2024年天津市中考数学试卷（含解析）

这是一份2024年天津市中考数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1.计算3−(−3)的结果等于( )
A. −6B. 0C. 3D. 6
2.如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
3.估算 10的值在( )
A. 1和2之间B. 2和3之间C. 3和4之间D. 4和5之间
4.在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形.下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
5.据2024年4月18日《天津日报》报道，天津市组织开展了第43届“爱鸟周”大型主题宣传活动.据统计，今春过境我市候鸟总数已超过800000只.将数据800000用科学记数法表示应为( )
A. 0.08×107B. 0.8×106C. 8×105D. 80×104
6. 2cs45°−1的值等于( )
A. 0B. 1C. 22−1D. 2−1
7.计算3xx−1−3x−1的结果等于( )
A. 3B. xC. xx−1D. 3x2−1
8.若点A(x1,−1)，B(x2,1)，C(x3,5)都在反比例函数y=5x的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是( )
A. x19.《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺.木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺.问木长多少尺？设木长x尺，绳子长y尺，则可以列出的方程组为( )
A. y−x=4.5x−0.5y=1B. y−x=4.5x+0.5y=1C. x+y=4.5x−y=1D. x+y=4.5y−x=1
10.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=40°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点E，交AC于点F；再分别以点E，F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，两弧(所在圆的半径相等)在∠BAC的内部相交于点P；画射线AP，与BC相交于点D，则∠ADC的大小为( )
A. 60°B. 65°C. 70°D. 75°
11.如图，△ABC中，∠B=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，延长BA交DE于点F，下列结论一定正确的是( )
A. ∠ACB=∠ACD
B. AC/​/DE
C. AB=EF
D. BF⊥CE
12.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h=30t−5t2(0≤t≤6).有下列结论：
①小球从抛出到落地需要6s；
②小球运动中的高度可以是30m；
③小球运动2s时的高度小于运动5s时的高度．
其中，正确结论的个数是( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13.不透明袋子中装有10个球，其中有3个绿球、4个黑球、3个红球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为______．
14.计算x8÷x6的结果为______．
15.计算( 11+1)( 11−1)的结果为______．
16.若正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象经过第三、第一象限，则k的值可以是______(写出一个即可)．
17.如图，正方形ABCD的边长为3 2，对角线AC，BD相交于点O，点E在CA的延长线上，OE=5，连接DE．
(Ⅰ)线段AE的长为______；
(Ⅱ)若F为DE的中点，则线段AF的长为______．
18.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，F，G均在格点上．
(I)线段AG的长为______；
(II)点E在水平网格线上，过点A，E，F作圆，经过圆与水平网格线的交点作切线，分别与AE，AF的延长线相交于点B，C，△ABC中，点M在边BC上，点N在边AB上，点P在边AC上.请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，P，使△MNP的周长最短，并简要说明点M，N，P的位置是如何找到的(不要求证明) ______．
