2024年四川省凉山州中考数学试卷（含解析）

这是一份2024年四川省凉山州中考数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各数中：5，−57，−3，0，−25.8，+2，负数有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
2.如图，由3个相同的小正方体搭成的几何体的俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
3.下列运算正确的是( )
A. 2ab+3ab=5abB. (ab2)3=a3b5C. a8÷a2=a4D. a2⋅a3=a6
4.一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点E在AB的延长线上，当DF/​/AB时，∠EDB的度数为( )
A. 10°
B. 15°
C. 30°
D. 45°
5.点P(a,−3)关于原点对称的点是P′(2,b)，则a+b的值是( )
A. 1B. −1C. −5D. 5
6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE垂直平分AB交BC于点D，若△ACD的周长为50cm，则AC+BC=( )
A. 25cm
B. 45cm
C. 50cm
D. 55cm
7.匀速地向如图所示的容器内注水，直到把容器注满.在注水过程中，容器内水面高度ℎ随时间t变化的大致图象是( )
A. B.
C. D.
8.在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，每个团参加表演的8位女演员身高的折线统计图如下.则甲、乙两团女演员身高的方差s甲2、s乙2大小关系正确的是( )
A. s甲2>s乙2B. s甲29.若关于x的一元二次方程(a+2)x2+x+a2−4=0的一个根是x=0，则a的值为( )
A. 2B. −2C. 2或−2D. 12
10.数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交AB于点C，测出AB=40cm，CD=10cm，则圆形工件的半径为( )
A. 50cm
B. 35cm
C. 25cm
D. 20cm
11.如图，一块面积为60cm2的三角形硬纸板(记为△ABC)平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是△A1B1C1，若OB：BB1=2：3，则△A1B1C1的面积是( )
A. 90cm2
B. 135cm2
C. 150cm2
D. 375cm2
12.抛物线y=23(x−1)2+c经过(−2,y1)，(0,y2)，(52,y3)三点，则y1，y2，y3的大小关系正确的是( )
A. y1>y2>y3B. y2>y3>y1C. y3>y1>y2D. y1>y3>y2
二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）
13.已知a2−b2=12，且a−b=−2，则a+b= ______．
14.方程2x−3=3x的解是______．
15.如图，△ABC中，∠BCD=30°，∠ACB=80°，CD是边AB上的高，AE是∠CAB的平分线，则∠AEB的度数是______．
16.如图，四边形ABCD各边中点分别是E、F、G、H，若对角线AC=24，BD=18，则四边形EFGH的周长是______．
17.如图，一次函数y=kx+b的图象经过A(3,6)、B(0,3)两点，交x轴于点C，则△AOC的面积为______．
三、解答题（共5小题，共32分）
18.（5分）计算：1 3−1+|2− 3|+2−1+cs30°−(−1)0．
19.（5分）求不等式组−3<4x−7≤9的整数解．
20.（7分）为保证每位同学在学校组织的课外体育活动中，都能参与自己最喜欢的球类项目，学校体育社团随机抽取部分同学进行“最喜欢的球类项目”的调查(每人只能选择一项)，根据调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图：

请根据统计图回答下列问题：
(1)本次调查的总人数是______人，估计全校1500名学生中最喜欢乒乓球项目的约有______人；
(2)补全条形统计图；
(3)学校体育社团为了制订训练计划，将从最喜欢篮球项目的甲、乙、丙、丁四名同学中任选两名进行个别访谈，请用列表法或画树状图法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率．
