2023-2024学年河南省郑州七十三中八年级（下）月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省郑州七十三中八年级（下）月考数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列说法错误的是( )
A. 若a+3>b+3，则a>bB. 若a1+c2>b1+c2，则a>b
C. 若a>b，则ac>bcD. 若a>b，则a+3>b+2
2.在等腰三角形中的定理“三线合一”中，不属于“三线”的是( )
A. 底边上的高B. 腰上的中线C. 底边上的中线D. 顶角的角平分线
3.用反证法证明“若a>b>0，则a2>b2”时，应假设( )
A. a2≤b2B. a2≥b2C. a2>b2D. a24.如图，用尺规作已知角平分线，其根据是构造两个三角形全等，它所用到的判别方法是( )
A. SAS
B. ASA
C. AAS
D. SSS
5.如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠EBC的度数是( )
A. 15°B. 20°C. 65°D. 100°
6.已知关于不等式2<(1−a)x的解集为x<21−a，则a的取值范围是( )
A. a>1B. a>0C. a<0D. a<1
7.下列命题的逆命题是真命题的个数是( )
①有两边相等的三角形是等腰三角形；
②到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上；
③直角三角形的两个锐角互余；
④全等三角形的面积相等．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
8.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E.若△ABC的周长为22，BE=4，则△ABD的周长为( )
A. 14
B. 18
C. 20
D. 26
9.如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AB=2 3，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AB，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，两弧相交于点P，作射线BP交AC于点D，若CD=1，则△ABD的面积为( )
A. 2B. 3C. 2 3D. 3
10.如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，在直线BC或射线AC取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有( )
A. 4个
B. 5个
C. 6个
D. 7个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.请写出一个一元一次不等式______．
12.如图，AB⊥EF于点B，CD⊥EF于点D，BE=DF.若要用“HL”判定Rt△ABF≌Rt△CDE，则需要添加的条件为______．
13.若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形底角的度数为______°.
14.若不等式组a−x≤02x−115.如图，△ABC中，AB=AC=10，∠A=45°，BD是△ABC的边AC上的高，点P是BD上动点，则 22BP+CP的最小值是______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
解下列不等式或不等式组
(1)2x−23<4；
(2)3x−517.(本小题8分)
先填空，后作图：

(1)到一个角的两边距离相等的点在它的__________________上；
(2)到线段两端点距离相等的点在它的__________________上；
(3)如图，两条公路AB与CB，C、D是两个村庄，现在要建一个菜市场，使它到两个村庄的距离相等，而且还要使它到两条公路的距离也相等，用尺规作图画出菜市场的位置(不写作法，保留作图痕迹)．
18.(本小题8分)
阅读下面的解题过程，再解题．
已知a>b，试比较−2024a+1与−2024b+1的大小．
解：因为a>b①，
所以−2024a>−2024b②，
所以−2024a+1>−2024b+1③．
问：
(1)上述解题过程中，从第______步开始出现错误；
(2)错误的原因______．
(3)请写出正确的解题过程．
19.(本小题9分)
如图，△ABC中，∠BAC=80°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC．
(1)求∠PAQ的度数．
(2)若△APQ周长为12，BC长为8，求PQ的长．
20.(本小题10分)
问题情境：在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图①，△ABC中，BE平分∠ABC，DE垂直平分AC.试判断∠BAE与∠BCE的数量关系．
探究展示：智慧小组发现，∠BAE与∠BCE互为补角，并展示了如下的证明方法：
证明：如图②，作EF⊥AB交BA的延长线于点F，EG⊥BC于点G，
