变量的线性关系：若是随机变量，，其中是常数，则也是随机变量.
2. 分布列的两个性质
①，；②.
3．分布列性质的两个作用
(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值．
(2)随机变量ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率．
3．常见离散型随机变量的分布列
(1)两点分布：
若随机变量服从两点分布，即其分布列为
其中，则称离散型随机变量服从参数为的两点分布．其中称为成功概率．
(2)设离散型随机变量可能取得值为，，…，，…，取每一个值 ()的概率为，则称表
为随机变量X的概率分布列，简称X的分布列．有时为了表达简单，也用等式，表示的分布列．
（二）离散型随机变量分布列与数字特征
1．均值
若离散型随机变量X的分布列为
称为随机变量的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．．
若，其中为常数，则也是随机变量，且.
若服从两点分布，则；
2.方差
若离散型随机变量X的分布列为
则描述了 ()相对于均值的偏离程度，而为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量与其均值的平均偏离程度．称为随机变量的方差，其算术平方根为随机变量的标准差．
若，其中为常数，则也是随机变量，且．
若服从两点分布，则．
3. 六条性质
(1) (为常数)
(2) (为常数)
(3)
(4)如果相互独立，则
(5)
(6)
【常考题型剖析】
题型一：离散型随机变量分布列的性质
例1. (2023·江苏·高三专题练习）已知集合，，从集合中任取3个不同的元素，其中最小的元素用表示，从集合中任取3个不同的元素，其中最大的元素用表示，记，则为（ ）
A．B．C．D．4
例2. （2023·全国·高三专题练习）设是一个离散型随机变量，其分布列如图，则q等于（ ）
A．B．C．D．
例3．(2023·河南·上蔡县衡水实验中学高三阶段练习（理））设随机变量的概率分布列如下表：
则（ ）A．B．C．D．
例4．（2023·全国·高三专题练习）设X是一个离散型随机变量，其分布列如下，则______.
【规律方法】
1．离散型随机变量的分布列的性质的应用
(1)利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值；
(2)利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率；
(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确．
2．对于分布列易忽视其性质及，其作用可用于检验所求离散型随机变量的分布列是否正确．
3．确定离散型随机变量的取值时，易忽视各个可能取值表示的事件是彼此互斥的．
4.利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．
题型二：离散型随机变量分布列的求法
例5. 设离散型随机变量X的分布列为
(1)求随机变量Y＝2X＋1的分布列；
(2)求随机变量η＝|X－1|的分布列；
(3)求随机变量ξ＝X2的分布列．
【点睛】由于分布列中每个概率值均为非负数，故在利用概率和为1求参数值时，务必要检验．
例6.（2023·全国·高二课时练习）抛一枚均匀的硬币2次，设正面朝上的次数为X．
（1）说明表示的是什么事件，并求出；
（2）求X的分布列．
例7.(2023·山东·高考真题（理））甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：
（Ⅰ）“星队”至少猜对3个成语的概率；
（Ⅱ）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX．
【规律方法】
求分布列的三种方法
1.由统计数据得到离散型随机变量的分布列；
(1)可设出随机变量Y，并确定随机变量的所有可能取值作为第一行数据；
(2)由统计数据利用事件发生的频率近似地表示该事件的概率作为第二行数据．由统计数据得到分布列可帮助我们更好理解分布列的作用和意义．
2.由古典概型求出离散型随机变量的分布列；求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X取各个值的概率．而超几何分布就是此类问题中的一种．
3.由互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率及n次独立重复试验有k次发生的概率求离散型随机变量的分布列．
题型三：离散型随机变量的均值与方差
例8．（2023·全国·高三专题练习）设，若随机变量的分布列如下表：
则下列方差中最大的是（ ）
A．B．C．D．
例9.(2023·浙江·高三开学考试）互不相等的正实数是的任意顺序排列，设随机变量满足：则（ ）
A．B．
C．D．
例10.（2023·全国·高三专题练习）已知某商场销售一种商品的单件销售利润为，a，2，根据以往销售经验可得，随机变量X的分布列为
其中结论正确的是（ ）
A．
B．若该商场销售该商品5件，其中3件销售利润为0的概率为
C．
D．当最小时，
例11.（2023·浙江省高考真题）盒子里有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球，从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为，则_______；______．
例12.（2023·全国·高三专题练习）随机变量的分布列如下表，则___________.
