高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题12.3二项分布、超几何分布与正态分布(知识点讲解)(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题12.3二项分布、超几何分布与正态分布(知识点讲解)(原卷版+解析)，共40页。


【核心素养】
1.考查超几何分布，凸显数学运算、数据分析、数学建模的核心素养.
2.考查 n次独立重复试验的模型及二项分布，凸显数学抽象、数据分析、数学运算、数学建模的核心素养.
3.考查正态分布的特征、正态分布的均值、方差及其含义，凸显直观想象、数学运算、数学建模的核心素养．
【知识点展示】
（一）n次独立重复试验
(1)定义
一般地，在相同条件下重复地做n次试验，各次试验的结果相互独立，称为n次独立重复试验．
(2)公式
一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为Pn(k)＝pk(1－p)n－k，(k＝0,1,2，…，n)．
（二）二项分布
1.若将事件A发生的次数设为X，发生的概率为P，不发生的概率q＝1－p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率是P(X＝k)＝pkqn－k(k＝0,1,2，…，n)
于是得到X的分布列
由于表中第二行恰好是二项式展开式
(q＋p)n＝p0qn＋p1qn－1＋…＋pkqn－k＋…＋pnq0各对应项的值，称这样的离散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p)．
2.二项分布的期望、方差：
若，则.
若，则．
（三）超几何分布
1.在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称随机变量X服从超几何分布．
2．超几何分布的均值：若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则.
（四）正态曲线及其性质
1．正态曲线及其性质
(1)正态曲线：
函数φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ，σ(σ>0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
(2)正态曲线的性质：
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
③曲线在x＝μ处达到峰值；
④曲线与x轴之间的面积为1；
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示；
⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中，如图乙所示：

甲 乙
2．正态分布
一般地，如果对于任何实数a，b(a3．正态总体三个特殊区间内取值的概率值
①P(μ－σ②P(μ－2σ③P(μ－3σ4．3σ原则
通常服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值．
【常考题型剖析】
题型一：独立重复试验的概率
例1.(2023·全国·高考真题（理））投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）
A．0.648B．0.432C．0.36D．0.312
例2.（2023·四川·高三月考（理））投壸是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行.如图为一幅唐朝的投壶图，假设甲、乙是唐朝的两位投壶游戏参与者，且甲、乙每次投壶投中的概率分别为，每人每次投壸相互独立.若约定甲投壶2次，乙投壶3次，投中次数多者胜，则甲最后获胜的概率为（ ）
A．B．C．D．
【规律方法】
1独立重复试验的特点
(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的.
(2)每次试验中的事件是相互独立的，其实质是相互独立事件的特例．
2.运用独立重复试验的概率公式求概率，首先要分析问题中涉及的试验是否为n次独立重复试验，若不符合条件，则不能应用公式求解；在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率．
3．解决这类实际问题往往需把所求的概率的事件分拆为若干个事件，而这每个事件均为独立重复试验；
4．在解题时，还要注意“正难则反”的思想的运用，即利用对立事件来求其概率．
题型二：二项分布及其应用
例3．（2023·科尔沁左翼后旗甘旗卡第二高级中学高二期末（理））已知随机变量服从二项分布，则（ ）．
A．B．C．D．
例4．【多选题】（2023·全国·高二课时练习）把某班级的全体学生平均分成6个小组，且每个小组均有4名男生和多名女生.现从各个小组中随机抽取1名学生参加社区服务活动，若抽取的6名学生中至少有1名男生的概率为，则（ ）
A．该班级共有36名学生
B．第1个小组的男生甲被抽去参加社区服务的概率为
C．抽取的6名学生中男、女生人数相同的概率是
D．设抽取的6名学生中女生人数为X，则
例5.(2023·陕西·渭南市华州区咸林中学高三阶段练习（理））甲､乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错或不答都得0分，己知甲队3人每人答对的概率分别为，乙队每人答对的概率都是，设每人回答正确与否相互之间没有影响，用X表示甲队总得分.
(1)求的概率；
(2)求甲队和乙队得分之和为4的的概率.
例6.(2023·山东·高考真题（理））甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是．假设各局比赛结果相互独立．
（Ⅰ）分别求甲队以胜利的概率；
（Ⅱ）若比赛结果为求或，则胜利方得分，对方得分；若比赛结果为，则胜利方得分、对方得分．求乙队得分的分布列及数学期望．
【规律方法】
1.判断随机变量X服从二项分布的条件(X～B(n，p))
(1)X的取值为0,1,2，…，n.
(2)P(X＝k)＝Ceq \\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n，p为试验成功的概率)．
提醒：在实际应用中，往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼，这表明试验可视为独立重复试验，进而判定是否服从二项分布．
2. 二项分布满足的条件
(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的．
(2)各次试验中的事件是相互独立的．
(3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生．
(4)随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数．
3.二项展开式的通项与二项分布的概率公式的“巧合”
一般地，由n次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即与，每次试验中.我们将这样的试验称为次独立重复试验，也称为伯努利试验．在次独立重复试验中，每次试验事件发生的概率均为，即，.由于试验的独立性，次试验中，事件在某指定的次发生，而在其余次不发生的概率为.而在次试验中，事件恰好发生次的概率为，.它恰好是的二项展开式中的第项．
4. 牢记且理解事件中常见词语的含义：
(1) 、中至少有一个发生的事件为；
(2) 、都发生的事件为；
(3) 、都不发生的事件为；
(4) 、恰有一个发生的事件为；
(5) 、至多一个发生的事件为.