21.（7分）为建设全城旅游西昌，加快旅游产业发展.2022年9月29日位于西昌主城区东部的历史风貌核心区唐园正式开园，坐落于唐园内的怀远塔乃唐园至高点，为七层密檐式八角砖混结构阁楼式塔楼，建筑面积为1845.4平方米，塔顶金碧辉煌，为“火珠垂莲”窣(sū)堵坡造型.某校为了让学生进一步了解怀远塔，组织九年级(2)班学生利用综合实践课测量怀远塔的高度.小江同学站在如图所示的怀远塔前的平地上A点处，测得塔顶C的仰角为30°，眼睛B距离地面1.8m，向塔前行67m，到达点D处，测得塔顶C的仰角为60°，求塔高CF. (参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732，结果精确到0.01m)
22.（8分）如图，正比例函数y1=12x与反比例函数y2=kx(x>0)的图象交于点A(m,2)．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)把直线y1=12x向上平移3个单位长度与y2=kx(x>0)的图象交于点B，连接AB、OB，求△AOB的面积．
四、填空题（共2小题，每小题5分，共10分）
23.已知y2−x=0，x2−3y2+x−3=0，则x的值为______．
24.如图，⊙M的圆心为M(4,0)，半径为2，P是直线y=x+4上的一个动点，过点P作⊙M的切线，切点为Q，则PQ的最小值为______．
五、解答题（共4小题，共40分）
25.（8分）阅读下面材料，并解决相关问题：
如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，…，第n行有n个点…，容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10．
(1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为______，前15行的点数之和为______，那么，前n行的点数之和为______．
(2)体验：三角点阵中前n行的点数之和______(填“能”或“不能”)为500．
(3)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆，…，第n排2n盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？
26.（10分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2，E是BC边上一个动点，连接AE，AE的垂直平分线MN交AE于点M，交BD于点N，连接EN、CN．
(1)求证：EN=CN；
(2)求2EN+BN的最小值．
27.（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD平分∠BAC交⊙O于点D，过点D的直线DE⊥AC，交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F．
(1)求证：EF是⊙O的切线；
(2)连接EO并延长，分别交⊙O于M、N两点，交AD于点G，若⊙O的半径为2，∠F=30°，求GM⋅GN的值．
28.（12分）如图，抛物线y=−x2+bx+c与直线y=x+2相交于A(−2,0)，B(3,m)两点，与x轴相交于另一点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是直线AB上方抛物线上的一个动点(不与A、B重合)，过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E，当PE=2ED时，求P点坐标；
(3)抛物线上是否存在点M使△ABM的面积等于△ABC面积的一半？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析
1.【答案】C
【解析】解：5>0，是正数；
−57<0，是负数；
−3<0，是负数；
0既不是正数，也不是负数；
−25.8<0，是负数；
+2>0，是正数；
∴负数有−57，−3，−25.8，共3个．
故选：C．
根据正数和负数的定义判断即可，注意：0既不是负数也不是正数．
本题考查了对正数和负数定义的理解，难度不大，注意0既不是正数也不是负数．
2.【答案】B
【解析】解：从上面可看，是一行两个相邻的正方形．
故选：B．
找到从上面看所得到的图形即可．
本题考查了简单组合体的三视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
3.【答案】A
【解析】解：2ab+3ab=5ab，则A符合题意；
(ab2)3=a3b6，则B不符合题意；
a8÷a2=a6，则C不符合题意；
a2⋅a3=a5，则D不符合题意；
故选：A．
利用合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方法则，同底数幂乘法及除法法则逐项判断即可．