例13．(2023·全国·清华附中朝阳学校模拟预测）随机变量的分布列如下表所示，则方差的取值范围是_________.
【总结提升】
均值与方差性质的应用若是随机变量，则一般仍是随机变量，在求的期望和方差时，熟练应用期望和方差的性质，可以避免再求的分布列带来的繁琐运算．
题型四 实际问题中的科学决策
例14.(2023·湖南·高三阶段练习）某商家为了促销，规定每位消费者均可免费参加一次抽奖活动.活动规则如下：在一不透明的纸箱中有9张相同的卡片，其中3张卡片上印有“中”字，3张卡片上印有“国”字，另外3张卡片上印有“红”字.消费者从该纸箱中不放回地随机抽取3张卡片，若抽到的3张卡片上都印有同一个字，则获得一张20元代金券；若抽到的3张卡片中每张卡片上的字都不一样，则获得一张10元代金券；若抽到的3张卡片是其他情况，则不获得任何奖励.
(1)求某位消费者在一次抽奖活动中抽到的3张卡片上都印有“中”字的概率.
(2)记随机变量为某位消费者在一次抽奖活动中获得代金券的金额数，求的分布列和数学期望.
(3)该商家规定，消费者若想再次参加该项抽奖活动，则每抽奖一次需支付5元.若你是消费者，请从收益方面来考虑是否愿意再次参加该项抽奖活动，并说明理由.
例15.(2023·全国·高考真题（理））某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间,需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.
(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列.
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值?
例16.（2023·全国·高考真题）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，．
（1）已知，求；
（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：的一个最小正实根，求证：当时，，当时，；
（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．
【规律方法】
1.解决与生产实际相关的概率问题时首先把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列，最后利用公式求出相应的均值．
2.均值与方差在决策中的应用注意点
（1）随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是实际生产中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．
（2）两种应用策略
= 1 \* GB3 ①当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分歧，可对问题作出判断．
= 2 \* GB3 ②若两随机变量均值相同或相差不大，则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度，进而进行决策.
3.几种常用的解题方法
(1)转化法．
将现实问题转化为数学模型，将不熟悉的数学问题转化为熟悉的数学问题，以求得解决途径．
(2)正难则反的解题策略．
当所求问题正面求解过于烦琐时，往往可以使用其对立事件简化过程，一般当问题中出现“至多”“至少”等词语时使用较多．
题型五 概率与统计综合问题
例17.(2023·广东·仲元中学高三阶段练习）随着时代的不断发展，社会对高素质人才的需求不断扩大，我国本科毕业生中考研人数也不断攀升，2020年的考研人数是341万人，2021年考研人数是377万人．某省统计了该省其中四所大学2022年的毕业生人数及考研人数（单位：千人），得到如下表格：
(1)已知y与x具有较强的线性相关关系，求：y关于x的线性回归方程；
(2)假设该省对选择考研的大学生每人发放0.5万元的补贴．
①若该省大学2022年毕业生人数为8千人，估计该省要发放补贴的总全额：
②若大学的毕业生中小浙、小江选择考研的概率分別为，，该省对小浙、小江两人的考研补贴总金额的期望不超过0.75万元，求的取值范围．
参考公式：，．
例18. (2023·湖南师大附中高三阶段练习）某工厂为了提高生产效率，对生产设备进行了技术改造，为了对比技术改造后的效果，采集了技术改造前后各次连续正常运行的时间长度（单位：天）数据，整理如下：
改造前：；
改造后：.