题型三：与二项分布有关的均值与方差
例7.（2023·全国·高二单元测试）如果随机变量，那么等于（ ）．
A．1B．C．2D．6
例8.（2023·江西南昌·高三阶段练习）假定甲、乙两名学生进行投篮训练比赛，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，现甲、乙两人各投篮3次，进球次数多的为赢方．
(1)求乙赢的概率;
(2)设甲投中的次数为， 求的分布列及数学期望．
例9.（2023·陕西·安康市教学研究室三模（理））某公司在年会上举行抽奖活动，有甲，乙两个抽奖方案供员工选择.方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为，第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束，若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖，规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得奖金500元，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则需进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖，则获得奖金1000元；若未中奖，则所获得奖金为0元.方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为，每次中奖均可获得奖金500元.
(1)求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金（元）的分布列；
(2)试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，哪个方案更划算？请说明理由.
例10.(2023·广东广州·一模）某从事智能教育技术研发的科技公司开发了一个“AI作业”项目，并且在甲、乙两个学校的高一学生中做用户测试.经过一个阶段的试用，为了解“AI作业”对学生学习的促进情况，该公司随机抽取了200名学生，对他们的“向量数量积”知识点掌握的情况进行调查，样本调查结果如下表：
假设每位学生是否掌握“向量数量积”知识点相互独立.
(1)从样本中没有掌握“向量数量积”知识点的学生中随机抽取2名学生，用表示抽取的2名学生中使用“AI作业”的人数，求的分布列和数学期望；
(2)用样本频率估计概率，从甲校高一学生中抽取一名使用“AI作业”的学生和一名不使用“AI作业”的学生，用“X=1”表示该名使用“AI作业”的学生基本掌握了“向量数量积”，用“X=0”表示该名使用“AI作业”的学生没有掌握“向量数量积”，用“Y=1”表示该名不使用“AI作业”的学生基本掌握了“向量数量积”，用“Y=0”表示该名不使用“AI作业”的学生没有掌握“向量数量积”.比较方差DX和DY的大小关系.
【总结提升】
与二项分布有关的期望、方差的求法
(1)求随机变量ξ的期望与方差时，可首先分析ξ是否服从二项分布，如果ξ～B(n，p)，则用公式E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量．
(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b以及E(ξ)＝np求出E(aξ＋b)，同样还可求出D(aξ＋b)．
题型四 超几何分布及其应用
例11.【多选题】(2023·全国·高三专题练习）一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个球，其中有6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量为取出白球的个数，随机变量为取出黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量为取出4个球的总得分，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
例12.（2023·湖南·长郡中学高三阶段练习）统计与概率主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，通过对数据的收集、整理、分析、描述及对事件发生的可能性刻画，来帮助人们作出合理的决策.
(1)现有池塘甲，已知池塘甲里有50条鱼，其中A种鱼7条，若从池塘甲中捉了2条鱼.用表示其中A种鱼的条数，请写出的分布列，并求的数学期望;
(2)另有池塘乙，为估计池塘乙中的鱼数，某同学先从中捉了50条鱼，做好记号后放回池塘，再从中捉了20条鱼，发现有记号的有5条.
（ⅰ）请从分层抽样的角度估计池塘乙中的鱼数.
（ⅱ）统计学中有一种重要而普遍的求估计量的方法─最大似然估计，其原理是使用概率模型寻找能够以较高概率产生观察数据的系统发生树，即在什么情况下最有可能发生已知的事件.请从条件概率的角度，采用最大似然估计法估计池塘乙中的鱼数.
【总结提升】
1.超几何分布描述的是不放回抽样问题，其实质是古典概型，主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型．
2.超几何分布的实际应用问题，主要是指与两类不同元素的抽取问题的概率计算和离散型随机变量的分布列、期望及方差的求解等有关的问题．解题的关键如下：
①定型：根据已知建立相应的概率模型，并确定离散型随机变量服从的分布的类型，特别要区分超几何分布与二项分布．
②定参：确定超几何分布中的三个参数N，M，n.即确定试验中包含的元素的个数、特殊元素的个数及要抽取的元素个数．
③列表：根据离散型随机变量的取值及其对应的概率列出分布列．
④求值：根据离散型随机变量的期望和方差公式，代入相应数值求值．
题型五 正态曲线及其性质
例13．(2023·全国·高三专题练习）随机变量的概率分布密度函数，其图象如图所示，设，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
例14.(2023·广东佛山·高三阶段练习）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
例15.(2023·安徽蚌埠·一模）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究､应用与推广，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全､农业科学发展和世界粮食供给作出了杰出贡献.某水稻种植研究所调查某地杂交水稻的平均亩产量，得到亩产量（单位：服从正态分布.已知时，有.9973.下列说法错误的是（ ）
A．该地水稻的平均亩产量是
B．该地水稻亩产量的方差是400
C．该地水稻亩产量超过的约占
D．该地水稻亩产量低于的约占
【总结提升】
1.求正态曲线的两个方法
(1)图解法：明确顶点坐标即可，横坐标为样本的均值μ，纵坐标为eq \f(1,\r(2π)σ)．
(2)待定系数法：求出μ，σ便可．
2.正态分布下2类常见的概率计算
(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，曲线与x轴之间的面积为1.
