高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题13.3《复数》真题+模拟试卷(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题13.3《复数》真题+模拟试卷(原卷版+解析)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2023·全国·高考真题（理））复数的虚部是（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·全国·高考真题）若，则（ ）
A．B．C．1D．2
3．（2023·北京·高考真题）在复平面内，复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·浙江·高考真题）已知，，(i为虚数单位)，则（ ）
A．B．1C．D．3
5．（2023·全国·高考真题）已知，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·全国·高考真题（文））已知，则（ ）
A．B．C．D．
7．(2023·全国·模拟预测（文））欧拉公式把自然对数的底数e、虚数单位i、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美．若复数z满足，则的虚部为（ ）
A．B．C．1D．
8．(2023·上海市松江二中高一期末）设，则下列命题中的真命题为（ ）
A．若，则
B．若，则为纯虚数
C．若，则或
D．若，则
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．(2023·山西省长治市第二中学校高一期中）已知复数（其中为虚数单位），则下列说法中正确的是（ ）
A．的虚部是B．
C．D．复数在复平面内对应的点位于第三象限
10．（2023·全国·高三专题练习）设复数，当a变化时，下列结论正确的是（ ）
A．恒成立B．z可能是纯虚数
C．可能是实数D．的最大值为
11．（2023·全国·高三专题练习）已知复数对应的向量为，复数对应的向量为，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若与在复平面上对应的点关于实轴对称，则
D．若，则
12．（2023·全国·高三专题练习）已知复数满足，且复数对应的点在第一象限，则下列结论正确的是（ ）
A．复数的虚部为
B．
C．
D．复数的共轭复数为
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．(2023·天津·高考真题）已知是虚数单位，化简的结果为_______．
14．（2023·浙江·高考真题）复数（为虚数单位），则________.
15．（2023·天津·高考真题（文））是虚数单位，则的值为__________.
16.(2023·江苏·姜堰中学高三阶段练习）若复数z满足，则z＝_________.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．(2023·全国·高三专题练习）已知复数，试求实数m的值或取值范围，使得z分别为：
(1)实数；
(2)虚数；
(3)纯虚数.
18．（2023·西藏·拉萨那曲第二高级中学高三月考（文））已知为实数，设复数.
（1）当为虚数时，求的值；
（2）当对应的点在直线上，求的值.
19．（2023·全国·高三专题练习）已知复数.
(1)若对应复平面上的点在第四象限，求m的范围；
(2)当时，且（表示的共轭复数），若，求z.
20．(2023·全国·高三专题练习）已知关于x的方程有实数根.
(1)求实数a的值；
(2)设，求的值.
21．（2023·河南·高三月考（理））已知复数，的共轭复数为.
（1）若，求：；
（2）若，求的取值范围.
22．（2023·广东·仲元中学高一期中）已知O为坐标原点，向量､分别对应复数，，且，，若是实数.
（1）求实数a的值；
（2）求以､为邻边的平行四边形的面积.
专题13.3 《复数》真题+模拟试卷
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2023·全国·高考真题（理））复数的虚部是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：利用复数的除法运算求出z即可.
【详解】因为，
所以复数的虚部为.
故选：D.
2．(2023·全国·高考真题）若，则（ ）
A．B．C．1D．2
答案：D
分析：利用复数的除法可求，从而可求.
【详解】由题设有，故，故，
故选：D
3．（2023·北京·高考真题）在复平面内，复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.
【详解】由题意可得：.
故选：D.
4．（2023·浙江·高考真题）已知，，(i为虚数单位)，则（ ）
A．B．1C．D．3
答案：C
分析：首先计算左侧的结果，然后结合复数相等的充分必要条件即可求得实数的值.
【详解】，
利用复数相等的充分必要条件可得：.
故选：C.
5．（2023·全国·高考真题）已知，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.
【详解】因为，故，故
故选：C.
6．（2023·全国·高考真题（文））已知，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：由已知得，根据复数除法运算法则，即可求解.
【详解】，
.
故选：B.
7．(2023·全国·模拟预测（文））欧拉公式把自然对数的底数e、虚数单位i、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美．若复数z满足，则的虚部为（ ）
A．B．C．1D．
答案：B
分析：由欧拉公式和复数除法运算可求得，由复数虚部定义求得结果
【详解】由欧拉公式知：
，，
，
的虚部为．
故选：B
8．(2023·上海市松江二中高一期末）设，则下列命题中的真命题为（ ）
A．若，则
B．若，则为纯虚数
C．若，则或
D．若，则
答案：C
分析：根据虚数不能比较大小判断A，取可判断B，根据复数模的性质判断C，取特例可判断D.
【详解】当为实数时，成立，否则不成立，故A错误；
当时，满足，但不为纯虚数，故B错误；
当时，，故或，所以或，故C正确；
当时，，，即，故D错误.
故选：C
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．(2023·山西省长治市第二中学校高一期中）已知复数（其中为虚数单位），则下列说法中正确的是（ ）
A．的虚部是B．
C．D．复数在复平面内对应的点位于第三象限
答案：BCD
分析：利用复数代数形式的乘法运算化简，然后对选项逐一分析即可得出答案.
【详解】，复数的虚部为，所以A错；
，所以B正确；
，故C正确；
复数在复平面内对应的点的坐标为，在第三象限，故D正确.
故选：BCD.
10．（2023·全国·高三专题练习）设复数，当a变化时，下列结论正确的是（ ）
A．恒成立B．z可能是纯虚数
C．可能是实数D．的最大值为
答案：ABD
分析：首先根据题意得到，再结合复数的定义和运算性质依次判断选项即可.