(1)完成下面的列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析判断技术改造前后的连续正常运行时间是否有差异？
(2)工厂的生产设备的运行需要进行维护，工厂对生产设备的生产维护费用包括正常维护费和保障维护费两种，对生产设备设定维护周期为天（即从开工运行到第天，）进行维护，生产设备在一个生产周期内设置几个维护周期，每个维护周期相互独立.在一个维护周期内，若生产设备能连续运行，则只产生一次正常维护费，而不会产生保障维护费；若生产设备不能连续运行，则除产生一次正常维护费外，还产生保障维护费，经测算，正常维护费为万元/次，保障维护费第一次为万元/周期，此后每增加一次则保障维护费增加万元.现制定生产设备一个生产周期（以天计）内的维护方案：，.以生产设备在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率，求一个生产周期内生产维护费的分布列及均值.
（其中）
0
1
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
-1
0
1
P
0.5
1
2
3
4
X
0
1
P
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
－1
0
2
P
a
2a
3a
X
0
a
2
P
b
0
1
2
0.4
0.2
0
1
2
最高气温
[10,15)
[15,20)
[20,25)
[25,30)
[30,35)
[35,40)
天数
2
16
36
25
7
4
大学
A大学
B大学
C大学
D大学
2022年毕业人数x（千人）
7
6
5
4
2022年考研人数y（千人）
0.5
0.4
0.3
0.2
技术改造
设备连续正常运行天数
合计
超过
不超过
改造前
改造后
合计
专题12.2 离散型随机变量的分布列、均值与方差（知识点讲解）
【知识框架】

【核心素养】
1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，凸显数学抽象、数据分析的核心素养.
2.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念，会求简单的离散型随机变量的均值、方差，凸显数学运算的核心素养．
3.能利用离散型随机变量的均值、方差的概念解决一些简单实际问题，凸显数学运算、数学建模的核心素养．
【知识点展示】
（一）离散型随机变量的分布列
1．离散型随机变量的分布列
(1)随机变量
如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用字母X，Y，ξ，η等表示．
(2)离散型随机变量
对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．
随机变量的线性关系：若是随机变量，，其中是常数，则也是随机变量.
2. 分布列的两个性质
①，；②.
3．分布列性质的两个作用
(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值．
(2)随机变量ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率．
3．常见离散型随机变量的分布列
(1)两点分布：
若随机变量服从两点分布，即其分布列为
其中，则称离散型随机变量服从参数为的两点分布．其中称为成功概率．
(2)设离散型随机变量可能取得值为，，…，，…，取每一个值 ()的概率为，则称表
为随机变量X的概率分布列，简称X的分布列．有时为了表达简单，也用等式，表示的分布列．
（二）离散型随机变量分布列与数字特征
1．均值
若离散型随机变量X的分布列为
称为随机变量的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．．
若，其中为常数，则也是随机变量，且.
若服从两点分布，则；
2.方差
若离散型随机变量X的分布列为
则描述了 ()相对于均值的偏离程度，而为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量与其均值的平均偏离程度．称为随机变量的方差，其算术平方根为随机变量的标准差．
若，其中为常数，则也是随机变量，且．
若服从两点分布，则．
3. 六条性质
(1) (为常数)
(2) (为常数)
(3)
(4)如果相互独立，则
(5)
(6)
【常考题型剖析】
题型一：离散型随机变量分布列的性质
例1. (2023·江苏·高三专题练习）已知集合，，从集合中任取3个不同的元素，其中最小的元素用表示，从集合中任取3个不同的元素，其中最大的元素用表示，记，则为（ ）
A．B．C．D．4
答案：C
分析：列举法确定分别从集合A、B中取3个元素后对应的最小、最大元素及所有组合，再由题设知的取值为，利用古典概型的概率求法求即可.
【详解】根据题意，从集合中任取3个不同的元素有4种：，其中最小的元素取值分别为，
从集合中任取3个不同的元素有10种：，其中最大的元素的取值分别为，
由，随机变量的取值为，故对应，
∴，
故选：C.