∵BE平分∠ABC，∴EF=EG，(依据1)
∵DE垂直平分AC，∴EA=EC，(依据2)
……
反思交流：
(1)上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？
(2)请按照上面的证明思路，完整写出该题证明过程．
21.(本小题10分)
4月23日是“世界读书日”，甲、乙两个书店在这一天举行了购书优惠活动．
甲书店：所有书籍按标价8折出售；
乙书店：一次购书中标价总额不超过100元的按原价计费，超过100元后的部分打6折．
以x(x>100单位：元)表示标价总额，y甲(单位：元)表示在甲书店应支付金额，y乙(单位：元)表示在乙书店应支付金额．
①就两家书店的优惠方式，分别求y甲，y乙关于x的函数表达式；
②“少年正是读书时”，“世界读书日”这一天，八年级学生奇思计划去甲、乙两个书店购书，如何选择这两家书店购书更省钱？
22.(本小题11分)
我们曾探究过“函数y=2x−5的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系．
发现：一元一次不等式2x−5>0的解集是y=2x−5图象在x轴上方的点的横坐标的集合．
结论：一元一次不等式：kx+b>0(或kx+b<0)的解集，是函数y=kx+b图象在x轴上方(或x轴下方)部分的点的横坐标的集合．
【解决问题】：
(1)如图1，观察图象，一次函数y=kx+b(k<0)的图象经过点P(3,2)，则不等式kx+b<2的解集是______．
(2)如图2，观察图象，两条直线的交点坐标为______，不等式2x−1>x+1的解是______．
【拓展延伸】：
(3)如图3，一次函数y1=−x+1和y2=12x−2的图象相交于点A，分别与x轴相交于点B和点C．
①结合图象，直接写出关于x的不等式组12x−2>−x+112x−2<0的解集是______．
②若x轴上有一动点P(a,0)，是否存在点P，使得△ABP为直角三角形，若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
23.(本小题11分)
如图，已知△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边在PC右侧作等腰直角△PCQ，其中∠PCQ=90°，探究并解决下列问题：
(1)如图1，若点P在线段AB上时，猜想PA2，PB2，PQ2三者之间的数量关系______；
(2)如图2，若点P在AB的延长线上，在(1)中所猜想的PA2，PB2，PQ2三者之间的数量关系仍然成立，请利用图2进行证明；
(3)若动点P满足PAPB=23，求PCAC的值(请利用图3进行探求)．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
根据不等式的性质进行判断．
本题考查了不等式的性质．要认真弄清不等式的基本性质与等式的基本性质的异同，特别是在不等式两边同时乘以(或除以)同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．
【解答】
解：A、若a+3>b+3，则a>b，结论正确，故此选项不符合题意；
B、若a1+c2>b1+c2，则a>b，结论正确，故此选项不符合题意；
C、若a>b，则ac>bc，这里必须满足c>0，结论错误，故此选项符合题意；
D、若a>b，则a+3>b+2，结论正确，故此选项不符合题意；
故选：C．
2.【答案】B
【解析】解：等腰三角形的“三线合一”是指顶角平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合，
故选项B不符合条件，
故选：B．
根据等腰三角形的“三线合一”是指顶角平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合，据此进行分析即可得出结果．
本题主要考查的是等腰三角形的性质，关键是等腰三角形性质的熟练应用．
3.【答案】A
【解析】解：用反证法证明“若a>b>0，则a2>b2”的第一步是假设a2≤b2，
故选：A．
根据反证法的一般步骤：先假设结论不成立进行解答．
本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：(1)假设结论不成立；(2)从假设出发推出矛盾；(3)假设不成立，则结论成立．
4.【答案】D
【解析】解：由画法得OC=OD，PC=PD，
而OP=OP，
所以△OCP≌△ODP(SSS)，
所以∠COP=∠DOP，
即OP平分∠AOB．
故选D．
由画法得OC=OD，PC=PD，加上公共边OOP，则可根据“SSS”可判定△OCP≌△ODP，然后根据全等三角形的性质可判定OP为∠AOB的平分线．
本题考查了基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线．
5.【答案】A
【解析】【分析】
此题主要考查线段的垂直平分线及等腰三角形的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
先根据△ABC中，AB=AC，∠A=50°求出∠ABC的度数，再根据线段垂直平分线的性质可求出AE=BE，即∠A=∠ABE=50°即可解答．
【解析】
解：∵等腰△ABC中，AB=AC，∠A=50°，
∴∠ABC=180°−50°2=65°，