本题考查合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂乘法及除法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：由题意得，∠ABC=45°，∠EDF=30°，
∵DF/​/AB，
∴∠FDB=∠ABC=45°，
∴∠EDB=∠FDB−∠EDF=45°−30°=15°，
故选：B．
根据一副直角三角板的性质得出∠ABC=45°，∠EDF=30°，再根据两直线平行，内错角相等得出∠FDB=∠ABC=45°，即可求出∠EDB的度数．
本题考查了平行线的性质，一副直角三角板的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：∵点P(a,−3)关于原点对称的点是P′(2,b)，
∴a=−2，b=3，
∴a+b=1，
故选：A．
关于原点对称的点，横纵坐标都为相反数．
本题考查了关于原点对称的点的坐标特点，掌握关于原点对称的点，横纵坐标都为相反数是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵DE垂直平分AB交BC于点D，
∴AD=DB，
∵△ACD的周长为50cm，
即AC+AD+CD=AC+CD+DB=AC+BC=50cm，
故选：C．
根据线段垂直平分线得出AD=DB，进而利用三角形的周长解答即可．
此题考查线段垂直平分线的性质，关键是根据线段垂直平分线得出AD=DB解答．
7.【答案】C
【解析】解：因为根据图象可知，物体的形状为首先小然后变大最后又变小，
所以注水过程的水的高度是先快后慢再快，且第三段的上升速度比第一段慢，故选项C正确．
故选：C．
根据图象可知，物体的形状为首先小然后变大最后又变小．故注水过程的水的高度是先快后慢再快．
本题主要考查了函数的图象，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
8.【答案】B
【解析】解：∵观察甲、乙两团女演员身高的折线统计图，发现甲的波动小于乙的波动，
∴S甲2故选：B．
直接根据8位女演员身高的波动情况比较两团的方差即可；
本题考查了方差的意义及折线统计图的知识，解题的关键是了解方差越大波动越大，不需通过计算方差得到．
9.【答案】A
【解析】解：∵关于x的一元二次方程(a+2)x2+x+a2−4=0的一个根是x=0，
∴a2−4=0且a+2≠0，
解得：a=2，
故选：A．
利用一元二次方程解的定义及一元二次方程的定义可得a2−4=0且a+2≠0，解得a的值即可．
本题考查一元二次方程解的定义及一元二次方程的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
10.【答案】C
【解析】解：设圆心为O，连接OB，如图所示，
∵CD垂直平分AB，AB=40cm，
∴BD=20cm，
∵CD=10cm，OC=OB，
∴OD=OB−10，
∵∠ODB=90°，
∴OD2+BD2=OB2，
∴(OB−10)2+202=OB2，
解得OB=25，
即圆形工件的半径为25cm，
故选：C．
根据垂径定理可以得到BD的长，再根据勾股定理，即可求得圆形工件的半径．
本题考查垂径定理的应用、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
11.【答案】D
【解析】解：由题意可知，△A1B1C1与△ABC是位似图形，且位似比为：22+3=25，
∴△A1B1C1的面积是60÷(25)2=375(cm2)，
故选：D．
由题意可知△A1B1C1与△ABC是位似图形，根据位似图形的面积比等于位似比的平方可得答案．
本题考查了中心投影以及三角形的面积，根据题意得出△A1B1C1与△ABC是位似图形是解答本题的关键．
12.【答案】D
【解析】解：∵y=23(x−1)2+c，
∴抛物线开口向上，对称轴是直线x=1，
∴当x<1时，y随x的增大而减小，
∵(52,y3)关于直线x=1的对称点是(−12,y3)，
∵−2<−12<0<1，
∴y1>y3>y2，
故选：D．
由题意可知抛物线开口向上，对称轴是直线x=1，求出(52,y3)关于直线x=1的对称点，然后根据二次函数的增减性可以判断y1，y2，y3的大小关系，从而可以解答本题．
本题考查二次函数的增减性，解答本题的关键是掌握二次函数的增减性，把三个点通过对称性转移到对称轴的同一侧，然后利用二次函数的增减性解答．
13.【答案】−6
【解析】解：∵a2−b2=12，
∴(a+b)(a−b)=12，
∵a−b=−2，
∴a+b=−6，
故答案为：−6．
利用平方差公式：a2−b2=(a+b)(a−b)计算即可．
本题考查平方差公式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
14.【答案】x=9
【解析】解：去分母得：2x=3x−9，
解得：x=9，