例2. （2023·全国·高三专题练习）设是一个离散型随机变量，其分布列如图，则q等于（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：根据分布列的性质直接求解即可.
【详解】由题知，解得.
故选：C
例3．(2023·河南·上蔡县衡水实验中学高三阶段练习（理））设随机变量的概率分布列如下表：
则（ ）A．B．C．D．
答案：C
分析：利用随机变量分布列的概率之和为1可得a的值，再从式子中，解出，知其包含两种情况，解之即可.
【详解】根据随机变量分布列的概率分布列知，，解得．又，∴或，则．
故选:C．
例4．（2023·全国·高三专题练习）设X是一个离散型随机变量，其分布列如下，则______.
答案：
分析：根据概率之和等于1及概率的范围即可得解.
【详解】解：由分布列可得，
解得或，
经检验.
故答案为：.
【规律方法】
1．离散型随机变量的分布列的性质的应用
(1)利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值；
(2)利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率；
(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确．
2．对于分布列易忽视其性质及，其作用可用于检验所求离散型随机变量的分布列是否正确．
3．确定离散型随机变量的取值时，易忽视各个可能取值表示的事件是彼此互斥的．
4.利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．
题型二：离散型随机变量分布列的求法
例5. 设离散型随机变量X的分布列为
(1)求随机变量Y＝2X＋1的分布列；
(2)求随机变量η＝|X－1|的分布列；
(3)求随机变量ξ＝X2的分布列．
答案：见解析
【解析】(1)由分布列的性质知，
0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.
首先列表为：
从而Y＝2X＋1的分布列为
(2)列表为
∴P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，
P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3，
P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3，
P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3.
故η＝|X－1|的分布列为
(3)首先列表为
从而ξ＝X2的分布列为
【点睛】由于分布列中每个概率值均为非负数，故在利用概率和为1求参数值时，务必要检验．
例6.（2023·全国·高二课时练习）抛一枚均匀的硬币2次，设正面朝上的次数为X．
（1）说明表示的是什么事件，并求出；
（2）求X的分布列．
答案：
（1）事件见解析，；
（2）分布列见解析．
分析：
（1）根据表示的意义确定事件，并计算概率．
（2）的可能值为0，1，2，求出各概率后得分布列．
（1）
表示正面向上的次数为1的事件，．
（2）
的可能值为0，1，2，则，，
的分布列如下：
例7.(2023·山东·高考真题（理））甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：
（Ⅰ）“星队”至少猜对3个成语的概率；
（Ⅱ）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX．
答案：（Ⅰ）（Ⅱ）分布列见解析，
【详解】试题分析：（Ⅰ）找出“星队”至少猜对3个成语所包含的基本事件，由独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式求解；（Ⅱ）由题意，随机变量的可能取值为0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性，得到的分布列，根据期望公式求解.
试题解析：
（Ⅰ）记事件A:“甲第一轮猜对”，记事件B：“乙第一轮猜对”，
记事件C：“甲第二轮猜对”，记事件D：“乙第二轮猜对”，
记事件E：“‘星队’至少猜对3个成语”.
由题意，
由事件的独立性与互斥性，
,
所以“星队”至少猜对3个成语的概率为.
（Ⅱ）由题意，随机变量的可能取值为0,1,2,3,4,6.
由事件的独立性与互斥性，得
,
,
,
,
,
.
可得随机变量的分布列为
所以数学期望.
【规律方法】
求分布列的三种方法
1.由统计数据得到离散型随机变量的分布列；
(1)可设出随机变量Y，并确定随机变量的所有可能取值作为第一行数据；
(2)由统计数据利用事件发生的频率近似地表示该事件的概率作为第二行数据．由统计数据得到分布列可帮助我们更好理解分布列的作用和意义．
2.由古典概型求出离散型随机变量的分布列；求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X取各个值的概率．而超几何分布就是此类问题中的一种．
3.由互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率及n次独立重复试验有k次发生的概率求离散型随机变量的分布列．
题型三：离散型随机变量的均值与方差
例8．（2023·全国·高三专题练习）设，若随机变量的分布列如下表：
则下列方差中最大的是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：利用期望和方差的计算公式及其方差的性质分别求解即可.