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AE=BE，∠A=∠ABE=50°，
∴∠CBE=∠ABC−∠ABE=65°−50°=15°．
故选：A．
6.【答案】A
【解析】解：由题意可得1−a<0，
移项得−a<−1，
化系数为1得a>1．
故选A．
因为不等式的两边同时除以1−a，不等号的方向发生了改变，所以1−a<0，再根据不等式的基本性质便可求出不等式的解集．
本题考查了同学们解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．
7.【答案】C
【解析】解：①有两边相等的三角形是等腰三角形的逆命题为：等腰三角形是两边相等的三角形，此命题是真命题；
②到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上的逆命题为：角平分线上的点到角的两边的距离相等，此命题为真命题；
③直角三角形的两个锐角互余的逆命题为有两个角互余的三角形为直角三角形，此命题为真命题；
④全等三角形的面积相等的逆命题为面积相等的三角形全等，此命题为假命题．
故命题的逆命题中真命题的个数是3个．
故选：C．
分别写出个命题的逆命题，然后再判定真假即可解答．
本题主要考查了等腰三角形的定义、角平分线定义、全等三角形以及逆命题、假命题等知识点，关键是相关知识点的熟练掌握．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
根据线段的垂直平分线的性质得到DB=DC，BC=2BE=8，根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】
解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴DB=DC，BC=2BE=8，
∵△ABC的周长为22，
∴AB+BC+AC=22，
∴AB+AC=14，
∴△ABD的周长=AD+BD+AB=AD+CD+AB=AB+AC=14，
故选：A．
9.【答案】D
【解析】解：如图，过点D作DH⊥AB于H．
∵DC⊥BC，DH⊥AB，BD平分∠ABC，
∴DH=CD=1，
∴S△ABD=12⋅AB⋅DH=12×2 3×1= 3，
故选：D．
如图，过点D作DH⊥AB于H.利用角平分线的性质定理求出DH即可解决问题．
本题考查作图−基本作图，角平分线的性质定理，三角形的面积等知识．
10.【答案】B
【解析】解：分三种情况：
①构造AB中垂线，P1、P2即为所求，如图所示：
②以B为圆心，BA长为半径作圆，P3、P4即为所求，如图所示：
③以A为圆心，AB长为半径作圆，P5即为所求，如图所示：
综上所述，在直线BC或射线AC取一点P，使得△PAB是等腰三角形，符合条件的点P有P1、P2、P3、P4、P5共5个，
故选：B．
根据等腰三角形性质，结合构造等腰三角形的方法，分三种情况：①构造AB中垂线；②以B为圆心，BA长为半径作圆；③以A为圆心，AB长为半径作圆；他们与直线BC或射线AC的交点即是点P，从而得到结论．
本题考查等腰三角形的判定和三角形内角和定理，关键是等腰三角形判定的应用．
11.【答案】x−1>0(答案不唯一)
【解析】解：一元一次不等式有：x−1>0．
故答案为：x−1>0(答案不唯一)．
根据一元一次不等式的定义，只要含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式就可以．
本题考查不等式的定义；写出的不等式只需符合条件，越简单越好．
12.【答案】AF=CE
【解析】解：添加的条件为AF=CE，
∵BE=DF，
∴DE=BF，
∵AB⊥EF于点B，CD⊥EF于点D，
∴∠ABF=∠CDE=90°，
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
AF=CEDE=BF，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)．
故答案为：AF=EC．
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，由此即可得到答案．
本题考查直角三角形的判定，关键是掌握直角三角形的判定方法：“HL”．
13.【答案】15或75
【解析】解：(1)当等腰三角形是锐角三角形时，腰上的高在三角形内部，如图，
BD为等腰三角形ABC腰AC上的高，并且BD=12AB，
根据直角三角形中30°角的对边等于斜边的一半的逆用，可知顶角为30°，此时底角为75°；
(2)当等腰三角形是钝角三角形时，腰上的高在三角形外部，如图，
BD为等腰三角形ABC腰AC上的高，并且BD=12AB，
根据直角三角形中30°角的对边等于斜边的一半的逆用，可知顶角的邻补角为30°，此时顶角是150°，底角为15°．
故其底角为15°或75°．
因为三角形的高有三种情况，而直角三角形不合题意，故舍去，所以应该分两种情况进行分析，从而得到答案．
此题主要考查等腰三角形的性质；正确的分类讨论是解答本题的关键．
14.【答案】0【解析】解：a−x≤0①2x−1解不等式①得：x≥a，
解不等式②得：x<3，
∴不等式组的解集为a≤x<3，
∵不等式组a−x≤02x−1∴0故答案为：0先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出关于a的不等式组即可．