(2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个．
3.正态总体在某个区间内取值概率的求解策略
(1)充分利用正态曲线对称性和曲线与x轴之间面积为1．
(2)熟记P(μ－σ(3)注意概率值的求解转化：
①P(X②P(X<μ－a)＝P(X≥μ＋a)；
③若b<μ，则P(X特别提醒：正态曲线，并非都关于y轴对称，只有标准正态分布曲线才关于y轴对称．
题型六 正态分布及其应用
例16.(2023·广东佛山·高三阶段练习）首届国家最高科学技术奖得主，杂交水稻之父袁隆平院士为全世界粮食问题和农业科学发展贡献了中国力量，某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高时，发现株高（单位：）服从正态分布，若测量10000株水稻，株高在的约有______株．（若，，）
例17.(2023·全国·高三专题练习）某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个零件，测量其内径的数据如下（单位：cm）：
87 87 88 92 95 97 98 99 103 104
设这10个数据的平均值为，标准差为．
(1)求与．
(2)假设这批零件的内径Z（单位：cm）服从正态分布．
①从这批零件中随机抽取10个，设这10个零件中内径大于107cm的个数为X，求；（结果保留5位有效数字）
②若该车间又新购一台设备，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径分别为76，85，93，99，108（单位：cm），以原设备生产性能为标准，试问这台设备是否需要进一步调试，说明你的理由．
参考数据：若，则，，取．
例18.(2023·全国·高三专题练习）我国是全球制造业大国，制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第一，主要产品产量稳居世界前列，为深入推进传统制造业改造提升，全面提高传统制造业核心竞争力，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破．设备生产的零件的直径为X（单位nm）．
(1)现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于10nm的有4个．现从这7个零件中随机抽取3个．记表示取出的零件中直径大于10nm的零件的个数，求的分布列及数学期望；
(2)技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为，每个零件是否合格相互独立．现任取6个零件进行检测，若合格的零件数超过半数，则可认为技术攻坚成功．求技术攻坚成功的概率及的方差；
(3)若技术攻坚后新设备生产的零件直径X~N（9，0.04），从生产的零件中随机取出10个，求至少有一个零件直径大于9.4nm的概率．
参考数据：若，则，，，．
【总结提升】
1.在解决有关问题时，通常认为服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值．如果服从正态分布的随机变量的某些取值超出了这个范围就说明出现了意外情况．
2.求正态变量X在某区间内取值的概率的基本方法：
(1)根据题目中给出的条件确定μ与σ的值．
(2)将待求问题向(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]这三个区间进行转化；
(3)利用X在上述区间的概率、正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1求出最后结果．
3.假设检验的思想
(1)统计中假设检验的基本思想：根据小概率事件在一次试验中几乎不可能发生的原则和从总体中抽测的个体的数值，对事先所作的统计假设作出判断：是拒绝假设，还是接受假设．
(2)若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则ξ落在区间(μ－3σ，μ＋3σ]内的概率为0.9974，亦即落在区间(μ－3σ，μ＋3σ]之外的概率为0.0026，此为小概率事件．如果此事件发生了，就说明ξ不服从正态分布．
(3)对于小概率事件要有一个正确的理解：
小概率事件是指发生的概率小于3%的事件．对于这类事件来说，在大量重复试验中，平均每试验大约33次，才发生1次，所以认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的．不过应注意两点：一是这里的“几乎不可能发生”是针对“一次试验”来说的，如果试验次数多了，该事件当然是很可能发生的；二是当我们运用“小概率事件几乎不可能发生的原理”进行推断时，也有3%犯错的可能性．
题型七 概率统计综合问题
例19.(2023·江苏·高三开学考试）近年来，师范专业是高考考生填报志愿的热门专业.某高中随机调查了本校2022年参加高考的90位文科考生首选志愿（第一个院校专业组的第一个专业）填报情况，经统计，首选志愿填报与性别情况如下表：（单位：人）
(1)根据表中数据.能否有95%的把握认为首选志愿为师范专业与性别有关？
(2)用样本估计总体，用本次调研中首选志愿样本的频率代替首选志愿的概率，从2022年全国文科考生中随机抽取3人，设被抽取的3人中首选志愿为师范专业的人数为，求的分布列、数学期望和方差.
附：，.
例20．(2023·全国·高三专题练习）十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康，经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加，为了制定提升农民收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了年位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：
(1)根据频率分布直方图，估计位农民的年平均收入（单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；
(2)由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民收入服从正态分布，其中近似为年平均收入，近似为样本方差，经计算得，利用该正态分布，求：
①在扶贫攻坚工作中，若使该地区约有的农民的年收入不低于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？
②为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了位农民.若每位农民的年收入互相独立，这位农民中的年收入不少于千元的人数为，求.
附参考数据：①，②若随机变量服从正态分布，则，.
例21．(2023·广东·东莞四中高三阶段练习）《中共中央国务院关于全面推进乡村振兴加快农业农村现代化的意见》，这是21世纪以来第18个指导“三农”工作的中央一号文件.文件指出，民族要复兴，乡村必振兴.为助力乡村振兴，某电商平台为某地的农副特色产品开设直播带货专场.为了对该产品进行合理定价，用不同的单价在平台试销，得到如下数据：
附：参考公式：回归方程，其中，.
参考数据：，.
(1)（i）根据以上数据，求关于的线性回归方程；
（ii）若该产品成本是7元/件，假设该产品全部卖出，预测把单价定为多少时，工厂获得最大利润.