【详解】由题意，得，则，
所以，，
所以，，
所以，，
即最大，
故选：C.
例9.(2023·浙江·高三开学考试）互不相等的正实数是的任意顺序排列，设随机变量满足：则（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
分析：根据题意，分或， 或， 或，得到X，Y的分布列求解.
【详解】解：因为随机变量满足：
所以当或时，；
当或时，；
当或时，；
所以X，Y的分布列为：
所以，
，
所以，
故选：C
例10.（2023·全国·高三专题练习）已知某商场销售一种商品的单件销售利润为，a，2，根据以往销售经验可得，随机变量X的分布列为
其中结论正确的是（ ）
A．
B．若该商场销售该商品5件，其中3件销售利润为0的概率为
C．
D．当最小时，
答案：ABC
分析：根据离散型随机变量的分布列的性质，期望与方差的计算公式，独立重复事件的概率公式进行计算求解，最值问题可结合函数的性质求解.
【详解】由题意，，，故选项A正确；该商场销售该商品5件，其中3件销售利润为0的概率为，故选项B正确；随机变量X的期望值，可知方差
，当时，，故选项C正确；当时，，故选项D错误.
故选：ABC.
例11.（2023·浙江省高考真题）盒子里有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球，从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为，则_______；______．
答案：
【解析】
因为对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球，
所以，
随机变量，
，
，
所以.
故答案为：.
例12.（2023·全国·高三专题练习）随机变量的分布列如下表，则___________.
答案：20
分析：由概率和为1求出a，先求出和，进而求出.
【详解】由，所以，，
故答案为：20
例13．(2023·全国·清华附中朝阳学校模拟预测）随机变量的分布列如下表所示，则方差的取值范围是_________.
答案：
分析：结合概率之和为1求出与之间的关系，进而用表示出期望公式和方差公式，最后结合二次函数性质即可求解.
【详解】由题意可知，，则，，
故随机变量的数学期望，
从而，
因为，
所以由二次函数性质可知，，
故方差的取值范围是.
【总结提升】
均值与方差性质的应用若是随机变量，则一般仍是随机变量，在求的期望和方差时，熟练应用期望和方差的性质，可以避免再求的分布列带来的繁琐运算．
题型四 实际问题中的科学决策
例14.(2023·湖南·高三阶段练习）某商家为了促销，规定每位消费者均可免费参加一次抽奖活动.活动规则如下：在一不透明的纸箱中有9张相同的卡片，其中3张卡片上印有“中”字，3张卡片上印有“国”字，另外3张卡片上印有“红”字.消费者从该纸箱中不放回地随机抽取3张卡片，若抽到的3张卡片上都印有同一个字，则获得一张20元代金券；若抽到的3张卡片中每张卡片上的字都不一样，则获得一张10元代金券；若抽到的3张卡片是其他情况，则不获得任何奖励.
(1)求某位消费者在一次抽奖活动中抽到的3张卡片上都印有“中”字的概率.
(2)记随机变量为某位消费者在一次抽奖活动中获得代金券的金额数，求的分布列和数学期望.
(3)该商家规定，消费者若想再次参加该项抽奖活动，则每抽奖一次需支付5元.若你是消费者，请从收益方面来考虑是否愿意再次参加该项抽奖活动，并说明理由.
答案：(1)
(2)分布列答案见解析，数学期望：
(3)我不愿意再次参加该项抽奖活动，理由见解析
分析：（1）根据古典概型的方法，结合组合数的计算求解即可；
（2）的所有可能取值为，再分别求解分布列与数学期望即可；
（3）根据（2）中数学期望，求解消费者在一次抽奖活动中的收益判断即可.