本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，解此题的关键是能根据不等式组的整数解和已知得出关于a的不等式组．
15.【答案】5 2
【解析】解：∵∠A=45°，BD⊥AC，
∴∠ABD=45°．
过点P作PE⊥AB于点E，由勾股定理得PE= 22BP．
∴ 22BP+PC=PE+PC．
当C、P、E三点共线，且CE⊥AB时，
22BP+PC=PE+PC的值最小为CE．
∵△ABC中，AB=AC=10，BD⊥AC，CE⊥AB，
由等腰三角形腰上的高相等，
∴BD=CE，
在Rt△ABD中，BD=AB 2=10 2=5 2=CE．
故 22BP+PC=PE+PC=CE=5 2．
故答案为：5 2．
过点P作PE⊥AB于点E，由勾股定理得PE= 22BP.继而证明当C、P、E三点共线且CE⊥AB时， 22BP+PC=PE+PC的值最小为CE.由等腰三角形腰上的高相等，解出BD的长，即为CE的长．
本题考查垂线段最短，涉及等腰三角形的性质、勾股定理，掌握等腰三角形的性质是关键．
16.【答案】解：(1)2x−23<4，
去分母得：2x−2<12，
移项合并同类项得：2x<14，
系数化为1得：x<7；
(2)3x−5解不等式①得：x<3，
解不等式②得：x≥−2，
∴不等式组的解集为：−2≤x<3．
【解析】(1)先去分母，然后再移项合并同类项，最后系数化为1即可；
(2)先求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
17.【答案】(1)角平分线；
(2)垂直平分线；
(3)如图所示：
，
则点P为所求图形．
【解析】此题主要考查了作图与应用作图，以及线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线和角平分线的作法．
(1)根据角平分线的性质填空即可；
(2)根据线段垂直平分线定理填空即可；
(3)作出∠ABC的角平分线BE，与线段CD的垂直平分线有一交点，该交点就是菜市场的位置．
18.【答案】② 不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变
【解析】解：(1)上述解题过程中，从第②步开始出现错误，
故答案为：②；
(2)错误地运用了不等式的基本性质3，即不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变；
故答案为：不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变；
(3)∵a>b，
∴−2024a<−2024b，
∴−2024a+1<−2024b+1；
(1)由不等式的性质可得第②步开始出现错误；
(2)由不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向要改变可得错误原因；
(3)正确的运用不等式的性质解题即可得到答案．
本题考查的是不等式的基本性质的应用，熟记不等式的基本性质是解本题的关键．
19.【答案】解：(1)设∠PAQ=x，∠CAP=y，∠BAQ=z，
∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC，
∴AP=PB，AQ=CQ，
∴∠B=∠BAP=x+z，∠C=∠CAQ=x+y，
∵∠BAC=80°，
∴∠B+∠C=100°，
即x+y+z=80°，x+z+x+y=100°，
∴x=20°，
∴∠PAQ=20°；
(2)∵△APQ的周长为12，
∴AQ+PQ+AP=12，
∵AQ=CQ，AP=PB，
∴CQ+PQ+PB=12，
即CQ+BQ+2PQ=12，
BC+2PQ=12，
∵BC=8，
∴PQ=2．
【解析】(1)设∠PAQ=x，∠CAP=y，∠BAQ=z，根据线段垂直平分线的性质得：AP=PB，AQ=CQ，由等腰三角形的性质得：∠B=∠BAP=x+z，∠C=∠CAQ=x+y，再由三角形内角和定理相加可得结论；
(2)根据△APQ周长为12，列等式为AQ+PQ+AP=12，由等量代换得BC+2PQ=12，可得PQ的长．
本题主要考查线段垂直平分线的性质，三角形的周长和内角和定理等知识，关键在于根据题意推出AP=PB，AQ=CQ，正确的进行等量代换．
20.【答案】解：(1)依据1：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；
依据2：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；
(2)证明：如图②，作EF⊥AB交BA的延长线于点F，EG⊥BC于点G，
∵BE平分∠ABC，
∴EF=EG(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)，
∵DE垂直平分AC，
∴EA=EC(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等)，
∵EF⊥AB，EG⊥BC，
∴∠F=∠EGC=90°，
在Rt△AEF与Rt△CEG中
AE=CEEF=EG，
∴Rt△AEF≌Rt△CEG(HL)，
∴∠FAE=∠GCE，
又∵∠BAE+∠FAE=180°，
∴∠BAE+∠GCE=180°，