(2)为了解该产品的价格是否合理，在试销平台上购买了该产品的顾客中随机抽了400人，阅读“购买后的评价”得知：对价格满意的有300人，基本满意的有50人，不满意的有50人.为进一步了解顾客对该产品价格满意度形成的原因，在购买该产品的顾客中随机抽取4人进行电话回访，记抽取的4人中对价格满意的人数为随机变量，求随机变量的分布列和数学期望.（视频率为相应事件发生的概率）
X
0
1
…
k
…
n
P
p0qn
p1qn－1
…
pkqn－k
…
pnq0
X
0
1
…
m
P
…
甲校
乙校
使用AI作业
不使用AI作业
使用AI作业
不使用AI作业
基本掌握
32
28
50
30
没有掌握
8
14
12
26
首选志愿为师范专业
首选志愿为非师范专业
女性
25
35
男性
5
25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
单价（元/件）
8
8.2
8.4
8.6
8.8
9
销量（万件）
90
84
83
80
75
68
专题12.3 二项分布、超几何分布与正态分布（知识点讲解）
【知识框架】

【核心素养】
1.考查超几何分布，凸显数学运算、数据分析、数学建模的核心素养.
2.考查 n次独立重复试验的模型及二项分布，凸显数学抽象、数据分析、数学运算、数学建模的核心素养.
3.考查正态分布的特征、正态分布的均值、方差及其含义，凸显直观想象、数学运算、数学建模的核心素养．
【知识点展示】
（一）n次独立重复试验
(1)定义
一般地，在相同条件下重复地做n次试验，各次试验的结果相互独立，称为n次独立重复试验．
(2)公式
一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为Pn(k)＝pk(1－p)n－k，(k＝0,1,2，…，n)．
（二）二项分布
1.若将事件A发生的次数设为X，发生的概率为P，不发生的概率q＝1－p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率是P(X＝k)＝pkqn－k(k＝0,1,2，…，n)
于是得到X的分布列
由于表中第二行恰好是二项式展开式
(q＋p)n＝p0qn＋p1qn－1＋…＋pkqn－k＋…＋pnq0各对应项的值，称这样的离散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p)．
2.二项分布的期望、方差：
若，则.
若，则．
（三）超几何分布
1.在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称随机变量X服从超几何分布．
2．超几何分布的均值：若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则.
（四）正态曲线及其性质
1．正态曲线及其性质
(1)正态曲线：
函数φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ，σ(σ>0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
(2)正态曲线的性质：
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
③曲线在x＝μ处达到峰值；
④曲线与x轴之间的面积为1；
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示；
⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中，如图乙所示：

甲 乙
2．正态分布
一般地，如果对于任何实数a，b(a3．正态总体三个特殊区间内取值的概率值
①P(μ－σ②P(μ－2σ③P(μ－3σ4．3σ原则
通常服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值．
【常考题型剖析】
题型一：独立重复试验的概率
例1.(2023·全国·高考真题（理））投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）
A．0.648B．0.432C．0.36D．0.312
答案：A
【详解】该同学通过测试的概率为，故选A．
例2.（2023·四川·高三月考（理））投壸是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行.如图为一幅唐朝的投壶图，假设甲、乙是唐朝的两位投壶游戏参与者，且甲、乙每次投壶投中的概率分别为，每人每次投壸相互独立.若约定甲投壶2次，乙投壶3次，投中次数多者胜，则甲最后获胜的概率为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：
利用相互独立事件的概率公式分别计算在甲只投中1次且甲获胜和甲投中2次且他获胜的概率，再利用互斥事件的概率加法公式求甲获胜的概率.
【详解】
若甲只投中1次，则他获胜的概率为；
若甲只投中2次，则他获胜的概率为.
故甲最后获胜的概率为，
故选：C.
【规律方法】
1独立重复试验的特点
(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的.
(2)每次试验中的事件是相互独立的，其实质是相互独立事件的特例．
2.运用独立重复试验的概率公式求概率，首先要分析问题中涉及的试验是否为n次独立重复试验，若不符合条件，则不能应用公式求解；在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率．
3．解决这类实际问题往往需把所求的概率的事件分拆为若干个事件，而这每个事件均为独立重复试验；
4．在解题时，还要注意“正难则反”的思想的运用，即利用对立事件来求其概率．
题型二：二项分布及其应用
例3．（2023·科尔沁左翼后旗甘旗卡第二高级中学高二期末（理））已知随机变量服从二项分布，则（ ）．
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
表示做了次独立实验，每次试验成功概率为，
则．选．
例4．【多选题】（2023·全国·高二课时练习）把某班级的全体学生平均分成6个小组，且每个小组均有4名男生和多名女生.现从各个小组中随机抽取1名学生参加社区服务活动，若抽取的6名学生中至少有1名男生的概率为，则（ ）
A．该班级共有36名学生
B．第1个小组的男生甲被抽去参加社区服务的概率为
C．抽取的6名学生中男、女生人数相同的概率是
D．设抽取的6名学生中女生人数为X，则
答案：AD
分析：
设每个小组中女生人数为n,由题意可知抽取的6人全为女生的概率为，列出方程解出x，即可判断A，由古典概率公式可以判断B，再根据二项分布的概率公式和方差公式可以判断C和D.
【详解】
设该班级每个小组有名女生，∵抽取的6名学生中至少有1名男生的概率为，∴抽取的6名学生中没有男生，即抽取的6名学生全为女生的概率为，∴ ，解得，∴每个小组有4名男生、2名女生，共6名学生，∴该班级共有36名学生，A正确；
易知第1个小组的男生甲被抽去参加社区服务的概率为，B错误；
每组男生被抽取的概率为，女生被抽取的概率为，则抽取的6名学生中男、女生人数相同的概率是，C错误；
设抽取的6名学生中女生人数为X，则，∴ ，D正确.