（1）记“某位消费者在一次抽奖活动中抽到的3张卡片上都印有‘中’字”为事件，则.所以某位消费者在一次抽奖活动中抽到的3张卡片上都印有“中”字的概率是
（2）随机变量的所有可能取值为，
则，
，
.
所以的分布列为
.
（3）记随机变量为消费者在一次抽奖活动中的收益，则，
所以，因此我不愿意再次参加该项抽奖活动.
例15.(2023·全国·高考真题（理））某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间,需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.
(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列.
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值?
答案：（1）详见解析；（2）.
分析：（1）由题意知的可能取值为200，300，500，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列．
（2）由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶，只需考虑，根据和分类讨论．
【详解】解：（1）由题意知，所有的可能取值为200，300，500，由表格数据知
的分布列为
（2）由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑
当时，若最高气温不低于25，则2n；
若最高气温位于区间，则1200-2n；
若最高气温低于20，则=800-2n
因此
当00时，若最高气温不低于20，则2n，
若最高气温低于20，则=800-2n，
因此160+1.2n
所以时，的数学期望达到最大值，最大值为520元．
例16.（2023·全国·高考真题）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，．
（1）已知，求；
（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：的一个最小正实根，求证：当时，，当时，；
（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．
答案：（1）1；（2）见解析；（3）见解析.
分析：（1）利用公式计算可得.
（2）利用导数讨论函数的单调性，结合及极值点的范围可得的最小正零点.
（3）利用期望的意义及根的范围可得相应的理解说明.
【详解】（1）.
（2）设，
因为，故，
若，则，故.
，
因为，，
故有两个不同零点，且，
且时，；时，；
故在，上为增函数，在上为减函数，
若，因为在为增函数且，
而当时，因为在上为减函数，故，
故为的一个最小正实根，
若，因为且在上为减函数，故1为的一个最小正实根，
综上，若，则.
若，则，故.
此时，，
故有两个不同零点，且，
且时，；时，；
故在，上为增函数，在上为减函数，
而，故，
又，故在存在一个零点，且.
所以为的一个最小正实根，此时，
故当时，.
（3）意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于1.
【规律方法】
1.解决与生产实际相关的概率问题时首先把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列，最后利用公式求出相应的均值．
2.均值与方差在决策中的应用注意点
（1）随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是实际生产中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．
（2）两种应用策略
= 1 \* GB3 ①当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分歧，可对问题作出判断．
= 2 \* GB3 ②若两随机变量均值相同或相差不大，则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度，进而进行决策.
3.几种常用的解题方法
(1)转化法．
将现实问题转化为数学模型，将不熟悉的数学问题转化为熟悉的数学问题，以求得解决途径．
(2)正难则反的解题策略．
当所求问题正面求解过于烦琐时，往往可以使用其对立事件简化过程，一般当问题中出现“至多”“至少”等词语时使用较多．
题型五 概率与统计综合问题
例17.(2023·广东·仲元中学高三阶段练习）随着时代的不断发展，社会对高素质人才的需求不断扩大，我国本科毕业生中考研人数也不断攀升，2020年的考研人数是341万人，2021年考研人数是377万人．某省统计了该省其中四所大学2022年的毕业生人数及考研人数（单位：千人），得到如下表格：
(1)已知y与x具有较强的线性相关关系，求：y关于x的线性回归方程；
(2)假设该省对选择考研的大学生每人发放0.5万元的补贴．
①若该省大学2022年毕业生人数为8千人，估计该省要发放补贴的总全额：
②若大学的毕业生中小浙、小江选择考研的概率分別为，，该省对小浙、小江两人的考研补贴总金额的期望不超过0.75万元，求的取值范围．
参考公式：，．
答案：(1)
(2)① 300（万元）；②
分析：（1）利用参考公式分别求出与，代入即可求得；
（2）对于①，利用（1）中的代入估计得选择考研的人数，即可求得结果；
对于②，先设小浙与小江两人中选择考研的的人数为X，求出其数学期望，进而求得考研补贴的数学期望，计算，结合即可求得结果.
