2023-2024学年安徽省马鞍山二中高一（下）月考数学试卷（6月份）（含答案）

这是一份2023-2024学年安徽省马鞍山二中高一（下）月考数学试卷（6月份）（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知i为虚数单位，复数z满足iz=3−i，则|z|=( )
A. 10B. 10C. 3D. 3
2.下列说法正确的是( )
A. 若|a|=|b|，则a=±bB. 零向量的长度是0
C. 长度相等的向量叫相等向量D. 共线向量是在同一条直线上的向量
3.某高中为了解三个年级学生的课业负担情况，拟从这三个年级中抽取部分学生进行调查.则最合理的抽样方法是( )
A. 抽签法B. 简单随机抽样C. 分层随机抽样D. 随机数法
4.在△ABC中，若BC= 2，AC=2，B=45°，则角A等于( )
A. 60°B. 30°C. 60°或120°D. 30°或150°
5.如图，在△ABC中，D为靠近点A的三等分点，E为BC的中点，设AB=a,AC=b，以向量a,b为基底，则向量DE=( )
A. 12a+16b
B. 16a+12b
C. 13a+23b
D. 13a+16b
6.如图，矩形ABCD中，AB= 3，正方形ADEF的边长为1，且平面ABCD⊥平面ADEF，则异面直线BD与FC所成角的余弦值为( )
A. − 77B. 77C. 55D. − 55
7.马鞍山长江不夜城业已成为周边游打卡新地标，长三角文旅新风尚.其“不倒翁小姐姐”更因独特的舞姿而深受游客喜爱.“不倒翁小姐姐”不倒的原因在于其脚下的半球形工具.如图，半球内有一内接正四棱锥S−ABCD，这个内接正四棱锥的高与半球的半径相等且体积为163，那么这个半球的表面积为( )
A. 8πB. 12πC. 16π3D. 16π
8.已知边长为2的菱形ABCD中，点F为BD上一动点，点E满足BE=3EC，AE⋅BD=−12，则AF⋅BE的最大值为( )
A. 0B. 23C. 43D. 3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列结论中正确的是( )
A. 若m/​/α，n/​/α，则m/​/n
B. 若m⊥α，n⊥α，则m/​/n
C. 若m/​/α，m⊂β，则α/​/β
D. 若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
10.蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物.巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成.巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜.如图是一个蜂巢的正六边形开口ABCDEF，则下列说法正确的足( )
A. FB−FD=ABB. AD⋅AF=|AF|2
C. AD在AB上的投影向量为ABD. AC+AE=32AD
11.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别为棱A1D1、AA1的中点，G为线段B1C上一个动点，则( )
A. 三棱锥A1−EFG的体积为定值
B. 存在点G，使平面EFG/​/平面BDC1
C. 当点G与B1重合时，二面角G−EF−A1的正切值为2 2
D. 当点G为B1C中点时，平面EFG截正方体所得截面的面积为3 34
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.按分层随机抽样的方法抽取50个样本．第一层22个，样本平均数为16，第2层28个，样本平均数为18，由此可估计总体平均数为______．
13.敬亭山，位于安徽省宣城市北郊，是中国历史文化名山，原名昭亭山，晋初为避帝讳，易名敬亭山.李白在《独坐敬亭山》中写道：众鸟高飞尽，孤云独去闲.相看两不厌，只有敬亭山.相传该诗题写于太白独坐楼(如图(1)).为了测量该楼的高度AB(如图(2))，一研究小组选取了与该楼底部B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得∠BCD=30°，∠CDB=45°，BD=13m，在C点处测得该楼顶端A的仰角为60°则该楼的高度AB为______m.
14.如图，在棱长为3的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M在线段BC上，且CM=13BC,N是侧面CDD1C1上一点，且MN/​/平面A1BD，则线段MN的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a=(1,1)．
(1)若|b|=1，且b/​/a，求b的坐标；
(2)若|c|=2，且2a+c与2c−a垂直，求a与c的夹角θ的余弦值．
16.(本小题15分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知csC+ 33sinC=ba，且a=6．
(1)求A；
(2)已知角A的平分线交BC于点M，若AM= 2，求△ABC的周长．
17.(本小题15分)
如图，已知等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=AD=12BC，E是BC的中点，AE∩BD=M，将△BAE沿着AE翻折成△B1AE，使平面B1AE⊥平面AECD．

(1)求证：AE⊥平面B1DM；
(2)求B1E与平面AECD所成的角．
18.(本小题17分)
如图，在三棱锥中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，H为PC的中点，M为AH的中点，PA=AC=2，BC=1．
(Ⅰ)求证：AH⊥BC；
(Ⅱ)求点C到平面ABH的距离；
(Ⅲ)在线段PB上是否存在点N，使MN/​/平面ABC？若存在，求出|PN||PB|的值，若不存在，请说明理由．
19.(本小题17分)
已知a1，a2是平面内任意两个非零不共线向量，过平面内任一点O作OA1=a1，OA2=a2，以O为原点，分别以射线OA1、OA2为x、y轴的正半轴，建立平面坐标系，如图(1).我们把这个由基底a1，a2确定的坐标系xOy称为基底{a1,a2}坐标系xOy.当向量a1，a2不垂直时，坐标系xOy就是平面斜坐标系，简记为{O；a1,a2}.对平面内任一点P，连结OP，由平面向量基本定理可知，存在唯一实数对(x,y)，使得OP=xa1+ya2，则称实数对(x,y)为点P在斜坐标系{O；a1,a2}中的坐标．