三、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
解不等式组2x+1≤3,①3x−1≥x−7.②
请结合题意填空，完成本题的解答．
(Ⅰ)解不等式①，得______；
(Ⅱ)解不等式②，得______；
(Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
(Ⅳ)原不等式组的解集为______．
20.(本小题8分)
为了解某校八年级学生每周参加科学教育的时间(单位：h)，随机调查了该校八年级a名学生，根据统计的结果，绘制出如图的统计图①和图②．

请根据相关信息，解答下列问题：
(Ⅰ)填空：a的值为______，图①中m的值为______，统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的众数和中位数分别为______和______；
(Ⅱ)求统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的平均数；
(Ⅲ)根据样本数据，若该校八年级共有学生500人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是9h的人数约为多少？
21.(本小题10分)
已知△AOB中，∠ABO=30°，AB为⊙O的弦，直线MN与⊙O相切于点C．
(Ⅰ)如图①，若AB/​/MN，直径CE与AB相交于点D，求∠AOB和∠BCE的大小；
(Ⅱ)如图②，若OB/​/MN，CG⊥AB，垂足为G，CG与OB相交于点F，OA=3，求线段OF的长．
22.(本小题10分)
综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔AB的高度(如图①).某学习小组设计了一个方案：如图②，点C，D，E依次在同一条水平直线上，DE=36m，EC⊥AB，垂足为C.在D处测得桥塔顶部B的仰角(∠CDB)为45°，测得桥塔底部A的俯角(∠CDA)为6°，又在E处测得桥塔顶部B的仰角(∠CEB)为31°．
(I)求线段CD的长(结果取整数)；
(Ⅱ)求桥塔AB的高度(结果取整数).参考数据：tan31°≈0.6，tan6°≈0.1．
23.(本小题10分)
已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上，画社离家0.6km，文化广场离家1.5km.张华从家出发，先匀速骑行了4min到画社，在画社停留了15min，之后匀速骑行了6min到文化广场，在文化广场停留6min后，再匀速步行了20min返回家.如图图中x表示时间，y表示离家的距离.图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系．

请根据相关信息，回答下列问题：
(I)①填表：
②填空：张华从文化广场返回家的速度为______km/min；
③当0≤x≤25时，请直接写出张华离家的距离y关于时间x的函数解析式；
(Ⅱ)当张华离开家8min时，他的爸爸也从家出发匀速步行了20min直接到达了文化广场，那么从画社到文化广场的途中(0.624.(本小题10分)
将一个平行四边形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O(0,0)，点A(3,0)，点B，C在第一象限，且OC=2，∠AOC=60°．
(Ⅰ)填空：如图①，点C的坐标为______，点B的坐标为______；
(Ⅱ)若P为x轴的正半轴上一动点，过点P作直线l⊥x轴，沿直线l折叠该纸片，折叠后点O的对应点O′落在x轴的正半轴上，点C的对应点为C′.设OP=t．
①如图②，若直线l与边CB相交于点Q，当折叠后四边形PO′C′Q与▱OABC重叠部分为五边形时，O′C′与AB相交于点E.试用含有t的式子表示线段BE的长，并直接写出t的取值范围；
②设折叠后重叠部分的面积为S，当23≤t≤114时，求S的取值范围(直接写出结果即可)．
25.(本小题10分)
已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a>0)的顶点为P，且2a+b=0，对称轴与x轴相交于点D，点M(m,1)在抛物线上，m>1，O为坐标原点．
(I)当a=1，c=−1时，求该抛物线顶点P的坐标；
(Ⅱ)当OM=OP= 132时，求a的值；
(Ⅲ)若N是抛物线上的点，且点N在第四象限，∠MDN=90°，DM=DN，点E在线段MN上，点F在线段DN上，NE+NF= 2DM，当DE+MF取得最小值为 15时，求a的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：原式=3+3