故选：AD.
例5.(2023·陕西·渭南市华州区咸林中学高三阶段练习（理））甲､乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错或不答都得0分，己知甲队3人每人答对的概率分别为，乙队每人答对的概率都是，设每人回答正确与否相互之间没有影响，用X表示甲队总得分.
(1)求的概率；
(2)求甲队和乙队得分之和为4的的概率.
答案：(1)
(2)
分析：（1）由题意，根据独立事件的概率乘法公式，可得答案；
（2）由题意，根据概率乘法公式与二项分布的概率公式，结合概率加法公式，可得答案.
（1）
，则甲队有两人答对，一人答错，
故.
（2）
设甲队和乙队得分之和为4为事件A，设乙队得分为Y，则.
，
，
，，
，
∴
.
例6.(2023·山东·高考真题（理））甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是．假设各局比赛结果相互独立．
（Ⅰ）分别求甲队以胜利的概率；
（Ⅱ）若比赛结果为求或，则胜利方得分，对方得分；若比赛结果为，则胜利方得分、对方得分．求乙队得分的分布列及数学期望．
答案：（Ⅰ） （Ⅱ）
【详解】解法一 （Ⅰ）设甲胜局次分别为负局次分别为
（Ⅱ）根据题意乙队得分分别为
所以乙队得分的分布列为
解法二（Ⅰ）记“甲队以3：0胜利”为事件，“甲队以3：1胜利”为事件，“甲队以3：2胜利”为事件，由题意，各局比赛结果相互独立，
故，
，
所以，甲队以3：0,3:1,3:2胜利的概率分别是，，；
（Ⅱ）设“乙队以3:2胜利”为事件，由题意，各局比赛结果相互独立，所以
由题意，随机变量的所有可能的取值为0,1,2,3，，根据事件的互斥性得
,
,
,
故的分布列为
所以．
【规律方法】
1.判断随机变量X服从二项分布的条件(X～B(n，p))
(1)X的取值为0,1,2，…，n.
(2)P(X＝k)＝Ceq \\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n，p为试验成功的概率)．
提醒：在实际应用中，往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼，这表明试验可视为独立重复试验，进而判定是否服从二项分布．
2. 二项分布满足的条件
(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的．
(2)各次试验中的事件是相互独立的．
(3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生．
(4)随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数．
3.二项展开式的通项与二项分布的概率公式的“巧合”
一般地，由n次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即与，每次试验中.我们将这样的试验称为次独立重复试验，也称为伯努利试验．在次独立重复试验中，每次试验事件发生的概率均为，即，.由于试验的独立性，次试验中，事件在某指定的次发生，而在其余次不发生的概率为.而在次试验中，事件恰好发生次的概率为，.它恰好是的二项展开式中的第项．
4. 牢记且理解事件中常见词语的含义：
(1) 、中至少有一个发生的事件为；
(2) 、都发生的事件为；
(3) 、都不发生的事件为；
(4) 、恰有一个发生的事件为；
(5) 、至多一个发生的事件为.
题型三：与二项分布有关的均值与方差
例7.（2023·全国·高二单元测试）如果随机变量，那么等于（ ）．
A．1B．C．2D．6
答案：B
分析：
根据二项分布的方差公式计算可得；
【详解】
解：因为，所以
故选：B
例8.（2023·江西南昌·高三阶段练习）假定甲、乙两名学生进行投篮训练比赛，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，现甲、乙两人各投篮3次，进球次数多的为赢方．
(1)求乙赢的概率;
(2)设甲投中的次数为， 求的分布列及数学期望．
答案：(1)
(2)分布列见解析，
分析：（1）设甲投中的次数为，乙投中的次数为，进而得乙赢的概率为，再依次计算对应概率即可；
（2）由题知，进而根据二项分布概率公式求解即可.
（1）
解：设甲投中的次数为，乙投中的次数为，
则根据题意，的可能取值均为，
所以，
，，
，，
，，
所以，乙赢的概率为
（2）
解：根据题意，的可能取值均为，且，
所以， ，
，，
所以，的分布列为：
所以，.
例9.（2023·陕西·安康市教学研究室三模（理））某公司在年会上举行抽奖活动，有甲，乙两个抽奖方案供员工选择.方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为，第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束，若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖，规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得奖金500元，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则需进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖，则获得奖金1000元；若未中奖，则所获得奖金为0元.方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为，每次中奖均可获得奖金500元.
(1)求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金（元）的分布列；
(2)试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，哪个方案更划算？请说明理由.
答案：(1)答案见解析
(2)选择方案甲更划算，理由见解析
分析：（1）运用独立事件乘法公式，考虑抽奖的具体过程，按步骤写出X的分布列；
（2）分别求出两种方案的数学期望，比较得出结论.
（1）
，，，
所以某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金（元）的分布列为
（2）
由（1）可知，选择方案甲进行抽奖所获得奖金的均值，
若选择方案乙进行抽奖中奖次数，则，
抽奖所获奖金的均值，
故选择方案甲更划算.
综上，方案甲更划算.
例10.(2023·广东广州·一模）某从事智能教育技术研发的科技公司开发了一个“AI作业”项目，并且在甲、乙两个学校的高一学生中做用户测试.经过一个阶段的试用，为了解“AI作业”对学生学习的促进情况，该公司随机抽取了200名学生，对他们的“向量数量积”知识点掌握的情况进行调查，样本调查结果如下表：
假设每位学生是否掌握“向量数量积”知识点相互独立.