今有斜坐标系{O；e1,e2}(长度单位为米，如图(2))，且|e1|=|e2|=1，〈e1,e2〉=120°，设Op=(1,2)
(1)计算|OP|的大小；
(2)质点甲在x上距O点4米的点A处，质点乙在y上距O点1米的点B处，现在甲沿x的方向，乙沿y的方向同时以3米/小时的速度移动．
①若过2小时后质点甲到达C点，质点乙到达D点，请用e1，e2，表示CD；
②若t时刻，质点甲到达M点，质点乙到达N点，求两质点何时相距最短，并求出最短距离．
参考答案
1.A
2.B
3.C
4.B
5.B
6.C
7.B
8.D
9.BD
10.BCD
11.AC

13.13 6
14. 14
15.解：(1)因为b/​/a，a=(1,1)，所以设b=ta=(t,t)，
又因为|b|=1，所以 t2+t2=1，解得t=± 22，
所以b=( 22, 22)或b=(− 22,− 22)；
(2)因为a=(1,1)，所以|a|= 12+12= 2，
又因为|c|=2，且2a+c与2c−a垂直，
所以(2a+c)⋅(2c−a)=0，即−2a2+3a⋅c+2c2=0，
即−2×( 2)2+3a⋅c+2×22=0，解得a⋅c=−43，
所以csθ=a⋅c|a|⋅|c|=−43 2×2=− 23．
16.解：(1)因为csC+ 33sinC=ba，由正弦定理得csC+ 33sinC=sinBsinA，
所以sinAcsC+ 33sinAsinC=sinB，
又因为sinB=sin(A+C)=sinAcsC+csAsinC，
所以sinAcsC+ 33sinAsinC=sinAcsC+csAsinC，
可得 33sinAsinC=csAsinC，
因为C∈(0,π)，可得sinC>0，
所以 33sinA=csA，所以tanA= 3，
又因为A∈(0,π)，所以A=π3；
(2)因为a=6，角A的内角平分线交BC于点M，且AM= 2，
S△ABC=12bcsinA= 34bc，
又因为S△ABC=S△ABM+S△ACM=12×c× 2×12+12×b× 2×12= 24(b+c)，
所以 34bc= 24(b+c)，可得bc= 2 3(b+c)，
由余弦定理得：
csA=b2+c2−a22bc=(b+c)2−2bc−362bc=(b+c)2−2× 2 3(b+c)−362× 2 3(b+c)=12，
整理得(b+c)2− 6(b+c)−36=0，解得b+c=3 6或b+c=−2 6(舍去)，
所以a+b+c=6+3 6，即△ABC的周长为6+3 6．
17.解：(1)证明：如图，在等腰梯形ABCD中，连接DE，因为E是BC的中点，
所以AB=AD=BE=12BC，又因为AD/​/BE且AD=BE，
故四边形ABED是菱形，从而AE⊥BD，
所以△BAE沿着AE翻折成△B1AE后，使得平面B1AE⊥平面AECD，
所以AE⊥B1M，AE⊥DM，又B1M∩DM=M，B1M，DM⊂平面B1DM，
所以AE⊥平面B1DM，

(2)由(1)及线面垂直性质得AE⊥B1M，平面B1AE⊥平面AECD，平面B1AE∩平面AECD=AE，
B1M⊂平面B1AE，所以B1M⊥平面AECD，
所以B1E与平面AECD所成的角为∠B1EM，
由已知条件，可知AB=AE=CD，AB=AD=BE=12BC，
所以△B1AE是正三角形，所以∠B1EM=60°，
所以B1E与平面AECD所成的角为60°．
18.解：(Ⅰ)由PA⊥底面ABC，BC⊂平面ABC，可得PA⊥BC，
由AC⊥BC，AC∩PA=A，
可得BC⊥平面PAC，
又AH⊂平面PAC，可得AH⊥BC；
(Ⅱ)设点C到平面ABH的距离为d，
由H为PC的中点，可得H到平面ABC的距离为12PA=1，
则VC−HAB=VH−CAB=13×1×12×2×1=13，
又AB= 22+12= 5，BH= BC2+CH2= 12+(2 22)2= 3，AH=12PC= 2，
AB2=AH2+BH2，可得AH⊥BH，则△ABH的面积为12× 2× 3= 62，
所以VC−HAB=13d⋅ 62=13，解得d= 63；
(Ⅲ)在线段PB上当点N满足|PN||PB|=3时，使MN/​/平面ABC．
证明：取CH的中点K，连接MK，NK．
由MK为△HAC的中位线，可得MK//AC，
又MK⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，可得MK//平面ABC；
由PKKC=3，PNNB=3，可得PKKC=PNNB，则NK//BC，
又NK⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，可得NK//平面ABC．
又MK∩NK=K，所以平面MNK//平面ABC，
又MN⊂平面MNK，可得MN/​/平面ABC．
19.解：(1)由题意，|e1|=|e2|=1，=120°，OP=e1+2e2，
∴|OP|= (e1+2e2)2
= e12+4e22+4e1⋅e2
= 1+4+4×1×1×(−12)= 3，
(2)①如图所示，OA=(4,0)，OB=(0,1)，
由题意，甲沿x的方向，乙沿y的方向同时以3米/小时的速度移动，
则2小时后，OC=(−2,0)，OD=(0,7)，
∴CD=OD−OC=7e2−(−2e1)=2e1+7e2．
②由①知，两质点运动t小时后，OM=(4−3t)e1，ON=(1+3t)e2，
则MN=ON−OM=(1+3t)e2−(4−3t)e1，
∴|MN|= (1+3t)2+(4−3t)2−2(1+3t)(4−3t)×(−12)
= 9t2−9t+21= 9(t−12)2+754，
当t=12时，|MN|min=5 32，
即两质点同时移动12小时后，相距最短，最短距离为5 32米．