2024河南中考数学复习 (特殊)平行四边形的性质(含多边形) 强化精练 (含答案)

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基础题
1. (2023兰州)如图①是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中，如图②是八角形空窗的示意图，它的一个外角∠1＝( )

第1题图
A. 45° B. 60° C. 110° D. 135°
2. (2023成都)如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是( )
A. AC＝BD B. OA＝OC
C. AC⊥BD D. ∠ADC＝∠BCD
第2题图
3. (2023湘潭)如图，菱形ABCD，连接AC，BD，若∠1＝20°，则∠2的度数为( )
第3题图
A. 20° B. 60° C. 70° D. 80°
4. (2023杭州)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.若∠AOB＝60°，则eq \f(AB,BC)＝( )
第4题图
A. eq \f(1,2) B. eq \f(\r(3)－1,2) C. eq \f(\r(3),2) D. eq \f(\r(3),3)
5. (2023自贡)如图，边长为3的正方形OBCD两边与坐标轴正半轴重合，点C的坐标是( )
第5题图
A. (3，－3)
B. (－3，3)
C. (3，3)
D. (－3，－3)
6. 平面四边形，矩形，正方形都具有的性质是( )
A. 邻边相等
B. 对边平行且相等
C. 对角线相等
D. 对角线互相垂直且平分
7. (2023深圳)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF，若四边形ECDF为菱形时，则a的值为( )
第7题图
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. (2023十堰)如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化，下面判断错误的是( )
第8题图
A. 四边形ABCD由矩形变为平行四边形
B. 对角线BD的长度减小
C. 四边形ABCD的面积不变
D. 四边形ABCD的周长不变
9. 如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，OC＝4，P，Q分别为AO，AD的中点，则PQ的长度为( )
第9题图
A. 1.5 B. 3 C. 2 D. 5
10. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，则BD的长是( )
第10题图
A. 8 B. 9 C. 10 D. 12
11. (2023乐山)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为边BC的中点，连接OE.若AC＝6，BD＝8，则OE＝( )
A. 2 B. eq \f(5,2) C. 3 D. 4
第11题图
12. (2023河北)如图，在Rt△ABC中，AB＝4，点M是斜边BC的中点，以AM为边作正方形AMEF.若S正方形AMEF＝16，则S△ABC＝( )
第12题图
A. 4eq \r(3) B. 8eq \r(3) C. 12 D. 16
13. (2023兰州)如图，在矩形ABCD中，点E为BA延长线上一点，F为CE的中点，以B为圆心，BF长为半径的圆弧过AD与CE的交点G，连接BG.若AB＝4，CE＝10，则AG＝( )
第13题图
A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5
14. (2023济宁)一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是________边形．
15. (2023福建)如图，在菱形ABCD中，AB＝10，∠B＝60°，则AC的长为________．
第15题图
16. (2023陕西)点E是菱形ABCD的对称中心，∠B＝56°，连接AE，则∠BAE的度数为________．
17. (2023株洲)如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝5，AD＝3，∠DAB的平分线AE交线段CD于点E，则EC＝________．
第17题图
18. (2023兰州)如图，在▱ABCD中，BD＝CD，AE⊥BD于点E，若∠C＝70°，则∠BAE＝________°.
第18题图
(2023湘潭)七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具．某同学用边长为4 dm的正方形纸板制作了一副七巧板(见图)，由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成．则图中阴影部分的面积为________dm2.
第19题图
拔高题
20. (2023长沙)如图，在▱ABCD中，DF平分∠ADC，交BC于点E，交AB的延长线于点F.
(1)求证：AD＝AF；
(2)若AD＝6，AB＝3，∠A＝120°，求BF的长和△ADF的面积．
第20题图
21. 如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC并延长，点E是射线AC上一点，连接DE，过点B作BF∥AE交DE的延长线于点F.
