2024河南中考数学备考 二次函数图象与性质综合题、交点问题 （课件）

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二次函数图象与性质综合题
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；
解：(1)∵抛物线y＝x2＋bx＋c交x轴于C，D两点，点C的坐标为(－1，0).对称轴为直线x＝1，∴∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴抛物线的顶点坐标为(1，－4)；
(2)当－1≤x≤2时，求y的取值范围；
先画出抛物线对称轴x＝1
自变量取值在对称轴同侧，还是异侧，
开口向上，自变量在对称轴异侧，在顶点处y取值最小，离对称轴较远的端点处，y值最大
－1≤x≤2在对称轴异侧
(2)∵抛物线开口向上，顶点坐标为(1，－4)，∴函数最小值为y＝－4，对称轴为直线x＝1，∵|－1－1|＞|2－1|，∴当x＝－1时，y＝1＋2－3＝0为函数最大值，∴当－1≤x≤2时，y的取值范围是－4≤y≤0；
(3)连接AB，若抛物线y＝x2＋bx＋c向下平移k(k＞0)个单位时，与线段AB只有一个公共点，结合函数图象，直接写出k的取值范围．
观察图形你发现了什么？
①抛物线顶点在线段AB上
练习题 已知：抛物线y＝x2－2x＋3a＋1(a为常数)．(1)当a＝1时，求该抛物线的顶点坐标；
解：(1)当a＝1时，抛物线的顶点坐标为(1，3)；
y＝x2－2x＋1＋3a化为顶点式，将a＝1直接代入
练习题 已知：抛物线y＝x2－2x＋3a＋1(a为常数)．
(2)抛物线上有两点M(－1，yM)，N(2，yN)，请比较yM与yN的大小；
异侧：离对称轴的距离或利用对称性转化到同侧比较大小
确定两点与对称轴的关系（同侧/异侧）
同侧：结合增减性，判断；
(2)易知抛物线的对称轴为直线x＝1，∵抛物线开口向上，且1－(－1)＝2，2－1＝1，2＞1，∴yM＞yN；
(3)在平面直角坐标系中，若该抛物线在x≤3的部分与直线y＝2x－3有两个交点，求a的取值范围．
看到交点问题，想到什么方法？
有两个交点，说明什么？
联立的一元二次方程中b2－4ac＞0
另外，别忘了x≤3！
练习1 如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c分别交x轴、y轴于点A(－1，0)，C(0，－3)，连接AC.
(1)求抛物线的解析式；
(2)∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，将x＝－2代入y＝x2－2x－3得y＝5，∴抛物线经过(－2，5)，∵点(－2，5)关于对称轴的对称点为(4，5)，y1≥y2，∴－2≤m＜m＋1≤4，解得－2≤m≤3；
(2)若P(x1，y1)，Q(x2，y2)是抛物线上两点，当x1≤－2，m≤x2≤m＋1时，均有y1≥y2，求m的取值范围；
(3)将该抛物线向左平移n(n＞0)个单位长度后，得到一条新抛物线，若新抛物线与线段AC只有一个交点，请直接写出n的取值范围．
【解法提示】由题意得新抛物线的解析式为y＝(x－1＋n)2－4，当新抛物线过点C(0，－3)时，将其代入得(0－1＋n)2－4＝－3，解得n＝2或n＝0(舍去)，当新抛物线过点A(－1，0)时，将其代入得(－1－1＋n)2－4＝0，解得n＝4或n＝0(舍去)，∴当新抛物线与线段AC只有一个交点时，n的取值范围为2≤n≤4.
练习2 (2023河南预测卷)在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象过(－2，0)，(4，0)两点．(1)求二次函数的解析式；
练习2 (2023河南预测卷)在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象过(－2，0)，(4，0)两点．
(2)当－1≤x≤5时，求函数值的取值范围；
(2)∵y＝x2－2x－8＝(x－1)2－9，∴抛物线的对称轴为直线x＝1.当x＝1时，y有最小值－9.∵5－1＞1－(－1)，∴当x＝5时，y有最大值，y最大＝(5－1)2－9＝7.∴当－1≤x≤5时，函数值的取值范围为－9≤y≤7；
(3)一次函数y＝(3＋m)x＋6＋2m的图象与二次函数y＝x2＋bx＋c的图象的交点的横坐标分别为x1，x2，且x1＜5＜x2，求m的取值范围．
(3)∵y＝(3＋m)x＋6＋2m＝(3＋m)(x＋2)，∴一次函数y＝(3＋m)x＋6＋2m的图象过定点(－2，0).又∵x＝－2时，y＝x2－2x－8＝(－2)2－2×(－2)－8＝0，∴x1＝－2.∵x2＞5，∴当x＝5时，一次函数的图象在二次函数图象的上方，