=6，
故答案为：D．
根据有理数的减法法则把减法化成加法，然后根据加法法则进行计算即可．
本题主要考查了有理数的减法，解题关键是熟练掌握有理数的加减法则．
2.【答案】B
【解析】解：这个组合体的主视图为：
故选：B．
根据简单组合体三视图的画法画出它的主视图即可．
本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法和形状是正确解答的关键．
3.【答案】C
【解析】解：∵ 9< 10< 16，
∴3< 10<4，
即 10在3和4之间．
故选：C．
根据二次根式的性质得出 9< 10< 16，即可求出答案．
本题考查了估算无理数的大小的应用，解此题的关键是确定出 10的范围，题目比较典型，难度不大．
4.【答案】C
【解析】解：A.不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.是轴对称图形，故此选项符合题意；
D.不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
利用轴对称图形的定义进行解答即可．
此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
5.【答案】C
【解析】解：800000=8×105．
故选：C．
根据把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法，进而得出答案．
此题主要考查了科学记数法—表示较大的数，正确掌握科学记数法是解题关键．
6.【答案】A
【解析】解： 2cs45°−1
= 2× 22−1
=1−1
=0，
故选：A．
先计算特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算减法．
此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算．
7.【答案】A
【解析】解：3xx−1−3x−1
=3x−3x−1
=3(x−1)x−1
=3，
故选：A．
根据同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减计算即可．
本题考查了分式的加减，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵k=5>0，
∴反比例函数y=5x的图象分布在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵点A(x1,−1)，B(x2,1)，C(x3,5)都在反比例函数y=5x的图象上，
∴点A(x1,−1)分布在第三象限，B(x2,1)，C(x3,5)分布在第一象限，且1<5，
∴x1<0，x2>x3>0，
∴x1故选：B．
根据k值确定反比例函数图象分布在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，据此解答即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数性质是关键．
9.【答案】A
【解析】解：∵用绳子去量长木，绳子还剩余4.5尺，
∴y−x=4.5；
∵将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，
∴x−0.5y=1．
∴根据题意可列方程组y−x=4.5x−0.5y=1．
故选：A．
根据“用绳子去量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：∵∠C=90°，∠B=40°，
∴∠BAC=90°−∠B=90°−40°=50°，
由作图知，AP平分∠BAC，
∴∠BAD=12∠BAC=12×50°=25°，
∵∠ADC=∠B+∠BAD，
∴∠ADC=40°+25°=65°，
故选：B．
由直角三角形两锐角互余可求出∠BAC=50°，由作图得∠BAD=25°，由三角形的外角的性质可得∠ADC=65°，故可得答案．
本题主要考查基本作图，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质，掌握尺规作图的方法是解题的关键．
11.【答案】D
【解析】解：设BF与CE相交于点H，如图所示：
∵△ABC中，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，
∴∠BCE=∠ACD=60°，
∵∠B=30°，
∴在△BHC中，∠BHC=180°−∠BCE−∠B=90°，