(1)求证：E是DF的中点；
(2)若AD＝2，∠ADC＝60°，∠ACD＝90°，AC＝2CE，求BF的长．
第21题图
课时2 图形性质综合题
拔高题
1. (2023泸州)如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，E是PD中点，若AD＝4，CD＝6，则EO的长为( )
第1题图
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. 如图，已知菱形ABCD，∠BAD＝120°，E，F分别是AB，BC边上的点，将菱形ABCD沿EF折叠，点B的对应点恰好落在CD边上的点N处，若DN＝eq \f(1,3)CD，则eq \f(FC,BF)的值为( )
第2题图
A. eq \f(1,4) B. eq \f(5,19)
C. eq \f(\r(3),7) D. eq \f(5,14)
3. ▱OABC在平面直角坐标系中的位置如图，∠AOC＝45°，OA＝1，OC＝2，把平行四边形OABC绕点O逆时针旋转，使点A落在y轴正半轴上，则旋转后点B的对应点B′的坐标为( )
第3题图
A. (eq \r(2)，eq \r(2)) B. (eq \r(2)＋1，eq \r(2))
C. (2，3) D. (eq \r(2)，eq \r(2)＋1)
4. 如图，在菱形ABCD中，分别以点C，D为圆心，大于eq \f(1,2)CD长为半径画弧，两弧分别交于点M，N，连接MN，若直线MN恰好过点A，与边CD交于点E，连接BE，则下列结论错误的是( )
第4题图
A. ∠BCD＝120° B. CE＝eq \f(1,2)BC
C. S△ADE＝eq \f(1,2)S△ABE D. 若AB＝3，则BE＝4
5. (2023内江)出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一，如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，对角线AC与BD交于点O，点E为BC边上的一个动点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为点F，G，则EF＋EG＝________．
第5题图
6. (2023绍兴)如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝40°，连接AC，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交直线AD于点E，连接CE，则∠AEC的度数是________．
第6题图
7. (2023广西)如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的动点，M，N分别是EF，AF的中点，则MN的最大值为________．
第7题图
8. (2023陕西)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4.点E在边AD上，且ED＝3，M，N分别是边AB，BC上的动点，且BM＝BN，P是线段CE上的动点，连接PM，PN.若PM＋PN＝4.则线段PC的长为________．
第8题图
9. 如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝7，正方形MBND′的顶点M，N分别在矩形的边AB，BC上，点E为DC上一个动点，当点D与点D′关于AE对称时，DE的长为________．
第9题图
参考答案与解析
课时1 图形的基本性质
1. A 【解析】∵正八边形的外角和为360°，∴每一个外角为360°÷8＝45°.
2. B 【解析】∵平行四边形的对角线互相平分，但不一定相等，∴A选项不符合题意；∵平行四边形的对角线互相平分，∴B选项符合题意；∵平行四边形的对角线不一定垂直，∴C选项不符合题意；∵平行四边形的对角相等，但邻角不一定相等，∴D选项符不合题意．
3. C 【解析】∵∠1＝20°，菱形的对角线互相垂直平分，∴∠2＝∠ABD＝90°－∠1＝70°，故选C.
4. D 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝BO＝CO＝DO，∵∠AOB＝60°，∴△ABO是等边三角形，∴∠BAO＝60°，∴∠ACB＝30°，∴BC＝ eq \r(3) AB，∴ eq \f(AB,BC) ＝ eq \f(\r(3),3) .
5. C 【解析】∵正方形的边长为3，∴DC＝BC＝3，DC与BC分别垂直于y轴和x轴．∵点C在第一象限，∴C的坐标为(3，3).
6. B
7. B 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，CE∥FD，CD＝AB＝4，∵将线段AB水平向右平移得到线段EF，∴AB∥EF∥CD，∴四边形ECDF为平行四边形，当CD＝CE＝4时，▱ECDF为为菱形，此时a＝BE＝BC－CE＝6－4＝2.
