高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题13.1复数及其四则运算(知识点讲解)(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题13.1复数及其四则运算(知识点讲解)(原卷版+解析)，共12页。


【核心素养】
1.通过方程的解，认识复数，凸显数学抽象的核心素养．
2.结合复数的代数表示及其几何意义，考查复数的实部、虚部，共轭复数，复数的模等概念的认识，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．
3.结合复数的运算法则，考查复数的加、减、乘、除运算，凸显数学运算的核心素养．
【知识点展示】
（一）复数的概念
1.虚数单位为i，规定：i2＝-1，且实数与它进行四则运算时，原有的加法、乘法的运算律仍然成立．
2.复数的概念
形如：a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．
①当b＝0时，复数a＋bi为实数；
②当b≠0时，复数a＋bi为虚数；
③当a＝0且b≠0时，复数a＋bi为纯虚数．
3.复数相等的充要条件
a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)⇔ a＝c且b＝d，特别地，a＋bi＝0⇔ a＝b＝0.
4.共轭复数：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z的共轭复数记作．
5. 复数的模
向量的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或.即eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(z))＝＝r＝ (r≥0，r∈R)．
6.共轭与模是复数的重要性质，运算性质有：
(1)；(2)；(3)；(4)；
(5)；(6).
（二）复数的几何意义
1.z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面上的点Z(a，b)、平面向量都可建立一一对应的关系(其中O是坐标原点)．
2.复平面内，实轴上的点都表示实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数．
（三）复数的四则运算
1.复数的加、减、乘、除的运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
(1)z1±z2＝(a±c)＋(b±d)i；
(2)z1·z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
(3) (z2≠0)．
2. .
【常考题型剖析】
题型一：复数的概念与性质
例1.（2023·浙江·高考真题）已知a∈R，若a–1+(a–2)i(i为虚数单位)是实数，则a=（ ）
A．1B．–1C．2D．–2
例2.(2023·上海·华师大二附中高三阶段练习）已知复数（其中为虚数单位），则复数的虚部是___________.
例3.(2023·全国·高三专题练习）已知复数为纯虚数，则______.
【总结提升】
复数的分类、复数的相等、复数的模及共轭复数的概念都与复数的实部、虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意求解．
题型二：复数的几何意义
例4．（2023·北京·高考真题）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ）．
A．B．C．D．
例5.（2023·全国·高考真题（理））设z=-3+2i，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
例6. (2023·安徽·高三阶段练习）已知，且，i为虚数单位，则的最大值是______________．
【规律方法】
1. 复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量.
2.提醒：|z|的几何意义：令z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝，由此可知表示复数z的点到原点的距离就是|z|的几何意义；|z1－z2|的几何意义是复平面内表示复数z1，z2的两点之间的距离．
题型三：复数的四则运算
例7.（2023·海南·高考真题）=（ ）
A．B．C．D．
例8.（2023·全国·高考真题（文））设，则（ ）
A．B．C．D．
例9.（2023·全国·高考真题（理））设，则（ ）
A．B．C．D．
【总结提升】
1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算．
2.复数的除法运算是分子、分母同乘以分母的共轭复数，即分母实数化．
3.在含有z，z，|z|中至少两个的复数方程中，可设z＝a＋bi，a，b∈R，变换方程，利用两复数相等的充要条件得出关于a，b的方程组，求出a，b，从而得出复数z.
4.注意应用： = 1 \* GB3 ①(1±i)2＝±2i； = 2 \* GB3 ②＝i,＝－i.
题型四 复数综合问题
例10.（2023·全国·高考真题（文））若，则（ ）
A．0B．1
C．D．2
例12.(2023·全国·模拟预测）如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
例13.(2023·浙江·模拟预测）已知复数z的共轭复数满足关系式，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
例14.【多选题】(2023·云南·高三阶段练习）已知（本题中为自然对数的底数，为虚数单位）依据上述公式，则下列结论中正确的是（ ）
A．复数为纯虚数
B．复数对应的点位于第二象限
C．复数的共轭复数为
D．复数在复平面内对应的点的轨迹是半圆
例15.（2023·上海市行知中学高三开学考试）复数，若，则________．
专题13.1 复数及其四则运算（知识点讲解）
【知识框架】

【核心素养】
1.通过方程的解，认识复数，凸显数学抽象的核心素养．
2.结合复数的代数表示及其几何意义，考查复数的实部、虚部，共轭复数，复数的模等概念的认识，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．
3.结合复数的运算法则，考查复数的加、减、乘、除运算，凸显数学运算的核心素养．
【知识点展示】
（一）复数的概念
1.虚数单位为i，规定：i2＝-1，且实数与它进行四则运算时，原有的加法、乘法的运算律仍然成立．
2.复数的概念
形如：a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．
①当b＝0时，复数a＋bi为实数；
②当b≠0时，复数a＋bi为虚数；
③当a＝0且b≠0时，复数a＋bi为纯虚数．
3.复数相等的充要条件
a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)⇔ a＝c且b＝d，特别地，a＋bi＝0⇔ a＝b＝0.
4.共轭复数：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z的共轭复数记作．
5. 复数的模
向量的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或.即eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(z))＝＝r＝ (r≥0，r∈R)．
6.共轭与模是复数的重要性质，运算性质有：
(1)；(2)；(3)；(4)；
(5)；(6).