∴BF⊥CE，故D选项正确；
设∠ACH=x°，
∴∠ACB=60°−x°，
∵∠B=30°，
∴∠EDC=∠BAC=180°−30°−(60°−x°)=90°+x°，
∴∠EDC+∠ACD=90°+x°+60°=150°+x°，
∵x°不一定等于30°，
∴∠EDC+∠ACD不一定等于180°，
∴AC/​/DE不一定成立，故B选项不正确；
∵∠ACB=60°−x°，∠ACD=60°，x°不一定等于0°，
∴∠ACB=∠ACD不一定成立，故A选项不正确；
∵将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，
∴AB=ED=EF+FD，
∴BA>EF，故C选项不正确；
故选：D．
先根据旋转性质得∠BCE=∠ACD=60°，结合∠B=30°，即可得证BF⊥CE，再根据同旁内角互补证明两直线平行，来分析AC/​/DE不一定成立；根据图形性质以及角的运算或线段的运算得出A和C选项是错误的．
本题考查了旋转性质以及两个锐角互余的三角形是直角三角形，平行线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
12.【答案】C
【解析】解：①令h=0，则30t−5t2=0，
解得t1=0，t2=6，
∴小球从抛出到落地需要6s，
故①正确；
②h=30t−5t2=−5(t2−6t)=−5(t−3)2+45，
∵−5<0，
∴当t=3时，h有最大值，最大值为45，
∴小球运动中的高度可以是30m，
故②正确；
③t=2时，h=30×2−5×4=40(m)，
t=5时，h=30×5−5×25=25(m)，
∴小球运动2s时的高度大于运动5s时的高度，
故③错误．
故选：C．
令h=0，解方程求出t的值，即可判断①；求出h的最大值，即可判断②；分别求出t=2和t=5时h的值是，即可判断③．
本题考查了二次函数的应用．解此题的关键是把实际问题转化成数学问题，利用二次函数的性质就能求出结果．
13.【答案】310
【解析】解：∵不透明袋子中装有10个球，其中有3个绿球，
∴从袋子中随机取出1个球，它是绿球的概率=310．
故答案为：310．
直接根据概率公式解答即可．
本题考查的是概率公式，熟记概率公式是解题的关键．
14.【答案】x2
【解析】解：x8÷x6=x8−6=x2，
故答案为：x2．
运用同底数幂的除法法则进行求解．
此题考查了同底数幂除法的运算能力，关键是能准确运用对应法则进行正确的计算．
15.【答案】10
【解析】解：原式=( 11)2−12
=11−1
=10．
故答案为：10．
直接利用平方差公式计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算、平方差公式，正确运用平方差公式计算是解题关键．
16.【答案】1(答案不唯一)
【解析】解：因为正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象经过第三、第一象限，
所以k>0，
则k的值可以是：1(答案不唯一)．
故答案为：1(答案不唯一)．
根据正比例函数的图象经过第三、第一象限，结合正比例函数的图象和性质即可解决问题．
本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，熟知一次函数的图象和性质是解题的关键．
17.【答案】2 102
【解析】(Ⅰ)∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OC=OD=OB，∠DOC=90°，
∴在Rt△DOC中，OD2+OC2=DC2，
∵DC=3 2，
∴OA=OD=OC=OB=3，
∵OE=5，
∴AE=OE−OA=2；
故答案为：2．
(Ⅱ)延长DA到点G，使AG=AD，连接EG，过E作EH⊥AG于H，
∵F为DE中点，A为DG中点，
∴AF为△DGE中位线，AF=12EG，
在Rt△EAH中，∠EAH=∠DAC=45°，
∴AH=EH，
∵AH2+EH2=AE2，
∴AH=EH= 2，
∴GH=AG−AH=3 2− 2=2 2，
在Rt△EGH中，EG2=EH2+GH2=10，
∴EG= 10，
∴AF=12EG= 102．
故答案为： 102．
(Ⅰ)运用正方形性质对角线互相平分、相等且垂直，即可求解；
(Ⅱ)作辅助线，构造中位线即可．
本题主要考查正方形的性质、中位线定理，熟练运用中位线定理是解题的关键．
18.【答案】 2 如图，根据题意，切点为M；连接ME并延长，与网格线相交于点M1；取圆与网格线的交点D和格点H，连接DH并延长，与网格线相交于点M2；连接M1M2，分别与AB，AC相交于点N，P，则点M，N，P即为所求
【解析】解：(I)AG= 12+12= 2；
(II)如图，点M，N，P即为所求．