8. C 【解析】向左扭动矩形框架ABCD，只改变四边形的形状，四边形变成平行四边形，A不符合题意；此时对角线BD的长度减小，对角线AC的长度增大，B不符合题意；BC边上的高减小，故面积变小，C符合题意；四边形的四条边不变，故周长不变，D不符合题意．
9. C 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD＝4，∵点P，Q分别是AO，AD的中点，∴PQ是△AOD的中位线，∴PQ＝ eq \f(1,2) OD＝2.
10. C 【解析】∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∴BO＝DO，AO＝CO，∵AB⊥AC，AB＝4，AC＝6，∴AO＝ eq \f(1,2) AC＝3，∴BO＝ eq \r(32＋42) ＝5，∴BD＝2BO＝10.
11. B 【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴OC＝ eq \f(1,2) AC，OB＝ eq \f(1,2) BD，AC⊥BD，∵AC＝6，BD＝8，∴OC＝3，OB＝4，∴CB＝ eq \r(OB2＋OC2) ＝5，∵E为边BC的中点，∴OE＝ eq \f(1,2) BC＝ eq \f(5,2) .
12. B 【解析】∵四边形AMEF是正方形，S正方形AMEF＝16，∴AM2＝16，∴AM＝4(负值已舍)，在Rt△ABC中，点M是斜边BC的中点，∴AM＝ eq \f(1,2) BC，即BC＝2AM＝8，在Rt△ABC中，AB＝4，∴AC＝ eq \r(BC2－AB2) ＝ eq \r(82－42) ＝4 eq \r(3) ，∴S△ABC＝ eq \f(1,2) AB·AC＝ eq \f(1,2) ×4×4 eq \r(3) ＝8 eq \r(3) .
13. C 【解析】∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABC＝∠BAD＝90°，在Rt△BCE中，点F为斜边CE的中点，∴BF＝ eq \f(1,2) CE＝5，∴BG＝BF＝5，在Rt△ABG中，AB＝4，BG＝5，由勾股定理得AG＝ eq \r(BG2－AB2) ＝3.
14. 五 【解析】设此多边形的边数为n，则(n－2)·180°＝540°，解得n＝5，即此多边形为五边形．
15. 10 【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝10.
16. 62° 【解析】如解图，连接BE，∵点E是菱形ABCD的对称中心，∠ABC＝56°，∴点E是菱形ABCD的两对角线的交点，∴AE⊥BE，∠ABE＝ eq \f(1,2) ∠ABC＝28°，∴∠BAE＝90°－∠ABE＝62°.
第16题解图
17. 2 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，DC＝AB.∴∠DEA＝∠EAB，∵∠DAB的平分线AE交DC于点E，∴∠EAB＝∠DAE，∴∠DEA＝∠DAE，∴AD＝DE，∵AD＝3，AB＝5，∴EC＝DC－DE＝AB－AD＝5－3＝2.
18. 50 【解析】在△DBC中，∵BD＝CD，∠C＝70°，∴∠DBC＝∠C＝70°，又∵在▱ABCD中，AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC＝70°，∠BAD＝∠C＝70°，又∵AE⊥BD，∴∠DAE＝90°－∠ADB＝90°－70°＝20°，∴∠BAE＝∠BAD－∠DAE＝50°.
19. 2 【解析】如解图，依题意，OD＝ eq \f(\r(2),2) AD＝2 eq \r(2) ，OE＝ eq \f(1,2) OD＝ eq \r(2) ，∴图中阴影部分的面积为OE2＝( eq \r(2) )2＝2(dm2).
第19题解图
20. (1)证明：在▱ABCD中，∵AB∥CD，
∴∠CDE＝∠F，
∵DF平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠F＝∠ADF，
∴AD＝AF；
(2)解：∵AD＝AF＝6，AB＝3，
∴BF＝AF－AB＝3；
如解图，过D作DH⊥AF交FA的延长线于点H，
∵∠BAD＝120°，
∴∠DAH＝60°，
∴∠ADH＝30°，
∴AH＝ eq \f(1,2) AD＝3，
∴DH＝ eq \r(AD2－AH2) ＝3 eq \r(3) ，
∴S△ADF＝ eq \f(1,2) AF·DH＝ eq \f(1,2) ×6×3 eq \r(3) ＝9 eq \r(3) .
