2024河南中考数学备考专题：二次函数图象与性质综合题 对称性、增减性、最值问题【课件】

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二次函数图象与性质综合题
对称性、增减性、最值问题
例 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2－2tx＋t2－t.(1)求抛物线的顶点坐标(用含t的代数式表示)；
解：(1)∵y＝x2－2tx＋t2－t＝(x－t)2－t，∴抛物线的顶点坐标为(t，－t)；
例 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2－2tx＋t2－t.
(2)点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在抛物线上，其中t－1≤x1≤t＋2，x2＝1－t.①若y1的最小值是－2，求y1的最大值；
t－1≤x1≤t＋2与对称轴的关系？
当x1=t时，y1取最小值
直线x=t＋2离对称轴较远
当x1=t＋2时，y1取最大值
(2)①∵y＝(x－t)2－t，∴抛物线的对称轴为直线x＝t.∵1>0，∴抛物线开口向上．∵t－1≤x1≤t＋2，∴当x＝t时，y1的最小值为－t.∵y1的最小值是－2，∴t＝2.∵|t－1－t|＝1，|t＋2－t|＝2，∴当x＝t＋2时，y1最大＝(t＋2－t)2－t＝4－t＝4－2＝2，即y1的最大值为2；
(2)点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在抛物线上，其中t－1≤x1≤t＋2，x2＝1－t.
②若对于x1，x2，都有y1＜y2，直接写出t的取值范围．
由题可得y2－y1>0，将x1，x2代入y2－y1>0并用含t的代数式表示
求抛物线上点的纵坐标最值或取值范围的一般步骤：
第一步 画草图，求出对称轴（直线x=t）；
第二步 结合草图，判断两端点x1，x2（取值范围为x1≤x≤x2）与对称轴（直线x=t） 的位置：位于对称轴的同侧，还是异侧.若位于同侧，则只根据增减性确定 确定最值的位置（即两端点处）；若为异侧，则顶点处为其中的一个最值 点，另一个最值，根据离对称轴的距离确定（或根据对称性转移到同侧， 根据增减性确定）；第三步 取最值处的x值代入函数解析式，确定最值或取值范围.
练习 在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－4ax＋c(a＜0)与x轴交于A(1，0)，B两点，与y轴交于点C. (1)若OC＝2OB，求抛物线的解析式；
将已知点坐标代入抛物线解析式
练习 在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－4ax＋c(a＜0)与x轴交于A(1，0)，B两点，与y轴交于点C.
(2)若点P(x0，m),Q( ，n)在抛物线上，且m＜n，求x0的取值范围．
根据m＜n，讨论P，Q与对称轴的位置
当点P在对称轴的同侧或异侧，根据二次函数增减性求出x0取值范围
练习1 (2023河南题组小卷)已知抛物线y＝2x2－4mx＋2m2＋2m－5与x轴交于A、B两点(A、B不重合)，顶点为P.(1)当m＝2时，求线段AB的长度；
练习1 (2023河南题组小卷)已知抛物线y＝2x2－4mx＋2m2＋2m－5与x轴交于A、B两点(A、B不重合)，顶点为P.
(2)若点P到x轴的距离与点P到y轴的距离相等，求该抛物线的解析式；
(3)当2m－5≤x≤2m－2时，y的最小值为2，求m的值．
练习2 (2023河南逆袭卷)已知抛物线y＝ax2＋bx＋3(a，b均为常数，且a≠0)的对称轴为直线x＝2.(1)求抛物线顶点M的坐标和b的值(用含a的代数式表示)；
练习2 (2023河南逆袭卷)已知抛物线y＝ax2＋bx＋3(a，b均为常数，且a≠0)的对称轴为直线x＝2.
(2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)都在此抛物线上，且x1＜2＜x2，x1＋x2＜4，若a＞0，试比较y1与y2的大小，并说明理由；
(2)y2＜y1.理由如下：由题可知，抛物线的对称轴为直线x＝2，∴A(x1，y1)关于直线x＝2的对称点为(4－x1，y1)，∵x1＜2＜x2，x1＋x2＜4，∴2＜x2＜4－x1，∵a＞0，∴抛物线开口向上，∴在对称轴右侧y随x的增大而增大，∴y2＜y1；