方法：如图，根据题意，切点为M；连接ME并延长，与网格线相交于点M1；取圆与网格线的交点D和格点H，连接DH并延长，与网格线相交于点M2；连接M1M2，分别与AB，AC相交于点N，P，则点M，N，P即为所求．
故答案为：如图，根据题意，切点为M；连接ME并延长，与网格线相交于点M1；取圆与网格线的交点D和格点H，连接DH并延长，与网格线相交于点M2；连接M1M2，分别与AB，AC相交于点N，P，则点M，N，P即为所求．
(Ⅰ)利用勾股定理可得结论；
(Ⅱ)作点M关于AB，AC的对称点M1，M2，连接M1M2，分别与AB，AC相交于点N，P，△PMN的周长=线段M1M2的长，等腰三角形AM1M2的腰长为AM，当AM的值最小时，M1M2的值最小，此时M是切点，由此作出图形即可．
本题考查作图−复杂作图，勾股定理，三角形的外接圆与外心，切线的判定和性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最值问题．
19.【答案】x≤1 x≥−3 −3≤x≤1
【解析】解：解不等式①得，
x≤1．
解不等式②得，
x≥−3．
将不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如图所示，
所以原不等式组的解集为：−3≤x≤1．
故答案为：x≤1，x≥−3，−3≤x≤1．
根据解一元一次不等式组的步骤，对所给不等式进行求解即可．
本题主要考查了解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集，熟知解一元一次不等式(组)的步骤是解题的关键．
20.【答案】50 34 8 8
【解析】解：(I)a=3+7+17+15+8=50(人)；
m%=1750=34%；
3+7+17=27(人)，中位数位于8h这组；
众数是8h；
故答案为：50，34，8，8．
(II)观察条形统计图，
∵6×3+7×7+17×8+15×9+8×1050=8.36(h)，
∴这组数据的平均数是8.36．
(III)∵在所抽取的样本中，每周参加科学教育的时间是9h的学生占30%，
∴根据样本数据，估计该校八年级学生500人中，每周参加科学教育的时间是9h的学生占30%，有500×30%=150(人)，
∴估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是9h的人数约为150人．
(I)a=3+7+17+15+8=50(人)；m%=1750=34%；根据中位数和众数的定义即可得出结果；
(II)根据条形统计图，可知平均数6×3+7×7+17×8+15×9+8×1050，计算即可；
(III)用样本估计总体，可知估计该校八年级学生500人中，每周参加科学教育的时间是9h的学生占30%，有500×30%，计算即可．
本题考查的是条形统计图，用样本估计总体，加权平均数，中位数，众数，正确掌握上述知识点是解题的关键．
21.【答案】解：(I)∵OA=OB，
∴∠A=∠ABO，
∵∠A+∠ABO+∠AOB=180°，∠ABO=30°，
∴∠AOB=180°−2∠ABO=120°，
∵直线MN与⊙O相切于点C，CE为⊙O的直径，
∴∠ECM=90°，
∵AB//MN，
∴∠CDB=∠ECM=90°，
∵∠BOE=90°−∠ABO=60°，
∵∠BCE=12∠BOE，
∴∠BCE=30°；
(II)如图，连接OC．

同(I)，得∠COB=90°，
∵CG⊥AB，
∴∠FGB=90°，
∵∠ABO=30°，
∴∠BFG=90°−∠ABO=60°，
∴∠CFO=∠BFG=60°，
在Rt△COF中，tan∠CFO=OCOF,OC=OA=3，
∴OF=OCtan∠CFO=3tan60∘= 3．
【解析】(I)根据等腰三角形 到现在得到∠A=∠ABO，求得∠AOB=180°−2∠ABO=120°，根据切线的性质得到∠ECM=90°，根据平行线的性质得到∠CDB=∠ECM=90°，根据圆周角定理得到结论；
(II)如图，连接OC，同(I)，得∠COB=90°，根据垂直的定义得到∠FGB=90°，求得∠BFG=90°−∠ABO=60°，根据三角函数的定义即可得到结论．
本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
22.【答案】解：(I)设CD=x，∵DE=36m，
∴CE=CD+DE=(x+36)m，
∵EC⊥AB，
∴∠BCE=∠ACD=90°，
∵tan∠CDB=BCCD,∠CDB=45°，
∴BC=CD⋅tan∠CDB=x⋅tan45°=x m，
∵tan∠CEB=BCCE,∠CEB=31°，
∴BC=CE⋅tan∠CEB=(x+36)⋅tan31°，
∴x=(x+36)⋅tan31°，