（1）
由题意得，，
又，∴
∵，∴，
∴，所以，
故得y关于x的线性回归方程为．
（2）
①将代入，
估计该省要发放补贴的总金额为（万元）
②设小浙、小江两人中选择考研的的人数为X，则X的所有可能值为0，1，2；
，
，
，
∴，
∴，解得，
又，∴，∴，
故p的取值范围为．
例18. (2023·湖南师大附中高三阶段练习）某工厂为了提高生产效率，对生产设备进行了技术改造，为了对比技术改造后的效果，采集了技术改造前后各次连续正常运行的时间长度（单位：天）数据，整理如下：
改造前：；
改造后：.
(1)完成下面的列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析判断技术改造前后的连续正常运行时间是否有差异？
(2)工厂的生产设备的运行需要进行维护，工厂对生产设备的生产维护费用包括正常维护费和保障维护费两种，对生产设备设定维护周期为天（即从开工运行到第天，）进行维护，生产设备在一个生产周期内设置几个维护周期，每个维护周期相互独立.在一个维护周期内，若生产设备能连续运行，则只产生一次正常维护费，而不会产生保障维护费；若生产设备不能连续运行，则除产生一次正常维护费外，还产生保障维护费，经测算，正常维护费为万元/次，保障维护费第一次为万元/周期，此后每增加一次则保障维护费增加万元.现制定生产设备一个生产周期（以天计）内的维护方案：，.以生产设备在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率，求一个生产周期内生产维护费的分布列及均值.
（其中）
答案：(1)列联表答案见解析，技术改造前后的连续正常运行时间有差异
(2)分布列答案见解析，均值为万元
分析：（1）根据题意，补全列联表，代入公式计算结果，对照表格，判断得答案；
（2）首先判断一个维护周期内，生产线需保障维护的概率为，设一个生产周期内需保障维护的次数为，则服从二项分布，再根据题意找到与生产周期内生产维护费的关系，计算的可能取值，依次计算其概率得分布列，计算分布列的期望，得答案.
（1）
列联表为：
零假设：技术改造前后的连续正常运行时间无差异.
，
依据小概率值的独立性检验分析判断不成立，
即技术改造前后的连续正常运行时间有差异；
（2）
由题知，生产周期内有4个维护周期，一个维护周期为30天，
一个维护周期内，生产线需保障维护的概率为，
设一个生产周期内需保障维护的次数为，则，
一个生产周期内的正常维护费为万元，保障维护费为万元，
一个生产周期内需保障维护次时的生产维护费为万元，
设一个生产周期内的生产维护费为，则的所有可能取值为，
所以，的分布列为
一个生产周期内生产维护费的均值为万元.
0
1
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
-1
0
1
P
0.5
1
2
3
4
X
0
1
P
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
X
0
1
2
3
4
2X＋1
1
3
5
7
9
Y
1
3
5
7
9
P
0.2
0.1
0.1
0.3
0.3
X
0
1
2
3
4
|X－1|
1
0
1
2
3
η
0
1
2
3
P
0.1
0.3
0.3
0.3
X
0
1
2
3
4
X2
0
1
4
9
16
ξ
0
1
4
9
16
P
0.2
0.1
0.1
0.3
0.3
0
1
2
0
1
2
3
4
6
P
－1
0
2
P
a
2a
3a
X
2
3
P

Y
2
3
P

X
0
a
2
P
b
0
1
2
0.4
0.2
0
1
2
0
10
20
最高气温
[10,15)
[15,20)
[20,25)
[25,30)
[30,35)
[35,40)
天数
2
16
36
25
7
4
200
300
500
0.2
0.4
0.4
大学
A大学
B大学
C大学
D大学
2022年毕业人数x（千人）
7
6
5
4
2022年考研人数y（千人）
0.5
0.4
0.3
0.2
技术改造
设备连续正常运行天数
合计
超过
不超过
改造前
改造后
合计
技术改造
设备连续正常运行天数
合计
超过
不超过
改造前
改造后
合计