(1)从样本中没有掌握“向量数量积”知识点的学生中随机抽取2名学生，用表示抽取的2名学生中使用“AI作业”的人数，求的分布列和数学期望；
(2)用样本频率估计概率，从甲校高一学生中抽取一名使用“AI作业”的学生和一名不使用“AI作业”的学生，用“X=1”表示该名使用“AI作业”的学生基本掌握了“向量数量积”，用“X=0”表示该名使用“AI作业”的学生没有掌握“向量数量积”，用“Y=1”表示该名不使用“AI作业”的学生基本掌握了“向量数量积”，用“Y=0”表示该名不使用“AI作业”的学生没有掌握“向量数量积”.比较方差DX和DY的大小关系.
答案：(1)分布列见解析，；
(2).
分析：（1）根据超几何分布列分布列，求解期望；
（2）由二项分布的方差公式求解.
（1）
依题意，，1，2，且，
，，
所以的分布列为：
故
（2）
由题意，易知服从二项分布，，
服从二项分布，，故.
【总结提升】
与二项分布有关的期望、方差的求法
(1)求随机变量ξ的期望与方差时，可首先分析ξ是否服从二项分布，如果ξ～B(n，p)，则用公式E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量．
(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b以及E(ξ)＝np求出E(aξ＋b)，同样还可求出D(aξ＋b)．
题型四 超几何分布及其应用
例11.【多选题】(2023·全国·高三专题练习）一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个球，其中有6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量为取出白球的个数，随机变量为取出黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量为取出4个球的总得分，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
答案：BD
分析：由条件可知，袋子中有6黑4白，又共取出4个球，所以，可判断B选项；的取值为，计算的概率和期望值，又，可计算，可判断AC选项；的取值为，且，计算可判断D选项.
【详解】解：由条件可知，袋子中有6黑4白，又共取出4个球，所以，故B正确；
的取值为，
，，
，，，可知A错；
的取值为，且，，，，，
则，，所以，故C错；
的取值为，且，，，，，
所以，故D正确；
故选：BD.
例12.（2023·湖南·长郡中学高三阶段练习）统计与概率主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，通过对数据的收集、整理、分析、描述及对事件发生的可能性刻画，来帮助人们作出合理的决策.
(1)现有池塘甲，已知池塘甲里有50条鱼，其中A种鱼7条，若从池塘甲中捉了2条鱼.用表示其中A种鱼的条数，请写出的分布列，并求的数学期望;
(2)另有池塘乙，为估计池塘乙中的鱼数，某同学先从中捉了50条鱼，做好记号后放回池塘，再从中捉了20条鱼，发现有记号的有5条.
（ⅰ）请从分层抽样的角度估计池塘乙中的鱼数.
（ⅱ）统计学中有一种重要而普遍的求估计量的方法─最大似然估计，其原理是使用概率模型寻找能够以较高概率产生观察数据的系统发生树，即在什么情况下最有可能发生已知的事件.请从条件概率的角度，采用最大似然估计法估计池塘乙中的鱼数.
答案：(1)分布列见解析，
(2)（i）200；（ii） 199或200
分析：（1）根据超几何概率公式即可求解概率，进而得分布列和期望，
（2）根据抽样比即可求解总数，根据最大似然思想结合概率的单调性即可求解最大值.
（1）
,
故分布列为：
.
（2）
（i）设池塘乙中鱼数为,则,解得,故池塘乙中的鱼数为200.
（ii）设池塘乙中鱼数为,令事件“再捉20条鱼,5条有记号”,事件“池塘乙中鱼数为”
则,由最大似然估计法,即求最大时的值,其中,
当时，
当时，
当时
所以池塘乙中的鱼数为199或200.
【总结提升】
1.超几何分布描述的是不放回抽样问题，其实质是古典概型，主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型．
2.超几何分布的实际应用问题，主要是指与两类不同元素的抽取问题的概率计算和离散型随机变量的分布列、期望及方差的求解等有关的问题．解题的关键如下：
①定型：根据已知建立相应的概率模型，并确定离散型随机变量服从的分布的类型，特别要区分超几何分布与二项分布．
②定参：确定超几何分布中的三个参数N，M，n.即确定试验中包含的元素的个数、特殊元素的个数及要抽取的元素个数．
③列表：根据离散型随机变量的取值及其对应的概率列出分布列．
④求值：根据离散型随机变量的期望和方差公式，代入相应数值求值．
题型五 正态曲线及其性质
例13．(2023·全国·高三专题练习）随机变量的概率分布密度函数，其图象如图所示，设，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：根据正态分布的性质即可求解.
【详解】解：由题意可知，则，
故图中阴影部分的面积为.
故选：C.
例14.(2023·广东佛山·高三阶段练习）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
分析：根据给定的正态分布密度曲线，结合正态分布的对称性和性质，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，随机变量服从正态分布，且，
可得随机变量的方差为，即，所以A错误；
对于B中，根据给定的正态分布密度曲线图像，可得随机变量，
所以，所以B错误；
对于C中，根据正态分布密度曲线图像，可得时，随机变量对应的曲线与围成的面积小于时随机变量对应的曲线与围成的面积，
所以，所以C正确；
对于D中，根据正态分布密度曲线图像，可得，，
即，所以D错误.
故选：C.