解得x=36×tan31°1−tan31∘≈36×0.61−0.6=54．
答：线段CD的长约为54m；
(II)∵tan∠CDA=ACCD,∠CDA=6°，
∴AC=CD⋅tan∠CDA≈54×tan6°≈54×0.1=5.4(m)．
∴AB=AC+BC≈5.4+54≈59(m)．
答：桥塔AB的高度约为59m．
【解析】(I)设CD=x，由DE=36m，得到CE=CD+DE=(x+36)m，根据垂直的定义得到∠BCE=∠ACD=90°，解直角三角形即可得到结论；
(II)根据三角函数的定义得到AC=CD⋅tan∠CDA≈54×tan6°≈54×0.1=5.4(m).于是得到AB=AC+BC≈5.4+54≈59(m)．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键．
23.【答案】0.15 0.6 1.5 0.075
【解析】解：(I)①由图象可填表：
故答案为：0.15，0.6，1.5；
②由图象可知，张华从文化广场返回家的速度为1.551−31=0.075(km/min)，
故答案为：0.075；
③张华从家到画社的速度为：0.64=0.15(km/min)，
张华从画社到分化广场的速度为1.5−0.625−19=0.15(km/min)，
当0≤x≤4时，y=0.15x；
当4当19∴当0≤x≤25时，y与x的函数解析式为y=0.15x(0≤x≤4)1.6(4(II)爸爸的速度为：1.520=0.075(km/min)，
∴设张华出发x分钟时和爸爸相遇，
根据题意得：0.15(x−19)+0.6=0.075(x−8)，
解得x=22，
∴0.15(22−19)+0.6=1.05(km)，
答：从画社到文化广场的途中两人相遇时离家的距离为1.05km．
(Ⅰ)①由图象中数据直接得出结论；
②用文化广场离家的路程除以张华所用时间得出速度；
③用路程、速度、时间之间的关系，分段写出函数解析式即可；
(Ⅱ)设张华出发x分钟时和爸爸相遇，根据张华所走路程=爸爸所走路程列出方程，解方程求出x，再求出路程即可．
本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间、路程之间的关系是解题的关键．
24.【答案】(1, 3) (4, 3)
【解析】解：(I)过点C作CH⊥OA，
∵四边形OABC是平行四边形，OC=2，∠AOC=60°，A(3,0)，
∴OC=AB=2，CB=OA=3，∠B=∠AOC=60°，
∵CH⊥OA，
∴∠OCH=30°，
∴OH=12OC=1，
∴CH= OC2−CH2= 3，
∴C(1, 3)，
∵CB=OA=3，
∴B(4, 3)，
故答案为：(1, 3)，(4, 3)；
(II)①∵过点P作直线l⊥x轴，沿直线l折叠该纸片，折叠后点O的对应点O′落在x轴的正半轴上，
∴∠OO′C″=∠AOC=60°，O′P=OP，
∴OO′=2OP=2t，
∵A(3,0)，
∴OA=3，
∴AO′=OO′−OA=2t−3，
∵四边形OABC为平行四边形，
∴AB=OC=2，AB/​/OC，∠O′AB=∠AOC=60°，
∴△EO′A是等边三角形，
∴AE=AO′=2t−3，
∵BE=AB−AE，
∴BE=AB−AE=2−(2t−3)=5−2t，
∴BE=−2t+5；
当O′与点A重合时，
此时AB与C′O′的交点为E与A重合，OP=12OA=32，
如图：当C′与点B重合时，
此时AB与C′O′的交点为E与B重合，OP=CB+12=52，
∴t的取值范围为32②如图：过点C作CH⊥OA，
由(1)得出C(1, 3)，∠COA=60°，
∴tan60°=MPOP，
3=MPt，
∴MP= 3t，
当23≤t<1时，S=12O′P×MP=12OP×MP=12t× 3t= 32t2，
∴ 32>0，开口向上，对称轴直线t=0，
∴在23≤t<1时，S= 32t2随着t的增大而增大，
∴2 39≤S< 32；
当1≤t≤32时，如图：
S=12(O′P+MC′)×MP=12(OP+CM)×MP=12(t+t−1)× 3= 32(2t−1)= 3t− 32，
∴ 3>0，S随着t的增大而增大，
∴在t=32时，S= 3×32− 32=3 32− 32= 3，
在t=1时，S= 3×1− 32= 32，
∴当1≤t≤32时， 32≤S≤ 3；
∵当32∵由①得出△EO′A是等边三角形，EN⊥AO，
∴AN=12AO′=12(2t−3)=t−32，
∴tan∠EAO′= 3, 3=ENAN，
∴EN= 3(t−32)，
∴S= 3t− 32−12×AO′×EN
= 3t− 32−12[(2t−3)× 3(t−32)]
=− 3t2+4 3t−11 34，
∵− 3<0，
∴开口向下，在t=−4 32×(− 3)=2时，S有最大值，