经检验x=9是分式方程的解，
故答案为：x=9
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可确定出分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
15.【答案】100°
【解析】解：∵CD是边AB上的高，
∴∠CDB=∠CDA=90°，
∵∠BCD=30°，∠ACB=80°，
∴∠ACD=∠ACB−∠BCD=50°，∠CBD=90°−∠BCD=60°，
∴∠CAB=90°−∠ACD=40°，
∵AE是∠CAB的平分线，
∴∠EAB=12∠CAB=20°，
∴∠AEB=180°−∠EAB−∠EBA=100°，
故答案为：100°．
由CD是边AB上的高，∠BCD=30°，∠ACB=80°，可求得∠CAB、∠CBA的度数，因为AE是∠CAB的平分线，可得∠EAB的度数，根据三角形内角和定理，可得∠AEB的度数．
本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，关键是掌握三角形内角和定理，角平分线的定义．
16.【答案】42
【解析】解：∵四边形ABCD各边中点分别是E、F、G、H，
∴EF、FG、GH、HE分别为△ABC、△BCD、△ADC、△ABD的中位线，
∴EF=12AC=12×24=12，GH=12AC=12，FG=12BD=12×18=9，HE=12BD=9，
∴四边形EFGH的周长为：12+9+12+9=42，
故答案为：42．
根据三角形中位线定理分别求出EF、FG、GH、HE，根据四边形的周长公式计算，得到答案．
本题考查的是中点四边形，熟记三角形中位线定理是解题的关键．
17.【答案】9
【解析】解：∵一次函数y=kx+b的图象经过A(3,6)、B(0,3)两点，
∴3k+b=6b=3，解得k=1b=3，
∴一次函数解析式为y=x+3，
当y=0时，x=−3，
∴C(−3,0)，
∴S△AOC=12×3×6=9．
故答案为：9．
先利用待定系数法求出直线AB的解析式，再求出点C坐标，根据三角形面积公式计算面积即可．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法求解析式是关键．
18.【答案】解：原式= 3+1( 3−1)( 3+1)+2− 3+12+ 32−1
= 3+12+2− 3+12+ 32−1
=2．
【解析】利用分母有理化法则，零指数幂，特殊锐角三角函数值，绝对值的性质计算即可．
本题考查分母有理化，特殊锐角三角函数值，零指数幂，绝对值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
19.【答案】解：−3<4x−7≤9，
即−3<4x−7①4x−7≤9②，
解不等式①，得x>1，
解不等式②，得x≤4，
所以不等式组的解集是1所以不等式组−3<4x−7≤9的整数解是2，3，4．
【解析】先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后求出不等式组的整数解即可．
本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解此题的关键．
20.【答案】50 120
【解析】解：(1)本次调查的总人数是为：18×36%=50(人)，
估计全校1500名学生中最喜欢乒乓球项目的约有1500×450=120(人)，
故答案为：50，120；
(2)喜欢篮球的人数为：50×24%=12(人)，
喜欢乒乓球的人数为：50−18−12−10−4=6(人)，
补全条形统计图如下：
(3)解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果数，其中抽取两人恰好是甲乙的结果数为2，
∴甲乙两位同学同时被抽中的概率为：212=16．
(1)根据最喜欢足球的有18人，对应的百分比是36%，据此即可求得总人数；利用1500除以最喜欢乒乓球所占的百分数，即可求解；
(2)求出喜欢篮球的人数和喜欢羽毛球的人数，然后补全统计图即可；
(3)首先画出树状图，得出共有12种等可能的结果数，其中抽取两人恰好是甲乙的结果数为2，再根据概率公式，计算即可．
本题考查了条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、利用树状图法求概率、概率公式，解本题的关键在充分利用统计图解答．
21.【答案】解：由题意，知∠CBG=30°，∠CEG=60°，∠CGB=∠CGE=90°，GF=ED=BA=1.8m，BE=67m，
在Rt△CBG中，
BG=CGtan30∘= 3CG，
在Rt△CEG中，
EG=EGtan60∘= 33CG，
∵BG−EG=BE，
∴ 3CG− 33CG=67，
解得CG≈58.03(m)，