例15.(2023·安徽蚌埠·一模）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究､应用与推广，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全､农业科学发展和世界粮食供给作出了杰出贡献.某水稻种植研究所调查某地杂交水稻的平均亩产量，得到亩产量（单位：服从正态分布.已知时，有.9973.下列说法错误的是（ ）
A．该地水稻的平均亩产量是
B．该地水稻亩产量的方差是400
C．该地水稻亩产量超过的约占
D．该地水稻亩产量低于的约占
答案：C
分析：根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解.
【详解】由题意可知，，，故A，B正确；
由题意得，，
所以，故C错误；
所以，故D正确；
故选：C.
【总结提升】
1.求正态曲线的两个方法
(1)图解法：明确顶点坐标即可，横坐标为样本的均值μ，纵坐标为eq \f(1,\r(2π)σ)．
(2)待定系数法：求出μ，σ便可．
2.正态分布下2类常见的概率计算
(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，曲线与x轴之间的面积为1.
(2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个．
3.正态总体在某个区间内取值概率的求解策略
(1)充分利用正态曲线对称性和曲线与x轴之间面积为1．
(2)熟记P(μ－σ(3)注意概率值的求解转化：
①P(X②P(X<μ－a)＝P(X≥μ＋a)；
③若b<μ，则P(X特别提醒：正态曲线，并非都关于y轴对称，只有标准正态分布曲线才关于y轴对称．
题型六 正态分布及其应用
例16.(2023·广东佛山·高三阶段练习）首届国家最高科学技术奖得主，杂交水稻之父袁隆平院士为全世界粮食问题和农业科学发展贡献了中国力量，某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高时，发现株高（单位：）服从正态分布，若测量10000株水稻，株高在的约有______株．（若，，）
答案：1359
分析：先根据正态分布的对称性得到株高在的概率，再求出株高在的株数.
【详解】根据题意可知，，所以，，所以，所以株高在的约有株.
故答案为：1359.
例17.(2023·全国·高三专题练习）某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个零件，测量其内径的数据如下（单位：cm）：
87 87 88 92 95 97 98 99 103 104
设这10个数据的平均值为，标准差为．
(1)求与．
(2)假设这批零件的内径Z（单位：cm）服从正态分布．
①从这批零件中随机抽取10个，设这10个零件中内径大于107cm的个数为X，求；（结果保留5位有效数字）
②若该车间又新购一台设备，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径分别为76，85，93，99，108（单位：cm），以原设备生产性能为标准，试问这台设备是否需要进一步调试，说明你的理由．
参考数据：若，则，，取．
答案：(1)，
(2)①0.89121；②需要进一步调试，理由见解析
分析：（1）结合已知数据，利用平均数公式和标准差公式求解即可，
（2）①由Z服从正态分布，可得，然后利用二项分布的性质可求得的值，②由Z服从正态分布，可求出5个零件的内径中恰有一个不在内的概率，然后比较判断即可
（1）
，
，
则．
（2）
①∵Z服从正态分布，
∴，则，
∴，
∴．
②∵Z服从正态分布，
∴，
∴5个零件的内径中恰有一个不在内的概率为．
∵，
∴试生产的5个零件的内径就出现了1个不在内，出现的频率是0.01287的15倍多，
∴根据原则，需要进一步调试．
例18.(2023·全国·高三专题练习）我国是全球制造业大国，制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第一，主要产品产量稳居世界前列，为深入推进传统制造业改造提升，全面提高传统制造业核心竞争力，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破．设备生产的零件的直径为X（单位nm）．
(1)现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于10nm的有4个．现从这7个零件中随机抽取3个．记表示取出的零件中直径大于10nm的零件的个数，求的分布列及数学期望；
(2)技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为，每个零件是否合格相互独立．现任取6个零件进行检测，若合格的零件数超过半数，则可认为技术攻坚成功．求技术攻坚成功的概率及的方差；
(3)若技术攻坚后新设备生产的零件直径X~N（9，0.04），从生产的零件中随机取出10个，求至少有一个零件直径大于9.4nm的概率．
参考数据：若，则，，，．
答案：(1)分布列见解析，数学期望为；
(2)答案见解析
(3)
分析：（1）先得可取，再求概率从而可得分布列及数学期望；
（2）由二项分布可求解；
（3）利用间接法求解.
（1）
由题意，可知可取.则有
;
;
;
.
所以的分布列为：
因此的数学期望
（2）
由题意，可取的值为.则有
；
；
.
所以技术攻坚成功的概率.
因于，所以的方差.
（3）
由，则可知，
由于，则,
所以，
所以，
则，
记“从生产的零件中随机取出10个，至少有一个零件直径大于9.4nm”为事件.
则.