第20题解图
21. (1)证明：如解图，连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴点O是BD的中点，
∵BF∥AE，
∴OE是△DBF的中位线，
∴点E是DF的中点；
第21题解图
(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝2OA＝2OC.
∵AC＝2CE，
∴OA＝OC＝CE.
∴OE＝OC＋CE＝2OC＝AC，
∵∠ADC＝60°，∠ACD＝90°，AD＝2，
∴AC＝AD·sin ∠ADC＝2× eq \f(\r(3),2) ＝ eq \r(3) ，
∴OE＝AC＝ eq \r(3) ，
由(1)可知OE是△DBF的中位线，∴BF＝2OE＝2 eq \r(3) .
课时2 图形性质综合题
1. A 【解析】在平行四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝CD，OD＝OB，∴∠CDP＝∠APD，∵DP平分∠ADC，∴∠CDP＝∠ADP，∴∠ADP＝∠APD，∴AP＝AD＝4，∵CD＝6，∴AB＝6，∴PB＝AB－AP＝6－4＝2，∵E是PD的中点，O是BD的中点，∴EO是△DPB的中位线，∴EO＝ eq \f(1,2) PB＝1.
2. B 【解析】如解图，过点N作NK⊥BC，交BC的延长线于点K，由折叠可知，FN＝BF，∵DN＝ eq \f(1,3) CD，设DN＝a，CN＝2a，∵四边形ABCD为菱形，∴∠BCD＝∠BAD＝120°，BC＝CD＝3a，∴∠NCK＝180°－120°＝60°，设CF＝x，则FN＝BF＝3a－x，∵CN＝2a，∴CK＝ eq \f(1,2) CN＝a，NK＝CN·sin 60°＝ eq \r(3) a，在Rt△NFK中，FN2＝NK2＋FK2，即(3a－x)2＝( eq \r(3) a)2＋(x＋a)2，解得x＝ eq \f(5,8) a，∴CF＝ eq \f(5,8) a，BF＝3a－ eq \f(5,8) a＝ eq \f(19,8) a，∴ eq \f(FC,BF) ＝ eq \f(\f(5,8)a,\f(19,8)a) ＝ eq \f(5,19) .
第2题解图
3. D 【解析】如解图，作B′E⊥y轴于点E，∵四边形OABC是平行四边形，∴AB＝OC＝2，∵把平行四边形OABC绕点O逆时针旋转，使点A落在y轴正半轴上，∴∠A′OA＝∠AOC＝45°，OA′＝OA＝1，A′B′＝AB＝OC＝2，∴∠B′A′O＝135°，∴∠B′A′E＝45°，∴A′E＝B′E＝ eq \f(\r(2),2) A′B′＝ eq \r(2) ，∴OE＝OA′＋A′E＝1＋ eq \r(2) ，∴旋转后点B的对应点B′的坐标为( eq \r(2) ， eq \r(2) ＋1).