∴CF=CG+GF=58.03+1.8=59.83(m)，
答：塔高CF为59.83m．
【解析】先用CG表示EG，BG，再根据BG−EG=67m，列方程求出CG，进一步可求出CF，从而解决问题．
本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题，理解题意，熟练运用三角函数关系是解题的关键．
22.【答案】解：(1)∵点A(m,2)在正比例函数图象上，
∴2=12x，解得x=4，
∴A(4,2)，
∵A(4,2)在反比例函数图象上，
∴k=8，
∴反比例函数解析式为y2=8x．
(2)把直线y1=12x向上平移3个单位得到解析式为y=12x+3，
直线与y轴交点坐标为D(0,3)，连接AD，
联立方程组y=8xy=12x+3，
解得x=2y=4，x=−8y=−1(舍去)，
∴B(2,4)，
∴S△AOB=S△ADO=12×3×4=6．
【解析】(1)待定系数法求出反比例函数解析式即可；
(2)先得到平移后直线解析式，联立方程组求出点B坐标，根据平行线可得S△AOB=S△ADO代入数据计算即可．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握函数的平移法则是关键．
23.【答案】3
【解析】解：∵y2−x=0，
∴y2=x≥0，
∵x2−3y2+x−3=0，
∴x2−3x+x−3=0，
即x2−2x−3=0，
解得：x1=3，x2=−1(舍去)，
即x的值为3，
故答案为：3．
由已知条件可得y2=x，将其代入x2−3y2+x−3=0中整理后解一元二次方程求得符合题意的x的值即可．
本题考查一元二次方程的解，结合已知条件得到关于x的方程是解题的关键．
24.【答案】2 7
【解析】解：如图，连接MP、MQ，
∵PQ是⊙M的切线，
∴MQ⊥PQ，
∴PQ= PM2−MQ2= PM2−4，
当PM最小时，PQ最小，
当MP⊥AB时，MP最小，
直线y=x+4与x轴的交点A的坐标为(−4,0)，与y轴的交点B的坐标为(0,4)，
∴OA=OB=4，
∴∠BAO=45°，AM=8，
当MP⊥AB时，MP=AM⋅sin∠BAO=8× 22=4 2，
∴PQ的最小值为： (4 2)2−4= 28=2 7，
故答案为：2 7．
连接MP、MQ，根据切线的性质得到MQ⊥PQ，根据勾股定理得到PQ= PM2−4，根据一次函数解析式求出点A、点B的坐标，再根据垂线段最短计算即可．
本题考查的是切线的性质、一次函数的图象和性质、垂线段最短，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
25.【答案】36 120 n(n+1)2 不能
【解析】解：(1)由题知，
三角点阵中前1行的点数之和为：1；
三角点阵中前2行的点数之和为：1+2；
三角点阵中前3行的点数之和为：1+2+3；
三角点阵中前4行的点数之和为：1+2+3+4；
…，
所以三角点阵中前n行的点数之和为：1+2+3+…+n=n(n+1)2．
当n=8时，
n(n+1)2=36，
即三角点阵中前8行的点数之和为36．
当n=15时，
n(n+1)2=120，
即三角点阵中前15行的点数之和为120．
故答案为：36，120，n(n+1)2．
(2)不能．
令n(n+1)2=500得，
解得n=−1± 40012，
因为n为正整数，
所以三角点阵中前n行的点数之和不能为500．
故答案为：不能．
(3)由题知，
前n排盆景的总数可表示为n(n+1)，
令n(n+1)=420得，
解得n1=−21，n2=20．
因为n为正整数，
所以n=20，
即一共能摆20排．
(1)依次求出前n(n为正整数)行点数之和，发现规律即可解决问题．
(2)根据(1)中发现的规律即可解决问题．
(3)根据(1)中发现的规律即可解决问题．
本题考查图形变化的规律及列代数式，能根据所给点阵发现前n行点数之和的变化规律是解题的关键．
26.【答案】解：(1)连接AN，如图，

∵四边形ABCD是菱形，
∴点A，点C关于直线BD轴对称，
∴AN=CN，
∵AE的垂直平分线MN交AE于点M，交BD于点N，
∴AN=EN，
∴EN=CN；
(2)过点N作NG⊥BC于点G，连接AN，AG，过点A作AH⊥BC于点H，

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴∠DBC=30°，
∴BN=2NG，
∵AE的垂直平分线MN交AE于点M，交BD于点N，
∴EN=AN，
∴2EN+BN=2AN+2NG=2(AN+NG)≥2AG≥2AH，
∴2EN+BN的最小值为2AH，
∵∠ABC=60°，AB=2，
∴AH=AB⋅sin60°= 3，
∴2EN+BN的最小值为2 3．
【解析】(1)利用线段垂直平分线的性质和菱形的性质即可证明出结论；
(2)过点N作NG⊥BC于点G，连接AN，AG，过点A作AH⊥BC于点H，证明出2EN+BN的最小值为2AH，再求出AH即可解决问题．