∴∠BAE与∠BCE互为补角．
【解析】作EF⊥AB交BA的延长线于点F，EG⊥BC于点G，角平分线性质、线段垂直平分线性质得到EF=EG、EA=EC后，根据HL证明Rt△AEF≌Rt△CEG即可解答．
本题考查角平分线性质、线段垂直平分线性质、直角三角形全等的判定和性质等知识点，解题关键是恰当作出辅助线．
21.【答案】解：①甲书店应支付金额为：y甲=0.8x；
乙书店应支付金额：y乙=100+0.6(x−100)=0.6x+40，
∴y甲=0.8x，y乙=0.6x+40；
②令0.8x=0.6x+40，解得x=200，
令0.8x<0.6x+40，解得x<200，
令0.8x>0.6x+40，解得x>200，
∴当x<200时，去甲书店省钱，
当x=200时，去甲乙两家书店购书支付金额相同，
当x>200时，去乙书店省钱．
【解析】①根据题意给出的数量关系即可求出答案；
②根据关系式分情况讨论即可．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是正确找出题中的数量关系，本题属于基础题型．
22.【答案】x<3 (2,3) x<2 2【解析】解：(1)观察图象知，不等式kx+b<2的解集是x<3，
故答案为：x<3；
(2)观察函数图象知，两直线的交点坐标为：(2,3)，不等式2x−1>x+1的解是x<2，
故答案为：(2,3)，x<2；
(3)①观察函数图象知，符合条件的点在点A、C之间，
联立两个一次函数得：−x+1=12x−2，
解得：x=2，即点A(2,3)，
令0=12x−2，则x=4，即点C(4,0)；
故不等式组的解集为2故答案为：2②存在，理由：
由点A、B、P的坐标得，AB2=10，AP2=(a−2)2+9，BP2=(a−1)2，
当AB为斜边时，
则10=(a−2)2+9+(a−1)2，
解得：a=1(舍去)或2，
即点P(2,0)；
当AP或BP为斜边时，
则(a−2)2+9=(a−1)2+10或10+(a−2)2+9=(a−1)2，
解得：a=1(舍去)或11，
即点P(11,0)；
综上，P(2,0)或(11,0)．
(1)观察图象即可求解；
(2)观察函数图象即可求解；
(3)①观察函数图象知，符合条件的点在点A、C之间，即可求解；
②当AB为斜边时，列出等式，即可求解；当AP或BP为斜边时，同理可解．
本题考查的是一次函数综合运用，涉及到直角三角形的性质、解不等式，数形结合和分类求解是解题的关键．
23.【答案】PA2+PB2=PQ2
【解析】解：(1)结论：PA2+PB2=PQ2．
理由：如图1，过点C作CD⊥AB于点D．
∵△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB，
∴CD=AD=DB，
∵PA2=(AD+PD)2=(CD+PD)2=CD2+2CD⋅PD+PD2，
PB2=(BD−PD)2=(CD−PD)2=CD2−2CD⋅PD+PD2，
∴PA2+PB2=2CD2+2PD2=2(CD2+PD2)，
在Rt△PCD中，由勾股定理可得PC2=CD2+PD2，
∴PA2+PB2=2PC2，
∵△CPQ为等腰直角三角形，且∠PCQ=90°，
∴2PC2=PQ2，
∴PA2+PB2=PQ2，
故答案为：PA2+PB2=PQ2；
(2)结论不变．
理由：如图2，过C作CD⊥AB于点D，
∵△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB，
∴CD=AD=DB，
∵PA2=(AD+PD)2=(CD+PD)2=CD2−2CD⋅PD+PD2，PB2=(DP−BD)2=(PD−CD)2=CD2−2CD⋅PD+PD2，
∴PA2+PB2=2CD2+2PD2=2(CD2+PD2)，
在Rt△PCD中，由勾股定理可得PC2=CD2+PD2，
∴PA2+PB2=2PC2，
∵△CPQ为等腰直角三角形，且∠PCQ=90°，
∴2PC2=PQ2，
∴PA2+PB2=PQ2；
(3)过点C作CD⊥AB于点D，
∵PAPB=23，
∴点P只能在线段AB上或在线段BA的延长线上，
①如图3，当点P在线段AB上时，
∵PAPB=23，
∴PA=25AB=45CD，PD=15CD，
在Rt△CPD中，由勾股定理可得CP= CD2+DP2= CD2+(15CD)2= 265CD，
在Rt△ACD中，由勾股定理可得AC= 2CD，
∴PCAC= 265CD 2CD= 135；
②如图4，当点P在线段BA的延长线上时，
∵PAPB=23，
∴PA=2AB=4CD，PD=5CD，
在Rt△CPD中，由勾股定理可得CP= PD2+CD2= 26CD，
在Rt△ACD中，由勾股定理可得AC= 2CD，
∴PCAC= 13；
综上可知PCAC的值为 135或 13．
(1)把AP2和PB2都用PC和CD表示出来，结合Rt△PCD中，可找到PC和PD和CD的关系，从而可找到PA2，PB2，PQ2三者之间的数量关系；
(2)过C作CD⊥AB于点D，由(1)中②的方法，可证得结论；
(3)分点P在线段AB上和线段BA的延长线上，分别利用PAPB=23可找到PA和CD的关系，从而可找到PD和CD的关系，在Rt△CPD和Rt△ACD中，利用勾股定理可分别找到PC、AC和CD的关系，从而可求得PCAC的值．
本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．