第3题解图
4. D 【解析】如解图，连接AC.由作法得MN垂直平分CD，∴AD＝AC，CE＝DE，∠AED＝90°，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC＝AD，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°，∴∠BCD＝120°，即A选项的结论正确，不符合题意；∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD＝2CE，即CE＝ eq \f(1,2) BC，∴B选项的结论正确，不符合题意；∵AB∥CD，AB＝2DE，∴S△ADE＝ eq \f(1,2) S△ABE，∴C选项的结论正确，不符合题意；当AB＝3，则CE＝DE＝ eq \f(3,2) ，∵∠D＝60°，∴AE＝ eq \r(AD2－ED2) ＝ eq \r(32－（\f(3,2)）2) ＝ eq \f(3\r(3),2) ，∠DAE＝30°，∠BAD＝120°，∴∠BAE＝∠BAD－∠DAE＝120°－30°＝90°，在Rt△ABE中，BE＝ eq \r(AB2＋AE2) ＝ eq \r(32＋（\f(3\r(3),2)）2) ＝ eq \f(3\r(7),2) ，∴D选项的结论错误，符合题意．
第4题解图
5. eq \f(60,13) 【解析】如解图，连接OE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，BC＝AD＝12，AO＝CO＝BO＝DO，∵AB＝5，BC＝12，∴AC＝ eq \r(AB2＋BC2) ＝13，∴OB＝OC＝ eq \f(13,2) ，∴S△BOC＝S△BOE＋S△COE＝ eq \f(1,2) OB·EG＋ eq \f(1,2) OC·EF，∵ eq \f(1,2) S△ABC＝ eq \f(1,2) × eq \f(1,2) ×5×12＝15，∴S△BOC＝ eq \f(1,2) × eq \f(13,2) ·EG＋ eq \f(1,2) × eq \f(13,2) ·EF＝ eq \f(1,2) × eq \f(13,2) (EG＋EF)＝15，∴EG＋EF＝ eq \f(60,13) .
第5题解图
6. 10°或80° 【解析】如解图，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交直线AD于点E和E′，在菱形ABCD中，∠DAC＝∠BAC，∵∠DAB＝40°，∴∠DAC＝20°，∵AC＝AE，∴∠AEC＝(180°－20°)÷2＝80°，∵AE′＝AC，∴∠AE′C＝∠ACE′＝10°，综上所述，∠AEC的度数是10°或80°.
第6题解图
7. eq \r(2) 【解析】如解图，连接AE，AC，∵M，N分别是边EF，AF的中点，∴MN是△AEF的中位线，∴MN＝ eq \f(1,2) AE，∵四边形ABCD是正方形，∠B＝90°，∴AE＝ eq \r(AB2＋BE2) ＝ eq \r(4＋BE2) ，∴当BE最大时，AE最大，此时MN最大，∵点E是BC边上的动点，∴当点E和点C重合时，BE最大，即BC的长度，∴此时AE＝ eq \r(4＋22) ＝2 eq \r(2) ，∴MN＝ eq \f(1,2) AE＝ eq \r(2) ，∴MN的最大值为 eq \r(2) .
第7题解图
8. 2 eq \r(2) 【解析】∵DE＝AB＝CD＝3，∴△CDE是等腰直角三角形，如解图，作点N关于EC的对称点N′，则N′在直线CD上，连接PN′，∵PM＋PN＝4，∴PM＋PN′＝4＝BC，即MN′＝4，此时M，P，N′三点共线且MN′∥AD，∵BM＝BN，∴四边形BMPN是正方形，∴PM＝PN，点P在MN′的中点处，∴PM＝PN′＝2，∴PC＝2 eq \r(2) .
第8题解图
9. eq \f(5,2) 或 eq \f(5,3) 【解析】如解图，连接ED′，AD′，延长MD′交DC于点P，
∵正方形MBND′的顶点M，N分别在矩形的边AB，BC上，点E为边DC上一个动点，点D与点D′关于AE对称，∴设MD′＝ND′＝BM＝x，∴AM＝AB－BM＝7－x，由对称性可得AD＝AD′＝5，∴x2＋(7－x)2＝25，解得x＝3或x＝4，即MD′＝3或MD′＝4.在Rt△EPD′中，设ED′＝a，①当MD′＝3时，AM＝7－3＝4，D′P＝5－3＝2，EP＝4－a，∴a2＝22＋(4－a)2，解得a＝ eq \f(5,2) ，即DE＝ eq \f(5,2) ；②当MD′＝4时，AM＝7－4＝3，D′P＝5－4＝1，EP＝3－a，∴a2＝12＋(3－a)2，解得a＝ eq \f(5,3) ，即DE＝ eq \f(5,3) .综上所述，DE的长为 eq \f(5,2) 或 eq \f(5,3) .
第9题解图
【解题关键点】
连接BD交AC于点O，判定OE是△BDF的中位线是解题的关键．