（二）复数的几何意义
1.z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面上的点Z(a，b)、平面向量都可建立一一对应的关系(其中O是坐标原点)．
2.复平面内，实轴上的点都表示实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数．
（三）复数的四则运算
1.复数的加、减、乘、除的运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
(1)z1±z2＝(a±c)＋(b±d)i；
(2)z1·z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
(3) (z2≠0)．
2. .
【常考题型剖析】
题型一：复数的概念与性质
例1.（2023·浙江·高考真题）已知a∈R，若a–1+(a–2)i(i为虚数单位)是实数，则a=（ ）
A．1B．–1C．2D．–2
答案：C
分析：根据复数为实数列式求解即可.
【详解】因为为实数，所以，
故选：C
例2.(2023·上海·华师大二附中高三阶段练习）已知复数（其中为虚数单位），则复数的虚部是___________.
答案：
分析：先求出，再代入化简可求出其虚部.
【详解】因为，
所以，
所以复数的虚部是，
故答案为：
例3.(2023·全国·高三专题练习）已知复数为纯虚数，则______.
答案：4
分析：由复数为纯虚数求得的值，然后代入模的计算公式得答案．
【详解】因为复数z为纯虚数，则，解得.
所以，
所以.
故答案为：4.
【总结提升】
复数的分类、复数的相等、复数的模及共轭复数的概念都与复数的实部、虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意求解．
题型二：复数的几何意义
例4．（2023·北京·高考真题）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ）．
A．B．C．D．
答案：B
分析：先根据复数几何意义得，再根据复数乘法法则得结果.
【详解】由题意得，.
故选：B.
例5.（2023·全国·高考真题（理））设z=-3+2i，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
答案：C
分析：先求出共轭复数再判断结果.
【详解】由得则对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C．
例6. (2023·安徽·高三阶段练习）已知，且，i为虚数单位，则的最大值是______________．
答案：##
分析：利用复数模几何意义求解．
【详解】满足的对应的点在复平面上以为圆心，1为半径的圆上，表示点到点的距离，
，所以．
故答案为：．
【规律方法】
1. 复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量.
2.提醒：|z|的几何意义：令z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝，由此可知表示复数z的点到原点的距离就是|z|的几何意义；|z1－z2|的几何意义是复平面内表示复数z1，z2的两点之间的距离．
题型三：复数的四则运算
例7.（2023·海南·高考真题）=（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：直接计算出答案即可.
【详解】
故选：B
例8.（2023·全国·高考真题（文））设，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：由题意结合复数的运算法则即可求得z的值.
【详解】由题意可得：.
故选：C.
例9.（2023·全国·高考真题（理））设，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：设，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于、的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数.
【详解】设，则，则，
所以，，解得，因此，.
故选：C.
【总结提升】
1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算．
2.复数的除法运算是分子、分母同乘以分母的共轭复数，即分母实数化．
3.在含有z，z，|z|中至少两个的复数方程中，可设z＝a＋bi，a，b∈R，变换方程，利用两复数相等的充要条件得出关于a，b的方程组，求出a，b，从而得出复数z.
4.注意应用： = 1 \* GB3 ①(1±i)2＝±2i； = 2 \* GB3 ②＝i,＝－i.
题型四 复数综合问题
例10.（2023·全国·高考真题（文））若，则（ ）
A．0B．1
C．D．2
答案：C
分析：先根据将化简，再根据复数的模的计算公式即可求出．
【详解】因为，所以 ．
故选：C．
例11.(2023·全国·高考真题（文））若．则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出．
【详解】因为，所以，所以．
故选：D.
例12.(2023·全国·模拟预测）如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
答案：C
分析：由复数的几何意义与复数的运算法则求解即可
【详解】由复数的几何意义知：，
则，
对应的点的坐标为，位于第三象限，
故选：C.
例13.(2023·浙江·模拟预测）已知复数z的共轭复数满足关系式，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
答案：A
分析：根据复数代数形式的除法运算化简，即可得到，再根据复数的几何意义判断即可.
【详解】解：因为，所以，
所以，在复平面内所对应的点为，位于第一象限；
故选：A
例14. 【多选题】(2023·云南·高三阶段练习）已知（本题中为自然对数的底数，为虚数单位）依据上述公式，则下列结论中正确的是（ ）
A．复数为纯虚数
B．复数对应的点位于第二象限
C．复数的共轭复数为
D．复数在复平面内对应的点的轨迹是半圆
答案：ABD
分析：根据已知条件、复数的概念、几何意义可得结论.
【详解】对于A，，所以为纯虚数，故A正确；
对于B，，因为，所以，，
所以复数对应的点位于第二象限，故B正确；
对于C，，复数的共轭复数为，
故C错误；
对于D，，，
由于，所以，
故复数在复平面内对应的点的轨迹是半径为1的半圆,因此D正确.
故选:ABD．
例15.（2023·上海市行知中学高三开学考试）复数，若，则________．
答案：5
分析：根据复数相等的充要条件可得，进而可解得的值，即可求.
【详解】由题意得，则，将代入得，解得，进而解得或者，则．
故答案为：5