∴S=− 3×4+4 3×2−11 34=5 34，
∴在32∴S=− 3×(32)2+4 3×32−11 34= 3，
则在32当52≤t≤114时，如图，
S= 3t− 32−12×(AO′+BC′)×MP= 3t− 32−12×(2t−3+2t−5)× 3=− 3t+7 32，
∴− 3<0，S随着t的增大而减小，
∴在52≤t≤114时，则把t=52，t=114分别代入S=− 3t+7 32，得出S=− 3×52+7 32= 3，S=− 3×114+7 32=3 34，
∴在52≤t≤114时，3 34≤S≤ 3，
综上：2 39≤S≤5 34．
(I)过点C作CH⊥OA，根据特殊角进行计算即可；
(II)①分当O′与点A重合时和当C′与点B重合时，两种情况进行讨论；
②根据不同情况分类讨论即可．
本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形的性质，折叠性质，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
25.【答案】解：(I)∵2a+b=0，a=1，
∴b=−2a=−2，
又∵c=−1，
∴该抛物线的解析式为y=x2−2x−1，
∵y=x2−2x−1=(x−1)2−2，
∴该抛物线顶点P的坐标为(1,−2)．
(II)如图，过点M(m,1)作MH⊥x轴，垂足为H，m>1，

则∠MHO=90°，HM=1，OH=m，
在Rt△MOH中，由HM2+OH2=OM2,OM= 132，
∴1+m2=( 132)2，
解得m1=32,m2=−32(舍)，
∴点M的坐标为(32,1)，
∵2a+b=0，即−b2a=1，
∴抛物线y=ax2−2ax+c的对称轴为x=1．
∵对称轴与x轴相交于点D，
∴OD=1，∠ODP=90°．
在Rt△OPD中，由OD2+PD2=OP2,OP= 132，
∴1+PD2=( 132)2，
解得PD=32(负值舍去)，
由a>0，得该抛物线顶点P的坐标为(1,−32)，
∴该抛物线的解析式为y=a(x−1)2−32，
∵点M(32,1)在该抛物线上，
∴1=a(32−1)2−32，
∴a=10．
(III)过点M(m,1)作MH⊥x轴，垂足为H，m>1，
则∠MHO=90°，HM=1，OH=m，
∴DH=OH−OD=m−1，
在Rt△DMH中，DM2=DH2+HM2=(m−1)2+1，
如图，过点N作NK⊥x轴，垂足为K，则∠DKN=90°，

∵∠MDN=90°，DM=DN，
又∵∠DNK=90°−∠NDK=∠MDH，
在Rt△NDK和△DMH中，
∠MHD=∠DKN=90°∠MDH=∠DNKDM=DN，
∴△NDK≌△DMH(AAS)，
∴点N的坐标为(2,1−m)，
在Rt△DMN中，∠DMN=∠DNM=45°，
∴MN2=DM2+DN2=2DM2，即MN= 2DM．
∵NE+NF= 2DM，
∴ME=NF，
在△DMN的外部，作∠DNG=45°，且NG=DM，连接GF，
得∠MNG=∠DNM+∠DNG=90°，
∴△GNF≌△DME(SAS)，
∴GF=DE，
∴DE+MF=GF+MF≥GM，
当满足条件的点F落在线段GM上时，DE+MF取得最小值，即GM= 15，
在Rt△GMN中，GM2=NG2+MN2=3DM2，
∴( 15)2=3DM2，
∴DM2=5，
∴(m−1)2+1=5，
解得m1=3，m2=−1(舍)，
∴点M的坐标为(3,1)，点N的坐标为(2,−2)，
∵点M(3,1)，N(2,−2)都在抛物线y=ax2−2ax+c上，
∴1=9a−6a+c，−2=4a−4a+c，
∴a=1．
【解析】(1)先求得a、b的值，再配成顶点式，即可求解；
(2)过点M(m,1)作MH⊥x轴，在Rt△MOH中，利用勾股定理求得m=32，在Rt△OPD中，勾股定理求得PD=32，得该抛物线顶点P的坐标为(1,−32)，再利用待定系数法求解即可；
(3)过点M(m,1)作MH⊥x轴，过点N作NK⊥x轴，证明△NDK≌△DMH，求得点N的坐标为(2,1−m)，在Rt△DMN中，利用勾股定理结合题意求得ME=NF，在△DMN的外部，作∠DNG=45°，且NG=DM，证明△GNF≌△DME，得到GF=DE，当满足条件的点F落在线段GM上时，DE+MF取得最小值，求得点M的坐标为(3,1)，再利用待定系数法求解即可．
本题考查二次函数的综合应用，主要考查待定系数法求解析式，全等三角形的性质与判定，勾股定理，二次函数的性质，掌握待定系数法求解析式，勾股定理是解题的关键．张华离开家的时间/min
1
4
13
30
张华离家的距离/km
______
0.6
______
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