本题考查菱形的性质，三角函数，含30°角直角三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，通过作辅助线将所求线段和的最小值用一条线段表示是解题的关键．
27.【答案】.(1)证明：连接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE=∠OAD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠DAE=∠ODA，
∴OD/​/AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
(2)解：连接MD，AN，
在Rt△ODF中，OB=OD=2，∠F=30°，
∴OD=12OF，∠BOD=60°，
∴OF=4，
∴DF= OF2−OD2=2 3，
∴AF=2+4=6，
在Rt△AEF中，∠F=30°，
∴AE=12AF=3，
∵∠F=30°，OD⊥EF，
∴∠DOF=60°=∠2+∠3，
∵OA=OD，
∵∠2=∠3，
∴∠2=30°，
∴∠2=∠F，
∴AD=DF=2 3，
∵OD/​/AE，
∴△DGO∽△AGE，
∴DGAG=ODAE=23，
∴DG=25AD，AG=35AD，
∵∠ANM=∠MDG，∠MGD=∠AGN，
∴△MGD∽△AGN，
∴MGAG=GDGN，
∴GM⋅GN=GD⋅GA=25AD⋅35AD=625AD2=625×(2 3)2=7225．
【解析】(1)连接OD，根据角平分线的定义和等腰三角形的性质证明∠DAE=∠ODA，进而证得OD⊥DE，根据切线的判定即可证得结论；
(2)连接MD，AN，求出OF=4，DF=2 3，则AF=6，AE=3，证明AD=DF=2 3，由△DGO∽△AGE，得到DGAG=ODAE=23，进而得到DG=25AD，AG=35AD，证明△MGD∽△AGN，根据相似三角形的性质得到MGAG=GDGN，得到GM⋅GN=GD⋅GA=25AD⋅35AD=625AD2=7225．
本题是圆的综合题，主要考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，含30度直角三角形的性质，等腰三角形的性质，正确添加辅助线是解决问题的关键．
28.【答案】解：(1)把B(3,m)代入y=x+2得：m=3+2=5，
∴B(3,5)，
把A(−2,0)，B(3,5)代入y=−x2+bx+c得：
−4−2b+c=0−9+3b+c=5，
解得b=2c=8，
∴抛物线的解析式为y=−x2+2x+8；
(2)设P(t,−t2+2t+8)，则E(t,t+2)，D(t,0)，
∵PE=2DE，
∴−t2+2t+8−(t+2)=2(t+2)，
解得t=1或t=−2(此时P不在直线AB上方，舍去)；
∴P的坐标为(1,9)；
(3)抛物线上存在点M，使△ABM的面积等于△ABC面积的一半，理由如下：
过M作MK/​/y轴交直线AB于K，如图：

在y=−x2+2x+8中，令y=0得0=−x2+2x+8，
解得x=−2或x=4，
∴A(−2,0)，C(4,0)，
∴AC=6，
∵B(3,5)，
∴S△ABC=12×6×5=15，
设M(m,−m2+2m+8)，则K(m,m+2)，
∴MK=|−m2+2m+8−(m+2)|=|−m2+m+6|，
∴S△ABM=12MK⋅|xB−xA|=12|−m2+m+6|×5=52|−m2+m+6|，
∵△ABM的面积等于△ABC面积的一半，
∴52|−m2+m+6|=12×15，
∴|−m2+m+6|=3，
∴−m2+m+6=3或−m2+m+6=−3，
解得m=1± 132或m=1± 372，
∴M的坐标为(1+ 132,11+ 132)或(1− 132,11− 132)或(1+ 372,−1+ 372)或(1− 372,−1− 372).
【解析】(1)把B(3,m)代入y=x+2求出B(3,5)，再用待定系数法可得抛物线的解析式为y=−x2+2x+8；
(2)设P(t,−t2+2t+8)，则E(t,t+2)，D(t,0)，由PE=2DE，可得−t2+2t+8−(t+2)=2(t+2)，解出t的值可得P的坐标为(1,9)；
(3)过M作MK/​/y轴交直线AB于K，求出C(4,0)，知AC=6，故S△ABC=12×6×5=15，设M(m,−m2+2m+8)，则K(m,m+2)，可得MK=|−m2+2m+8−(m+2)|=|−m2+m+6|，S△ABM=12MK⋅|xB−xA|=52|−m2+m+6|，根据△ABM的面积等于△ABC面积的一半，有52|−m2+m+6|=12×15，可得|−m2+m+6|=3，即−m2+m+6=3或−m2+m+6=−3，解出m的值可得答案．
本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．