【总结提升】
1.在解决有关问题时，通常认为服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值．如果服从正态分布的随机变量的某些取值超出了这个范围就说明出现了意外情况．
2.求正态变量X在某区间内取值的概率的基本方法：
(1)根据题目中给出的条件确定μ与σ的值．
(2)将待求问题向(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]这三个区间进行转化；
(3)利用X在上述区间的概率、正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1求出最后结果．
3.假设检验的思想
(1)统计中假设检验的基本思想：根据小概率事件在一次试验中几乎不可能发生的原则和从总体中抽测的个体的数值，对事先所作的统计假设作出判断：是拒绝假设，还是接受假设．
(2)若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则ξ落在区间(μ－3σ，μ＋3σ]内的概率为0.9974，亦即落在区间(μ－3σ，μ＋3σ]之外的概率为0.0026，此为小概率事件．如果此事件发生了，就说明ξ不服从正态分布．
(3)对于小概率事件要有一个正确的理解：
小概率事件是指发生的概率小于3%的事件．对于这类事件来说，在大量重复试验中，平均每试验大约33次，才发生1次，所以认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的．不过应注意两点：一是这里的“几乎不可能发生”是针对“一次试验”来说的，如果试验次数多了，该事件当然是很可能发生的；二是当我们运用“小概率事件几乎不可能发生的原理”进行推断时，也有3%犯错的可能性．
题型七 概率统计综合问题
例19.(2023·江苏·高三开学考试）近年来，师范专业是高考考生填报志愿的热门专业.某高中随机调查了本校2022年参加高考的90位文科考生首选志愿（第一个院校专业组的第一个专业）填报情况，经统计，首选志愿填报与性别情况如下表：（单位：人）
(1)根据表中数据.能否有95%的把握认为首选志愿为师范专业与性别有关？
(2)用样本估计总体，用本次调研中首选志愿样本的频率代替首选志愿的概率，从2022年全国文科考生中随机抽取3人，设被抽取的3人中首选志愿为师范专业的人数为，求的分布列、数学期望和方差.
附：，.
答案：(1)有95%的把握认为首选志愿为师范专业与性别有关；
(2)分布列见解析，，.
分析：（1）求出，比较临界值可得；
（2）求得某个考生首选志愿为师范专业的概率，的所有可能取值为0，1，2，3，由二项分布求得概率得分布列，再由二项分布的期望公式、方差公式计算期望与方差．
（1）
，
∴有95%的把握认为首选志愿为师范专业与性别有关.
（2）
某个考生首选志愿为师范专业的概率，
的所有可能取值为0，1，2，3，
，，
，，
∴的分布列如下：
，.
例20．(2023·全国·高三专题练习）十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康，经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加，为了制定提升农民收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了年位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：
(1)根据频率分布直方图，估计位农民的年平均收入（单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；
(2)由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民收入服从正态分布，其中近似为年平均收入，近似为样本方差，经计算得，利用该正态分布，求：
①在扶贫攻坚工作中，若使该地区约有的农民的年收入不低于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？
②为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了位农民.若每位农民的年收入互相独立，这位农民中的年收入不少于千元的人数为，求.
附参考数据：①，②若随机变量服从正态分布，则，.
答案：(1)
(2)①千元；②
分析：（1）将频率分布直方图中每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，再将所得结果全部相加可得的值；
（2）①分析可知，计算得出，即可得出农民的最低年收入约为千元；
②求出的值，分析可知服从二项分布，结合二项分布的期望公式可求得的值.
（1）
解：由频率分布直方图可知，位农民的年平均收入为
（千元）.
（2）
解：由题意知，
①，
所以时，满足题意，即最低年收入大约为千元；
②由，
则，
每个农民的年收入不少于千元的事件的概率为，
则，.
例21．(2023·广东·东莞四中高三阶段练习）《中共中央国务院关于全面推进乡村振兴加快农业农村现代化的意见》，这是21世纪以来第18个指导“三农”工作的中央一号文件.文件指出，民族要复兴，乡村必振兴.为助力乡村振兴，某电商平台为某地的农副特色产品开设直播带货专场.为了对该产品进行合理定价，用不同的单价在平台试销，得到如下数据：
附：参考公式：回归方程，其中，.
参考数据：，.
(1)（i）根据以上数据，求关于的线性回归方程；
（ii）若该产品成本是7元/件，假设该产品全部卖出，预测把单价定为多少时，工厂获得最大利润.
(2)为了解该产品的价格是否合理，在试销平台上购买了该产品的顾客中随机抽了400人，阅读“购买后的评价”得知：对价格满意的有300人，基本满意的有50人，不满意的有50人.为进一步了解顾客对该产品价格满意度形成的原因，在购买该产品的顾客中随机抽取4人进行电话回访，记抽取的4人中对价格满意的人数为随机变量，求随机变量的分布列和数学期望.（视频率为相应事件发生的概率）
答案：(1)（i）；（ii）单价定为9.75元
(2)分布列见解析，
分析：（1）（i）由已知求得的值，则线性回归方程可求. （ii）结合（i）中求得的线性回归方程写出利润关于的函数，由二次函数的性质即可得出答案.
（2）由题设求出对价格满意的频率为，基本满意和不满意的频率为，随机变量，由二项分布的概率公式即可求出二项分布的分布列，即可求出数学期望.
（1）
解：（i），
，
∴.
∴，
∴回归直线方程为.
（ii）设工厂获得的利润为万元，
则，
∴该产品的单价定为9.75元时，工厂获得利润最大，最大利润为151.25万元
（2）
由题设可知对价格满意的频率为，基本满意和不满意的频率为，
随机变量，，
随机变量的分布列如下表：
随机变量的数学期望为
X
0
1
…
k
…
n
P
p0qn
p1qn－1
…
pkqn－k
…
pnq0
X
0
1
…
m
P
…
0
1
2
3
0
500
1000
甲校
乙校
使用AI作业
不使用AI作业
使用AI作业
不使用AI作业
基本掌握
32
28
50
30
没有掌握
8
14
12
26
0
1
2
P
0
1
2
0
1
2
3
首选志愿为师范专业
首选志愿为非师范专业
女性
25
35
男性
5
25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
0
1
2
3
单价（元/件）
8
8.2
8.4
8.6
8.8
9
销量（万件）
90
84
83
80
75
68
0
1
2
3
4