【详解】，
对选项A，，，
故A正确.
对选项B，，
当时，为纯虚数，故B正确.
对选项C，
令，即无解，故C错误.
对选项D，，当且仅当时取等号.
所以的最大值为，故D正确.
故选：ABD
11．（2023·全国·高三专题练习）已知复数对应的向量为，复数对应的向量为，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若与在复平面上对应的点关于实轴对称，则
D．若，则
答案：ABC
分析：利用向量数量积的运算法则及复数的几何意义即可求解.
【详解】因为 ，所以，
则，即，则，故选项正确；
因为，所以，
即，则，故选项正确；
设，因为与在复平面上对应的点关于实轴对称，
则，所以，，则，
故选项正确；
若，满足，而，故选项错误；
故选：ABC.
12．（2023·全国·高三专题练习）已知复数满足，且复数对应的点在第一象限，则下列结论正确的是（ ）
A．复数的虚部为
B．
C．
D．复数的共轭复数为
答案：BCD
分析：先求出复数z，再对四个选项一一验证：
对于A：直接求出复数z的虚部，即可判断；
对于B：直接求出，即可判断；
对于C：直接求出和，即可判断；
对于D：直接求出复数z的共轭复数，即可判断.
【详解】设复数.
因为，且复数z对应的点在第一象限，
所以，解得：，即.
对于A：复数z的虚部为.故A错误；
对于B：.故B正确；
对于C：因为，所以.故C正确；
对于D：复数z的共轭复数为.故D正确.
故选：BCD
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．(2023·天津·高考真题）已知是虚数单位，化简的结果为_______．
答案：##
分析：根据复数代数形式的运算法则即可解出．
【详解】．
故答案为：．
14．（2023·浙江·高考真题）复数（为虚数单位），则________.
答案：
分析：本题先计算，而后求其模.或直接利用模的性质计算. 容易题，注重基础知识、运算求解能力的考查.
【详解】.
15．（2023·天津·高考真题（文））是虚数单位，则的值为__________.
答案：
分析：先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模．
【详解】．
16.(2023·江苏·姜堰中学高三阶段练习）若复数z满足，则z＝_________.
答案：
分析：设，代入中根据复数相等的条件可求出，从而可求得结果.
【详解】设，
因为复数z满足，
所以，
所以，解得，
所以，
故答案为：
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．(2023·全国·高三专题练习）已知复数，试求实数m的值或取值范围，使得z分别为：
(1)实数；
(2)虚数；
(3)纯虚数.
答案：(1)；(2)；(3)不存在实数使得为纯虚数.
分析：
(1)由复数z为实数可得其虚部为0，又，由此求m；
(2) 由复数z为虚数可得其虚部不为0，又，由此求m；
(3) 由复数z为纯虚数可得其实部为0，虚部不为0，又，由此求m.
【详解】
(1)当为实数时，有
得
所以，即当时，为实数.
(2)当为虚数时，有且，
所以且且，
即当时，为虚数.
(3)当为纯虚数时，有
所以故不存在实数使得为纯虚数.
18．（2023·西藏·拉萨那曲第二高级中学高三月考（文））已知为实数，设复数.
（1）当为虚数时，求的值；
（2）当对应的点在直线上，求的值.
答案：（1）且；（2）或.
分析：
（1）由已知条件可得出，即可解得的取值范围；
（2）求出复数对应的点的坐标，将点的坐标代入直线方程，可得出关于实数的方程，即可解得的值.
【详解】
（1）当为虚数时，有，即，
解得且；
（2）复数对应的点在直线上，
所以，，即，
解得或，
所以，复数对应的点在直线上时，或.
19．（2023·全国·高三专题练习）已知复数.
(1)若对应复平面上的点在第四象限，求m的范围；
(2)当时，且（表示的共轭复数），若，求z.
答案：(1)
(2)
分析：（1）根据复数的几何意义建立不等式即可求解；
（2）将复数、代入中化简即可求解.
(1)
若对应复平面上的点在第四象限，则，解得.
(2)
当时，，则.
∴，∴.
20．(2023·全国·高三专题练习）已知关于x的方程有实数根.
(1)求实数a的值；
(2)设，求的值.
答案：(1)
(2)
分析：（1）由已知，方程有实数解，可列出关于和方程组，解方程即可完成求解；
（2）将第（1）问计算出的带入中，然后直接计算即可.
（1）
由，整理得，
则，解得.
所以实数a的值为.
（2）
由（1）可得.
.
21．（2023·河南·高三月考（理））已知复数，的共轭复数为.
（1）若，求：；
（2）若，求的取值范围.
答案：（1）；（2）.
分析：
（1）先利用复数的除法运算化简可得，令，再利用复数的乘法运算计算即可；
（2）利用复数的乘法和模长公式化简不等式可得，求解即可
【详解】
（1），
当时，，则，
.
（2）由，得，
整理，得，
即，解得或，
即的取值范围为.
22．（2023·广东·仲元中学高一期中）已知O为坐标原点，向量､分别对应复数，，且，，若是实数.
（1）求实数a的值；
（2）求以､为邻边的平行四边形的面积.
答案：
（1）
（2）
分析：
（1）由已知结合为实数求得的值，（2）求得、对应的点的坐标，再由的值计算夹角的正余弦，则可求面积．
（1）由，得
，则的虚部为0，
．
解得：或．
又，．
（2）由（1）可知，．
，，．
．所以，
所以，
所以､为邻边的平行四边形的面积